Differentiation by substitution Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = - \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 + \cos(x/2)}{1 - \cos(x/2)}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ અને $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{2\cos^2(x/4)}{2\sin^2(x/4)}}$
$y = \tan^{-1}\sqrt{\cot^2(x/4)}$
$y = \tan^{-1}(\cot(x/4))$
કારણ કે $\cot(x/4) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{4})$,તેથી:
$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{4})) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4}$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{4}) = 0 - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $y = \tan^{-1}(\sec x + \tan x)$.
આપણે ઇન્વર્સ ટેન્જેન્ટ વિધેયની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sec x + \tan x = \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$,$\cos x = \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})$,અને $1 = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2(\frac{x}{2}) + \sin^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})} = \frac{(\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))^2}{(\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}))(\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))} = \frac{\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})}$.
અંશ અને છેદને $\cos(\frac{x}{2})$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1 + \tan(\frac{x}{2})}{1 - \tan(\frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$.
આમ,$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $y = \cos^{-1}\sqrt{\cos x}$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{\cos x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos x})$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \cos x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}\sqrt{1 - \cos x}}$.
કારણ કે $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - \cos x}\sqrt{1 + \cos x}}{2\sqrt{\cos x}\sqrt{1 - \cos x}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{2\sqrt{\cos x}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 + \cos x}{\cos x}} = \frac{1}{2}\sqrt{\sec x + 1}$.

(B) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{4\sqrt{x}}{1 - 4x} \right)$.
આપણે પદાવલિને $y = \tan^{-1} \left( \frac{2(2\sqrt{x})}{1 - (2\sqrt{x})^2} \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
સૂત્ર $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1} \left( \frac{2\theta}{1 - \theta^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 2\sqrt{x}$ છે.
તેથી $y = 2\tan^{-1}(2\sqrt{x})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + 4x} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x}(1 + 4x)}$.

(A) આપેલ છે $y = \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{\sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,અંશ અને છેદને $(\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x})$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{(\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x})^2}{(a + x) - (a - x)} = \frac{(a + x) + (a - x) - 2\sqrt{a^2 - x^2}}{2x} = \frac{2a - 2\sqrt{a^2 - x^2}}{2x} = \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{x} \dots (i)$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(a - \sqrt{a^2 - x^2}) - (a - \sqrt{a^2 - x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot [0 - \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x)] - (a - \sqrt{a^2 - x^2})}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} - a + \sqrt{a^2 - x^2}}{x^2} = \frac{x^2 - a\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 - x^2}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - a\sqrt{a^2 - x^2}}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a(a - \sqrt{a^2 - x^2})}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a}{x\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \left( \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{x} \right)$
$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{ay}{x\sqrt{a^2 - x^2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદ $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}} = \tan^{-1} \left( \tan \frac{x}{2} \right)$ મળે.
તેથી,$y = \frac{x}{2}$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $y = \frac{a^{\cos^{-1}x}}{1 + a^{\cos^{-1}x}}$ અને $z = a^{\cos^{-1}x}$.
$y$ ના સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = \frac{z}{1 + z}$ મળે છે.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dz}(\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dz} - u \frac{dv}{dz}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dz} = \frac{(1 + z)(1) - z(1)}{(1 + z)^2}$.
$\frac{dy}{dz} = \frac{1 + z - z}{(1 + z)^2} = \frac{1}{(1 + z)^2}$.
$z = a^{\cos^{-1}x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dz} = \frac{1}{(1 + a^{\cos^{-1}x})^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}(\sqrt{x})$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\sqrt{x}))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} \right]$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} \right]$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \pi/4$ અને $B = x$ છે:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan(\pi/4 + x) \right]$.
કારણ કે $\tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$,તેથી:
$y = \pi/4 + x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\pi/4) + \frac{d}{dx}(x) = 0 + 1 = 1$.

(D) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{x}(3 - x)}{1 - 3x} \right)$.
$\sqrt{x} = \tan \theta$ મૂકતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{x})$.
તેથી $x = \tan^2 \theta$,જેથી પદાવલિ $\tan^{-1} \left( \frac{\tan \theta (3 - \tan^2 \theta)}{1 - 3\tan^2 \theta} \right)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(3\theta) = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta$ માં સરળ બને છે.
પાછું મૂકતા,$y = 3\tan^{-1}(\sqrt{x})$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{x}))$
$= 3 \cdot \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$= 3 \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3}{2(1 + x)\sqrt{x}}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1}\left( \frac{a\cos x - b\sin x}{b\cos x + a\sin x} \right)$.
અંશ અને છેદને $b\cos x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\frac{a}{b} - \tan x}{1 + \frac{a}{b}\tan x} \right)$.
ધારો કે $\frac{a}{b} = \tan \theta$,તો $y = \tan^{-1}\left( \frac{\tan \theta - \tan x}{1 + \tan \theta \tan x} \right)$.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}(\tan(\theta - x)) = \theta - x$.
અહીં $\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$ એ અચળ છે,તેથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\frac{a}{b}) - x) = 0 - 1 = -1$.

(A) આપેલ છે $y = \sin(2\sin^{-1}x)$.
ધારો કે $x = \sin\theta$,તો $\theta = \sin^{-1}x$.
આ કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.
કારણ કે $\sin\theta = x$,તેથી $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
આમ,$y = 2x\sqrt{1 - x^2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) + \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) + \sqrt{1 - x^2} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2 + (1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = 2 \left[ \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$.
આ પદાવલિ $y = \sin^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + \sec^{-1} \left( \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
તેથી,$y = \sin^{-1} (\sin 2\theta) + \sec^{-1} \left( \frac{1}{\cos 2\theta} \right) = \sin^{-1} (\sin 2\theta) + \sec^{-1} (\sec 2\theta)$.
મુખ્ય કિંમતની શાખાને ધ્યાનમાં લેતા,$y = 2\theta + 2\theta = 4\theta$.
$\theta = \tan^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $y = 4 \tan^{-1} x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{4}{1 + x^2}$.

(C) ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos^{-1} x$.
પ્રથમ પદ $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sin(\pi/2 - \theta)}{1 + \cos(\pi/2 - \theta)} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi/2 - \theta}{2} \right) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$ છે.
બીજું પદ $y_2 = \sin \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} \right) = \sin \left( 2 \tan^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right) \right) = \sin \theta = \sqrt{1 - x^2}$ છે.
આમ,$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} (-2x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{1 - x^2}}$.

(D) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \right)$.
$x = a \sin \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$.
તેથી,$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} = a \cos \theta$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{a \cos \theta} \right) = \tan^{-1} (\tan \theta) = \theta$.
આમ,$y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$.

(C) ધારો કે $y = \cos^{-1} \sqrt{\frac{1 + x^2}{2}}$.
$x^2 = \cos 2\theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
તેથી,$\sqrt{\frac{1 + x^2}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\theta}{2}} = \sqrt{\frac{2\cos^2 \theta}{2}} = \cos \theta$.
આમ,$y = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(x^2)) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^4}} \right) \cdot 2x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(B) ધારો કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin \phi$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos \theta + \cos \phi = a(\sin \theta - \sin \phi)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) = a \left[ 2 \cos \left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \sin \left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) \right]$
ધારો કે $\cos \left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \neq 0$,બંને બાજુ ભાગતા:
$\cot \left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) = a$
$\frac{\theta - \phi}{2} = \cot^{-1} a \Rightarrow \theta - \phi = 2 \cot^{-1} a$
પાછા $\theta = \sin^{-1} x$ અને $\phi = \sin^{-1} y$ મૂકતા:
$\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = 2 \cot^{-1} a$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}}$.

(C) ધારો કે $y = \sin^{-1}(2ax\sqrt{1 - a^2x^2})$.
$ax = \sin \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1}(ax)$.
તેથી $y = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y = 2 \sin^{-1}(ax)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (ax)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(ax) = \frac{2}{\sqrt{1 - a^2x^2}} \cdot a = \frac{2a}{\sqrt{1 - a^2x^2}}$.

