જો $f(x) = \cos x$ એ $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે હોય,તો મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ શું થશે?

અંતરાલ $[-2, 2]$ માં વક્ર $y = x^3$ માટે,તે બિંદુઓના અભિસંધાન (abscissae) શોધો જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ એ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,જે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ છે.

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a = $ ..............

ધારો કે $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,અને $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ જ્યાં $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ જ્યાં $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ જ્યાં $x>0$,અને $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ જ્યાં $x>0$.
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ દરેક $x>1$ માટે,એક એવું $\alpha \in(1, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ દરેક $x>0$ માટે,એક એવું $\beta \in(0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3}{2}]$ પર વધતું વિધેય છે
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,બધા $x>0$ માટે
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,બધા $x>0$ માટે
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે

જો $c = \frac{1}{2}$ અને $f(x) = 2x - x^2$ હોય,તો $x$ નો અંતરાલ $(a, b)$ જેમાં $f(x)$ માટે લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પડે છે તે કયો છે?

સમય $t$ પર ગતિ કરતી કારનું સ્થાન $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b$ અને $c$ એ $1$ કરતા મોટી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તો સમયના અંતરાલ $[t_{1}, t_{2}]$ દરમિયાન કારની સરેરાશ ઝડપ કયા બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે?