ધારો કે $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. જો $\alpha = $ હોય,તો $x \in [0, 1]$ માટે $f$ ને રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.

વિધેય $f(x)=(x-1)(x-2)$ માટે જે $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે,લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય શોધો.

$f:[2,10] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-6)^2-3, & x \leq 4 \\ x-5, & x > 4 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $2a + 3b + 6c = 0$ અને $g(x) = ax^2 + bx + c = 0$ ને અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે. જો વિધેય $f: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું હોય અને $f(x)$ એ $g(x)$ નું પ્રતિવિધેય (primitive) હોય,તો $f(x) = $

ધારો કે $f: D \rightarrow R$ જ્યાં $D=[0,1] \cup [2,4]$ એ $f(x)=\begin{cases} x, & \text{જો } x \in [0,1] \\ 4-x, & \text{જો } x \in [2,4] \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,

વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી $g(x)$ માટે,$m_g$ એ $g(x)$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $S$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદીઓનો ગણ છે જે $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. બહુપદી $f$ માટે,$f'$ અને $f''$ અનુક્રમે તેના પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમના વિકલિતો દર્શાવે છે. તો $(m_f + m_{f'})$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત,જ્યાં $f \in S$,કેટલી થાય?