અંતરાલ $[-2, 2]$ માં વક્ર $y = x^3$ ના બિંદુઓનો એબ્સિસિસા (x-યામ),જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ અંતરાલ $[-2, 2]$ માટે છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,તે શોધો:

તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = [x]$ માટે $x \in [5, 9]$ અંતરાલમાં લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો છો?

ધારો કે $f$ એ $[1, 5]$ પર સતત છે અને $(1, 5)$ માં વિકલનીય છે. જો $f(1)=-3$ અને તમામ $x \in (1, 5)$ માટે $f'(x) \ge 9$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

જો વિધેય $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર રોલનું પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય અને $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $p$ અને $q$ ની કિંમત શોધો.

જો $f:[a, b] \rightarrow [c, d]$ એ સતત અને ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય,તો $\frac{d-c}{b-a}$ એ શું છે?

નીચેના વિધેયો ધ્યાનમાં લો:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
તો $[0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કયા વિધેયો માટે લાગુ પડે છે?