જો $a + b + c = 0$ હોય,તો અંતરાલ $(0, 1)$ માં સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના કેટલા બીજ હોય?

ધારો કે $f: [-1, 2] \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $t \in [-1, 0]$ માટે $0 \le f'(t) \le 1$ અને $t \in [0, 2]$ માટે $-1 \le f'(t) \le 0$ છે. તો:

ધારો કે $f(0) = -3$ અને તમામ $x$ માટે $f'(x) \le 5$ છે. તો $f(2)$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?

ધારો કે $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય વિધેય છે,જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1$ (બધા $x \in (1, 2)$ માટે) નું પાલન કરે છે. જો $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (બધા $x \in [1, 2]$ માટે) હોય,તો $[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = [x]$ માટે $x \in [5, 9]$ અંતરાલમાં લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો છો?

જો $a, b, c \in \mathbb{R}$ અને $3a + 5b + 15c = 0$ નું સમાધાન કરે,તો સમીકરણ $ax^4 + bx^2 + c = 0$ પાસે: