જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a = $ ..............

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a+3b+6c=0$ અને ધારો કે $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
વિધાન-$I$ : આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ને $(0,1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન-$II$ : $[0,1]$ પર $g(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
તો

જો $f:[a, b] \rightarrow [c, d]$ એ સતત અને ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય,તો $\frac{d-c}{b-a}$ એ શું છે?

ધારો કે $f(x) = |1 - x|$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ અને $g(x) = f(x) + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = [x]$ માટે $x \in [5, 9]$ અંતરાલમાં લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો છો?

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a + 3b + 6c = 0$ અને ધારો કે $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
વિધાન $1:$ દ્વિઘાત સમીકરણને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન $2:$ રોલનું પ્રમેય અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $g(x)$ માટે લાગુ પડે છે.