Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર અને નીચે $h$ અંતરે પદાર્થનું વજન સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_h)$ અને $h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_d)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ છે.
$h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$.
$\frac{1}{(1 + h/R)^2} = 1 - \frac{h}{R}$.
ધારો કે $x = \frac{h}{R}$. તો $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - x$.
$1 = (1-x)(1+x)^2 = (1-x)(1 + 2x + x^2) = 1 + x - x^2 - x^3$.
$x^3 + x^2 - x = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$x^2 + x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
તેથી,$h = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} R = \frac{\sqrt{5} R - R}{2}$.

(A) ધારો કે $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સપાટીથી ઉપરના બિંદુની ઊંચાઈ છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_E + h$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{G M_E}{r} = -5.12 \times 10^7 \,J/kg$ ... $(i)$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{G M_E}{r^2} = 6.4 \,m/s^2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{g'} = \frac{-G M_E / r}{G M_E / r^2} = -r$
$r = -\frac{V}{g'} = -\frac{-5.12 \times 10^7}{6.4} = 0.8 \times 10^7 \,m = 8000 \,km$
કારણ કે $r = R_E + h$, તેથી $h = r - R_E = 8000 \,km - 6400 \,km = 1600 \,km$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{g}{4}$ થશે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\ell = 4 \ m$ અને $g' = \frac{g}{4}$ કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{g}}$ મળે.
$g = \pi^2 \ ms^{-2}$ આપેલ હોવાથી,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \left( \frac{4}{\pi} \right) = 8 \ s$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$ છે.
અહીં $h = 2R$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left(1 + \frac{2R}{R}\right)^{-2} = g(1 + 2)^{-2} = g(3)^{-2} = \frac{g}{9}$.
$g = 10 \,ms^{-2}$ હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગ $g' = \frac{10}{9} \,ms^{-2}$ થાય.
$m = 90 \,kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F = m \times g' = 90 \times \frac{10}{9} = 100 \,N$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell (R+h)^2}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+h)$.
ઊંચાઈ $h_1 = R$ માટે,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (2R)$.
ઊંચાઈ $h_2 = 2R$ માટે,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+2R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (3R)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3T_1 = 2T_2$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W_s = mg_s = 300 \,N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે, જ્યાં $g_s$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ઊંડાઈ $d = R/4$ આપેલ છે, તેથી:
$g_d = g_s \left(1 - \frac{R/4}{R}\right)$
$g_d = g_s \left(1 - \frac{1}{4}\right)$
$g_d = g_s \left(\frac{3}{4}\right)$
$d$ ઊંડાઈએ પદાર્થનું વજન $W_d = mg_d$ થાય.
$g_d$ ની કિંમત મૂકતા:
$W_d = m \times \left(\frac{3}{4} g_s\right)$
$W_d = \frac{3}{4} \times (mg_s)$
$mg_s = 300 \,N$ હોવાથી:
$W_d = \frac{3}{4} \times 300 \,N = 225 \,N$.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8 \ m \ s^{-2}$.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M' = \frac{M}{10}$ અને ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ છે (કારણ કે વ્યાસ અડધો છે,તેથી ત્રિજ્યા પણ અડધી થાય).
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{R'^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $g' = \frac{G(M/10)}{(R/2)^2} = \frac{GM/10}{R^2/4} = \frac{4}{10} \frac{GM}{R^2}$.
આમ,$\frac{GM}{R^2} = 9.8 \ m \ s^{-2}$ હોવાથી,$g' = 0.4 \times 9.8 \ m \ s^{-2} = 3.92 \ m \ s^{-2}$ મળે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = R + h$ છે.
આપેલ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_p}{g_Q} = \frac{GM / r_p^2}{GM / r_Q^2} = \left( \frac{r_Q}{r_p} \right)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{36}{25} = \left( \frac{r_Q}{r_p} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{r_Q}{r_p} = \frac{6}{5} \implies r_Q = \frac{6}{5} r_p$
અહીં $r_p = R + h_p = R + R/3 = 4R/3$ હોવાથી:
$r_Q = \frac{6}{5} \times \left( \frac{4R}{3} \right) = \frac{24R}{15} = \frac{8R}{5}$
હવે,$r_Q = R + h_Q$ હોવાથી:
$R + h_Q = \frac{8R}{5}$
$h_Q = \frac{8R}{5} - R = \frac{3R}{5}$

