Higher order derivatives Questions in Gujarati

(D) વિધેય $f(x) = e^{-x}$ ને ધ્યાનમાં લો.
તેથી $f(0) = e^0 = 1$.
$f'(x) = -e^{-x}$,તેથી $f'(0) = -1$.
$f''(x) = e^{-x}$.
જો કે,પ્રશ્ન $f(x) > 0$ આપેલ હોય ત્યારે $f''(x)$ માટે ચોક્કસ વર્તણૂક સૂચવે છે. જો આપણે $x > -1$ માટે $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ લઈએ,તો $f(0) = 1$,$f'(x) = -2(x+1)^{-3}$,$f'(0) = -2$. આ $f'(0) = -1$ સાથે મેળ ખાતું નથી.
જો આપણે $f(x) = e^{-x}$ લઈએ,તો $f''(x) = e^{-x} > 0$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો અને આવા પ્રશ્નોના સ્વભાવને જોતા,જો $f(x)$ એ બહિર્મુખ વિધેય હોય,તો શરત $f''(x) < -2$ ઘણીવાર ચોક્કસ મર્યાદાઓ સાથે સંકળાયેલ હોય છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,વિકલ્પ $(d)$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ વિધેય $y = 3x^5 + 4x^4 + 2x + 3$ છે.
પ્રથમ વિકલન $y_1 = \frac{dy}{dx} = 15x^4 + 16x^3 + 2$ છે.
બીજું વિકલન $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = 60x^3 + 48x^2$ છે.
ત્રીજું વિકલન $y_3 = \frac{d^3y}{dx^3} = 180x^2 + 96x$ છે.
ચોથું વિકલન $y_4 = \frac{d^4y}{dx^4} = 360x + 96$ છે.
પાંચમું વિકલન $y_5 = \frac{d^5y}{dx^5} = 360$ છે.
છઠ્ઠું વિકલન $y_6 = \frac{d^6y}{dx^6} = 0$ છે.
બહુપદીની ઘાત $5$ હોવાથી,કોઈપણ $n > 5$ માટે $n$-મું વિકલન $0$ થશે. તેથી,$y_6 = 0$.

(B) આપેલ છે $y = \sin x \sin 3x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1}{2} [\cos(3x - x) - \cos(3x + x)] = \frac{1}{2} [\cos 2x - \cos 4x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(ax + b)$ નું $n^{th}$ વિકલન $a^n \cos(ax + b + \frac{n\pi}{2})$ થાય છે.
દરેક પદ માટે આ લાગુ પાડતા:
$y_n = \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 4x \right) = \frac{1}{2} [2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) - 4^n \cos(4x + \frac{n\pi}{2})]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{n + 1}$.
પ્રથમ વિકલન $y_1 = \frac{d}{dx}(x^{n+1}) = (n + 1)x^n$ છે.
બીજું વિકલન $y_2 = \frac{d}{dx}((n + 1)x^n) = (n + 1)nx^{n-1}$ છે.
ત્રીજું વિકલન $y_3 = \frac{d}{dx}((n + 1)nx^{n-1}) = (n + 1)n(n-1)x^{n-2}$ છે.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n^{th}$ વિકલન $y_n = (n + 1)n(n-1)...(2)x^{n+1-n} = (n + 1)!x^1 = (n + 1)!x$ થશે.

(C) આપેલ બહુપદી વિધેય $y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ છે.
$n^{th}$ વિકલિત $y_n$ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં $n$ વખત વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલિત $y_1 = \frac{dy}{dx} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + na_nx^{n-1}$ છે.
બીજું વિકલિત $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = 2 \times 1 a_2 + 3 \times 2 a_3x + \dots + n(n-1)a_nx^{n-2}$ છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$x^n$ નું $k^{th}$ વિકલિત $\frac{d^k}{dx^k}(x^n) = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k=n$ માટે,$x^n$ નું $n^{th}$ વિકલિત $\frac{n!}{(n-n)!}x^{n-n} = n!$ થાય છે.
$n$ વખત વિકલન કર્યા પછી $n$ કરતા ઓછી ઘાતવાળા $x$ ના તમામ પદો શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$y_n = \frac{d^n}{dx^n}(a_nx^n) = a_n \times n!$.

