Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $\mathbb{R}$ પર સતત અને વિકલનીય છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) = 0$.
આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી $f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = a + b + c = 0$.
$f(0) = f(1) = 0$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછી એક કિંમત $\alpha \in (0, 1)$ એવી મળે કે જેથી $f'(\alpha) = 0$ થાય.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
આમ,કોઈ $\alpha \in (0, 1)$ માટે $f'(\alpha) = 3a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ થાય.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ને $[0, 1]$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
સ્પષ્ટ છે કે $F(0) = 0$.
વળી,$F(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$.
આપેલ છે કે $2a + 3b + 6c = 0$,તેથી $F(1) = 0$.
$F(0) = F(1) = 0$ હોવાથી અને $F(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ ની વચ્ચે ઓછામાં ઓછું એક $x$ એવું મળે કે જેથી $F'(x) = 0$ થાય.
$F'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ હોવાથી,$ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ અંતરાલ $(0, 1)$ માં મળે.

(D) ધારો કે $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x$.
અહીં $f(0) = 0$ અને $f(\alpha) = 0$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$,તેથી વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[0, \alpha]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,વિકલિત $f'(x) = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ વિવૃત અંતરાલ $(0, \alpha)$ માં મળે.
વિકલિત $f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$ છે.
તેથી,સમીકરણ $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ નું એક ધન બીજ $\alpha$ કરતા નાનું હશે.

(C) આપેલ છે કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે,તેથી આપણે અંતરાલ $[1, 6]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) લાગુ કરી શકીએ છીએ.
પ્રમેય મુજબ,કોઈક $c \in (1, 6)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} = f'(c)$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે તમામ $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \ge 2$,તેથી $f'(c) \ge 2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 2$.
$\frac{f(6) + 2}{5} \ge 2$.
$f(6) + 2 \ge 10$.
$f(6) \ge 8$.

(B) ધારો કે $g(x) = f(x) - x^2$ છે.
$f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$ હોવાથી,આપણને $g(1) = 1 - 1^2 = 0$,$g(2) = 4 - 2^2 = 0$,અને $g(3) = 9 - 3^2 = 0$ મળે છે.
આમ,$g(x)$ ને $x = 1, 2, 3$ પર ઓછામાં ઓછા $3$ વાસ્તવિક શૂન્યો છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$g'(x)$ ને $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક અને $(2, 3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય મળે,એટલે કે $g'(x)$ ને $(1, 3)$ માં ઓછામાં ઓછા $2$ શૂન્યો હોય.
$g'(x)$ પર ફરીથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,$g''(x)$ ને $(1, 3)$ માં ઓછામાં ઓછું $1$ શૂન્ય મળે.
$g(x) = f(x) - x^2$ હોવાથી,$g'(x) = f'(x) - 2x$ અને $g''(x) = f''(x) - 2$ થાય.
કોઈક $c \in (1, 3)$ માટે $g''(c) = 0$ હોવાથી,$f''(c) - 2 = 0$ એટલે કે ઓછામાં ઓછા એક $c \in (1, 3)$ માટે $f''(c) = 2$ થાય.

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,એવો $c \in (1, 5)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ થાય.
આપેલ છે કે તમામ $x \in (1, 5)$ માટે $f'(x) \ge 9$,તેથી $f'(c) \ge 9$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{f(5) - (-3)}{4} \ge 9$.
$f(5) + 3 \ge 36$.
$f(5) \ge 33$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 - 2x + 4$.
સૌ પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 2x - 2$.
$x = c$ માટે,$f'(c) = 2c - 2$.
હવે,$f(5)$ અને $f(1)$ ની ગણતરી કરો:
$f(5) = 5^2 - 2(5) + 4 = 25 - 10 + 4 = 19$.
$f(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ માં મૂકો:
$\frac{19 - 3}{5 - 1} = 2c - 2$.
$\frac{16}{4} = 2c - 2$.
$4 = 2c - 2$.
$2c = 6$.
$c = 3$.

