નીચેનામાંથી કયા અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = x^2 - 4$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે?

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માં બે વાર વિકલનીય છે અને $f(1)=f(3)$ છે. જો $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ હોય,તો $[1, 3]$ માં તમામ $x$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a+3b+6c=0$ અને ધારો કે $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
વિધાન-$I$ : આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ને $(0,1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન-$II$ : $[0,1]$ પર $g(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
તો

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને વક્ર $y = f(x)$ ને $x = \frac{7}{4}$ આગળનો સ્પર્શક,વક્રના $x = 1$ અને $x = 2$ આગળના બિંદુઓને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 5]$ પર સતત છે અને $(0, 5)$ પર વિકલનીય છે. જો $f(0) = 0$ અને $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ હોય,તો $[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

જો રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ માટે અંતરાલ $[-1, 1]$ માં બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ લાગુ પડતું હોય,તો $2a + b$ ની કિંમત શોધો.