(B) આપેલ છે: $R_p = \frac{R_e}{10}$,$\rho_p = \rho_e$,$\lambda = 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$,$g_e = 10 \ m \ s^{-2}$,$R_e = 6 \times 10^6 \ m$.
ઘનતા સમાન હોવાથી,$M_p = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R_p^3 = \frac{M_e}{10^3}$.
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p = \frac{G M_p}{R_p^2} = \frac{G (M_e / 10^3)}{(R_e / 10)^2} = \frac{G M_e}{10 R_e^2} = \frac{g_e}{10} = \frac{10}{10} = 1 \ m \ s^{-2}$.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g(r) = g_p \frac{r}{R_p}$ છે.
તાર $r = R_p - \frac{R_p}{5} = \frac{4R_p}{5}$ થી $r = R_p$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
તારને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ તારનું વજન છે: $F = \int_{4R_p/5}^{R_p} \lambda \cdot g(r) \, dr = \int_{4R_p/5}^{R_p} \lambda \frac{g_p}{R_p} r \, dr$.
$F = \frac{\lambda g_p}{R_p} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{4R_p/5}^{R_p} = \frac{\lambda g_p}{2R_p} \left( R_p^2 - \frac{16R_p^2}{25} \right) = \frac{\lambda g_p}{2R_p} \left( \frac{9R_p^2}{25} \right) = \frac{9 \lambda g_p R_p}{50}$.
કિંમતો મૂકતા: $R_p = \frac{6 \times 10^6}{10} = 6 \times 10^5 \ m$.
$F = \frac{9 \times 10^{-3} \times 1 \times 6 \times 10^5}{50} = \frac{5400}{50} = 108 \ N$.

(A) પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ પર,દળ $M' = 4M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{G(4M)}{(2R)^2} = \frac{4GM}{4R^2} = \frac{GM}{R^2} = g$ થાય છે.
બંને જગ્યાએ ગુરુત્વપ્રવેગ સમાન હોવાથી,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સમાન રહે છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
લોલકના ગોળાનું દળ સાદા લોલકના આવર્તકાળને અસર કરતું નથી. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
જોકે,આવર્તકાળ સમાન હોવાનું કારણ બંને ગ્રહો પર $g$ ની સમાનતા છે,લોલકનું દળ નહીં. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R_e^2}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વ્યાસ તેના મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ભાગનો કરવામાં આવે છે,તેથી ત્રિજ્યા $R_e$ પણ તેના મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ભાગની થાય છે,એટલે કે $R' = R_e / 3$.
દળ $M$ અપરિવર્તિત રહે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = \frac{GM}{(R_e/3)^2} = \frac{GM}{R_e^2 / 9} = 9 \left( \frac{GM}{R_e^2} \right) = 9g$
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $9g$ થશે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}},$ જેનો અર્થ છે કે જેમ $g$ વધે તેમ આવર્તકાળ ઘટે છે અને જેમ $g$ ઘટે તેમ આવર્તકાળ વધે છે.
પર્વતની ટોચ પર,પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ ધન હોય છે,અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $g_h < g_0$ (જ્યાં $g_0$ એ પાયા/સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે),પર્વતની ટોચ પર $g$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય છે.
કારણ કે ટોચ પર $g$ ઓછું છે,તેથી પર્વતની ટોચ પર આવર્તકાળ $T$ એ પાયાની સરખામણીમાં વધારે હશે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 48 \ N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{3}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{3}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{4R}{3}} \right)^2 = g \left( \frac{3}{4} \right)^2 = g \left( \frac{9}{16} \right)$.
$h$ ઊંચાઈએ વજન $W' = mg' = mg \left( \frac{9}{16} \right)$ થશે.
$mg = 48 \ N$ મૂકતા:
$W' = 48 \times \frac{9}{16} = 3 \times 9 = 27 \ N$.

(B) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_E)$ નું સૂત્ર $g_E = g_P - \omega^2 R$ છે,જ્યાં $g_P$ એ ધ્રુવો પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પરનું વજન ધ્રુવો પરના વજન કરતા અડધું છે,તેથી $g_E = \frac{g_P}{2}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{g_P}{2} = g_P - \omega^2 R$.
$\omega$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\omega^2 R = g_P - \frac{g_P}{2} = \frac{g_P}{2}$.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{g_P}{2R}}$.
$g_P = 9.8 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ લેતા:
$\omega = \sqrt{\frac{9.8}{2 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{9.8}{12.8 \times 10^6}} = \sqrt{0.7656 \times 10^{-6}} \approx 8.75 \times 10^{-4} \ rad/s$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. $r < R$ માટે (પૃથ્વીની અંદર): $g_{in} = \frac{GMr}{R^3}$. આમ, $g$ એ $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. જેમ $r$ એ $0$ થી $R$ સુધી વધે છે, તેમ $g$ વધે છે. તેથી, વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
$2$. $r = 0$ પર (પૃથ્વીનું કેન્દ્ર): $g = 0$. તેથી, વિધાન $(c)$ સાચું છે.
$3$. $r > R$ માટે (પૃથ્વીની બહાર): $g_{out} = \frac{GM}{r^2}$. આમ, જેમ $r$ વધે છે તેમ $g$ ઘટે છે. તેથી, વિધાન $(a)$ સાચું છે.
$4$. વિષુવવૃત્ત પર અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ છે. જો પૃથ્વી ફરવાનું બંધ કરે $(\omega = 0)$, તો $g' = g$ થાય. કારણ કે $g - \omega^2 R < g$, તેથી પૃથ્વી ફરવાનું બંધ કરે ત્યારે વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય વધે છે. તેથી, વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાનો $(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ $g$ હેઠળ પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા કણ માટે ઉડ્ડયન સમય $t$ નું સૂત્ર $t = \frac{2u}{g}$ છે.
બંને કણો સમાન પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવ્યા હોવાથી,આપણી પાસે $u = \frac{g_1 t_1}{2}$ અને $u = \frac{g_2 t_2}{2}$ છે.
$u$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{g_1 t_1}{2} = \frac{g_2 t_2}{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $g_1 t_1 = g_2 t_2$ મળે છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $G$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto R^{-2}$. વિકલન લેતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$. આપેલ છે કે $\frac{\Delta R}{R} = -2 \%$,તેથી $\frac{\Delta g}{g} = -2(-2 \%) = +4 \%$. આમ,$g$ માં $4 \%$ નો વધારો થાય છે.
પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે. જો $L$ અચળ રહેતું હોય,તો $K \propto \frac{1}{I}$. $I = \frac{2}{5} MR^2$ હોવાથી,$I \propto R^2$. તેથી,$K \propto R^{-2}$. વિકલન લેતા,$\frac{\Delta K}{K} = -2 \frac{\Delta R}{R}$. આપેલ છે કે $\frac{\Delta R}{R} = -2 \%$,તેથી $\frac{\Delta K}{K} = -2(-2 \%) = +4 \%$. આમ,$K$ માં $4 \%$ નો વધારો થાય છે. તેથી,$g$ અને $K$ બંનેમાં $4 \%$ નો વધારો થાય છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈ પર,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+2R)^2} = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2} = \frac{g}{9}$ દ્વારા મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 3 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 3T$ છે.
$T' = 3T$ ને $T' = xT$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{r^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ ને તેની ઘનતા $\varrho$ અને ત્રિજ્યા $r$ ના પદમાં $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \varrho)}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G r \varrho$.
આમ,$g \propto r \varrho$ થાય.
ગ્રહ $A$ માટે,$g_A \propto r_1 \varrho_1$.
ગ્રહ $B$ માટે,$g_B \propto r_2 \varrho_2$.
તેથી,ગ્રહ $A$ અને $B$ ના ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_A}{g_B} = \frac{r_1 \varrho_1}{r_2 \varrho_2}$ થાય.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે,જ્યાં $g_s$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g_s}{n}$,તેથી:
$\frac{g_s}{n} = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g_s$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = \frac{GMm}{R^2} = 45 \ N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$h = \frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ એ સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $h = \frac{R}{2}$ મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
ઊંચાઈ $h$ પર વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ થાય.
$W = 45 \ N$ મૂકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 45 = 4 \times 5 = 20 \ N$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર છે: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g}{n}$,તેથી:
$\frac{g}{n} = g(1 - \frac{d}{R})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,$d = \frac{R(n-1)}{n}$.

(A) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $L$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{g}$ થાય.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$g_s = g$ છે.
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $d = R/3$,તેથી $g_d = g \left(1 - \frac{R/3}{R}\right) = g \left(1 - 1/3\right) = \frac{2}{3}g$.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n \sqrt{\frac{g_d}{g_s}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$n' = n \sqrt{\frac{(2/3)g}{g}} = n \sqrt{2/3}$.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પર વજન તેના વર્તમાન મૂલ્યના $\frac{1}{6}$ ગણું થાય છે,આપણે ધારીએ છીએ કે વર્તમાન વજન આશરે $mg$ છે.
તેથી,$g' = \frac{1}{6} g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{6} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ માટે ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{1}{6} g = \frac{5}{6} g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \sqrt{\frac{5g}{6R}}$.
તેથી,જરૂરી કોણીય ઝડપ $\sqrt{\frac{5}{6} \frac{g}{R}}$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{n}$,તેથી આપણે લખી શકીએ: $\frac{g}{n} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{R}{R+h}$.
$h$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $R+h = R \sqrt{n}$.
તેથી,$h = R \sqrt{n} - R = R(\sqrt{n}-1)$.

(B) $h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W_h = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનું વજન છે.
આપેલ છે કે $W_h = \frac{1}{16} W$,તેથી:
$\frac{1}{16} W = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{4} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 4R$
$h = 3R$
તેથી,જે ઊંચાઈએ વજન સપાટી પરના વજનના $\frac{1}{16}$ ગણું થાય છે તે ઊંચાઈ $3R$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{3}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$.
$h$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$R + h = \sqrt{3} R$.
$h = \sqrt{3} R - R$.
$h = (\sqrt{3} - 1) R$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર લોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $d$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું સૂત્ર $g_{eff} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
$d = \frac{R}{4}$ માટે,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g \left(1 - \frac{R/4}{R}\right) = g \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} g$ થાય.
ઊંડાઈ $d$ પર આવૃત્તિ $f_d = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{l}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}$ છે.
નવી આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ $n$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_d}{n} = \frac{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}}{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_d = \frac{\sqrt{3}}{2} n$ થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $g$ નું મૂલ્ય $64 \%$ ઘટે છે,તેથી બાકી રહેલું મૂલ્ય $g_h = (100 \% - 64 \%) \text{ of } g = 36 \% \text{ of } g = 0.36g$ થાય.
તેથી,$\frac{g_h}{g} = 0.36 = \frac{36}{100}$.
$g$ અને $g_h$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{36}{100}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R}{R+h} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5R = 3(R+h) = 3R + 3h$.
$2R = 3h$.
$h = \frac{2}{3} R$.

(B) ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g}{n-1}$,તેથી:
$\frac{g}{n-1} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n-1} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n-1}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1-1}{n-1} = \frac{n-2}{n-1}$.
તેથી,$d = R\left(\frac{n-2}{n-1}\right)$.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$,આપણે લખી શકીએ $g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi R \rho G$.
આપેલ છે કે $g$ પૃથ્વી અને ગ્રહ બંને માટે સમાન છે,તેથી $R_e \rho_e = R_p \rho_p$.
અહીં,$R_e = R$ અને $\rho_p = 3 \rho_e$.
આ કિંમતો મૂકતા: $R \times \rho_e = R_p \times (3 \rho_e)$.
તેથી,$R_p = \frac{R}{3}$.

(D) પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(h=0)$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.
જ્યારે આપણે $h_1$ ઊંડાઈની ખાણમાં જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_1 = g(1 - h_1/R)$ થાય છે,તેથી $W_1 = mg(1 - h_1/R) < W_2$.
જ્યારે આપણે $h_3$ ઊંચાઈના પર્વતની ટોચ પર જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_3 = g(1 - 2h_3/R)$ થાય છે,તેથી $W_3 = mg(1 - 2h_3/R) < W_2$.
ચૂકવણી $W_2$ એ સપાટી પરનું વજન હોવાથી,તે $W_1$ અને $W_3$ બંને કરતા વધારે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $W_1 < W_2 > W_3$ છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ગ્રહની ઘનતા $\rho_p = 2 \rho_e$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_p = g_e$ છે.
ગ્રહ અને પૃથ્વી માટેના સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4}{3} \pi \rho_p G R_p = \frac{4}{3} \pi \rho_e G R_e$
$\rho_p R_p = \rho_e R_e$
$\rho_p = 2 \rho_e$ અને $R_e = R$ મૂકતા:
$(2 \rho_e) R_p = \rho_e R$
$2 R_p = R$
$R_p = \frac{R}{2}$

(A) અક્ષાંશ $\theta$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \theta$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\theta = 0^\circ$ હોવાથી,$\cos 0^\circ = 1$ થાય. તેથી,$g' = g - R\omega^2$.
આપેલ છે કે વજન તેના વર્તમાન મૂલ્યના $\frac{3}{5}$ ગણું થાય છે,તેથી અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g'$ એ $\frac{3}{5}g$ હોવું જોઈએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{5}g = g - R\omega^2$.
પદોને ગોઠવતા: $R\omega^2 = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{2g}{5R}$,જે આપણને $\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$ આપે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 72 \ N$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ નું સૂત્ર: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g_h = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$.
$h$ ઊંચાઈએ વજન $W_h = m g_h = m \left( \frac{4}{9} g \right) = \frac{4}{9} W$ થાય.
$W = 72 \ N$ મૂકતા:
$W_h = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(C) પૃથ્વીના વિષુવવૃત્ત પર રહેલા કણની રેખીય ઝડપ $V = R \omega$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
$\theta$ અક્ષાંશ પર,કણ $r = R \cos \theta$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
$\theta$ અક્ષાંશ પર કણની રેખીય ઝડપ $V'$ એ $V' = r \omega = (R \cos \theta) \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 30^{\circ}$ મૂકતા:
$V' = R \omega \cos 30^{\circ} = R \omega \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
કારણ કે $V = R \omega$,તેથી $V' = \frac{\sqrt{3}}{2} V$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાણે ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં ઊંડાણ $d = \frac{R}{2}$ આપેલું છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 300 \ N$ છે.
$d$ ઊંડાણે પદાર્થનું વજન $W_d = mg_d$ થાય.
$g_d = \frac{g}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $W_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{1}{2} \times mg = \frac{1}{2} \times 300 \ N = 150 \ N$.

(B) કોઈપણ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
જ્યાં ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા ગોળાનું દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ થાય છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto R$ થાય છે.
પૃથ્વી માટે,$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
ગ્રહ માટે,ત્રિજ્યા $R_p = 3R$ અને ઘનતા $\rho_p = \rho$ છે.
તેથી,ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_n = \frac{4}{3} \pi G \rho (3R) = 3 \cdot (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 3g$ થાય.
$g_n = x \cdot g$ ને $g_n = 3g$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થનું વજન $W_h = m g_h$ અને સપાટી પર $W = m g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $W_h = \frac{W}{9}$,તેથી $m g_h = \frac{m g}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $g_h = \frac{g}{9}$.
ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ અને સપાટી પર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
આ કિંમતોને $g_h = \frac{g}{9}$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{GM}{R^2}$
$\frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{9 R^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{3 R}$
$R + h = 3 R$
$h = 2 R$
તેથી,ઊંચાઈ $2 R$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_d = \frac{g}{2n}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{2n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{2n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{2n - 1}{2n}$.
તેથી,$d = R \left(\frac{2n - 1}{2n}\right)$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં આપેલી ઊંડાઈ $d = \frac{R}{3}$ છે.
સૂત્રમાં $d$ ની કિંમત મૂકતા:
$g_d = g(1 - \frac{R/3}{R})$
$g_d = g(1 - \frac{1}{3})$
$g_d = g(\frac{2}{3})$
તેથી,તે ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{2g}{3}$ થશે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $d$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના પદમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી $g$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 d \right) = \frac{4}{3} \pi G R d$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto R \cdot d$.
આપેલ ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{x}{y}$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$ હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{d_1}{d_2} = \frac{x}{y} \times \frac{m}{n} = \frac{xm}{yn}$.
આમ,ગુણોત્તર $mx : ny$ થાય છે.

(C) ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ (જ્યાં $h \ll R$) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_d$ અને $g_h$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{g(1 - \frac{d}{R})}{g(1 - \frac{2h}{R})}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{\frac{R-d}{R}}{\frac{R-2h}{R}} = \frac{R-d}{R-2h}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વી $R$ ત્રિજ્યા અને સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતો ગોળો હોવાથી,તેનું દળ $M$ ને $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$M$ ની કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $g = \frac{4}{3} \pi \rho GR$ મળે છે.

(A) કોઈપણ અક્ષાંશ $\phi$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 \phi$ છે,જ્યાં $g_{0}$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે (પરિભ્રમણને અવગણતા).
વિષુવવૃત્ત પર,$\phi = 0^{\circ}$,તેથી $g = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 0^{\circ} = g_{0} - R \omega^2$.
અક્ષાંશ $\phi = 30^{\circ}$ પર,$g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 30^{\circ} = g_{0} - R \omega^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2$.
હવે,તફાવત $|g - g_{\phi}|$ ની ગણતરી કરતા:
$|g - g_{\phi}| = |(g_{0} - R \omega^2) - (g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2)|$
$|g - g_{\phi}| = |-\frac{1}{4} R \omega^2| = \frac{1}{4} R \omega^2$.

(B) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે $\theta$ અક્ષાંશ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime} = g - R \omega^2 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\theta = 0^{\circ}$ છે,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_e = g - R \omega^2$ થાય.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\theta = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\cos 90^{\circ} = 0$.
આમ,ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p = g$ થાય.
ધ્રુવ અને વિષુવવૃત્ત વચ્ચે ગુરુત્વપ્રવેગનો તફાવત $g_p - g_e = g - (g - R \omega^2) = R \omega^2$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહનું દળ $M = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ હોવાથી,આપણે તેને ગુરુત્વાકર્ષણના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto \rho R$.
આપેલ છે કે $g_m = \frac{1}{6} g_e$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$.
પ્રમાણસરતા $g \propto \rho R$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m R_m}{\rho_e R_e}$
$\frac{1}{6} = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{R_m}{R_e} \right)$
$\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$
તેથી,$R_m = \frac{5}{18} R_e$.

(A) આપેલ છે: $\rho_A : \rho_B = 8 : 1$ અને $M_A = M_B = M$.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ હોવાથી,$\rho \propto \frac{1}{R^3}$ મળે.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3 = 8$.
ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_B}{R_A} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{g_A}{g_B} = \frac{GM/R_A^2}{GM/R_B^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{g_A}{g_B} = (2)^2 = 4$.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.