(D) રોલના પ્રમેય માટે વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[a, b]$ પર ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(a) = f(b)$ હોવું જોઈએ.
અહીં $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}$ આપેલ છે.
વિધેય $x = 1$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી તે $x = 1$ આગળ અસતત છે.
કોઈપણ અંતરાલ $[a, b]$ જેમાં $x = 1$ નો સમાવેશ થાય છે,ત્યાં વિધેય સતત નથી.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
- $[0, 3]$ માટે,$1 \in (0, 3)$,તેથી તે સતત નથી.
- $[-3, 0]$ માટે,વિધેય સતત અને વિકલનીય છે,પરંતુ $f(-3) = -4.5$ અને $f(0) = 0$ છે. $f(-3) \neq f(0)$ હોવાથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
- $[1.5, 3]$ માટે,વિધેય સતત અને વિકલનીય છે,પરંતુ $f(1.5) = -4.5$ અને $f(3) = 0$ છે. $f(1.5) \neq f(3)$ હોવાથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ અંતરાલ માટે રોલના પ્રમેયની શરતો સંતોષાતી નથી.

(B) લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એક બિંદુ $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ થાય.
અહીં $f(x) = e^x$,$a = 0$,અને $b = 1$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$f(a) = e^0 = 1$ અને $f(b) = e^1 = e$ મેળવીએ.
વિકલન કરતા $f'(x) = e^x$ મળે,તેથી $f'(c) = e^c$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{e - 1}{1 - 0} = e^c$
$e - 1 = e^c$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\log(e - 1) = c$.
આમ,$c$ ની કિંમત $\log(e - 1)$ છે.

(B) વિધેયને $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{જો } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{જો } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે રોલના પ્રમેયની શરતો તપાસીએ:
$1$. $f(x)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત છે.
$2$. $f(-1) = |-1| = 1$ અને $f(1) = |1| = 1$,તેથી $f(-1) = f(1)$.
$3$. આપણે $x = 0$ આગળ વિકલનીયતા તપાસીએ:
જમણી બાજુનું વિકલન: $Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.
ડાબી બાજુનું વિકલન: $Lf'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.
અહીં $Rf'(0) \neq Lf'(0)$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $(-1, 1)$ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી કારણ કે વિધેય $(-1, 1)$ પર વિકલનીય નથી.

(C) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(a, b)$ માં એક એવો બિંદુ $c$ મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = \cos x$ એ $[0, \frac{\pi}{2}]$ પર આપેલ છે,તેથી $a = 0$ અને $b = \frac{\pi}{2}$ છે.
$f(a) = f(0) = \cos(0) = 1$.
$f(b) = f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
હવે,ઢાળની ગણતરી કરતા: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0 - 1}{\frac{\pi}{2} - 0} = -\frac{2}{\pi}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f'(x) = -\sin x$,તેથી $f'(c) = -\sin c = -\frac{2}{\pi}$.
આમ,$\sin c = \frac{2}{\pi}$,જેનો અર્થ છે કે $c = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\pi}\right)$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{x}$.
તેથી $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
કિંમતો મૂકતા,$-\frac{1}{x_1^2} = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \frac{-(b - a)}{ab(b - a)} = -\frac{1}{ab}$.
આમ,$-\frac{1}{x_1^2} = -\frac{1}{ab}$,જેનો અર્થ છે કે $x_1^2 = ab$.
કારણ કે $a < x_1 < b$,તેથી $x_1 = \sqrt{ab}$.

(C) રોલના પ્રમેયમાં $c$ નક્કી કરવા માટે,આપણે $f'(c) = 0$ ઉકેલીએ છીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = (x^2 + 3x)e^{-(1/2)x}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = (2x + 3)e^{-(1/2)x} + (x^2 + 3x)e^{-(1/2)x} \cdot (-1/2)$.
$f'(x) = e^{-(1/2)x} \left[ 2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x \right]$.
$f'(x) = e^{-(1/2)x} \left[ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \right]$.
$f'(c) = 0$ લેતા,આપણને $-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$ મળે છે.
$-2$ વડે ગુણતા,$c^2 - c - 6 = 0$ મળે છે.
$(c - 3)(c + 2) = 0$.
આમ,$c = 3$ અથવા $c = -2$.
કારણ કે $c$ એ $(-3, 0)$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ,તેથી $c = 3$ શક્ય નથી.
તેથી,$c = -2$.

(B) કોઈ વિધેય $f(x)$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(a) = f(b)$ હોવું જોઈએ.
અહીં $f(x) = x^2 - 4$ એ બહુપદી વિધેય છે,તેથી તે દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે.
આપણે આપેલા વિકલ્પો માટે $f(a) = f(b)$ શરત ચકાસીએ:
વિકલ્પ $(b)$ માટે,અંતરાલ $[-2, 2]$ છે.
$f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
$f(2) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
અહીં $f(-2) = f(2)$ હોવાથી,અંતરાલ $[-2, 2]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.

(B) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = x + \frac{1}{x}$ અંતરાલ $[1, 3]$ પર આપેલ છે,તેથી $a = 1$ અને $b = 3$.
$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.
$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
પ્રમેય લાગુ પાડતા: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$.
$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$c^2 = 3 \Rightarrow c = \sqrt{3}$ (કારણ કે $c \in (1, 3)$).

(C) મધ્યકમાન પ્રમેય $(MVT)$ મુજબ,જો વિધેય $f(x)$ એ સંવૃત અંતરાલ $[a, b]$ પર સતત હોય અને વિવૃત અંતરાલ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય,તો વિવૃત અંતરાલ $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ ${x_1}$ એવું મળે કે જેથી:
$f'({x_1}) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
મધ્યકમાન પ્રમેયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ ${x_1}$ એ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
તેથી,$a < {x_1} < b$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c \in (0, 2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f'(c)$ થાય.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{f(2)}{2} = f'(c)$ મળે.
કોઈપણ $x \in [0, 2]$ માટે,$[0, x]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા,કોઈ $c_x \in (0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c_x)$ થાય.
$f(0) = 0$ હોવાથી,આ $\frac{f(x)}{x} = f'(c_x)$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = x \cdot f'(c_x)$.
માનાંક લેતા,$|f(x)| = |x| \cdot |f'(c_x)|$ મળે.
$[0, 2]$ માં તમામ $x$ માટે $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$|f(x)| \le |x| \cdot \frac{1}{2}$ થાય.
$[0, 2]$ માં $x$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ હોવાથી,$|f(x)| \le 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ મળે.
આમ,$|f(x)| \le 1$.

(A) $[1, 3]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરવા માટે,$f(1) = f(3)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$ મેળવો.
$f(1) = f(3)$ ને સરખાવતા,$a + b - 5 = 3a + b - 27$ મળે છે.
બંને બાજુથી $b$ બાદ કરતા: $a - 5 = 3a - 27$.
પદોને ગોઠવતા: $27 - 5 = 3a - a$,જે $22 = 2a$ આપે છે,તેથી $a = 11$.
રોલના પ્રમેય માટે $c \in (1, 3)$ માટે $f'(c) = 0$ હોવું જરૂરી છે.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 0$ લેતા: $3c^2 - 12c + 11 = 0$.
બીજ $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ છે.
$2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ જે $(1, 3)$ માં છે,તેથી $a = 11$ માટે શરત સંતોષાય છે.
વિકલ્પ $A$ માં $a = 11$ અને $b = -6$ આપેલ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-2x}) \cdot \sin 2x + e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x)$
$f'(x) = -2e^{-2x} \sin 2x + e^{-2x} \cdot 2 \cos 2x$
$f'(x) = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$c \in (0, \pi/2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$f'(c) = 0$ લેતા:
$2e^{-2c} (\cos 2c - \sin 2c) = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $c$ માટે $2e^{-2c} \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\cos 2c - \sin 2c = 0$
$\cos 2c = \sin 2c$
$\tan 2c = 1$.
અહીં $c \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$2c \in (0, \pi)$ થાય.
$2c$ ની કિંમત જેના માટે $\tan 2c = 1$ થાય તે $2c = \pi/4$ છે.
તેથી,$c = \pi/8$.

(B) કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$\int_1^2 f'(x) dx = [f(x)]_1^2 = f(2) - f(1)$.
કારણ કે $f(x)$ એ $[1, 2]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી તેની એક આવશ્યક શરત એ છે કે $f(1) = f(2)$.
તેથી,$f(2) - f(1) = 0$.
આમ,$\int_1^2 f'(x) dx = 0$ થાય.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ $f'(x) = 3x^2 - 12x + a$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(1, 3)$ માં એક એવો બિંદુ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ થાય છે.
$x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ ને $f'(x) = 0$ માં મૂકતા:
$3\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 12\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + a = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) - 24 - \frac{12}{\sqrt{3}} + a = 0$.
$12 + 1 + 4\sqrt{3} - 24 - 4\sqrt{3} + a = 0$.
$13 - 24 + a = 0$.
$-11 + a = 0$,તેથી $a = 11$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{x}$,$a = 4$,અને $b = 9$.
સૌ પ્રથમ,$f(a)$ અને $f(b)$ ની ગણતરી કરો:
$f(4) = \sqrt{4} = 2$
$f(9) = \sqrt{9} = 3$
ત્યારબાદ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
મધ્યક માન પ્રમેય મુજબ:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{3 - 2}{9 - 4}$
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{5}$
$2\sqrt{c} = 5$
$\sqrt{c} = \frac{5}{2} = 2.5$
$c = (2.5)^2 = 6.25$
આમ,$c$ ની કિંમત $6.25$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $f(x) = x^3$ અંતરાલ $[-2, 2]$ પર છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(-2, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં,$a = -2$ અને $b = 2$ છે.
$f(2) = 2^3 = 8$ અને $f(-2) = (-2)^3 = -8$.
છેદિકા રેખાનો ઢાળ $\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{8 - (-8)}{4} = \frac{16}{4} = 4$ છે.
વિકલન $f'(x) = 3x^2$ છે.
$f'(c) = 4$ લેતા,આપણને $3c^2 = 4$ મળે છે.
$c^2 = \frac{4}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $c = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(3, 4)$ માં એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(4) - f(3)}{4 - 3}$ થાય.
પ્રથમ,$(3, 0)$ અને $(4, 1)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ શોધો:
$m = \frac{1 - 0}{4 - 3} = 1$.
હવે,$f(x) = (x - 3)^2$ નું વિકલન મેળવો:
$f'(x) = 2(x - 3)$.
વિકલનને જીવાના ઢાળ સાથે સરખાવો:
$2(c - 3) = 1 \Rightarrow c - 3 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{7}{2}$.
હવે,$x = \frac{7}{2}$ ને વિધેયમાં મૂકીને અનુરૂપ $y$-યામ શોધો:
$y = \left( \frac{7}{2} - 3 \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left( \frac{7}{2}, \frac{1}{4} \right)$ છે.

(D) અંતરાલ $[4, 9]$ પર વિધેય $f(x) = \sqrt{x}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$f(a)$ અને $f(b)$ ની ગણતરી કરો:
$f(4) = \sqrt{4} = 2$
$f(9) = \sqrt{9} = 3$
ત્યારબાદ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
મધ્યક માન પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (4, 9)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{3 - 2}{9 - 4}$
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{5}$
$2\sqrt{c} = 5$
$\sqrt{c} = 2.5$
$c = (2.5)^2 = 6.25$
આમ,$c$ ની કિંમત $6.25$ છે.

(D) લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ જણાવે છે કે વિધેય $f(x)$ માટે $[a, b]$ પર તે લાગુ પાડવા માટે,તે $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(d)$ તપાસતા: $f(x) = |x|$.
આ વિધેય $[0, 1]$ પર સતત છે,પરંતુ તે $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $[0, 1]$ અંતરાલની અંદર આવે છે.
તેથી,$[0, 1]$ પર $f(x) = |x|$ માટે $LMVT$ લાગુ પડતું નથી.

(B) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એક બિંદુ $c \in (1, 2)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ થાય.
આપેલ $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ માટે:
$f(2) = 2^3 - 6a(2^2) + 5(2) = 8 - 24a + 10 = 18 - 24a$.
$f(1) = 1^3 - 6a(1^2) + 5(1) = 1 - 6a + 5 = 6 - 6a$.
તેથી,જીવાનો ઢાળ $\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = (18 - 24a) - (6 - 6a) = 12 - 18a$ થાય.
વિકલન $f'(x) = 3x^2 - 12ax + 5$ છે.
$x = \frac{7}{4}$ આગળનો સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી,$f'(\frac{7}{4}) = 12 - 18a$ થાય.
$3(\frac{7}{4})^2 - 12a(\frac{7}{4}) + 5 = 12 - 18a$.
$3(\frac{49}{16}) - 21a + 5 = 12 - 18a$.
$\frac{147}{16} + 5 - 12 = 21a - 18a$.
$\frac{147 - 112}{16} = 3a$.
$\frac{35}{16} = 3a$.
$a = \frac{35}{48}$.

