કઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $K$ માટે સમીકરણ $2x^3 + 3x + K = 0$ ના બે વાસ્તવિક બીજ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોય?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વખત વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ અને $f(4)=-2$ છે. તો,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ ના શૂન્યોની ન્યૂનતમ સંખ્યા .................... છે.

ધારો કે $f$ એ એક વિધેય છે જે તમામ $x$ માટે સતત અને વિકલનીય છે. જો $f(1) = 1$ અને $[1, 5]$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ હોય,તો $f(5)$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $S$ એ $[0,1]$ પર સતત અને $(0,1)$ પર વિકલનીય એવા તમામ વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ નો ગણ છે. તો $S$ માંના દરેક $f$ માટે,$f$ પર આધારિત એવો $c \in (0,1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:

જો $a + b + c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના અંતરાલ $(0, 1)$ માં કેટલા બીજ હોય?

બધા $x > e$ માટે $\left[ \frac{\log (x/e)}{x - e} \right]$ ની કિંમત કેટલી થાય? (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.)