રોલનું પ્રમેય $[-1, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = |x|$ માટે લાગુ પડતું નથી કારણ કે

જો $a + b + c = 0$ હોય,તો અંતરાલ $(0, 1)$ માં સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ના કેટલા બીજ હોય?

ધારો કે $a > 0$ અને $f$ એ $[-a, a]$ માં સતત છે. ધારો કે $f'(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તમામ $x \in (-a, a)$ માટે $f'(x) \le 1$ છે. જો $f(a) = a$ અને $f(-a) = -a$ હોય,તો $f(0)$ શું થાય?

ધારો કે $f(x) = |1 - x|$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ અને $g(x) = f(x) + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $f(x)=2+\cos x$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે છે.
$\text{વિધાન}-1$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે,$[t, t+\pi]$ માં એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c)=0$ થાય. કારણ કે
$\text{વિધાન}-2$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે $f(t)=f(t+2\pi)$ છે.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એવું છે કે $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય છે,$x=a$ અને $x=b$ પર સતત છે,અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો: