Continuity Questions in Gujarati

(D) $\lim_{x \to 1} f(x)$ શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ છીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = (1)^2 = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x) = 1$.
કારણ કે $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$,તેથી લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $1$ ની બરાબર છે.

(D) $x = 1$ આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણીએ છીએ.
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 - h) = \lim_{h \to 0} 3(1 - h) = 3(1 - 0) = 3$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 + h) = \lim_{h \to 0} [5 - 3(1 + h)] = 5 - 3(1 + 0) = 5 - 3 = 2$.
કારણ કે $LHL \neq RHL$ (એટલે કે $3 \neq 2$),તેથી લક્ષ $\lim_{x \to 1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x - 2|$.
પ્રથમ,આપણે $x = 2$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ: $f(2) = |2 - 2| = 0$.
હવે,$x \to 2^-$ માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(2 - h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |2 - h - 2| = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |-h| = 0$.
હવે,$x \to 2^+$ માટે જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(2 + h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |2 + h - 2| = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |h| = 0$.
અહીં $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$.
આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k\cos x}{\pi - 2x}$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$. જ્યારે $x \to \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $h \to 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{h \to 0} \frac{k\cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k\sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
કારણ કે $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,તેથી લક્ષ $\frac{k}{2}$ થાય છે.
લક્ષને વિધેયની કિંમત સાથે સરખાવતા: $\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$f(0)$ ની કિંમત $\lim_{x \to 0} f(x)$ જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + kx)}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લક્ષને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1 + ax)}{x} - \frac{\log(1 - bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \left( a \cdot \frac{\log(1 + ax)}{ax} - (-b) \cdot \frac{\log(1 - bx)}{-bx} \right)$
$= a(1) + b(1) = a + b$.
તેથી,$f(0) = a + b$.

(A) $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે,આપણે $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + x^2 - 16x + 20}{(x - 2)^2}$.
જ્યારે $x = 2$ મૂકતા $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે,તેથી અંશના અવયવ પાડીએ.
બહુપદીના ભાગાકારની મદદથી,$x^3 + x^2 - 16x + 20 = (x - 2)^2(x + 5)$.
આમ,$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)^2(x + 5)}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2} (x + 5) = 2 + 5 = 7$.
તેથી,$k = 7$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + k) = 0^2 + k = k$.
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2 - k) = -0^2 - k = -k$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(0) = 0^2 + k = k$.
સાતત્ય માટે,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$.
તેથી,$k = -k$.
$2k = 0 \implies k = 0$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ એ $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ,એટલે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
આપેલ છે કે $f(x) = (1 + x)^{1/x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત રહે તે માટે,$f(0) = e$ હોવું જરૂરી છે.

(D) $x = 1/2$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1/2^-} f(x) = \lim_{x \to 1/2^-} x = 1/2$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1/2^+} f(x) = \lim_{x \to 1/2^+} (1 - x) = 1 - 1/2 = 1/2$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(1/2) = 1$.
અહીં $\lim_{x \to 1/2^-} f(x) = \lim_{x \to 1/2^+} f(x) = 1/2$ હોવાથી,લક્ષ $\lim_{x \to 1/2} f(x)$ નું અસ્તિત્વ છે અને તે $1/2$ છે.
પરંતુ,$\lim_{x \to 1/2} f(x) = 1/2 \neq f(1/2) = 1$.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 1/2$ આગળ અસતત છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{a} - a, & x < a \\ 0, & x = a \\ a - \frac{x^2}{a}, & x > a \end{cases}$.
પ્રથમ,આપણે $x = a$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ: $f(a) = 0$.
ત્યારબાદ,$x = a$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણીએ:
$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(a - h) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{(a - h)^2}{a} - a \right) = \frac{a^2}{a} - a = a - a = 0$.
પછી,$x = a$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણીએ:
$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(a + h) = \lim_{h \to 0} \left( a - \frac{(a + h)^2}{a} \right) = a - \frac{a^2}{a} = a - a = 0$.
અહીં $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} e^{1/x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
પ્રથમ,આપણે $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} e^{-1/h} = e^{-\infty} = 0$.
ત્યારબાદ,આપણે $x = 0$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} e^{1/h} = e^{\infty} = \infty$.
અહીં જમણી બાજુનું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી (તે અનંત છે),તેથી વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) $x = 1$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 1$ આગળ વિધેયની કિંમત મેળવીશું.
આપેલ છે કે $f(1) = 2$.
$x \ne 1$ માટે,$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 3}{x + 1}$.
હવે,$x \to 1$ માટે લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$.
અહીં $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1$ અને $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $-1$ છે.
પરંતુ,$f(1) = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(A) સંમેય વિધેય $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ એ તે બિંદુઓ પર અસતત હોય છે જ્યાં છેદ $Q(x) = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + x - 12}$.
અસતત બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છેદને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$x^2 + x - 12 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 4x - 3x - 12 = 0$
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$
$(x - 3)(x + 4) = 0$
આમ,$x = 3$ અને $x = -4$.
તેથી,વિધેય $x = 3$ અને $x = -4$ આગળ અસતત છે.

(C) $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત મેળવીએ.
$1$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\frac{\sin x}{x} + \cos x) = 1 + 1 = 2$.
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin x}{x} + \cos x) = 1 + 1 = 2$.
$3$. વિધેયની કિંમત: $f(0) = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(C) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે $x \to 0$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવીએ.
$x \neq 0$ માટે,$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક $x \neq 0$ માટે $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$ થાય.
$x^2$ વડે ગુણતા,આપણને $-x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2$ મળે.
જેમ $x \to 0$ થાય,તેમ $-x^2 \to 0$ અને $x^2 \to 0$ થાય છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ થાય.
અહીં $f(0) = 0$ હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ મળે છે.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} k(2x - x^2) = k(2(0) - (0)^2) = 0$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos(0) = 1$.
$3$. વિધેયની કિંમત: $f(0) = \cos(0) = 1$.
અહીં $LHL$ $(0)$ અને $RHL$ $(1)$ સમાન નથી,તેથી $k$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે વિધેયને $x = 0$ આગળ સતત બનાવી શકે.

(C) $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય $f(0)$ મેળવીએ.
$1$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(0) = 0$.
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 - h) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{e^{-1/h} + 1}$.
જેમ $h \to 0^+$,તેમ $1/h \to \infty$,તેથી $e^{-1/h} \to 0$.
આમ,$\lim_{h \to 0} \frac{-h}{0 + 1} = 0$.
$3$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 + h) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{e^{1/h} + 1}$.
જેમ $h \to 0^+$,તેમ $e^{1/h} \to \infty$,તેથી $\frac{h}{e^{1/h} + 1} \to 0$.
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(B) $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે $x \to 0$ માટે $f(x)$ નું લક્ષ શોધીએ.
આપેલ છે કે $x \ne 0$ માટે $f(x) = (1 + 2x)^{1/x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} (1 + u)^{1/u} = e$ છે.
અહીં,ધારો કે $u = 2x$. જેમ $x \to 0$,તેમ $u \to 0$.
તેથી $f(x) = (1 + 2x)^{1/x} = [(1 + 2x)^{1/(2x)}]^2$.
$x \to 0$ માટે લક્ષ લેતા:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{u \to 0} [(1 + u)^{1/u}]^2 = e^2$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} f(x) = e^2$ અને $f(0) = e^2$ છે,તેથી વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
આમ,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^2$ અને $\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) $x = 0$ આગળ વિધેયનું વર્તન નક્કી કરવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{1/(0+h)} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{1/h} = \infty$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{1/(0-h)} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{-1/h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{2^{1/h}} = \frac{1}{\infty} = 0$.
અહીં $RHL$ એ $\infty$ છે અને $LHL$ એ $0$ છે,તેથી લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પો $(A)$,$(B)$ અથવા $(C)$ માંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(C) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે $x \to 0$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવીએ.
આપેલ છે કે $x \ne 0$ માટે $f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}$.
આને આપણે $f(x) = x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
હવે,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right)$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} x = 0$ છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \cdot 1 = 0$ મળે.
અહીં $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(C) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત મેળવીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} (x - 1) = 0 - 1 = -1$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (x^2) = 0^2 = 0$.
$3$. $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત: $f(0) = \frac{1}{4}$.
અહીં $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) \neq \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x)$ હોવાથી,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.

(A) વિધેય $f(x) = \log x$ (જ્યાં આધાર સામાન્ય રીતે $e$ અથવા $10$ હોય છે) ફક્ત $x > 0$ માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે.
તેના પ્રદેશ $(0, \infty)$ માં,લઘુગણકીય વિધેય એક સતત વિધેય છે.
તેથી,$f(x) = \log x$ નો આલેખ તેના પ્રદેશમાં તમામ $x$ માટે સતત છે.
આમ,વિધાન $(a)$ સાચું છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત હોય તે માટેની શરત $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ છે.
અહીં $a = 1$ હોવાથી,$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(1) = k$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.
આ $0/0$ સ્વરૂપ હોવાથી,અંશના અવયવ પાડતા: $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1)$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $1 + 1 = 2$ મળે છે.
તેથી,સાતત્ય માટે $k = 2$ થાય.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{x}{[x]}$ માત્ર ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $[x] \neq 0$ હોય.
$(i)$ $0 \le x < 1$ માટે,$[x] = 0$ થાય છે,તેથી $f(x)$ અંતરાલ $(0, 1)$ માં વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,વિધેય તમામ $x \in (0, 1)$ માટે અસતત છે.
$(ii)$ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\}$ માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to n^-} \frac{x}{[x]} = \frac{n}{n-1}$ છે અને જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to n^+} \frac{x}{[x]} = \frac{n}{n} = 1$ છે. $n \neq 0$ માટે $\frac{n}{n-1} \neq 1$ હોવાથી,વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે.
$(iii)$ $x = 1$ પર,$\lim_{x \to 1^-} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત નથી (કારણ કે $x \in [0, 1)$ માટે $[x]=0$ છે),અને $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ છે. આમ,તે $x = 1$ પર અસતત છે.
તેથી,વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર અને $(0, 1)$ અંતરાલમાં અસતત છે.

(B) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(ax)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \right)^2 \cdot a^2 = (1)^2 \cdot a^2 = a^2$.
$x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત $f(0) = 1$ છે.
$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 1$,અથવા $a = \pm 1$.
જો $a \neq \pm 1$ હોય,તો $a^2 \neq 1$ થાય,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$.
આમ,જ્યારે $a \neq \pm 1$ હોય ત્યારે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.

(B) $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -(0)^2 = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 5(0) - 4 = -4$
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5(1) - 4 = 1$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4(1)^2 - 3(1) = 1$
$f(1) = 5(1) - 4 = 1$
કારણ કે $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$,તેથી $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત છે.
$x = 2$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4(2)^2 - 3(2) = 16 - 6 = 10$
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2) + 4 = 10$
$f(2) = 3(2) + 4 = 10$
કારણ કે $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$,તેથી $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin^{-1}|x| = \sin^{-1}(0) = 0$.
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin^{-1}|x| = \sin^{-1}(0) = 0$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(0) = 0$.
અહીં $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x$ ની $0$ તરફની લક્ષ કિંમત એ $x = 0$ આગળના વિધેયના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ.
એટલે કે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
અહીં $x \ne 0$ માટે $f(x) = \frac{\sin 2x}{5x}$ આપેલ છે,તેથી આપણે લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \times \frac{2x}{5x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right) \times \frac{2}{5}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી $1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$.
અહીં $f(0) = k$ હોવાથી,આપણને $k = \frac{2}{5}$ મળે છે.

(C) $x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 + x^2) = 1 + (1)^2 = 2$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1 - x) = 1 - 1 = 0$.
અહીં $\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$ હોવાથી,$x = 1$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x + 1}, & x \neq -1 \\ -2, & x = -1 \end{cases}$.
$x \neq -1$ માટે,$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધો: $\lim_{x \to (-1)^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (x - 1) = -1 - 1 = -2$.
જમણી બાજુનું લક્ષ શોધો: $\lim_{x \to (-1)^+} f(x) = \lim_{x \to -1} (x - 1) = -1 - 1 = -2$.
અહીં $\lim_{x \to (-1)^-} f(x) = \lim_{x \to (-1)^+} f(x) = f(-1) = -2$ હોવાથી,વિધેય $x = -1$ આગળ સતત છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) $x = 2$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 2$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (\frac{5}{2} - x) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - \frac{3}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(2) = 1$.
અહીં $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,લક્ષ $\lim_{x \to 2} f(x)$ નું અસ્તિત્વ છે અને તે $\frac{1}{2}$ છે.
પરંતુ,$\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ કારણ કે $\frac{1}{2} \neq 1$.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 2$ આગળ અસતત છે.

(B) વિધેય $f(x) = |x - b|$ એ માનાંક વિધેય છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $b$ માટે,વિધેય $f(x) = |x - b|$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે.
ચોક્કસપણે,$x = b$ આગળ,આપણી પાસે $\lim_{x \to b} f(x) = \lim_{x \to b} |x - b| = 0$ છે.
વળી,$f(b) = |b - b| = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to b} f(x) = f(b)$,તેથી વિધેય $x = b$ આગળ સતત છે.