(D) $f(x)$ માટે $[0, 1]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(0, 1)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(0) = f(1)$.
શરત $3$ તપાસતા: $f(1) = 1^\alpha \ln(1) = 0$ અને $f(0) = 0$. આમ,$f(0) = f(1) = 0$ એ કોઈપણ $\alpha$ માટે સાચું છે.
શરત $1$ તપાસતા ($x=0$ આગળ સાતત્ય): આપણે $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ ની જરૂર છે. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ થાય છે જો અને માત્ર જો $\alpha > 0$ હોય.
શરત $2$ તપાસતા ($(0, 1)$ પર વિકલનીયતા): $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \ln x + x^{\alpha-1} = x^{\alpha-1}(\alpha \ln x + 1)$. આ કોઈપણ $\alpha$ માટે $x \in (0, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $\alpha = 0.5$ એ $\alpha > 0$ ની શરતને સંતોષે છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$. નોંધો કે $g'(x) = ax^2 + bx + c$.
$g(0) = 0$ અને $g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ ગણો.
કારણ કે $2a + 3b + 6c = 0$,તેથી $g(1) = 0$ મળે છે.
$g(0) = 0$ અને $g(1) = 0$ હોવાથી,અને $g(x)$ એ બહુપદી વિધેય છે (જે દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે),તેથી $[0, 1]$ અંતરાલમાં $g(x)$ માટે રોલનો પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય છે.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c_0$ એવું મળે કે જેથી $g'(c_0) = 0$ થાય.
$g'(x) = ax^2 + bx + c$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $ac_0^2 + bc_0 + c = 0$.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \log(\sin x)$ છે.
લાંગ્રાજના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,અંતરાલ $(a, b)$ માં એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં,$a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = \frac{5\pi}{6}$ છે.
$f(a) = \log(\sin \frac{\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2})$ અને $f(b) = \log(\sin \frac{5\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2})$ છે.
તેથી,$f'(c) = \frac{\log(1/2) - \log(1/2)}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = 0$.
હવે,$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ થાય.
તેથી,$\cot c = 0$.
અંતરાલ $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ માં $c$ નું મૂલ્ય $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$.
બહુપદી હોવાથી,$f(x)$ એ સંવૃત અંતરાલ $[\alpha, \beta]$ પર સતત છે અને વિવૃત અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ છે,તેથી $f(\alpha) = 0$ અને $f(\beta) = 0$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(\alpha, \beta)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
બહુપદીનું વિકલન $f'(x) = na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$ છે.
તેથી,સમીકરણ $f'(x) = 0$ ને $(\alpha, \beta)$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક બીજ હોય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $[2, 4]$ પર સતત છે અને $(2, 4)$ પર વિકલનીય છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈક $c \in (2, 4)$ માટે $f'(c) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે બધા $x \in [2, 4]$ માટે $f'(x) \geq 6$,તેથી $f'(c) \geq 6$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{f(4) - (-4)}{2} \geq 6$ મળે.
$f(4) + 4 \geq 12$.
$f(4) \geq 8$.

(A) સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,જો વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[a, b]$ પર સતત હોય અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય,તો કોઈક $c \in (a, b)$ માટે $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = \log_e x$,$a = 1$,અને $b = 3$ છે.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{1}{x}$ મળે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$
$\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3 - \log_e 1}{2}$
$\log_e 1 = 0$ હોવાથી:
$\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3}{2}$
તેથી,$c = \frac{2}{\log_e 3} = 2 \log_3 e$.

(D) $[0, 1]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ કરવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ,જ્યાં $f(0) = f(1)$ થાય.
આપેલ છે કે $f(0) = 0$ અને $f(1) = 1^{\alpha} \log(1) = 0$,તેથી $f(0) = f(1)$ ની શરત કોઈપણ $\alpha$ માટે સંતોષાય છે.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ થવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \log x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}}$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ લક્ષ $\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{\alpha}}{-\alpha} = 0$ થાય,જો $\alpha > 0$ હોય.
વિકલ્પો તપાસતા,$\alpha = 1/2$ માટે લક્ષ $0$ મળે છે,જે સાતત્યની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$\alpha = 1/2$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^3 + 3x + K$.
જો $f(x)$ ને $[0, 1]$ અંતરાલમાં બે વાસ્તવિક બીજ હોય,તો રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું હોવું જોઈએ કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 6x^2 + 3$.
બધી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $6x^2 + 3 > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું વિધેય કોઈપણ અંતરાલમાં વધુમાં વધુ એક જ વાસ્તવિક બીજ ધરાવી શકે.
આમ,$K$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સમીકરણ $2x^3 + 3x + K = 0$ ને $[0, 1]$ અંતરાલમાં બે વાસ્તવિક બીજ હોવા અશક્ય છે.

(A) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,કોઈ $c \in (1, 6)$ માટે $f'(c) = \frac{f(6) - f(1)}{6 - 1}$ મળે.
આપેલ છે કે $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \geq 2$,તેથી $f'(c) \geq 2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{f(6) - (-2)}{5} \geq 2$ મળે.
$f(6) + 2 \geq 10$.
$f(6) \geq 8$.

(C) $[1, 3]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન થાય તે માટે $f(1) = f(3)$ હોવું જરૂરી છે.
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = a + b - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$.
$f(1) = f(3)$ લેતા,$a + b - 5 = 3a + b - 27$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $2a = 22$ મળે,તેથી $a = 11$.
અહીં $b$ એ સમીકરણ $f(1) = f(3)$ માંથી નીકળી જાય છે,તેથી $b$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(b \in R)$.
વધુમાં,$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $f'(c) = 0$ થાય છે.
$f'(c) = 3(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 12(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + 11 = 3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) - 24 - \frac{12}{\sqrt{3}} + 11 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 - 24 - 4\sqrt{3} + 11 = 0$.
આમ,$a = 11$ અને કોઈપણ $b \in R$ માટે શરત $f'(c) = 0$ સંતોષાય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x$.
આપણને આપેલ છે કે $f(0) = 0$ અને $f(\alpha) = 0$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, \alpha]$ પર સતત છે અને $(0, \alpha)$ પર વિકલનીય છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, \alpha)$ ની વચ્ચે ઓછામાં ઓછો એક એવો બિંદુ $c$ મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
અહીં $f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$ છે.
તેથી,સમીકરણ $f'(x) = 0$ ને $(0, \alpha)$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક ધન બીજ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે બીજ $\alpha$ કરતાં ઓછું છે.

(A) ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
તો $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
આપણને આપેલ છે કે $a + b + c = 0$.
$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$ મેળવો.
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d$ મેળવો.
કારણ કે $a + b + c = 0$,તેથી $f(1) = 0 + d = d$.
આમ,$f(0) = f(1) = d$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
તેથી,સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો મેળવતા:
$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) = 0$.
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = a + b + c$.
આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી $f(1) = 0$.
અહીં $f(0) = f(1) = 0$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c_0$ એવું મળે કે જેથી $f'(c_0) = 0$ થાય.
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
આમ,સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
તેથી,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$.
આપણને આપેલ છે કે $f'(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
$x=0$ અને $x=3$ આગળ $f(x)$ ની કિંમતો ધ્યાનમાં લો:
$f(0) = a(0)^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = e$.
$f(3) = a(3)^4 + b(3)^3 + c(3)^2 + d(3) + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e$.
આપણે $f(3)$ ને $f(3) = 3(27a + 9b + 3c + d) + e$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $27a + 9b + 3c + d = 0$,તેથી $f(3) = 3(0) + e = e$.
આમ,$f(0) = f(3) = e$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, 3]$ પર સતત છે અને $(0, 3)$ પર વિકલનીય છે.
રોલેના પ્રમેય મુજબ,$(0, 3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
તેથી,સમીકરણ $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ અંતરાલ $(0, 3)$ માં હોય.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx$.
તેથી $f'(x) = ax^2 + bx + c$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $f(0) = 0$.
વળી,$f(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$.
આપેલ છે કે $2a + 3b + 6c = 0$,તેથી $f(1) = \frac{0}{6} = 0$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
$f(0) = f(1) = 0$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c_0$ એવું મળે કે જેથી $f'(c_0) = 0$ થાય.
આમ,સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $[2, 5]$ અંતરાલમાં વિકલનીય છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $c \in (2, 5)$ એવી મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 5$ છે.
$f'(c) = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{1/2 - 1/5}{3}$.
$f'(c) = \frac{(5 - 2)/10}{3} = \frac{3/10}{3} = \frac{1}{10}$.

(C) $x \in [2, 5]$ માટે,વિધેય $f(x) = (x - 2) - (x - 5) = 3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $f(x) = 3$ એ $[2, 5]$ અંતરાલ પર અચળ વિધેય છે,તેનું વિકલન $f'(x) = 0$ થાય,બધા $x \in (2, 5)$ માટે.
આમ,$f'(4) = 0$,તેથી વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે,$f(x) = |x - 2| + |x - 5|$ એ સતત વિધેયોનો સરવાળો છે,તેથી તે $[2, 5]$ પર સતત છે.
અંતરાલ $(2, 5)$ પર,$f(x) = 3$,જે એક અચળ વિધેય છે અને તેથી વિકલનીય છે.
વળી,$f(2) = |2 - 2| + |2 - 5| = 3$ અને $f(5) = |5 - 2| + |5 - 5| = 3$,તેથી $f(2) = f(5)$.
વિધાન-$2$ સાચું છે.
કારણ કે $f(x)$ એ $[2, 5]$ પર અચળ છે,તેનું વિકલન $(2, 5)$ માં દરેક જગ્યાએ શૂન્ય છે,જે સીધી રીતે સમજાવે છે કે $f'(4) = 0$. આમ,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ શરત $2a + 3b + 6c = 0$ છે.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0$ મળે છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx$. નોંધો કે $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય છે,તેથી તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતોની ગણતરી કરીએ:
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0$.
કારણ કે $f(0) = f(1) = 0$,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c_0$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_0) = 0$.
$f'(x) = ax^2 + bx + c$.
તેથી,સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.

(D) સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય $(MVT)$ માટે વિધેય અંતરાલ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જરૂરી છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,$f(x) = |x|$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. કારણ કે $0 \in [0, 1]$,તેથી વિધેય $f(x) = |x|$ એ અંતરાલ $(0, 1)$ પર વિકલનીય નથી.
આથી,$f(x) = |x|$ માટે અંતરાલ $[0, 1]$ પર સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય નહીં,કારણ કે તે $x = 0$ આગળ વિકલનીયતાની શરતનું પાલન કરતું નથી.

(A) રોલના પ્રમેય મુજબ,$[1, 3]$ અંતરાલમાં $f(1) = f(3)$ થાય.
$a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6$
$a + b + 5 = 27a + 9b + 27$
$26a + 8b + 22 = 0 \implies 13a + 4b + 11 = 0 \dots (i)$
હવે,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$.
આપેલ છે કે $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$,તેથી $x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$3a\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$
$3a\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$
$13a + 4\sqrt{3}a + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 11 = 0$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $13a + 4b + 11 = 0$ હોવાથી,$4\sqrt{3}a + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0$.
$12a = -2b \implies b = -6a$.
$b = -6a$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$13a + 4(-6a) + 11 = 0$
$-11a = -11 \implies a = 1$.
તેથી $b = -6(1) = -6$.

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(1, 3)$ માં એક એવી કિંમત $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = \log_e x$ આપેલ છે,તેથી $f'(x) = \frac{1}{x}$.
અહીં $a = 1$ અને $b = 3$ છે.
તેથી,$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{\log_e 3 - \log_e 1}{2}$.
કારણ કે $\log_e 1 = 0$,તેથી $f'(c) = \frac{\log_e 3}{2}$ મળે.
$f'(c) = \frac{1}{c}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3}{2}$ મળે.
તેથી,$c = \frac{2}{\log_e 3} = 2 \log_3 e$ થાય.

(D) વિધેય $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) - (x-5) = -2x + 7 & \text{જો } x < 2 \\ (x-2) - (x-5) = 3 & \text{જો } 2 \le x < 5 \\ (x-2) + (x-5) = 2x - 7 & \text{જો } x \ge 5 \end{cases}$
વિધાન-$1$ માટે:
અંતરાલ $(2, 5)$ માં,$f(x) = 3$ છે. તેથી,તમામ $x \in (2, 5)$ માટે $f'(x) = 0$ થાય.
કારણ કે $4 \in (2, 5)$,તેથી $f'(4) = 0$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે:
$f(x)$ એ સતત વિધેયોનો સરવાળો છે,તેથી તે દરેક જગ્યાએ સતત છે. $[2, 5]$ માં,$f(x) = 3$ છે,જે અચળ વિધેય છે,તેથી તે $(2, 5)$ માં વિકલનીય છે.
વળી,$f(2) = |2-2| + |2-5| = 3$ અને $f(5) = |5-2| + |5-5| = 3$. આમ,$f(2) = f(5)$.
વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ રોલના પ્રમેયની શરતોનું વર્ણન કરે છે,જે સૂચવે છે કે $(2, 5)$ માં એવો બિંદુ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય. કારણ કે $f(x)$ એ $[2, 5]$ પર અચળ છે,તેથી તમામ $x \in (2, 5)$ માટે $f'(x) = 0$ થાય છે,જે વિધાન-$1$ ની પુષ્ટિ કરે છે. આમ,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.