Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(D) પદાર્થનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,પદાર્થનું વજન ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે: $\frac{W_{earth}}{W_{planet}} = \frac{9}{4} = \frac{g_{earth}}{g_{planet}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$.
અહીં $\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \cdot \frac{R_p^2}{R_e^2}$.
આપેલ છે કે $M_p = \frac{M_e}{9}$,તેથી $\frac{M_e}{M_p} = 9$.
તેથી,$\frac{9}{4} = 9 \cdot \frac{R_p^2}{R^2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{R_p^2}{R^2} \implies \frac{R_p}{R} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_p = \frac{R}{2}$.

(B) જ્યારે $m$ દળનો કણ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર રહેલા પૃથ્વીના દળને કારણે હોય છે. ધારો કે આ દળ $M'$ છે.
આ આંતરિક ગોળાનું કદ $V' = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,દળ $M' = \rho V' = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$ દ્વારા મળે છે.
$r$ અંતરે $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{G M' m}{r^2}$
$M'$ ની કિંમત મૂકતા:
$F = \frac{G m}{r^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$F = \left( \frac{4}{3} \pi G \rho \right) m r$

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે $d = 200 \ km$ માટે $g_h = g_d$ છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$
બંને બાજુથી $g$ અને $1$ ને દૂર કરતા:
$-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$2h = d$
$h = \frac{d}{2}$
$d = 200 \ km$ કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{200}{2} = 100 \ km$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ માં ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. $r > R$ માટે (પૃથ્વીની બહાર): $g = \frac{GM}{r^2}$. આમ,$r$ વધતા $g$ ઘટે છે.
$2$. $r < R$ માટે (પૃથ્વીની અંદર): $g = \frac{GMr}{R^3}$. આમ,કેન્દ્ર તરફ જતાં ($r$ ઘટતા) $g$ ઘટે છે.
$3$. પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર $(r = 0)$: $g = 0$.
$4$. પરિભ્રમણની અસર: અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે. જો પૃથ્વી ફરતી બંધ થઈ જાય $(\omega = 0)$,તો $g' = g$ થાય. અગાઉ $g$ ની કિંમત $g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ હતી,તેથી $g$ ની કિંમતમાં વધારો થાય છે (ધ્રુવો સિવાય જ્યાં $\cos \lambda = 0$ છે). તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(a), (b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ બદલાય છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(d < R)$:
કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = \frac{GMd}{R^3} = g \frac{d}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે. આ દર્શાવે છે કે $g_d \propto d$,જે એક રેખીય સંબંધ છે.
$2$. પૃથ્વીની સપાટી પર $(d = R)$:
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે,$g = \frac{GM}{R^2}$.
$3$. પૃથ્વીની બહાર $(d > R)$:
કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = \frac{GM}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $g_d \propto \frac{1}{d^2}$,જે વ્યસ્ત વર્ગનો સંબંધ છે.
આ બંનેને જોડતા,આલેખ ઉગમબિંદુ $(d=0, g=0)$ થી શરૂ થાય છે,$d=R$ પર મહત્તમ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $d > R$ માટે વ્યસ્ત વર્ગના વક્રને અનુસરીને ઘટે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) વિષુવવૃત્ત પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પર માણસનું વજન તેના વાસ્તવિક વજનના $(3/5)$ ગણું છે,તેથી $W' = (3/5)W$.
$W = mg$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $mg' = (3/5)mg$,જેનું સાદું રૂપ $g' = (3/5)g$ થાય છે.
આ કિંમતને અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3/5)g = g - \omega^2 R$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = (2/5)(g/R)$,તેથી $\omega = \sqrt{(2/5)(g/R)}$.

(C) પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણ અને તેના આકાર (ચપટો ગોળો) ને કારણે,વિષુવવૃત્ત પર પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવો કરતા વધારે હોય છે.
$g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ અને ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.
તેથી,જ્યારે કોઈ પદાર્થને ધ્રુવ પરથી વિષુવવૃત્ત પર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જેના કારણે પદાર્થનું વજન ઘટે છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_m$ અને $R_m$ એ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_m = \frac{M_e}{8}$ અને $g_m = \frac{g_e}{6}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{G M_m / R_m^2}{G M_e / R_e^2} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
પુનઃગોઠવણ કરતા: $\left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2 = \frac{8}{6}$.
તેથી,$R_e = \sqrt{\frac{8}{6}} R_m$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $d$ એ ઊંડાઈ છે.
અહીં પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્ર સુધીના અડધા અંતરે હોવાથી,ઊંડાઈ $d = \frac{R}{2}$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
ઊંડાઈ $d$ પર પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ થાય.
સપાટી પર વજન $W = mg = 250\,N$ હોવાથી,અડધી ઊંડાઈએ વજન $W' = \frac{250}{2} = 125\,N$ થશે.