(B) $x = a$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય $f(a)$ શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} \frac{|x - a|}{x - a}$. કારણ કે $x < a$ છે,તેથી $|x - a| = -(x - a)$,એટલે $\lim_{x \to a^-} \frac{-(x - a)}{x - a} = -1$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} \frac{|x - a|}{x - a}$. કારણ કે $x > a$ છે,તેથી $|x - a| = (x - a)$,એટલે $\lim_{x \to a^+} \frac{x - a}{x - a} = 1$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(a) = 1$.
અહીં $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$ હોવાથી,લક્ષ $\lim_{x \to a} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી. તેથી,$f(x)$ એ $x = a$ આગળ અસતત છે.

(C) $x = 1$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય મેળવીએ.
પ્રથમ,$x$ જ્યારે $1$ ને અનુલક્ષે ત્યારે લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x^2 = (1)^2 = 1$.
ત્યારબાદ,$x = 1$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(1) = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ હોવાથી $(1 \neq 2)$,વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(A) $x = 2$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 2$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (1 + x) = 1 + 2 = 3$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 5 - 2 = 3$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(2) = 1 + 2 = 3$.
અહીં $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 3$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે.

(C) $x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને તે બિંદુએ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
પ્રથમ,$x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ છે.
ત્યારબાદ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = 1$ છે.
પછી,જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = \lim_{h \to 0} 2\sin \left(\frac{2}{9} \left(\frac{3\pi}{4} + h\right)\right) = 2\sin \left(\frac{2}{9} \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ છે.
અહીં $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ સતત છે.

(A) $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x \sin x) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
અહીં $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ અસતત છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16 + \sqrt{x}} - 4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{16 + \sqrt{x} - 16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4) = \sqrt{16} + 4 = 4 + 4 = 8$.
$3$. વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \text{LHL} = \text{RHL}$.
તેથી,$a = 8$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 1$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 - b) = a(1)^2 - b = a - b$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.
$3$. $x = 1$ આગળ કિંમત: $f(1) = 2$.
સાતત્ય માટે,$a - b = 2$ હોવું જરૂરી છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
- $A$ માટે: $a = 2, b = 0 \Rightarrow 2 - 0 = 2$ (સાચું).
- $B$ માટે: $a = 1, b = -1 \Rightarrow 1 - (-1) = 2$ (સાચું).
- $C$ માટે: $a = 4, b = 2 \Rightarrow 4 - 2 = 2$ (સાચું).
આમ,બધા વિકલ્પો $a - b = 2$ ની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - (-x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{x} = 0$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(0) = 2$.
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $(2)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(0)$ જેટલું નથી,તેથી લક્ષ $\lim_{x \to 0} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.

(B) $x = 2$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે $x \to 2$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^4 - 16}{x - 2}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.
તેથી,$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2)(x^2 + 4) = (2 + 2)(2^2 + 4) = 4 \times 8 = 32$.
કારણ કે $\lim_{x \to 2} f(x) = 32$ અને $f(2) = 16$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 2$ આગળ અસતત છે.

(B) $x = 1$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ.
$LHL$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = (1)^2 = 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 5) = 1 + 5 = 6$.
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $(1)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(6)$ જેટલું નથી,તેથી લક્ષ $\lim_{x \to 1} f(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = -5$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to -5$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f(-5)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અહીં $f(-5) = a$ આપેલ છે.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to -5} f(x) = \lim_{x \to -5} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + 2x - 15}$
અંશ અને છેદના અવયવો પાડતા:
$x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$
$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$
તેથી,$\lim_{x \to -5} \frac{(x + 5)(x - 2)}{(x + 5)(x - 3)} = \lim_{x \to -5} \frac{x - 2}{x - 3}$
$x = -5$ મૂકતા:
$\frac{-5 - 2}{-5 - 3} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8}$
વિધેય સતત હોવાથી,$a = \frac{7}{8}$ થાય.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત હોવા માટે,નીચેની શરત સંતોષાવી જોઈએ:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$
અહીં $f(3) = 4$ આપેલ છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધતા:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x + \lambda) = 3 + \lambda$
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધતા:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (3x - 5) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$
લક્ષને $f(3)$ સાથે સરખાવતા:
$3 + \lambda = 4$
$\lambda = 4 - 3$
$\lambda = 1$

