Differentiation of infinite series Questions in Gujarati

(A) આપેલ અનંત શ્રેણી $y = e^{x + e^{x + e^{x + \dots \infty}}}$ છે.
ઘાતાંક પુનરાવર્તિત થતો હોવાથી,આપણે સમીકરણને $y = e^{x + y}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(y) = x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - 1) = 1$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y}{y}) = 1$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 - y}$.

(A) આપેલ છે કે $y = (\sin x)^{(\sin x)^{(\sin x)^{...\infty}}}$.
ઘાતાંક અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y = (\sin x)^y$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે $\ln y = y \ln(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \ln(\sin x) + y \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} \ln(\sin x) = y \cot x$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} - \ln(\sin x) \right) = y \cot x$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - y \ln(\sin x)}{y} \right) = y \cot x$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 \cot x}{1 - y \ln(\sin x)}$.

(D) આપેલ છે કે $y = (\sqrt{x})^{(\sqrt{x})^{(\sqrt{x})^{\dots\infty}}}$.
ઘાત અનંત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y = (\sqrt{x})^y$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = \log((\sqrt{x})^y) = y \log(\sqrt{x}) = y \log(x^{1/2}) = \frac{1}{2} y \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{1}{x} \right)$.
છેદ દૂર કરવા માટે $2y$ વડે ગુણતા:
$2 \frac{dy}{dx} = y \log x \frac{dy}{dx} + \frac{y^2}{x}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (2 - y \log x) = \frac{y^2}{x}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(2 - y \log x)}$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A, B,$ કે $C$ મળતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ અનંત શ્રેણી $y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt {x + \dots \infty } } }$ છે.
શ્રેણી અનંત હોવાથી,આપણે તેને $y = \sqrt {x + y}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(x + y)$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ થાય છે.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = 1$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = e^{y + e^{y + \dots \infty}}$ છે.
ઘાતાંક અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે તેને $x = e^{y + x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $\ln(x) = y + x$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$.

(A) આપેલ અનંત સતત અપૂર્ણાંક: $y = \frac{x}{a + \frac{x}{b + y}}$.
બંને બાજુ $(a + \frac{x}{b + y})$ વડે ગુણતા: $y(a + \frac{x}{b + y}) = x$.
$ay + \frac{xy}{b + y} = x$.
$(b + y)$ વડે ગુણતા: $ay(b + y) + xy = x(b + y)$.
$aby + ay^2 + xy = bx + xy$.
$aby + ay^2 = bx$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(aby + ay^2) = \frac{d}{dx}(bx)$.
$ab \frac{dy}{dx} + 2ay \frac{dy}{dx} = b$.
$\frac{dy}{dx}(ab + 2ay) = b$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{b}{ab + 2ay}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = 1$,જે આપે છે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$. આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.
$y^2 - y = x$ પરથી,આપણી પાસે $y(y - 1) = x$ છે,તેથી $y - 1 = \frac{x}{y}$.
$2y - 1 = y + (y - 1) = y + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x}{y}$ મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(y^2 + x)/y} = \frac{y}{y^2 + x}$ મળે છે. $y^2 = x + y$ હોવાથી,$y^2 + x = (x + y) + x = 2x + y$. આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x + y}$. આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y^2 - y - x = 0$ માટે $y$ ઉકેલતા,$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}$. $y > 0$ હોવાથી,$y = \frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}$.
$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 + 4x)^{1/2}$ નું વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 + 4x)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt{1 + 4x}}$ મળે છે. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(A) આપેલ અનંત પદાવલિ $x = y^{x^{y^{x^{\dots}}}}$ ને $x = y^{x^x}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln x = x^x \ln y$ મળે.
$x = 1$ માટે,$\ln 1 = 1^1 \ln y$,જેનો અર્થ છે કે $0 = \ln y$,તેથી $y = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{d}{dx}(x^x \ln y)$
$\frac{1}{x} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \ln y + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\ln y)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,તેથી:
$\frac{1}{x} = x^x(1 + \ln x) \ln y + x^x \cdot \frac{1}{y} y'$
$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$\frac{1}{1} = 1^1(1 + \ln 1) \ln 1 + 1^1 \cdot \frac{1}{1} y'$
$1 = 1(1 + 0)(0) + 1 \cdot y'$
$1 = 0 + y'$
આમ,$y' = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \ldots \infty}}}$ છે.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે તેને $y = \sqrt{\sin x + y}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = \sin x + y$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$ મળે.
આથી $2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$ થાય.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$ મળે.
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = e^{(y+e)^{(y+e)^{(y+\ldots \infty)}}}$,માં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઘાતાંક એ પ્રથમ $(y+e)$ થી શરૂ થતી પુનરાવર્તિત રચના છે.
આખી અભિવ્યક્તિ $x$ ની બરાબર હોવાથી,આપણે સમીકરણને $x = e^{y+x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $\ln(x) = y + x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{x}$.

(A) આપેલ અનંત સતત અપૂર્ણાંક: $y = \frac{\sin x}{1 + \frac{\cos x}{1 + y}}$.
બંને બાજુ $(1 + y + \cos x)$ વડે ગુણતા: $y(1 + y + \cos x) = \sin x(1 + y)$.
$y + y^2 + y \cos x = \sin x + y \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} \cos x - y \sin x) = \cos x(1 + y) + \sin x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\frac{dy}{dx}(1 + 2y + \cos x - \sin x) = \cos x + y \cos x + y \sin x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin x + (1 + y) \cos x}{1 + 2y + \cos x - \sin x}$.

(D) આપેલ છે કે,$ y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} $
વર્ગમૂળની નીચેનું પદ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતું હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$ y=\sqrt{x+y} $
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$ y^{2}=x+y $
બંને બાજુ $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(x+y) $
$ 2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} $
$ \frac{dy}{dx} $ માટે પદોને ગોઠવતા:
$ 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 $
$ \frac{dy}{dx}(2y - 1) = 1 $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1} $

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}$
અહીં વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $y$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $y^2 = x + y$
પદોને ગોઠવતા: $y^2 - y = x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(x)$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = 1$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

(C) આપેલ સમીકરણ $y = e^{x^2 + e^{x^2 + e^{x^2} + \dots}}$ છે.
ઘાતાંક અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y = e^{x^2 + y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln(y) = x^2 + y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - 1) = 2x$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y}{y}) = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{1 - y}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\log(x^2+1) + y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \log(x^2+1) + y$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\log(x^2+1)) + \frac{d}{dx}(y)$.
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
$(2y-1) \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2+1)(2y-1)}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+\sqrt{\sin (\log (2 x))+\ldots \infty}}$ છે.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = \sin (\log (2 x)) + y$,એટલે કે $y^2 - y = \sin (\log (2 x))$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(\sin (\log (2 x)))$.
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \cos (\log (2 x)) \cdot \frac{d}{dx}(\log (2 x))$.
$\frac{d}{dx}(\log (2 x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.
તેથી,$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x(2y - 1)}$.