(D) ધારો કે $y = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લો,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$ છે.
તેથી,$\frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos(2\theta)$ થાય.
આમ,$y = \cos^{-1}(\cos(2\theta)) = 2\theta = 2 \tan^{-1} x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2}{1 + x^2}$.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
ધારો કે $\sqrt{1 - x^2} = \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $1 - x^2 = \sin^2 \theta$.
તેથી $x^2 = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$,એટલે કે $x = \cos \theta$ (મુખ્ય કિંમત વિસ્તાર માટે $x > 0$ ધારતા).
આમ,$\theta = \cos^{-1} x$.
આ કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \cos^{-1} x$.
હવે,$y = \cos^{-1} x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(D) આપેલ છે $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}$.
ધારો કે $x = a \cos \theta$,તેથી $\theta = \cos^{-1}(\frac{x}{a})$.
પદમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{a - a \cos \theta}{a + a \cos \theta}} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{\theta}{2}$
$\theta$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$y = \frac{1}{2} \cos^{-1}(\frac{x}{a})$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \right) \cdot \frac{1}{a}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x^x - x^{-x}}{2} \right)$.
ધારો કે $x^x = \tan \theta$. તેથી $x^{-x} = \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$.
આ કિંમત $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{\tan \theta - \cot \theta}{2} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{\tan^2 \theta - 1}{2 \tan \theta} \right)$.
નિત્યસમ $\cot 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\tan^2 \theta - 1}{2 \tan \theta} = -\cot 2\theta$.
તેથી,$f(x) = \cot^{-1} (-\cot 2\theta) = \pi - \cot^{-1} (\cot 2\theta) = \pi - 2\theta$.
કારણ કે $\tan \theta = x^x$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(x^x)$.
આમ,$f(x) = \pi - 2 \tan^{-1}(x^x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + (x^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.
તેથી,$f'(x) = -2 \cdot \frac{x^x(1 + \log x)}{1 + x^{2x}}$.
$x = 1$ માટે,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1^1(1 + \log 1)}{1 + 1^2} = -2 \cdot \frac{1(1 + 0)}{2} = -1$.

(B) ધારો કે $y = \sin^2 \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right)$.
$x = \cos \theta$ લેતા,તેથી $\theta = \cos^{-1} x$.
તેથી $y = \sin^2 \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} \right) = \sin^2 \cot^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right)$.
કારણ કે $\cot^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha$,તેથી $y = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2 \frac{\theta}{2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1}\left( \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \right)$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,જ્યાં $\theta = \sin^{-1} x$.
તેથી $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{1 + \sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} \right) = \tan^{-1}\left( \tan \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{2}$.
$\theta = \sin^{-1} x$ મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{2} \sin^{-1} x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1}\left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$.
ધારો કે $x = \sin \theta$,તેથી $\theta = \sin^{-1} x$.
$y$ ના પદમાં $x = \sin \theta$ મૂકતા:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \right)$
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)$
$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$
કારણ કે $\theta = \sin^{-1} x$,તેથી $y = \sin^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $y = \sin^{-1}(\cos 2\theta)$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 2\theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$ અથવા $\sin\left( 2\theta - \frac{\pi}{2} \right)$ થાય છે,તેથી $y = \frac{\pi}{2} \pm 2\theta$ મળે.
$\theta = \tan^{-1} x$ મૂકતા,$y = \frac{\pi}{2} \pm 2 \tan^{-1} x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \pm 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \pm \frac{2}{1 + x^2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} \right)$.
$x = \cos 2\theta$ મૂકતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{1}{2}\cos^{-1}x$.
પદાવલિમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta} + \sqrt{1-\cos 2\theta}} \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ અને $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2\cos^2\theta} - \sqrt{2\sin^2\theta}}{\sqrt{2\cos^2\theta} + \sqrt{2\sin^2\theta}} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} \right)$
અંશ અને છેદને $\cos\theta$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} \right) = \tan^{-1}(\tan(\pi/4 - \theta))$
આમ,$y = \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(B) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$\theta = \tan^{-1} x$ મળે.
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
તેથી,$y = \tan^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2(1 + x^2)}$ મળે.

(D) ધારો કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1-x}{1+x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{1+x}{\sqrt{4x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-2}{2\sqrt{x}(1+x)} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x)}$.
હવે,ધારો કે $z = \sqrt{x}$. તેથી $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
આપણે $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x)} \div \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x)} \cdot 2\sqrt{x} = \frac{-2}{1+x}$ શોધવાનું છે.
આ પરિણામ વિકલ્પો $A$,$B$ અથવા $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે ${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} \right)$ અને ${y_2} = {\tan ^{ - 1}}x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,તેથી $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$.
તેથી ${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } - 1}}{{\tan \theta }}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sec \theta - 1}}{{\tan \theta }}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\tan \frac{\theta }{2}} \right) = \frac{\theta }{2} = \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$.
હવે,${y_2} = {\tan ^{ - 1}}x$ ની સાપેક્ષે ${y_1}$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d}{{d{y_2}}}\left( {\frac{1}{2}{y_2}} \right) = \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે $y_1 = \tan^{-1}\sqrt{x}$ અને $y_2 = \sqrt{x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $y_1$ નું વિકલન સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{dy_1}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $y_2$ નું વિકલન:
$\frac{dy_2}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
હવે,$y_2$ ની સાપેક્ષમાં $y_1$ નું વિકલન સહગુણક નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{dy_1}{dy_2} = \frac{dy_1/dx}{dy_2/dx} = \frac{\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{1}{1+x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $y = {\sec ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{2{x^2} - 1}}} \right) = {\cos ^{ - 1}}(2{x^2} - 1)$.
$x = \cos \theta$ આદેશ લેતા,$y = {\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2{\cos ^{ - 1}}x$ મળે.
હવે,ધારો કે $z = \sqrt {1 + 3x} $.
આપણે $\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{{dy/dx}}{{dz/dx}}$ શોધવાનું છે.
વિકલન કરતા:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 2 \times \left( { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) = - \frac{2}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$.
$\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt {1 + 3x} }} \times 3 = \frac{3}{{2\sqrt {1 + 3x} }}$.
$x = - \frac{1}{3}$ આગળ,$\sqrt {1 + 3x} = \sqrt {1 + 3(-1/3)} = \sqrt 0 = 0$ થાય.
અહીં $\frac{{dz}}{{dx}}$ માં છેદમાં $\sqrt {1 + 3x}$ હોવાથી,$x = - \frac{1}{3}$ આગળ $\frac{{dz}}{{dx}}$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આવા પ્રશ્નોમાં,જ્યારે અંશનું વિકલન નિશ્ચિત હોય અને છેદ અનંત તરફ જતો હોય,ત્યારે વિકલન $0$ ગણવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $y = {\tan ^{ - 1}}\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} $ અને $z = {\cos ^{ - 1}}({x^2})$.
${x^2} = \cos 2\theta $ આદેશ લો,જ્યાં $0 \le \theta \le \pi/2$.
તેથી $y = {\tan ^{ - 1}}\sqrt {\frac{{1 - \cos 2\theta }}{{1 + \cos 2\theta }}} = {\tan ^{ - 1}}\sqrt {\frac{{2{{\sin }^2}\theta }}{{2{{\cos }^2}\theta }}} = {\tan ^{ - 1}}(\tan \theta ) = \theta $.
તે જ રીતે,$z = {\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta ) = 2\theta $.
આપણે $\frac{{dy}}{{dz}}$ શોધવાનું છે.
અહીં $y = \theta $ અને $z = 2\theta $ હોવાથી,$\frac{{dy}}{{d\theta }} = 1$ અને $\frac{{dz}}{{d\theta }} = 2$ મળે.
તેથી,$\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{{dy/d\theta }}{{dz/d\theta }} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ અને $z = {\sin ^{ - 1}}x$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,જ્યાં $\theta = {\sin ^{ - 1}}x$.
તેથી $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin \theta }}{{1 + \cos \theta }}} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 + \cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}}{{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\tan \frac{\theta}{2}} \right) = \frac{\theta}{2}$.
અહીં $\theta = {\sin ^{ - 1}}x$ હોવાથી,$y = \frac{1}{2}{\sin ^{ - 1}}x$.
હવે,$z$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{d}{{dz}}\left( {\frac{1}{2}z} \right) = \frac{1}{2}$.
આમ,વિકલન સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે.

(C) ધારો કે ${y_1} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,આપણને મળે ${y_1} = {\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2{\tan ^{ - 1}}x$.
તેથી,$\frac{{d{y_1}}}{{dx}} = \frac{2}{{1 + {x^2}}}$.
ધારો કે ${y_2} = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - 3{x^2}}}{{3x - {x^3}}}} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,આપણને મળે ${y_2} = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - 3\tan^2 \theta}}{{3\tan \theta - \tan^3 \theta}}} \right) = {\cot ^{ - 1}}(\cot 3\theta) = 3\theta = 3{\tan ^{ - 1}}x$.
તેથી,$\frac{{d{y_2}}}{{dx}} = \frac{3}{{1 + {x^2}}}$.
તેથી,${y_1}$ નું ${y_2}$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{{d{y_1}/dx}}{{d{y_2}/dx}} = \frac{2/(1 + {x^2})}{3/(1 + {x^2})} = \frac{2}{3}$ થાય.

(D) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right]$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan x}{1 + \tan(\frac{\pi}{4}) \tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} [\tan(\frac{\pi}{4} - x)]$.
યોગ્ય વિસ્તાર માટે $\tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$ હોવાથી:
$y = \frac{\pi}{4} - x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{4} - x) = 0 - 1 = -1$.

(A) આપેલ છે કે $y = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + \cos 2x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x \cdot 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ અને $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x \sqrt{\cos 2x}} = \frac{\tan x}{\sqrt{\cos 2x}}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cos 2(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$.

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}} \right)$.
$x^2 = \cos 2\theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$ અથવા $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
તેથી,$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \cos 2\theta} = \sqrt{2} \cos \theta$ અને $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \cos 2\theta} = \sqrt{2} \sin \theta$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta}{\sqrt{2} \cos \theta - \sqrt{2} \sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \right)$.
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ પાછું મૂકતા:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^4}} \right) \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(C) ધારો કે $x^3 = \sin \theta$ અને $y^3 = \sin \phi$.
તેથી સમીકરણ $\sqrt{1 - \sin^2 \theta} + \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = a^3(\sin \theta - \sin \phi)$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\cos \theta + \cos \phi = a^3(\sin \theta - \sin \phi)$ થાય છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos \frac{\theta + \phi}{2} \cos \frac{\theta - \phi}{2} = 2 a^3 \sin \frac{\theta - \phi}{2} \cos \frac{\theta + \phi}{2}$.
આથી $\cos \frac{\theta + \phi}{2} [\cos \frac{\theta - \phi}{2} - a^3 \sin \frac{\theta - \phi}{2}] = 0$ મળે.
જો $\cos \frac{\theta + \phi}{2} = 0$ હોય,તો $\theta + \phi = \pi$ થાય,જે $x^3 = \sin \theta = \sin(\pi - \phi) = \sin \phi = y^3$ તરફ દોરી જાય છે,એટલે કે $x = y$. મૂળ સમીકરણમાં $x = y$ મૂકતા $2\sqrt{1-x^6} = 0$ મળે છે,જે દરેક $x$ માટે સત્ય નથી.
તેથી,આપણે $\cos \frac{\theta - \phi}{2} - a^3 \sin \frac{\theta - \phi}{2} = 0$ લેવું પડે,અથવા $\cot \frac{\theta - \phi}{2} = a^3$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta - \phi = 2 \cot^{-1}(a^3)$,અથવા $\sin^{-1}(x^3) - \sin^{-1}(y^3) = 2 \cot^{-1}(a^3)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{3x^2}{\sqrt{1 - x^6}} - \frac{3y^2}{\sqrt{1 - y^6}} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2} \sqrt{\frac{1 - y^6}{1 - x^6}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\theta = a + b \cos(x - \alpha)$. આપેલ પદ $y = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b^2}} \cos^{-1} \left( \frac{a \cos(x - \alpha) + b}{\theta} \right)$ છે.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા: $\cos(y \sqrt{a^2 - b^2}) = \frac{a \cos(x - \alpha) + b}{a + b \cos(x - \alpha)}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-\sqrt{a^2 - b^2} \sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{a \cos(x - \alpha) + b}{a + b \cos(x - \alpha)} \right)$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જમણી બાજુનું વિકલન $\frac{-(a^2 - b^2) \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$ મળે છે.
આમ,$-\sqrt{a^2 - b^2} \sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) \frac{dy}{dx} = \frac{-(a^2 - b^2) \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$.
કારણ કે $\sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) = \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\left( \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\theta} = \frac{1}{a + b \cos(x - \alpha)}$.

(D) ધારો કે $t = \frac{2x + 3}{3 - 2x}$. તેથી $y = f(t)$.
ચેઈન રૂલ મુજબ,$\frac{dy}{dx} = f'(t) \cdot \frac{dt}{dx}$.
આપેલ છે કે $f'(x) = \sin(\log x)$,તેથી $f'(t) = \sin(\log t) = \sin\left(\log \frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dt}{dx}$ શોધો:
$\frac{dt}{dx} = \frac{(3 - 2x)(2) - (2x + 3)(-2)}{(3 - 2x)^2} = \frac{6 - 4x + 4x + 6}{(3 - 2x)^2} = \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \sin\left(\log \frac{2x + 3}{3 - 2x}\right) \cdot \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ધારો કે ${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2{x^2} - 1}} \right)$ અને ${y_2} = \sqrt {1 - {x^2}} $.
$x = \cos \theta$ આદેશ લેતા,${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2\cos^2 \theta - 1}} \right) = {\sec ^{ - 1}}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$ મળે.
હવે,${y_1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{{d{y_1}}}{{dx}} = 2 \times \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
${y_2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{{d{y_2}}}{{dx}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
તેથી,વિકલન સહગુણક $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d{y_1}/dx}{d{y_2}/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{-x/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{x}$ થાય.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{2}{1/2} = 4$ મળે.

