વિધેય $f(x) = {x^2} - 4$ એ . . . . અંતરાલમાં રોલના પ્રમેય નું પાલન કરે છે .

વક્ર $y=x^5-20 x^3+50 x+2$ એ $x$-અક્ષને કેટલી વાર ક્રોસ કરશે. ?

વિધેય $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}+8 \mathrm{x}+11$ કે જ્યાં $\mathrm{x} \in[0,1]$ માં મ્ધયકમાન પ્રમેય અનુસાર $c$ ની કિમંત મેળવો.

$a = 1$ અને $b = 3$ લઈ વિધેય $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3 x$ માટે $[a, b]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો. $f^{\prime}(c)=0$ થાય તેવા તમામ $c \in(1,3)$ શોધો.

જો $ f(x) = x^{\alpha} logx, x > 0, f(0) = 0 $ અને $ x \in  [0, 1]$  રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે, હોય તો $\alpha =$  કેટલા થાય ?

દ્રીઘાત સમીકરણ ${\text{ a}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  bx  +  c  =  0 }}$ સ્વીકારો જ્યાં, $2a\,\, + \,\,3b\,\, + \,\,6c\,\, = \,\,0$ અને ${\text{g(x)}}\,\, = \,\,{\text{a}}\,\,\frac{{{{\text{x}}^{\text{3}}}}}{3}\,\, + \,\,{\text{b}}\,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}\,\, + \,\,{\text{cx}}$ લો. 

વિધાન $- 1 : (0, 1)$  અંતરાલમાં દ્વિઘાત સમીકરણના ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.

વિધાન $- 2 : [0, 1]$ અંતરાલમાં વિધેય $g(x)$  માટે રોલનો પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય.