વિધેય $f(x) = {e^{ - 2x}}sin 2x$ એ $\left( {0,{\pi \over 2}} \right)$ માં આપલે છે. વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in \left( {0,{\pi \over 2}} \right)\,,$ મેળવો કે જેથી $f'\,(c) = 0$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.

જો $2a + 3b + 6c = 0 $ હોય, તો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$  નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કયા અંતરાલમાં હોય ?

ધારો કે $f:[2,4] \rightarrow R$ એ એવું વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી

$\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1, x \in[2,4]$ જ્યાં $f(2)=\frac{1}{2}$ અને $f(4)=\frac{1}{4}$ છે.

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાને લો.

$(A)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટે. $f(x) \leq 1$

$(B)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટ $f(x) \geq \frac{1}{8}$ તો,

જો વિધેય $f(x)$ એ $[0,2]$ માં મધ્યક માન પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને જો $f(x)=0$ ; $\left| {f'\left( x \right)} \right| \leqslant \frac{1}{2}$ દરેક $x \in \left[ {0,2} \right]$, તો  . . .  

આપલે પૈકી ક્યૂ વિધેય રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે ?

મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ ,$a < x_1 < b$ પર $f(b) -f(a) = (b -a) f '(x_1);$ હોય અને $f(x) = 1/x$ હોય તો  $x_1 = ?$