(D) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$.
કારણ કે $f(1) = 4$,જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે સંકલન $\int_{4}^{4} \frac{2t \, dt}{0}$ બને છે,જે $\frac{0}{0}$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે એલ-હોસ્પિટલનો નિયમ અને લેબનિઝ સંકલનનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} \int_{4}^{f(x)} 2t \, dt}{\frac{d}{dx} (x - 1)}$
લેબનિઝ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} \int_{4}^{f(x)} 2t \, dt = 2f(x) \cdot f'(x)$.
તેથી,$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2f(x) \cdot f'(x)}{1}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $L = 2f(1) \cdot f'(1)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f(1) = 4$,તેથી $L = 2(4) \cdot f'(1) = 8f'(1)$.

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \to 2} \int_{2}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$.
કારણ કે $f(2) = 2$,જ્યારે $x \to 2$ થાય,ત્યારે સંકલન $\int_{2}^{2} \frac{4t^3}{0} dt$ બને છે,જે $\frac{0}{0}$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે લિબનીઝના નિયમ અને એલ'હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{2}^{f(x)} 4t^3 dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$.
લિબનીઝના નિયમ મુજબ: $\frac{d}{dx} \int_{2}^{f(x)} 4t^3 dt = 4(f(x))^3 \cdot f'(x)$.
છેદમાં $\frac{d}{dx} (x - 2) = 1$ મળે છે.
તેથી,$L = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1}$.
$x = 2$ મૂકતા: $L = 4(f(2))^3 \cdot f'(2)$.
આપેલ છે કે $f(2) = 2$,તેથી $L = 4(2)^3 \cdot f'(2) = 4(8) \cdot f'(2) = 32 f'(2)$.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}(\frac{2x}{1 + x^2})$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
જ્યારે $x = -2$,ત્યારે $\theta = \tan^{-1}(-2)$.
પદાવલિ $y = \sin^{-1}(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = -\pi - 2\theta$ બને છે (કારણ કે $2\theta$ એ $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ માં છે).
તેથી $y = -\pi - 2\tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^2}$.
$x = -2$ આગળ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = -2} = -\frac{2}{1 + (-2)^2} = -\frac{2}{1 + 4} = -\frac{2}{5}$.

(A) ધારો કે $u = \sec^{-1}\left( \frac{1}{2x^2 - 1} \right) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$.
$x = \cos \theta$ લેતા,$u = \cos^{-1}(2\cos^2 \theta - 1) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1} x$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = 2 \times \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$.
ધારો કે $v = \sqrt{1 - x^2}$.
તો $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
હવે,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-2/\sqrt{1 - x^2}}{-x/\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{x}$.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$\frac{du}{dv} = \frac{2}{1/2} = 4$.

(D) ધારો કે $L = \lim_{x \to 2} \frac{f(4) - f(x^2)}{2 - x}$.
અહીં $x \to 2$ લેતા લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx}(f(4) - f(x^2))}{\frac{d}{dx}(2 - x)}$
$L = \lim_{x \to 2} \frac{0 - f'(x^2) \cdot (2x)}{-1}$
$L = \lim_{x \to 2} (2x \cdot f'(x^2))$
$x = 2$ મુકતા:
$L = 2(2) \cdot f'(2^2) = 4 \cdot f'(4)$
આપેલ છે કે $f'(4) = 5$,તેથી:
$L = 4 \cdot 5 = 20$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ છે.
આપણે દલીલને $\frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$ મળે છે.
$n$ પદો સુધી સરવાળો કરતા:
$y = \sum_{r=1}^{n} (\tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x+n)) - \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{1 + (x+n)^2} - \frac{1}{1 + x^2}$.

(B) ધારો કે $u = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ અને $v = \sin^{-1} x$.
$x = \cos \theta$ લો,જ્યાં $\theta = \cos^{-1} x$.
તેથી $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$.
આમ,$u = \tan^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
કારણ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$,તેથી $u = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - v) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} v$.
હવે,$u$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} v) = -\frac{1}{2}$.