(B) પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ $(r < R)$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{G M r}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $g' \propto r$. આમ,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
પૃથ્વીની બહારના બિંદુ $(r > R)$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{G M}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $g' \propto \frac{1}{r^2}$. આમ,આલેખ વ્યસ્ત વર્ગનો સંબંધ દર્શાવતો વક્ર છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R)$,$g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે. આ બંને પ્રદેશોને જોડતા,સાચો ફેરફાર આકૃતિ $(ii)$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
કારણ કે $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,આપણે લખી શકીએ કે $g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto R$ થાય.
આપેલ છે કે નવા ગ્રહની ઘનતા પૃથ્વી જેટલી જ છે પરંતુ તે કદમાં $3$ ગણો મોટો (ત્રિજ્યા) છે,તેથી $R^{\prime} = 3R$ લો.
તેથી,$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = \frac{3R}{R} = 3$.
આમ,$g^{\prime} = 3g$.

(C) પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ છે.
આપેલ છે કે,ગ્રહનું દળ $M_p = \frac{1}{9} M_e$ અને ગ્રહની ત્રિજ્યા $R_p = \frac{1}{2} R_e$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p = \frac{GM_p}{R_p^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$g_p = \frac{G(M_e/9)}{(R_e/2)^2} = \frac{G M_e / 9}{R_e^2 / 4} = \frac{4}{9} \frac{GM_e}{R_e^2} = \frac{4}{9} g$.
પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન $W_e = mg = 9 \ N$ છે.
ગ્રહ પર પદાર્થનું વજન $W_p = mg_p = m(\frac{4}{9} g) = \frac{4}{9} (mg) = \frac{4}{9} \times 9 \ N = 4 \ N$ થાય.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થનું વજન સપાટી પરના વજનના $\frac{1}{9}$ ગણું છે,તેથી $g' = \frac{g}{9}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{g}{9} = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$.
આથી: $\frac{1}{9} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{3} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-1}$.
વ્યસ્ત કરતા: $3 = 1 + \frac{h}{R}$.
તેથી,$\frac{h}{R} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $h = 2R$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ $(r < R_e)$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ફક્ત $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાના દળ $M'$ ને કારણે હોય છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું દળ $M'$ નીચે મુજબ મળે છે: $M' = \rho \cdot V = \left( \frac{M_e}{\frac{4}{3} \pi R_e^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = M_e \frac{r^3}{R_e^3}$.
કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ છે: $F = \frac{G M' m}{r^2}$.
$M'$ ની કિંમત મૂકતા: $F = \frac{G (M_e \frac{r^3}{R_e^3}) m}{r^2} = \frac{G M_e m r^3}{R_e^3 r^2} = \frac{G M_e m}{R_e^3} r$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ માટે,દળ $M_p = \frac{M}{7}$ અને ત્રિજ્યા $R_p = \frac{R}{2}$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p = \frac{GM_p}{R_p^2} = \frac{G(M/7)}{(R/2)^2} = \frac{GM/7}{R^2/4} = \frac{4}{7} \frac{GM}{R^2} = \frac{4}{7}g$ થાય.
ગ્રહ પર પદાર્થનું વજન $W_p = m \cdot g_p = m \cdot (\frac{4}{7}g) = \frac{4}{7} \cdot (mg)$ છે.
આપેલ છે કે પૃથ્વી પર વજન $W_e = mg = 700\,gm\,wt$.
તેથી,$W_p = \frac{4}{7} \times 700 = 400\,gm\,wt$.

(C) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega'^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega'$ એ નવો કોણીય વેગ છે.
વિષુવવૃત્ત પર પદાર્થનું વજન શૂન્ય થવા માટે, અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવું જોઈએ, તેથી $g - \omega'^2 R = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega' = \sqrt{g/R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = 9.8 \ m/s^2$ અને $R = 6.4 \times 10^6 \ m$.
$\omega_0 = \sqrt{9.8 / (6.4 \times 10^6)} \approx 1.24 \times 10^{-3} \ rad/s$.
પૃથ્વીનો વર્તમાન કોણીય વેગ $\omega = 2\pi / T$ છે, જ્યાં $T = 86400 \ s$.
$\omega \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
ગુણોત્તર $\frac{\omega_0}{\omega} = \frac{1.24 \times 10^{-3}}{7.27 \times 10^{-5}} \approx 17$.
આમ, જરૂરી કોણીય વેગ $17\omega$ છે.

(C) ભ્રમણ કરતી પૃથ્વી પર $\lambda$ અક્ષાંશ પર $m$ દળના પદાર્થનું અસરકારક વજન $R = mg - m\omega^2 R_e \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
વિષુવવૃત્ત પર,$\lambda = 0^\circ$,તેથી $\cos \lambda = 1$. આમ,$R = mg - m\omega^2 R_e$.
ધ્રુવો પર,$\lambda = 90^\circ$,તેથી $\cos \lambda = 0$. આમ,$R = mg$.
જો પૃથ્વી ફરતી બંધ થઈ જાય,તો $\omega = 0$.
ધ્રુવો પર,વજન $R = mg$ જ રહેશે (કોઈ ફેરફાર નહીં).
વિષુવવૃત્ત પર,વજન $R = mg$ થઈ જશે,જે ફરતી પૃથ્વીના કિસ્સા $(mg - m\omega^2 R_e)$ કરતા વધારે છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન વિષુવવૃત્ત પર વધશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$M = \frac{gR^2}{G}$
આમ,સાચું સૂત્ર $g \frac{R^2}{G}$ છે.

(A) આપેલ છે: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e = 6400 \; km$,મંગળની ત્રિજ્યા $R_m = 3200 \; km$.
પૃથ્વીનું દળ $M_e = 10 M_m$,પૃથ્વી પર વજન $W_e = 200 \; N$.
પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g = \frac{GM}{R^2}$.
તેથી,વજનનો ગુણોત્તર $\frac{W_m}{W_e} = \frac{m g_m}{m g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2$.
$\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = 0.4$.
$W_m = 200 \times 0.4 = 80 \; N$.

(A) ધારો કે કાપેલું અંતર $h$ છે. $g'$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T = \sqrt{\frac{2h}{g'}}$ અને અંતિમ વેગ $V = \sqrt{2g'h}$ છે.
પ્રથમ ગ્રહ માટે $(g_1 = 2g)$: $T_1 = \sqrt{\frac{2h}{2g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}$ અને $V_1 = \sqrt{2(2g)h} = 2\sqrt{gh}$.
બીજા ગ્રહ માટે $(g_2 = 8g)$: $T_2 = \sqrt{\frac{2h}{8g}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}}$ અને $V_2 = \sqrt{2(8g)h} = 4\sqrt{gh}$.
આપેલ છે કે $t = T_1 - T_2 = \sqrt{\frac{h}{g}} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}}$.
આપેલ છે કે $v = V_2 - V_1 = 4\sqrt{gh} - 2\sqrt{gh} = 2\sqrt{gh}$.
સમયના સમીકરણ પરથી,$\sqrt{h} = 2t\sqrt{g}$.
આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v = 2\sqrt{g}(2t\sqrt{g}) = 4gt$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ એ $g = G \cdot \frac{4}{3} \pi R \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\rho' = \frac{2}{3} \rho$ અને $R' = \frac{1}{4} R$,તેથી ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$:
$g' = G \cdot \frac{4}{3} \pi R' \rho' = G \cdot \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{4}\right) \left(\frac{2}{3} \rho\right) = \frac{1}{6} g$.
$(I)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{\max} = \frac{u^2}{2g}$. પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન હોવાથી,$h_{\max} \propto \frac{1}{g}$.
તેથી,$h' g' = h g \implies h' = h \left(\frac{g}{g'}\right) = 0.5 \times 6 = 3\, m$.
$(II)$ ઉડાનનો સમય $t = \frac{2u}{g}$. $u$ અચળ હોવાથી,$t \propto \frac{1}{g}$.
તેથી,$\frac{t'}{t} = \frac{g}{g'} = \frac{g}{g/6} = 6$.
આમ,ચંદ્ર પરના સમય અને પૃથ્વી પરના સમયનો ગુણોત્તર $6 : 1$ છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે પલ્લા $h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈ પર છે જેથી $h_1 - h_2 = h$. માપેલ વજન $W_1 = mg_1$ અને $W_2 = mg_2$ છે.
વજનમાં તફાવત (ભૂલ) $\Delta W = mg_1 - mg_2 = mg(1 - \frac{2h_1}{R}) - mg(1 - \frac{2h_2}{R}) = mg(\frac{2h_2}{R} - \frac{2h_1}{R}) = \frac{2mg}{R}(h_2 - h_1)$ છે.
$h_1 - h_2 = h$ હોવાથી,$\Delta W = \frac{2mgh}{R}$ મળે.
$g = \frac{GM}{R^2}$ અને $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ મૂકતા,$g = \frac{G}{R^2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi G R \rho$ મળે છે.
આ કિંમત ભૂલના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta W = \frac{2mh}{R} \cdot (\frac{4}{3}\pi G R \rho) = \frac{8}{3}\pi G \rho mh$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln g = \ln G + \ln M - 2 \ln R$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$.
અહીં ત્રિજ્યા $1\%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2(-0.01) = 0.02$,જે $2\%$ છે.
પરિણામ ધન હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગમાં $2\%$ નો વધારો થશે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ (અથવા એકમ દળ દીઠ બળ) $E = \frac{GMr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$E \propto r$.
આથી,જો $r_1 < R$ અને $r_2 < R$ હોય,તો $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
$2$. ગોળાની બહાર $(r > R)$,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$E \propto \frac{1}{r^2}$.
આથી,જો $r_1 > R$ અને $r_2 > R$ હોય,તો $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થનું આભાસી વજન શૂન્ય થઈ જાય છે. આનું કારણ એ છે કે પદાર્થ અને જે સપાટી પર તે છે (અથવા સંદર્ભ ફ્રેમ) બંને $g$ જેટલા પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે. પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N$ એ $N = m(g - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મુક્ત પતનમાં $a = g$ હોવાથી,$N = m(g - g) = 0$ થાય છે. આમ,પદાર્થ ભારહીનતા અનુભવે છે.
જો કે,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ પર લાગતો ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \; m/s^2$ છે,જે શૂન્ય નથી. તેથી,$Assertion$ સાચું છે,પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે ટેનિસનો દડો $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે ઉછળે છે. તે $h$ ઊંચાઈ સુધી જશે જ્યાં તેનો અંતિમ વેગ $0$ થઈ જશે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - u^2 = 2(-g')h$,જ્યાં $g'$ એ પહાડ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
તેથી,$h = \frac{u^2}{2g'}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ વધવાને કારણે પહાડ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g')$ એ પૃથ્વીની સપાટી $(g)$ કરતા ઓછો હોય છે,તેથી ઊંચાઈ $h$ પહાડ પર વધારે હશે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે કારણ કે $g'$ એ વાસ્તવમાં $g$ કરતા ઓછું હોય છે.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી સ્થિર હોય ત્યારનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે.
જ્યારે પૃથ્વી ફરતી બંધ થાય ત્યારે $g$ ના મૂલ્યમાં થતો વધારો $\Delta g = g - g' = R\omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.
આપેલ છે:
$R = 6400 \times 10^3 \ m = 6.4 \times 10^6 \ m$
$\lambda = 45^{\circ} \implies \cos^2 45^{\circ} = 0.5$
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14}{24 \times 3600} \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/sec$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta g = (6.4 \times 10^6) \times (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 0.5$
$\Delta g \approx 0.0169 \ m/sec^2$
$C.G.S.$ એકમ $(cm/sec^2)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta g = 0.0169 \times 100 = 1.69 \ cm/sec^2 \approx 1.68 \ cm/sec^2$.

(A) વિષુવવૃત્ત પરની વસ્તુ વજનરહિત જણાય તે માટે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે વજનરહિતતાની શરત $g - \omega^2 R = 0$ છે.
તેથી,$\omega^2 R = g$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{g / R}$.
અહીં $g = 10\, m/s^2$ અને $R = 6.4 \times 10^3\, km = 6.4 \times 10^6\, m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}}$.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4} \times 10^{-6}} = \sqrt{1.5625 \times 10^{-6}}$.
$\omega = 1.25 \times 10^{-3}\, rad/s$.

(D) ઊંચાઈ $h$ સાથે ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર (જ્યાં $h \ll R$) આ મુજબ છે: $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$.
ઊંડાઈ $d$ સાથે ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર (જ્યાં $d \ll R$) આ મુજબ છે: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$.
પ્રશ્ન મુજબ,$h$ ઊંચાઈએ $g$ ના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર એ $d$ ઊંડાઈએ થતા ફેરફાર જેટલો જ છે. આનો અર્થ એ છે કે આ બિંદુઓ પર $g$ ના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $g_h = g_d$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - \frac{2h}{R} = 1 - \frac{d}{R}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$.
$-R$ વડે ગુણતા: $d = 2h$.

(C) મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થનું અસરકારક વજન શૂન્ય થઈ જાય છે. આનું કારણ એ છે કે પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે પદાર્થ અને સપાટી બંને સમાન દર $g$ થી નીચે તરફ પ્રવેગિત થાય છે. તેથી,પદાર્થ ભારહીનતા અનુભવે છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ પર લાગતો ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$ છે,જે શૂન્ય નથી. તેથી,$Assertion$ સાચું છે,પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં પદાર્થ કેન્દ્ર સુધીના અડધા અંતરે છે,તેથી ઊંડાઈ $d = R/2$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,$d$ ઊંડાઈએ નવું વજન $W' = mg' = m(g/2) = W/2$ થાય.
સપાટી પરનું વજન $W = 200 \; N$ આપેલું હોવાથી,$d = R/2$ ઊંડાઈએ વજન $W' = 200/2 = 100 \; N$ થશે.

(D) ઉત્તર ધ્રુવ પર બોક્સનું વજન $W_p = mg = 196 \; N$ છે. આપેલ $g = 10 \; m/s^2$ હોવાથી,દળ $m = 196 / 10 = 19.6 \; kg$ થાય.
વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
વિષુવવૃત્ત પર વજન $W_e = m(g - \omega^2 R) = mg - m\omega^2 R$ થાય.
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T = 24 \times 3600 \; s$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W_e = 196 - 19.6 \times \left( \frac{2\pi}{24 \times 3600} \right)^2 \times 6400 \times 10^3$.
$m\omega^2 R$ પદની ગણતરી કરતા: $19.6 \times (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 6.4 \times 10^6 \approx 19.6 \times 0.0337 \approx 0.66 \; N$.
તેથી,$W_e = 196 - 0.66 = 195.34 \; N$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $195.32 \; N$ છે.

(A) ઘટે છે,$(b)$ ઘટે છે,$(c)$ પદાર્થનું દળ,$(d)$ વધુ.
$(a)$ $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{h} = g(1 - 2h/R_{e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,ઊંચાઈ વધવાની સાથે તે ઘટે છે.
$(b)$ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{d} = g(1 - d/R_{e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,ઊંડાઈ વધવાની સાથે તે ઘટે છે.
$(c)$ $g = GM/R^{2}$ હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગ પદાર્થના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.
$(d)$ સ્થિતિઊર્જાનો તફાવત $\Delta U = -GmM(1/r_{2} - 1/r_{1})$ છે. $mg(r_{2}-r_{1})$ સૂત્ર માત્ર પૃથ્વીની સપાટી નજીકના નાના અંતરો માટેનું અંદાજિત સૂત્ર છે. તેથી,પ્રથમ સૂત્ર વધુ સચોટ છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન,$W = mg = 63 \; N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
અહીં $h = \frac{R_e}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( 1 + \frac{R_e/2}{R_e} \right)^{-2} = g \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{-2} = g \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) $W' = mg'$ થાય.
$W' = m \left( \frac{4}{9} g \right) = \frac{4}{9} (mg)$
$W = 63 \; N$ ની કિંમત મૂકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 63 = 4 \times 7 = 28 \; N$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનું વજન $W = mg = 250 \; N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R_e})$ છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં પદાર્થ કેન્દ્ર સુધીના અડધા અંતરે હોવાથી,ઊંડાઈ $d = \frac{R_e}{2}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g(1 - \frac{R_e/2}{R_e}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}g$.
$d$ ઊંડાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg'$ થાય.
$g' = \frac{1}{2}g$ મૂકતા,$W' = m(\frac{1}{2}g) = \frac{1}{2}mg = \frac{1}{2}W$ મળે.
$W = 250 \; N$ હોવાથી,નવું વજન $W' = \frac{1}{2} \times 250 = 125 \; N$ થશે.

(A) કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = m\omega^{2}r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ભ્રમણાક્ષથી અંતર છે.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે અનુભવાતા અસરકારક બળના સંદર્ભમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^{2}R \cos^{2}\phi$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર જ્યાં અક્ષાંશ $\phi = 0^{\circ}$ હોય છે,ત્યાં $\cos\phi = 1$ હોવાથી કેન્દ્રગામી બળનો ઘટક મહત્તમ બને છે.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ હોય છે.

(N/A) ધારો કે પૃથ્વી $R_E$ ત્રિજ્યા અને $M_E$ દળ ધરાવતો એક સમાન ઘનતા $\rho$ વાળો ગોળો છે.
ધારો કે $m$ દળનો એક પદાર્થ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર છે,જ્યાં $r = R_E - d$.
શેલ પ્રમેય મુજબ,પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ફક્ત $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાના દળ $M_r$ દ્વારા જ લાગે છે. આ ત્રિજ્યાની બહારના શેલ પદાર્થ $m$ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડતા નથી.
આંતરિક ગોળાનું દળ $M_r = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમાન ઘનતા હોવાથી,$\rho = \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$.
$M_r$ ના સૂત્રમાં $\rho$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M_r = M_E \left( \frac{r^3}{R_E^3} \right)$ મળે છે.
$r$ અંતરે રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M_r m}{r^2}$ છે.
$M_r$ ની કિંમત મૂકતા,$F = \frac{G m}{r^2} \cdot M_E \frac{r^3}{R_E^3} = \frac{G M_E m r}{R_E^3}$ મળે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g(r) = \frac{F}{m} = \frac{G M_E r}{R_E^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = R_E - d$ મૂકતા,$g(d) = \frac{G M_E (R_E - d)}{R_E^3} = \frac{G M_E}{R_E^2} \left( 1 - \frac{d}{R_E} \right)$ મળે છે.
કારણ કે $g = \frac{G M_E}{R_E^2}$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે,તેથી સૂત્ર $g(d) = g \left( 1 - \frac{d}{R_E} \right)$ બને છે.

(N/A) ધારો કે પૃથ્વી એ અસંખ્ય કેન્દ્રીય ગોલીય કવચોની બનેલી છે,જેમાં સૌથી નાનું કવચ કેન્દ્ર પર અને સૌથી મોટું સપાટી પર છે.
પૃથ્વીની બહારના બિંદુ માટે,તે તમામ કવચોની બહાર છે. તેથી,બધા કવચો બહારના બિંદુ પર એવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે જાણે કે તેમનું દળ તેમના સામાન્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય.
પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે,પરિસ્થિતિ અલગ છે. ધારો કે પૃથ્વી કેન્દ્રીય કવચોની બનેલી છે. $m$ દળનો એક પદાર્થ કેન્દ્રથી $r$ $(r < R_E)$ અંતરે બિંદુ $P$ પર સ્થિત છે. બિંદુ $P$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની બહાર છે. $r$ કરતા મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતા કવચો માટે,બિંદુ $P$ અંદરની તરફ છે. તેથી,આ બાહ્ય કવચો દ્વારા $P$ પર રાખેલા દળ $m$ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું નથી.
જો $P$ પરના કણનું દળ $m$ હોય અને $r$ ત્રિજ્યાના આંતરિક ગોળાનું દળ $M_r$ હોય,તો $P$ પરના દળ $m$ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય:
$F = \frac{G m M_r}{r^2}$
ધારો કે સમગ્ર પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તો તેનું કુલ દળ $M_E = (\frac{4}{3} \pi R_E^3) \rho$ છે.
તેથી,$\rho = \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$.
આંતરિક ગોળાનું દળ $M_r = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho = (\frac{4}{3} \pi r^3) \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3} = M_E \frac{r^3}{R_E^3}$ થાય.
બળના સમીકરણમાં $M_r$ ની કિંમત મૂકતા:
$F = \frac{G m}{r^2} (M_E \frac{r^3}{R_E^3}) = \frac{G M_E m r}{R_E^3}$.
કારણ કે $F = mg_r$,તેથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_r = \frac{G M_E r}{R_E^3}$ મળે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R_E$ લેતા:
$g = \frac{G M_E R_E}{R_E^3} = \frac{G M_E}{R_E^2}$.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ એટલે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો સમાન પ્રવેગ. તેને $g$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગનું મૂલ્ય આશરે $9.8 \ m/s^2$ છે.

