Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{2h}{R})$ છે,જ્યાં $g = 9.8\, m/s^2$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h = 12\, km = 1.2 \times 10^4\, m$ અને $R = 6400\, km = 6.4 \times 10^6\, m$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા:
$g' = 9.8 \times (1 - \frac{2 \times 12}{6400})$
$g' = 9.8 \times (1 - \frac{24}{6400})$
$g' = 9.8 \times (1 - 0.00375)$
$g' = 9.8 \times 0.99625$
$g' \approx 9.763\, m/s^2$.
આમ,મૂલ્ય આશરે $9.76\, m/s^2$ છે.

(N/A) $1$. પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,કેન્દ્રથી અંતર $r = 0$ હોય છે. પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર પર $d = R$ થાય છે. તેથી,$g_{centre} = g(1 - R/R) = 0$. આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર $g$ નું મૂલ્ય $0 \ m/s^2$ છે.
$2$. સપાટીની નીચે: જેમ આપણે પૃથ્વીમાં ઊંડે જઈએ છીએ (ઊંડાઈ $d$ વધે છે),તેમ $g$ નું મૂલ્ય $g_d = g(1 - d/R)$ સૂત્ર મુજબ રેખીય રીતે ઘટે છે.
$3$. સપાટીની ઉપર: જેમ આપણે સપાટીથી ઉપર જઈએ છીએ (ઊંચાઈ $h$ વધે છે),તેમ $g$ નું મૂલ્ય $h \ll R$ માટે $g_h = g(1 - 2h/R)$ સૂત્ર મુજબ અથવા સામાન્ય રીતે $g_h = gR^2 / (R + h)^2$ મુજબ ઘટે છે. બંને કિસ્સામાં,ઊંચાઈ વધવાની સાથે $g$ ઘટે છે.

(A) હા,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માત્ર પૃથ્વીના દળ અને તેની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પડતા પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે,તમામ પદાર્થો તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે.

(B) $1$. પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે,કારણ કે કેન્દ્ર પર પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
$2$. સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ એ પ્રકૃતિનો મૂળભૂત અચળાંક છે અને તેનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ,પૃથ્વીના કેન્દ્ર સહિત,$6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2/kg^2$ રહે છે.
$3$. ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ એ સદિશ રાશિ છે કારણ કે તેને મૂલ્ય અને દિશા (પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ) બંને હોય છે.
$4$. સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે.

(B) પૃથ્વીના ધ્રુવ પાસે ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પાસે ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પાસે ઉપસેલી છે.
ધ્રુવો પાસે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_p)$,વિષુવવૃત્ત પાસેની ત્રિજ્યા $(R_e)$ કરતા આશરે $21 \, km$ જેટલી ઓછી છે.
સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ મુજબ,ગુરુત્વપ્રવેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(g \propto \frac{1}{R^2})$.
ધ્રુવો પાસે ત્રિજ્યા ઓછી હોવાથી,વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ત્યાં $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે.

(N/A) ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $g \propto \frac{1}{R_e^2}$. પૃથ્વી વિષુવવૃત્ત પાસે થોડી ઉપસેલી છે,જેનો અર્થ છે કે વિષુવવૃત્ત પર ત્રિજ્યા $R_e$ નું મૂલ્ય વધારે છે,પરિણામે ત્યાં $g$ નું મૂલ્ય ઓછું મળે છે. તેનાથી વિપરીત,પૃથ્વી ધ્રુવો પાસે ચપટી છે,જેનો અર્થ છે કે ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R_e$ નું મૂલ્ય ઓછું છે,પરિણામે ત્યાં $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે. આમ,$g$ નું મૂલ્ય અક્ષાંશ સાથે બદલાતું હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી.

(A) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે વિષુવવૃત્તીય ઉપગોળાકાર (oblate spheroid) છે.
વિષુવવૃત્તીય ત્રિજ્યા $(R_e)$ આશરે $6,378 \ km$ છે.
ધ્રુવીય ત્રિજ્યા $(R_p)$ આશરે $6,357 \ km$ છે.
વિષુવવૃત્તીય ત્રિજ્યા અને ધ્રુવીય ત્રિજ્યા વચ્ચેનો તફાવત $\Delta R = R_e - R_p = 6,378 \ km - 6,357 \ km = 21 \ km$ છે.
$1 \ km = 1,000 \ m$ હોવાથી,મીટરમાં તફાવત $21 \times 1,000 \ m = 21,000 \ m$ થાય.

(B) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી છે.
પરિણામે,વિષુવવૃત્ત પર પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e)$ એ ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $(R_p)$ કરતા વધારે છે.
ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
જેથી $g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto \frac{1}{R^2})$,વિષુવવૃત્ત પર ત્રિજ્યા મોટી હોવાથી $g$ નું મૂલ્ય ઓછું મળે છે.
તેથી,જ્યારે આપણે ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત તરફ જઈએ છીએ,ત્યારે $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
જેમ ઊંચાઈ $h$ વધે છે,તેમ $\left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)$ પદનું મૂલ્ય વધે છે,જેના કારણે $g_h$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી,પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર જતાં ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = R_e$ જેટલી ઊંચાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime}$ નું સૂત્ર $g^{\prime} = \frac{GM_e}{(R_e + h)^2}$ છે.
આ સમીકરણમાં $h = R_e$ મૂકતા,આપણને $g^{\prime} = \frac{GM_e}{(R_e + R_e)^2} = \frac{GM_e}{(2R_e)^2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $g^{\prime} = \frac{GM_e}{4R_e^2}$ મળે છે.
કારણ કે $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $g^{\prime} = \frac{g}{4}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $G$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ મળે છે.
જો ત્રિજ્યા $R$ માં ઘટાડો થાય,તો છેદ $R^2$ નું મૂલ્ય ઘટશે.
તેથી,$g$ નું મૂલ્ય વધશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_e = \frac{G M_e}{R_e^2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે નવી ત્રિજ્યા $R'_e = \frac{R_e}{n}$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M_e$ અચળ રહે છે.
સંકોચન પછી નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g'_e = \frac{G M_e}{(R'_e)^2}$ થશે.
$R'_e$ ની કિંમત મૂકતા,$g'_e = \frac{G M_e}{(R_e/n)^2} = \frac{G M_e n^2}{R_e^2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g_e = \frac{G M_e}{R_e^2}$,તેથી $g'_e = n^2 g_e$ થાય.

(B) અક્ષાંશ $\phi$ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,$\phi = 90^\circ$ હોવાથી,$\cos 90^\circ = 0$ થાય છે. તેથી,$g' = g$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
વિષુવવૃત પર,$\phi = 0^\circ$ હોવાથી,$\cos 0^\circ = 1$ થાય છે. તેથી,$g' = g - \omega^2 R$,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R_e \cos^2 \lambda$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર અક્ષાંશ $\lambda = 0^\circ$ હોવાથી,$\cos 0^\circ = 1$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $g' = g - \omega^2 R_e$ મળે છે.
વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગ શૂન્ય કરવા માટે,આપણે $g' = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$0 = g - \omega^2 R_e$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\omega^2 R_e = g$ મળે છે.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{g}{R_e}}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_s = \frac{GM_e m}{R_e^2}$ છે.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_h = \frac{GM_e m}{(R_e + h)^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_h = \frac{1}{3} F_s$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{GM_e m}{(R_e + h)^2} = \frac{1}{3} \frac{GM_e m}{R_e^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(R_e + h)^2 = 3 R_e^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $R_e + h = \sqrt{3} R_e$.
તેથી,$h = \sqrt{3} R_e - R_e = R_e(\sqrt{3} - 1)$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = \frac{GM_e m}{R_e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા બમણી થાય છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $R_e' = 2R_e$ થાય છે.
નવું વજન $W'$ એ $W' = \frac{GM_e m}{(2R_e)^2} = \frac{GM_e m}{4R_e^2}$ દ્વારા મળે છે.
મૂળ વજન $W$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $W' = \frac{W}{4}$ મળે છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન તેના મૂળ વજનના ચોથા ભાગનું થાય છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનું વજન $W = mg = \frac{GM_e m}{R_e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ અચળ રહે અને ત્રિજ્યા અડધી $(R' = \frac{R_e}{2})$ થાય,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે:
$g' = \frac{GM_e}{(R_e/2)^2} = \frac{GM_e}{R_e^2 / 4} = 4 \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right) = 4g$.
તેથી,નવું વજન $W'$:
$W' = mg' = m(4g) = 4W$.
આમ,પદાર્થનું વજન તેના મૂળ વજન કરતા $4$ ગણું થઈ જશે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ છે.
પૃથ્વીનું દળ $M_e = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R_e^3 \rho$ હોવાથી,$g = \frac{G}{R_e^2} (\frac{4}{3} \pi R_e^3 \rho) = \frac{4}{3} \pi G R_e \rho$ મળે.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto R_e$ થાય.
જો નવી ત્રિજ્યા $R_e' = \frac{R_e}{2}$ થાય,તો નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{4}{3} \pi G (\frac{R_e}{2}) \rho = \frac{1}{2} g$ થશે.
વજન $W = mg$ હોવાથી,નવું વજન $W' = m g' = m (\frac{g}{2}) = \frac{W}{2}$ થશે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના પદમાં $M = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi R^3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
તેથી,બે ગ્રહો પરના ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi G R_1 \rho_1}{\frac{4}{3} \pi G R_2 \rho_2} = \frac{R_1 \rho_1}{R_2 \rho_2}$.
આમ,ગુણોત્તર $R_1 \rho_1 : R_2 \rho_2$ થાય છે.

(B) કોઈપણ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 2M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 2R_e$ છે.
આ કિંમતોને ગ્રહના ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2}$
$g_p = \frac{2GM_e}{4R_e^2}$
$g_p = \frac{1}{2} \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right)$
કારણ કે $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$,તેથી આપણને $g_p = \frac{g_e}{2}$ મળે છે.
આમ,ગ્રહ પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ પૃથ્વીના ગુરુત્વપ્રવેગ કરતા અડધો હશે.

(N/A) ધારો કે $m$ દળનો પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ટનલમાં બિંદુ $P$ પર છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર $y$ છે. શેલ પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રથી $y$ અંતરે રહેલા પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ફક્ત $y$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર રહેલા પૃથ્વીના દળને કારણે જ હોય છે.
આ આંતરિક ગોળાનું દળ $M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi y^3$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પૃથ્વીની ઘનતા છે. કારણ કે $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$,તેથી $M' = M \left( \frac{y^3}{R^3} \right)$ મળે.
પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{G M' m}{y^2} = -\frac{G M m y^3}{R^3 y^2} = -\left( \frac{G M m}{R^3} \right) y$ છે.
કારણ કે $g = \frac{G M}{R^2}$,આપણે લખી શકીએ કે $F = -\left( \frac{mg}{R} \right) y$.
આ બળ $F = -ky$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $k = \frac{mg}{R}$ એ અચળાંક છે. પુનઃસ્થાપક બળ એ સ્થાનાંતર $y$ ના સમપ્રમાણમાં અને કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,પદાર્થ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ અક્ષાંશ છે.
જેમ આપણે વિષુવવૃત્ત $(\phi = 0^\circ)$ થી ધ્રુવો $(\phi = 90^\circ)$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ $\cos^2 \phi$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
પરિણામે,પદ $\omega^2 R \cos^2 \phi$ ઘટે છે,જેના કારણે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $(g')$ વધે છે.
તેથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ અને ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.

(A) ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{p})$ નું મૂલ્ય $g_{p} = G M / R^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{e})$ નું મૂલ્ય $g_{e} = g - R_{e} \omega^{2}$ છે,જ્યાં $R_{e}$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણની કોણીય ઝડપ છે.
ધ્રુવો અને વિષુવવૃત્ત વચ્ચે $g$ ના મૂલ્યમાં તફાવત $\Delta g = g_{p} - g_{e}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\Delta g = g - (g - R_{e} \omega^{2})$.
તેથી,$\Delta g = R_{e} \omega^{2}$.

(C) પૃથ્વી ધ્રુવ પ્રદેશ પાસે સહેજ ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પાસે સહેજ ઉપસેલી છે.
સૂત્ર $g = \frac{GM}{R_e^2}$ મુજબ,ગુરુત્વપ્રવેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(g \propto \frac{1}{R_e^2})$.
ધ્રુવ પ્રદેશ પાસે ત્રિજ્યા $(R_p)$ એ વિષુવવૃત્તની ત્રિજ્યા $(R_e)$ કરતા ઓછી હોવાથી,ધ્રુવ પ્રદેશ પર $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે મળે છે $(g_p > g_e)$.

(N/A) પૃથ્વી પર $g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવ પ્રદેશો પર મહત્તમ હોય છે.
કારણો:
$(i)$ વિષુવવૃત્તની સરખામણીએ ધ્રુવ પ્રદેશો પાસે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ થોડી ઓછી છે. સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ મુજબ,ત્રિજ્યા ઓછી હોવાથી $g$ નું મૂલ્ય વધે છે.
$(ii)$ પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતું કેન્દ્રત્યાગી બળ ધ્રુવ પ્રદેશો પર શૂન્ય હોય છે,તેથી ત્યાં ગુરુત્વપ્રવેગમાં કોઈ ઘટાડો થતો નથી.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે,જ્યાં $g$ એ ધરીભ્રમણ વગરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$\omega^2 R \cos^2 \lambda$ પદને કારણે,પૃથ્વીના ધરીભ્રમણથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગમાં ઘટાડો થાય છે.
આ અસર ધ્રુવો પર શૂન્ય (જ્યાં $\lambda = 90^\circ$) અને વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ (જ્યાં $\lambda = 0^\circ$) હોય છે.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી સ્થિર હોય ત્યારનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
જો પૃથ્વી તેનું ભ્રમણ અટકાવી દે,તો $\omega = 0$ થાય.
તેથી,$g$ નું નવું મૂલ્ય $g' = g$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય $R\omega^2$ જેટલા પ્રમાણમાં વધે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સપાટી પર,$g_1 = g_3 > g_2$ છે.
$g_1 = g_3$ માટે,આપણી પાસે $\frac{GM_1}{R_1^2} = \frac{GM_3}{R_3^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_1}{R_1^2} = \frac{M_3}{R_3^2}$.
અહીં $R_1 < R_3$ હોવાથી,$R_1^2 < R_3^2$ થાય,અને તેથી $M_1 < M_3$ મળે.
હવે,$g_1$ અને $g_2$ ની સરખામણી કરતા,$g_1 > g_2$ છે,તેથી $\frac{GM_1}{R_1^2} > \frac{GM_2}{R_2^2}$ થાય.
આલેખ પરથી,$R_1 < R_2$ અને $g_1 > g_2$ હોવાથી,$M_1 > M_2$ મળે છે.
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને $M_3 > M_1 > M_2$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા નાના અવકાશયાનની અંદર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય સમગ્ર આંતરિક ભાગમાં વ્યવહારિક રીતે અચળ રહે છે,અને મુક્ત પતનને કારણે અવકાશયાત્રી ભારહીનતા અનુભવે છે.
જો પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા અવકાશ સ્ટેશનનું કદ મોટું હોય,તો સ્ટેશનના પરિમાણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફાર (ભરતીના બળો) નોંધપાત્ર બને છે. આવા કિસ્સામાં,અવકાશયાનની અંદરનો અવકાશયાત્રી અસમાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનુભવશે અને ગુરુત્વાકર્ષણની હાજરી શોધી શકશે.

(A) ખોટું. $G$ (સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક) એ અદિશ રાશિ છે.
$(b)$ સાચું. $g = \frac{GM}{r^2}$ સૂત્ર ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ પરથી મેળવવામાં આવ્યું છે અને તે તમામ ગોળાકાર અવકાશી પદાર્થો માટે લાગુ પડે છે.
$(c)$ ખોટું. વિષુવવૃત્ત પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો પૃથ્વી પરિભ્રમણ કરવાનું બંધ કરે,તો $\omega = 0$ થાય,તેથી $g' = g$ થાય. કારણ કે $g > (g - R\omega^2)$,તેથી વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય વાસ્તવમાં વધશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે કારણ કે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ ધ્રુવો પર ન્યૂનતમ હોય છે $(R_{pole} < R_{equator})$.
$(2)$ વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય છે કારણ કે વિષુવવૃત્ત પર પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ મહત્તમ હોય છે.
$(3)$ પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર $g$ નું મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે કારણ કે જેમ $r \to 0$ થાય તેમ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર ઘેરાયેલું પૃથ્વીનું દળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-a)$ છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ નું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી,આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$g_h = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2}$.
કારણ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $g_h = \frac{1}{4} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{4}$.
આમ,$h = R$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g/4$ થશે.

(A) 'નાના' અને 'વિસ્તૃત' નો ગુણાત્મક અર્થ પદાર્થના પરિમાણો પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ ના ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.
જો પદાર્થની ઊભી ઊંચાઈ અથવા પરિમાણો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e \approx 6400 \ km)$ ની તુલનામાં ખૂબ જ નાના હોય,તો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રને સમાન ગણવામાં આવે છે અને પદાર્થને 'નાનો' કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે સંપાતી થાય છે.
જો પદાર્થના પરિમાણો એટલા મોટા હોય કે $g$ માં થતો ફેરફાર નોંધપાત્ર બને,તો પદાર્થને 'વિસ્તૃત' કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે સંપાતી ન પણ હોય.
$(1)$ ઇમારત અને તળાવને 'નાના' પદાર્થો ગણવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો ઊભો વિસ્તાર $R_e$ ની તુલનામાં નગણ્ય છે. તેથી,આ માટે ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે સંપાતી થાય છે.
$(2)$ ઊંડું સરોવર અને પર્વત એ 'વિસ્તૃત' પદાર્થોના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમનો ઊભો વિસ્તાર એટલો નોંધપાત્ર છે કે $g$ માં થતા ફેરફારને અવગણી શકાય નહીં. તેથી,આ માટે ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે સંપાતી ન પણ હોય.

(A) ધારો કે $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ,પદાર્થને આકર્ષતું અસરકારક દળ $M_1$ એ $(R-h)$ ત્રિજ્યાના ગોળાનું દળ છે.
$M_1 = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi (R-h)^3 = M \frac{(R-h)^3}{R^3}$.
$h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_P = \frac{G M_1}{(R-h)^2} = \frac{G M (R-h)^3}{R^3 (R-h)^2} = \frac{G M (R-h)}{R^3}$.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_Q = \frac{G M}{(R+h)^2}$.
આપેલ છે કે બંને બિંદુઓ પર વજન સમાન છે,તેથી $g_P = g_Q$.
$\frac{G M (R-h)}{R^3} = \frac{G M}{(R+h)^2}$.
$(R-h)(R+h)^2 = R^3$.
$(R-h)(R^2 + 2Rh + h^2) = R^3$.
$R^3 + 2R^2h + Rh^2 - hR^2 - 2Rh^2 - h^3 = R^3$.
$R^2h - Rh^2 - h^3 = 0$.
$h$ વડે ભાગતા ($h \neq 0$ હોવાથી): $R^2 - Rh - h^2 = 0$.
$h^2 + Rh - R^2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4(1)(-R^2)}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{5R^2}}{2}$.
$h > 0$ હોવાથી,આપણે ધન ઉકેલ લઈશું: $h = \frac{\sqrt{5}R - R}{2}$.

(D) વિષુવવૃત્ત પર અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_e)$ નું સૂત્ર $g_e = g - R\omega^2$ છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
ધ્રુવોથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_h)$ નું સૂત્ર $g_h = g(1 - \frac{2h}{R}) = g - \frac{2gh}{R}$ છે.
આપેલ છે કે બંને સ્થાનો પર વજન સમાન છે,તેથી અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ સમાન હોવો જોઈએ: $g_e = g_h$.
સમીકરણો મૂકતા: $g - R\omega^2 = g - \frac{2gh}{R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R\omega^2 = \frac{2gh}{R}$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{R^2\omega^2}{2g}$.

(D) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_{h} = \frac{GM}{(R+h)^{2}}$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી $g_{1} = \frac{GM}{(R + R/2)^{2}} = \frac{GM}{(3R/2)^{2}} = \frac{4GM}{9R^{2}} \ldots(1)$
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_{d} = g(1 - \frac{d}{R}) = \frac{GM}{R^{2}}(1 - \frac{d}{R}) = \frac{GM(R-d)}{R^{3}} \ldots(2)$
$g_{1} = g_{d}$ હોવાથી,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{4GM}{9R^{2}} = \frac{GM(R-d)}{R^{3}}$
$\frac{4}{9} = \frac{R-d}{R}$
$\frac{4}{9} = 1 - \frac{d}{R}$
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$d$ ઊંડાઈએ પ્રવેગનું મૂલ્ય સપાટીના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણું છે:
$g' = \frac{g}{n}$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = R \left(\frac{n-1}{n}\right)$

(B) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g^{\prime} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_{e}})^2}$
અહીં $h = \frac{R_{e}}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$g^{\prime} = \frac{g}{(1 + \frac{R_{e}/2}{R_{e}})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{g}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{4g}{9} \dots(i)$
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $w = mg = 63 \ N \dots(ii)$
$h = \frac{R_{e}}{2}$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $w^{\prime} = mg^{\prime} = m(\frac{4g}{9}) = \frac{4}{9}mg \dots(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$w^{\prime} = \frac{4}{9} \times 63 = 4 \times 7 = 28 \ N$

(A) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2} \approx 9.8 \, m/s^2$ છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણને ધ્યાનમાં લેતા મુક્ત પતનનો પ્રવેગ $(g_{\text{eff}})$ નું સૂત્ર $g_{\text{eff}} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ છે. વિષુવવૃત્તની નજીક $(\phi = 0)$,આ $g_{\text{eff}} = g - \omega^2 R$ બને છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ અને મુક્ત પતનના પ્રવેગ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta g = g - g_{\text{eff}} = \omega^2 R$ છે.
અહીં $R = 6347 \times 10^3 \, m$ અને પૃથ્વીનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે,જ્યાં $T = 24 \times 3600 \, s$.
$\Delta g = \left(\frac{2\pi}{86400}\right)^2 \times 6347 \times 10^3$.
$\Delta g = \left(\frac{6.283}{86400}\right)^2 \times 6347000 \approx (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 6347000$.
$\Delta g \approx 5.285 \times 10^{-9} \times 6347000 \approx 0.0335 \, m/s^2 \approx 0.0340 \, m/s^2$.

(C) પૃથ્વીની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = \frac{G M r}{R^3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^2} \approx 9.8\, m/s^2$ છે.
આ સૂત્રમાં $g$ ની કિંમત મૂકતા:
$g' = g \times \frac{r}{R}$
આપેલ કિંમતો:
$g = 9.8\, m/s^2$
$r = 2000\, km$
$R = 6400\, km$
ગણતરી કરતા:
$g' = 9.8 \times \frac{2000}{6400}$
$g' = 9.8 \times \frac{20}{64}$
$g' = 9.8 \times 0.3125$
$g' = 3.0625\, m/s^2$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3.06\, m/s^2$ મળે છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ લખી શકાય.
અહીં $\rho_p = \rho_e$ અને $G_p = 2G_e$ આપેલ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_p}{g_e} = \frac{\frac{4}{3} \pi G_p \rho_p R_p}{\frac{4}{3} \pi G_e \rho_e R_e}$ થાય.
જો ત્રિજ્યા સમાન $(R_p = R_e)$ હોય,તો $\frac{g_p}{g_e} = \frac{G_p}{G_e} = \frac{2G_e}{G_e} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ મળે છે.

(D) વિષુવવૃત્ત પરની વસ્તુઓ તરવા લાગે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$mg = m \omega^2 R$
જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
દિવસનો સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$
આપેલ છે $g = 10 \, m/s^2$ અને $R = 6400 \times 10^3 \, m$:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{640000}$
$T = 6.28 \times 800 = 5024 \, s$
સમયગાળાને મિનિટમાં ફેરવવા માટે:
$T_{\text{min}} = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{minutes}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સમયગાળો આશરે $84 \, \text{minutes}$ થાય છે.

(B) ધ્રુવો પર પદાર્થનું વજન $W_p = mg = 49 \, N$ છે.
અહીં $g = 9.8 \, m/s^2$ હોવાથી,પદાર્થનું દળ $m = \frac{49}{9.8} = 5 \, kg$ થાય.
વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g_e = g - R\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T = 24 \times 3600 \, s$ છે.
$R\omega^2 = R \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = 6.4 \times 10^6 \times \left(\frac{2 \times 3.14}{86400}\right)^2 \approx 0.0337 \, m/s^2$.
વિષુવવૃત્ત પર વજન $W_e = m(g - R\omega^2) = 5 \times (9.8 - 0.0337) = 5 \times 9.7663 = 48.8315 \, N$ થાય.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વજન $48.83 \, N$ મળે છે.

(C) ધારો કે $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. બિંદુ $A$ એ પૃથ્વીની અંદર કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે છે. બિંદુ $C$ એ સપાટી $B$ થી $h = 3200 \text{ km} = R/2$ ઊંચાઈ પર છે.
બિંદુ $A$ (પૃથ્વીની અંદર) પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_A = \frac{G M r}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $C$ (પૃથ્વીની બહાર) પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_C = \frac{G M}{(R + h)^2} = \frac{G M}{(R + R/2)^2} = \frac{G M}{(3R/2)^2} = \frac{4 G M}{9 R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g_A = g_C$,તેથી આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{G M r}{R^3} = \frac{4 G M}{9 R^2}$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{4 R}{9}$.
આમ,$OA = r = \frac{4 R}{9}$.
અંતર $AB = R - r = R - \frac{4 R}{9} = \frac{5 R}{9}$.
તેથી,ગુણોત્તર $OA : AB = \frac{4 R}{9} : \frac{5 R}{9} = 4 : 5$.
જેથી ગુણોત્તર $x : y = 4 : 5$ હોવાથી,$x$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $r$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_{up} = \frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $r$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_{down} = g(1 - \frac{r}{R_{E}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $r$ અને ઊંચાઈ $r$ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_{down}}{g_{up}} = \frac{g(1 - \frac{r}{R_{E}})}{\frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}} = (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}$.
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}})$
$= 1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r}{R_{E}} - \frac{2r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$
$= 1 + \frac{r}{R_{E}} - \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$.

(D) આપેલ છે કે ગ્રહની ઘનતા પૃથ્વીની ઘનતા જેટલી છે,$\rho_p = \rho_e$.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{M_p}{R_p^3} = \frac{M_e}{R_e^3}$ છે.
આ સૂચવે છે કે $\frac{R_p}{R_e} = \left(\frac{M_p}{M_e}\right)^{1/3}$.
$M_p = 2 M_e$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\frac{R_p}{R_e} = 2^{1/3}$ મળે છે.
પદાર્થનું વજન $W = mg = m \frac{GM}{R^2}$ છે.
તેથી,$\frac{W_p}{W_e} = \frac{M_p}{M_e} \left(\frac{R_e}{R_p}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{W_p}{W_e} = 2 \times \left(\frac{1}{2^{1/3}}\right)^2 = 2 \times 2^{-2/3} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
આમ,$W_p = 2^{1/3} W$.

(B) ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થનું વજન $W' = m g'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ પર વજન સપાટી પરના વજનના $\frac{1}{3}$ ગણું છે,તેથી $m g' = \frac{1}{3} m g$,જેનો અર્થ છે કે $g' = \frac{g}{3}$.
$g'$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે $g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \frac{g}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{R}{R+h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
સમીકરણને ગોઠવતા,$R+h = R\sqrt{3}$,તેથી $h = R(\sqrt{3} - 1)$.
$R = 6400 \, km$ અને $\sqrt{3} = 1.732$ ની કિંમતો મૂકતા,$h = 6400 \times (1.732 - 1) = 6400 \times 0.732$.
$h = 4684.8 \, km \approx 4685 \, km$.

(D) ધારો કે $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. પૃથ્વીનો વ્યાસ $2R$ છે.
આપેલ છે કે સપાટીથી ઉપર બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h$ એ પૃથ્વીના વ્યાસ જેટલી છે,તેથી $h = 2R$.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r = R + h = R + 2R = 3R$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ છે.
સમીકરણમાં $r = 3R$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g' = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2}$.
કારણ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,આપણે લખી શકીએ:
$g' = \frac{1}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{9}$.

(D) પરિભ્રમણ કરતી પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g')$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $(g)$ અને કેન્દ્રત્યાગી પ્રવેગ $(rw^2)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય $g' = \sqrt{g^2 + (rw^2)^2 - 2g(rw^2)\cos\theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ અક્ષાંશ છે.
જેમ આપણે ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત તરફ જઈએ છીએ,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય બદલાય છે કારણ કે કેન્દ્રત્યાગી ઘટક અક્ષાંશ $\theta$ સાથે બદલાય છે.
વધુમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગની દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોતી નથી,સિવાય કે ધ્રુવો અને વિષુવવૃત્ત પર.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે મૂલ્ય બદલાય છે અને દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોતી નથી.
કારણ $R$ જણાવે છે કે વિષુવવૃત્ત પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગની દિશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. આ સાચું છે કારણ કે વિષુવવૃત્ત પર,કેન્દ્રત્યાગી પ્રવેગ $(rw^2)$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ નિર્દેશિત હોય છે,અને ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $(g)$ ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ નિર્દેશિત હોય છે. તેમનું પરિણામી,અસરકારક પ્રવેગ $(g')$,પણ પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $(r)$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r \leq R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$. અહીં,$g$ એ $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(g \propto r)$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r \geq R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$. અહીં,$g$ એ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(g \propto 1/r^2)$,જે પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ $r = R$ સુધી રેખીય વધારો અને $r > R$ માટે અરેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.