નીચેનામાંથી કયા અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = x^2 - 4$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે?

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a = $ ..............

જો $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime \prime}(x) > 0$ હોય,અને $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ હોય,તો

જો વિધેય $f(x)=x^3+ax^2+bx+40$ એ અંતરાલ $[-5,4]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $-5,4$ એ સમીકરણ $f(x)=0$ ના બે બીજ છે,તો તે પ્રમેયમાં જણાવ્યા મુજબ $c$ ની કિંમતોમાંની એક કિંમત છે

જો $x \in [3, 12]$ માટે $f(x) = \sqrt{x}$ અને $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ હોય,તો $c \in (3, 12)$ ની કિંમત શોધો જેના માટે $\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)}$ થાય.

ધારો કે $f$ એવું વિધેય છે જે બધા વાસ્તવિક $x$ માટે સતત અને વિકલનીય છે. જો $f(2) = -4$ અને બધા $x \in [2, 4]$ માટે $f'(x) \geq 6$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?