(D) કોઈ વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,લક્ષ $\lim_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને તે $f(0)$ ની કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ.
અહીં,$f(0) = k$ છે.
આપણે લક્ષ $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ તપાસીએ.
જેમ $x \to 0$ થાય,તેમ ખૂણો $\frac{1}{x}$ એ $\infty$ અથવા $-\infty$ તરફ જાય છે.
જેમ $x$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ વિધેય $\sin \frac{1}{x}$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે અનંત વખત દોલન કરે છે.
કારણ કે લક્ષ કોઈ એક નિશ્ચિત કિંમત તરફ જતું નથી,તેથી $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ નું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,એવી કોઈ $k$ ની કિંમત નથી જે વિધેયને $x = 0$ આગળ સતત બનાવી શકે.

(D) $f(x)$ એ $x = 4$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ અને $x = 4$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(4 - h) = \lim_{h \to 0} (\frac{4 - h - 4}{|4 - h - 4|} + a) = \lim_{h \to 0} (\frac{-h}{|-h|} + a) = -1 + a$.
જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(4 + h) = \lim_{h \to 0} (\frac{4 + h - 4}{|4 + h - 4|} + b) = \lim_{h \to 0} (\frac{h}{|h|} + b) = 1 + b$.
વિધેયનું મૂલ્ય: $f(4) = a + b$.
સાતત્ય માટે: $a - 1 = a + b = b + 1$.
$a - 1 = a + b$ પરથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$a + b = b + 1$ પરથી,આપણને $a = 1$ મળે છે.
આમ,$a = 1$ અને $b = -1$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(27 - 2x)^{1/3} - 3}{9 - 3(243 + 5x)^{1/5}}$.
જ્યારે $x \to 0$ થાય,ત્યારે પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dx} [(27 - 2x)^{1/3} - 3] = \frac{1}{3}(27 - 2x)^{-2/3} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}(27 - 2x)^{-2/3}$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dx} [9 - 3(243 + 5x)^{1/5}] = -3 \cdot \frac{1}{5}(243 + 5x)^{-4/5} \cdot 5 = -3(243 + 5x)^{-4/5}$.
હવે,$x \to 0$ લેતા:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{-\frac{2}{3}(27)^{-2/3}}{-3(243)^{-4/5}} = \frac{\frac{2}{3}(3^3)^{-2/3}}{3(3^5)^{-4/5}} = \frac{\frac{2}{3}(3^{-2})}{3(3^{-4})} = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9}}{3 \cdot \frac{1}{81}} = \frac{2/27}{1/27} = 2$.
આમ,$f(0) = 2$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 0$ હોય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = k$,તેથી આપણે $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x}$ ની કિંમત શોધવી પડશે.
ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(\cos x)$.
$\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ માટે એલ'હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(\cos x))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)}{1} = \lim_{x \to 0} (-\tan x) = 0$.
તેથી $\ln L = 0$,જેનો અર્થ છે કે $L = e^0 = 1$.
આમ,$k = 1$.

(A) $x = 2$ આગળ વિધેય $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 2$ આગળ વિધેયની કિંમત મેળવીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 3) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.
$3$. $x = 2$ આગળ વિધેયની કિંમત: $f(2) = 2(2) - 3 = 1$.
અહીં $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 1$ હોવાથી,વિધેય $x = 2$ આગળ સતત છે.
$x < 2$ માટે,$f(x) = x - 1$ એ બહુપદી વિધેય છે,તેથી તે સતત છે.
$x > 2$ માટે,$f(x) = 2x - 3$ એ પણ બહુપદી વિધેય છે,તેથી તે સતત છે.
આમ,વિધેય $f(x)$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સતત છે.

(C) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $(-\infty, 6)$ માં સતત છે,તેથી તે $x = 1$ અને $x = 3$ આગળ પણ સતત હશે.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = a(1) + b$
$1 + 1 = a + b \implies a + b = 2$ ..... $(i)$
$x = 3$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$
$a(3) + b = 6 \tan(\frac{3\pi}{12})$
$3a + b = 6 \tan(\frac{\pi}{4})$
$3a + b = 6(1) \implies 3a + b = 6$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(3a + b) - (a + b) = 6 - 2$
$2a = 4 \implies a = 2$
$a = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2 + b = 2 \implies b = 0$
આમ,$a = 2$ અને $b = 0$ મળે છે.