વિધેય $f(x) = x(x + 3)e^{-(1/2)x}$ એ $[-3, 0]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)$ એ $[2, 5]$ અંતરાલમાં વિકલનીય હોય કે જ્યાં $f(2) = 1/5$ અને $f(5) = 1/2$ થાય,તો $2 < c < 5$ માટે એવી સંખ્યા $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \dots$

જો $f(x)$ એ $[1, 2]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરતું હોય અને $f(x)$ એ $[1, 2]$ માં સતત હોય,તો $\int_1^2 f'(x) dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી $g(x)$ માટે,$m_g$ એ $g(x)$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $S$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદીઓનો ગણ છે જે $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. બહુપદી $f$ માટે,$f'$ અને $f''$ અનુક્રમે તેના પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમના વિકલિતો દર્શાવે છે. તો $(m_f + m_{f'})$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત,જ્યાં $f \in S$,કેટલી થાય?

વિધેય $f(x)=x^{2}+2x-8, x \in[-4,2]$ માટે રોલના પ્રમેયને ચકાસો.