दर्शाइए कि $1.272727 \ldots = 1.\overline{27}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

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(C) माना $x = 1.272727 \ldots$
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 127.2727 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
चूँकि $x = 1.272727 \ldots$,इसलिए समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$100x = 126 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{14}{11}$
अतः,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,जहाँ $p = 14$ और $q = 11$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

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निम्नलिखित को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$.
$(i)$ $0.\overline{6}$
$(ii)$ $0.4\overline{7}$
$(iii)$ $0.\overline{001}$

निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक को सरल कीजिए:
$(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$
$(ii)$ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$
$(iii)$ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$

$\frac{1}{7+3 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

$\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए। ($...$ में)

सरल कीजिए:
$(i)$ $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$
$(ii)$ $\left(3^{\frac{1}{5}}\right)^{4}$
$(iii)$ $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}}$
$(iv)$ $13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}}$

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