(C) આપેલ છે કે $y = A \cos(nx) + B \sin(nx)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -nA \sin(nx) + nB \cos(nx)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -n^2A \cos(nx) - n^2B \sin(nx)$.
$-n^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -n^2(A \cos(nx) + B \sin(nx))$.
કારણ કે $y = A \cos(nx) + B \sin(nx)$,તેથી સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -n^2y$.

(C) ધારો કે $y = e^{2x} + e^{-2x}$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - 2e^{-2x} = 2(e^{2x} - e^{-2x})$.
બીજું વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 4e^{2x} + 4e^{-2x} = 2^2(e^{2x} + e^{-2x})$.
ત્રીજું વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 8e^{2x} - 8e^{-2x} = 2^3(e^{2x} - e^{-2x})$.
આ પેટર્ન જોતા,$n$-મું વિકલન $\frac{d^n}{dx^n}(e^{2x} + e^{-2x}) = 2^n[e^{2x} + (-1)^n e^{-2x}]$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \log p$,તેથી આપણે લખી શકીએ $p = e^x$.
કારણ કે $y = \frac{1}{p}$,$p = e^x$ મૂકતા આપણને $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ મળે છે.
હવે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત મેળવતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = -(-e^{-x}) = e^{-x}$.
પ્રથમ અને દ્વિતીય વિકલિતનો સરવાળો કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = e^{-x} + (-e^{-x}) = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = a\sin (\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = a\cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x f'(x) = a\cos (\log x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx}(x f'(x)) = \frac{d}{dx}(a\cos (\log x))$
$x f''(x) + f'(x) = -a\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 f''(x) + x f'(x) = -a\sin (\log x)$
કારણ કે $f(x) = a\sin (\log x)$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$x^2 f''(x) + x f'(x) = -f(x)$.

(A) આપેલ છે કે $y = e^{\tan^{-1}x}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1}x} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{y}{1+x^2}$.
આથી $(1+x^2)\frac{dy}{dx} = y$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx}(2x) = \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} - 2x\frac{dy}{dx}$.
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} = (1-2x)\frac{dy}{dx}$.

(A) આપેલ છે $y = x^2 e^{mx}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2x e^{mx} + x^2 (m e^{mx}) = e^{mx} (m x^2 + 2x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m e^{mx} (m x^2 + 2x) + e^{mx} (2mx + 2) = e^{mx} (m^2 x^2 + 2mx + 2mx + 2) = e^{mx} (m^2 x^2 + 4mx + 2)$.
ત્રીજી વાર $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^3y}{dx^3} = m e^{mx} (m^2 x^2 + 4mx + 2) + e^{mx} (2m^2 x + 4m) = e^{mx} (m^3 x^2 + 4m^2 x + 2m + 2m^2 x + 4m) = e^{mx} (m^3 x^2 + 6m^2 x + 6m)$.
$m$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^3y}{dx^3} = m e^{mx} (m^2 x^2 + 6mx + 6)$.

(C) આપેલ છે કે $y = ae^{mx} + be^{-mx}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = ame^{mx} - mbe^{-mx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = am^2e^{mx} + m^2be^{-mx}$.
$m^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2(ae^{mx} + be^{-mx})$.
કારણ કે $y = ae^{mx} + be^{-mx}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2y$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y = 0$.

(B) આપેલ છે કે $y = (x^2 - 1)^m$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિસ્તરણ કરતા:
$y = \binom{m}{0}(x^2)^m + \binom{m}{1}(x^2)^{m-1}(-1) + \dots + (-1)^m$.
$y = x^{2m} - mx^{2m-2} + \dots + (-1)^m$.
$x^{2m}$ નું $(2m)^{th}$ વિકલન $(2m)!$ થાય છે.
વિસ્તરણના અન્ય તમામ પદો $2m$ કરતા ઓછી ઘાતવાળા બહુપદીઓ છે.
કોઈપણ $n$ ઘાતવાળી બહુપદીનું $x$ ની સાપેક્ષે $(n+1)$ કે તેથી વધુ વખત વિકલન કરવાથી જવાબ $0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{d^{2m}y}{dx^{2m}} = \frac{d^{2m}}{dx^{2m}}(x^{2m}) - 0 + 0 - \dots = (2m)!$.

(B) આપેલ છે કે $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a(n + 1){x^n} + b(-n){x^{ - n - 1}} = a(n + 1){x^n} - nb{x^{ - n - 1}}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a(n + 1)n{x^{n - 1}} - nb(-n - 1){x^{ - n - 2}}$
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)a{x^{n - 1}} + n(n + 1)b{x^{ - n - 2}}$.
હવે,${x^2}$ વડે ગુણતા:
${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)a{x^{n + 1}} + n(n + 1)b{x^{ - n}}$
${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)(a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}})$.
કારણ કે $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$,આપણને મળે છે:
${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)y$.

(B) આપેલ પદ $y = 2\cos x \cos 3x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cos(3x+x) + \cos(3x-x) = \cos 4x + \cos 2x$.
હવે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે $y$ નું $20$ મું વિકલન શોધવાનું છે.
યાદ રાખો કે $\frac{d^n}{dx^n}(\cos(ax)) = a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$.
$n=20$ માટે,$\frac{d^{20}}{dx^{20}}(\cos(ax)) = a^{20} \cos(ax + \frac{20\pi}{2}) = a^{20} \cos(ax + 10\pi) = a^{20} \cos(ax)$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^{20}}{dx^{20}}(\cos 4x + \cos 2x) = 4^{20} \cos 4x + 2^{20} \cos 2x$.
કારણ કે $4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$,તેથી પદ $2^{40} \cos 4x + 2^{20} \cos 2x$ બને છે.
$2^{20}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2^{20}(2^{20} \cos 4x + \cos 2x)$ મળે છે.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^2 \alpha + \cos^2(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta)$.
નિત્યસમ $\cos(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^2 \alpha + \cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta]$
$y = \sin^2 \alpha + \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)$
ગુણાકારને સરવાળામાં ફેરવતા સૂત્ર $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} [\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)]$
નિત્યસમ $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} [1 - 2 \sin^2 \alpha + \cos(2\beta)]$
$y = \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} - \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} \cos(2\beta)$
$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2\beta)$
અહીં $\beta$ અચળ હોવાથી,$y$ એ અચળ કિંમત છે.
તેથી,ત્રીજું વિકલન $\frac{d^3y}{d\alpha^3} = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે $y = x \log \left( \frac{x}{a + bx} \right)$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{y}{x} = \log x - \log(a + bx)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{b}{a + bx} = \frac{a + bx - bx}{x(a + bx)} = \frac{a}{x(a + bx)}$.
આમ,$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a + bx}$ ..... $(i)$.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{(a + bx)a - ax(b)}{(a + bx)^2}$.
$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a + bx)^2}$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2 x^2}{(a + bx)^2} = \left( \frac{ax}{a + bx} \right)^2$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{ax}{a + bx} = x \frac{dy}{dx} - y$.
તેથી,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \left( x \frac{dy}{dx} - y \right)^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $e^y + xy = e$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ .....$(i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^y \frac{d^2y}{dx^2} + e^y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^y \frac{d^2y}{dx^2} + e^y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ .....$(ii)$
મૂળ સમીકરણ $e^y + xy = e$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $e^y + 0 = e$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$e^1 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0$
$e \frac{dy}{dx} = -1$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$
સમીકરણ $(ii)$ માં $x = 0$,$y = 1$,અને $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ મૂકતા:
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) + 0 = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( \frac{1}{e^2} \right) - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{1}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$

(D) ધારો કે $y = f(e^x)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલિત શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = f'(e^x)e^x$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = f'(e^x)e^x$ પર ગુણાકારનો નિયમ (product rule) લગાવીને દ્વિતીય વિકલિત શોધીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(f'(e^x)e^x) = \frac{d}{dx}(f'(e^x)) \cdot e^x + f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$.
$\frac{d}{dx}(f'(e^x)) = f''(e^x)e^x$ માટે ફરીથી ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = (f''(e^x)e^x)e^x + f'(e^x)e^x$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = f''(e^x)e^{2x} + f'(e^x)e^x$.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin x + e^x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \cos x + e^x$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos x + e^x} = (\cos x + e^x)^{-1} \dots (i)$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dx}{dy}$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} [(\cos x + e^x)^{-1}] = \frac{d}{dx} [(\cos x + e^x)^{-1}] \cdot \frac{dx}{dy}$.
$\frac{d^2x}{dy^2} = -1(\cos x + e^x)^{-2} \cdot (-\sin x + e^x) \cdot \frac{dx}{dy}$.
$(i)$ માંથી $\frac{dx}{dy}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -(\cos x + e^x)^{-2} \cdot (-\sin x + e^x) \cdot (\cos x + e^x)^{-1}$.
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{\sin x - e^x}{(\cos x + e^x)^3}$.

(A) આપેલ છે કે $y = x^3 \log(\log_e(1 + x))$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $y'$ મેળવો:
$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + x^3 \cdot \frac{1}{\log_e(1 + x)} \cdot \frac{1}{1 + x}$
$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + \frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)}$
હવે,દ્વિતીય વિકલન $y''$ મેળવો:
$y'' = \frac{d}{dx} [3x^2 \log(\log_e(1 + x))] + \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)} \right]$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે પદ $3x^2 \log(\log_e(1 + x))$ માં $x^2 \log(\log_e(1+x))$ નો સમાવેશ થાય છે. કારણ કે નાના $x$ માટે $\log_e(1+x) \approx x$,તેથી $\log(\log_e(1+x)) \approx \log(x)$,અને $x \to 0$ થાય ત્યારે $x^2 \log(x) \to 0$ થાય છે.
બીજા પદ $\frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)}$ માટે,$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x^3}{(1 + x)(x - \frac{x^2}{2})} = \frac{x^3}{x(1 + x)(1 - \frac{x}{2})} = \frac{x^2}{(1 + x)(1 - \frac{x}{2})} \to 0$ જ્યારે $x \to 0$.
આમ,$x=0$ પર વિકલનનું મૂલ્ય $y''(0) = 0$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$.
હવે,બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{dy/dx} \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{1}{dy/dx} \cdot \frac{d}{dx}$.
તેથી,$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{dy/dx} \cdot \frac{d}{dx} \left( (dy/dx)^{-1} \right)$.
$= \frac{1}{dy/dx} \cdot \left( -1 \cdot (dy/dx)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.
$= -\frac{d^2y/dx^2}{(dy/dx)^3}$.

(A) આપેલ છે કે $y = (x + \sqrt{1 + x^2})^n$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})$
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{n(x + \sqrt{1 + x^2})^n}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$.
બંને બાજુ ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(ny)$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = n \frac{dy}{dx}$
બંને બાજુ $\sqrt{1 + x^2}$ વડે ગુણતા:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n \sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}$
કારણ કે $\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n(ny) = n^2y$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = a{e^x} + b{e^{-x}} + c$ છે.
પ્રથમ વિકલન: $y' = \frac{d}{dx}(a{e^x} + b{e^{-x}} + c) = a{e^x} - b{e^{-x}}$.
દ્વિતીય વિકલન: $y'' = \frac{d}{dx}(a{e^x} - b{e^{-x}}) = a{e^x} + b{e^{-x}}$.
તૃતીય વિકલન: $y''' = \frac{d}{dx}(a{e^x} + b{e^{-x}}) = a{e^x} - b{e^{-x}}$.
આને પ્રથમ વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y''' = y'$.

(B) આપેલ છે કે $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$xy' = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$
ડાબી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x y'' + y' = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
બંને બાજુ ફરીથી $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 y'' + xy' = -a \cos(\log x) - b \sin(\log x)$
ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય લેતા:
$x^2 y'' + xy' = -(a \cos(\log x) + b \sin(\log x))$
કારણ કે $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^2 y'' + xy' = -y$.

(D) ધારો કે $y = \log x$.
પ્રથમ વિકલન: $y_1 = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$.
બીજું વિકલન: $y_2 = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = \frac{-1}{x^2}$.
ત્રીજું વિકલન: $y_3 = \frac{d}{dx}(-x^{-2}) = -1 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = \frac{2}{x^3} = \frac{2!}{x^3}$.
ચોથું વિકલન: $y_4 = \frac{d}{dx}(2x^{-3}) = 2 \cdot (-3) \cdot x^{-4} = \frac{-6}{x^4} = \frac{-3!}{x^4}$.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,$n$-મું વિકલન નીચે મુજબ મળે છે:
$y_n = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$.

(C) ધારો કે $f(x) = x e^x$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) e^x + x \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + x e^x = (1 + x) e^x$.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + x) e^x + (1 + x) \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + (1 + x) e^x = (2 + x) e^x$.
$f'''(x) = \frac{d}{dx}(2 + x) e^x + (2 + x) \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + (2 + x) e^x = (3 + x) e^x$.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n^{th}$ વિકલન નીચે મુજબ મળે છે:
$f^{(n)}(x) = (n + x) e^x$.
$n^{th}$ વિકલન શૂન્ય થાય તે માટે,આપણે $f^{(n)}(x) = 0$ લઈએ:
$(n + x) e^x = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^x$ ક્યારેય શૂન્ય હોતું નથી,તેથી:
$n + x = 0 \implies x = -n$.

(D) આપેલ છે $y = 2\cos x \cos 3x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cos(x+3x) + \cos(x-3x) = \cos 4x + \cos 2x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos 4x + \cos 2x) = -4\sin 4x - 2\sin 2x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-4\sin 4x - 2\sin 2x) = -16\cos 4x - 4\cos 2x$.
$-4$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -4(\cos 2x + 4\cos 4x) = -2^2(\cos 2x + 2^2\cos 4x)$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^{-x}$ નું મેકલોરિન વિસ્તરણ છે.
$y = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = e^{-x}$.
હવે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = -(-e^{-x}) = e^{-x}$.
કારણ કે $y = e^{-x}$,તેથી $\frac{d^2y}{dx^2} = y$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x = A \cos 4t + B \sin 4t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -4A \sin 4t + 4B \cos 4t$
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -16A \cos 4t - 16B \sin 4t$
$-16$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -16(A \cos 4t + B \sin 4t)$
કારણ કે $x = A \cos 4t + B \sin 4t$ છે,તેથી $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -16x$

(A) આપેલ છે ${y^2} = a{x^2} + bx + c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y\frac{{dy}}{{dx}} = 2ax + b \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b}}{{2y}}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} + 2y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 2a$.
$2$ વડે ભાગતા:
${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} + y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b}}{{2y}}$ મૂકતા:
$y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a - {\left( {\frac{{2ax + b}}{{2y}}} \right)^2} = a - \frac{{{{(2ax + b)}^2}}}{{4{y^2}}}$.
$y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{4a{y^2} - {{(2ax + b)}^2}}}{{4{y^2}}}$.
${y^2} = a{x^2} + bx + c$ મૂકતા:
$4{y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 4a(a{x^2} + bx + c) - (4{a^2}{x^2} + 4abx + {b^2})$.
$4{y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 4{a^2}{x^2} + 4abx + 4ac - 4{a^2}{x^2} - 4abx - {b^2} = 4ac - {b^2}$.
આમ,${y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{4ac - {b^2}}}{4}$,જે એક અચળ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = a^x \cdot b^{2x - 1}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = x \ln a + (2x - 1) \ln b$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a + 2 \ln b$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y(\ln a + \ln b^2) = y \ln(ab^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} \ln(ab^2)$.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = [y \ln(ab^2)] \cdot \ln(ab^2) = y(\ln(ab^2))^2$.

(C) આપેલ છે કે ${y^2} = p(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = p'(x)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$ મૂકતા,આપણને $2 \left( \frac{p'(x)}{2y} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ મળે છે.
$2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2y^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2p(x)}$.
$y^2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2$ મળે છે.
હવે,$2y^3 \frac{d^2y}{dx^2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( 2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2 \right)$.
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - \frac{1}{2} \cdot 2 p'(x) p''(x)$.
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - p'(x) p''(x) = p(x) p'''(x)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)g(x) = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 0$ --- $(i)$
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) + f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) = 0$
$f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) = 0$ --- $(ii)$
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'''(x)g(x) + f''(x)g'(x) + 2f''(x)g'(x) + 2f'(x)g''(x) + f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x) = 0$
$f'''(x)g(x) + 3f''(x)g'(x) + 3f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x) = 0$
આ સમીકરણોને ઉકેલતા,આપણને અંતે મળે છે:
$\frac{f'''}{f'} - \frac{g'''}{g'} = 3\left( \frac{f''}{f} - \frac{g''}{g} \right)$.

(D) આપેલ છે કે ${I_n} = \frac{d^n}{dx^n}(x^n \log x)$.
વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ ${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left( \frac{d}{dx}(x^n \log x) \right)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx}(x^n \log x) = n x^{n-1} \log x + x^n \cdot \frac{1}{x} = n x^{n-1} \log x + x^{n-1}$.
આમ,${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(n x^{n-1} \log x + x^{n-1})$.
${I_n} = n \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1} \log x) + \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1})$.
વ્યાખ્યા મુજબ,${I_{n-1}} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1} \log x)$.
વળી,$x^{n-1}$ નું $(n-1)$-મું વિકલન $(n-1)!$ થાય છે.
તેથી,${I_n} = n{I_{n-1}} + (n-1)!$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને ${I_n} - n{I_{n-1}} = (n-1)!$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a(n + 1){x^n} - bn{x^{ - n - 1}}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = a(n + 1)n{x^{n - 1}} - bn(-n - 1){x^{ - n - 2}}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = an(n + 1){x^{n - 1}} + bn(n + 1){x^{ - n - 2}}$
હવે,${x^2}$ વડે ગુણતા:
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = {x^2}[an(n + 1){x^{n - 1}} + bn(n + 1){x^{ - n - 2}}]$
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = an(n + 1){x^{n + 1}} + bn(n + 1){x^{ - n}}$
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = n(n + 1)[a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}]$
કારણ કે $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$,તેથી:
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = n(n + 1)y$

(B) આપેલ છે કે $f''(x) = 6(x - 1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \int 6(x - 1) dx = 3(x - 1)^2 + c_1$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 1)$ પર સ્પર્શક $y = 3x - 5$ હોવાથી,$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(2) = 3$ થાય.
$f'(x)$ ના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા,$3 = 3(2 - 1)^2 + c_1$,જેનો અર્થ છે કે $3 = 3 + c_1$,તેથી $c_1 = 0$.
આમ,$f'(x) = 3(x - 1)^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) = \int 3(x - 1)^2 dx = (x - 1)^3 + c_2$ મળે છે.
આલેખ બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$f(2) = 1$ થાય.
$f(x)$ ના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા,$1 = (2 - 1)^3 + c_2$,જેનો અર્થ છે કે $1 = 1 + c_2$,તેથી $c_2 = 0$.
તેથી,વિધેય $f(x) = (x - 1)^3$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f''(x) = 6(x - 1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f'(x) = \int 6(x - 1) \, dx = 3(x - 1)^2 + C_1$.
બિંદુ $(2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 3x - 5$ હોવાથી,$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(2) = 3$ થાય.
$f'(x)$ માં $x = 2$ મૂકતા,$f'(2) = 3(2 - 1)^2 + C_1 = 3 + C_1$.
તેને $3$ સાથે સરખાવતા,$3 + C_1 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $C_1 = 0$.
આમ,$f'(x) = 3(x - 1)^2$.
ફરીથી સંકલન કરતા,$f(x) = \int 3(x - 1)^2 \, dx = (x - 1)^3 + C_2$.
વિધેયનો આલેખ $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $f(2) = 1$.
$f(x)$ માં $x = 2$ મૂકતા,$f(2) = (2 - 1)^3 + C_2 = 1 + C_2$.
તેને $1$ સાથે સરખાવતા,$1 + C_2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $C_2 = 0$.
તેથી,વિધેય $f(x) = (x - 1)^3$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$.
હવે,$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right) = \frac{d}{dy} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \cdot \frac{d}{dx}$:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \left( -1 \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${x^p}{y^q} = {(x + y)^{p + q}}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln (x + y)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q}{y} - \frac{p + q}{x + y} \right) = \frac{p + q}{x + y} - \frac{p}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x + y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x + y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x(\frac{y}{x}) - y}{x^2} = \frac{y - y}{x^2} = 0$

(B) આપેલ છે કે $x = \int\limits_0^y \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}}$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int\limits_0^y \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} \right)$
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\sqrt{1 + y^2})$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$
અહીં $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે $y^2 = P(x)$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y_1 = P'(x) \implies y y_1 = \frac{1}{2} P'(x)$.
ફરીથી વિકલન કરતા:
$y y_2 + y_1^2 = \frac{1}{2} P''(x)$.
$2y^2$ વડે ગુણતા:
$2y^3 y_2 + 2y^2 y_1^2 = y^2 P''(x) = P(x) P''(x)$.
$y_1 = \frac{P'(x)}{2y}$ હોવાથી,$y_1^2 = \frac{(P'(x))^2}{4y^2} = \frac{(P'(x))^2}{4P(x)}$.
$y_1^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$2y^3 y_2 + 2P(x) \cdot \frac{(P'(x))^2}{4P(x)} = P(x) P''(x) \implies 2y^3 y_2 + \frac{1}{2} (P'(x))^2 = P(x) P''(x)$.
આમ,$2y^3 y_2 = P(x) P''(x) - \frac{1}{2} (P'(x))^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (2y^3 y_2) = P'(x) P''(x) + P(x) P'''(x) - P'(x) P''(x) = P(x) P'''(x)$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $P(x) P'''(x)$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $y = x + e^x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$.
તેથી,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x} = (1 + e^x)^{-1}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( (1 + e^x)^{-1} \right) = -(1 + e^x)^{-2} \cdot \frac{d}{dy}(1 + e^x)$.
$\frac{d^2x}{dy^2} = -(1 + e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot \frac{dx}{dy}$.
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x}$ મૂકતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{e^x}{(1 + e^x)^2} \cdot \frac{1}{1 + e^x} = -\frac{e^x}{(1 + e^x)^3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2y + y^3 = 2$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(2)$
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ:
$(1)^2 \frac{dy}{dx} + 2(1)(1) + 3(1)^2 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} + 2 + 3 \frac{dy}{dx} = 0$
$4 \frac{dy}{dx} = -2 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$
હવે,$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 \frac{dy}{dx}) + \frac{d}{dx}(2xy) + \frac{d}{dx}(3y^2 \frac{dy}{dx}) = 0$
$(x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx}) + (2x \frac{dy}{dx} + 2y) + (3y^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 6y (\frac{dy}{dx})^2) = 0$
$x=1, y=1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 2(1)(-\frac{1}{2}) + 2(1)(-\frac{1}{2}) + 2(1) + 3(1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 6(1)(-\frac{1}{2})^2 = 0$
$\frac{d^2y}{dx^2} - 1 - 1 + 2 + 3 \frac{d^2y}{dx^2} + 6(\frac{1}{4}) = 0$
$4 \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{3}{2} = 0$
$4 \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{2} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{8}$

(C) આપેલ છે કે $h'(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h''(x) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)$.
કારણ કે $f'(x) = g(x)$,તેથી $g'(x) = f''(x) = -f(x)$.
આ કિંમતો $h''(x)$ માં મૂકતા:
$h''(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$.
$h''(x) = 0$ હોવાથી,$h'(x)$ એક અચળ સંખ્યા $C$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$h(x) = Cx + D$.
$h(0) = 2$ આપેલ હોવાથી,$D = 2$.
$h(1) = 4$ આપેલ હોવાથી,$C(1) + 2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $C = 2$.
આમ,$h(x) = 2x + 2$.
આ $2$ ઢાળ અને $2$ જેટલો $y$-અંતઃખંડ ધરાવતી એક સીધી રેખા છે.

(D) ધારો કે $y = f(e^x)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = f'(e^x) \cdot e^x$.
હવે,ગુણાકારના નિયમ (product rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{dy}{dx}$ નું વિકલન કરીને દ્વિતીય વિકલન શોધીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[f'(e^x) \cdot e^x]$
$= \frac{d}{dx}[f'(e^x)] \cdot e^x + f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$
$= [f''(e^x) \cdot e^x] \cdot e^x + f'(e^x) \cdot e^x$
$= f''(e^x) \cdot e^{2x} + f'(e^x) \cdot e^x$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dx}{dy} \right)^{-1} \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dy} \right)$.
કારણ કે $\frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dy}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{dx}{dy} \right)^{-1} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-3} \cdot \frac{d^2x}{dy^2}$.
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1}$,તેથી $\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-3} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \cdot \frac{d^2x}{dy^2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{d^2x}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$K = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $y = at^2 + 2bt + c$ અને $t = ax^2 + 2bx + c$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$.
$\frac{dy}{dt} = 2at + 2b = 2(at + b)$.
$\frac{dt}{dx} = 2ax + 2b = 2(ax + b)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 2(at + b) \cdot 2(ax + b) = 4(at + b)(ax + b)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left[ \frac{d}{dx}(at + b) \cdot (ax + b) + (at + b) \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) \right]$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = 2(ax + b)$,તેથી $\frac{d}{dx}(at + b) = a \cdot \frac{dt}{dx} = 2a(ax + b)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left[ 2a(ax + b)^2 + (at + b) \cdot a \right] = 8a(ax + b)^2 + 4a(at + b)$.
અંતે,$\frac{d^3y}{dx^3}$ શોધવા માટે ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^3y}{dx^3} = 8a \cdot 2(ax + b) \cdot a + 4a \cdot \frac{d}{dx}(at + b) = 16a^2(ax + b) + 4a \cdot 2a(ax + b) = 16a^2(ax + b) + 8a^2(ax + b) = 24a^2(ax + b)$.

(A) ધારો કે $g(x) = f(x) - f(2x)$. તેથી $g'(x) = f'(x) - 2f'(2x)$.
આપેલ છે કે $g'(1) = 5$,તેથી $f'(1) - 2f'(2) = 5$ --- $(1)$.
આપેલ છે કે $g'(2) = 7$,તેથી $f'(2) - 2f'(4) = 7$ --- $(2)$.
આપણે $x = 1$ આગળ $h(x) = f(x) - f(4x)$ નું વિકલિત શોધવું છે.
$h'(x) = f'(x) - 4f'(4x)$.
$x = 1$ આગળ,$h'(1) = f'(1) - 4f'(4)$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$f'(2) = 7 + 2f'(4)$.
$f'(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$f'(1) - 2(7 + 2f'(4)) = 5$
$f'(1) - 14 - 4f'(4) = 5$
$f'(1) - 4f'(4) = 19$.
આમ,$h'(1) = 19$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = e^{(x+1)^n}$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = e^{(x+1)^n} \cdot n(x+1)^{n-1} = f(x) \cdot n(x+1)^{n-1}$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x) = f'(x) \cdot n(x+1)^{n-1} + f(x) \cdot n(n-1)(x+1)^{n-2}$.
$f'(x)$ ની કિંમત મૂકતા: $f''(x) = f(x) \cdot [n(x+1)^{n-1}]^2 + f(x) \cdot n(n-1)(x+1)^{n-2}$.
$x=1$ માટે,$f(1) = e^{2^n}$.
$f''(1) = e^{2^n} \cdot [n(2)^{n-1}]^2 + e^{2^n} \cdot n(n-1)(2)^{n-2}$.
$f''(1) = e^{2^n} \cdot [n^2 \cdot 2^{2n-2} + n(n-1) \cdot 2^{n-2}]$.
$f''(1) = e^{2^n} \cdot 2^{n-2} [n^2 \cdot 2^n + n(n-1)]$.
આપેલ છે કે $f''(1) = 67 \cdot 2^n \cdot e^{2^n}$.
તેથી,$2^{n-2} [n^2 \cdot 2^n + n^2 - n] = 67 \cdot 2^n$.
$2^{n-2}$ વડે ભાગતા: $n^2 \cdot 2^n + n^2 - n = 67 \cdot 2^2 = 268$.
$n=4$ માટે: $16 \cdot 2^4 + 16 - 4 = 16 \cdot 16 + 12 = 256 + 12 = 268$.
આમ,$n=4$ એ સાચી કિંમત છે.