(A) ગોળાકાર દળ વિતરણ માટેના શેલ પ્રમેય મુજબ,સમાન ગોળાકાર કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
પૃથ્વીને કેન્દ્રિત ગોળાકાર કવચોના સમૂહ તરીકે ગણી શકાય,તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રમાં રહેલા કણ પર બધી દિશાઓમાંથી સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ખેંચાણ અનુભવાય છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રમાં રહેલા કણ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $0$ છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R_e)$ રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M_r m}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તો $r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાયેલું દળ $M_r = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ થાય.
$M_r$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = \frac{G m}{r^2} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $F = (\frac{4}{3} \pi G \rho m) r$ મળે છે.
અહીં $G, \pi, \rho, m$ અચળાંક હોવાથી,$F \propto r$ સાબિત થાય છે.

(21 KM) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે એક ચપટો ગોળો (oblate spheroid) છે,જેનો અર્થ છે કે તે વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી છે અને ધ્રુવો પર ચપટી છે.
પૃથ્વીની વિષુવવૃત્તીય ત્રિજ્યા આશરે $6378 \; km$ છે.
પૃથ્વીની ધ્રુવીય ત્રિજ્યા આશરે $6357 \; km$ છે.
વિષુવવૃત્તીય ત્રિજ્યા અને ધ્રુવીય ત્રિજ્યા વચ્ચેનો તફાવત $6378 \; km - 6357 \; km = 21 \; km$ છે.

(N/A) $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,જ્યારે $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$1$. $G$ નું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં અચળ રહે છે $(G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2)$,જ્યારે $g$ નું મૂલ્ય પૃથ્વી અને અન્ય અવકાશી પદાર્થો પર અલગ-અલગ સ્થળોએ બદલાય છે.
$2$. $G$ એ અદિશ રાશિ છે,જ્યારે $g$ એ સદિશ રાશિ છે.
$3$. $G$ નો $SI$ એકમ $N \ m^2/kg^2$ છે,જ્યારે $g$ નો $SI$ એકમ $m/s^2$ છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર રહેલા $m$ દળના પદાર્થને ધ્યાનમાં લો. આ પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R_{E} + h$ અંતરે બિંદુ $P$ પર રહેલો છે.
પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F(h) = \frac{GM_{E}m}{(R_{E} + h)^{2}}$
$F = mg(h)$ હોવાથી,$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ:
$g(h) = \frac{F(h)}{m} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \quad ......(1)$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(h = 0)$:
$g = \frac{GM_{E}}{R_{E}^{2}} \quad ......(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g(h)}{g} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}} = \frac{R_{E}^{2}}{(R_{E} + h)^{2}}$
$\frac{g(h)}{g} = \frac{R_{E}^{2}}{R_{E}^{2}(1 + \frac{h}{R_{E}})^{2}} = \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2}$
$g(h) = g \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2} \quad ......(3)$
નાની ઊંચાઈઓ $(h \ll R_{E})$ માટે,આપણે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$g(h) \approx g \left(1 - \frac{2h}{R_{E}}\right) \quad ......(4)$
સમીકરણ $(3)$ કોઈપણ ઊંચાઈ માટે માન્ય છે,જ્યારે સમીકરણ $(4)$ માત્ર $h \ll R_{E}$ હોય ત્યારે જ માન્ય છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_{h} = g_{e} \left(1 - \frac{2h}{R_{e}}\right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 10 \, km = 10^{4} \, m$,$R_{e} = 6.4 \times 10^{6} \, m$,અને $g_{e} = 9.8 \, m/s^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$g_{h} = 9.8 \left[1 - \frac{2 \times 10^{4}}{6.4 \times 10^{6}}\right]$
$g_{h} = 9.8 [1 - 0.003125]$
$g_{h} = 9.8 [0.996875]$
$g_{h} = 9.769375 \, m/s^2$
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $g_{h} \approx 9.77 \, m/s^2$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ $m$ દળનો એક પદાર્થ છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_{E}$ છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = (R_{E} - d)$ છે.
$d$ જાડાઈના બાહ્ય કવચને કારણે $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
પદાર્થ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર $(R_{E} - d)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આંતરિક ગોળા દ્વારા જ લાગે છે.
પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ સમાન છે તેમ ધારતા,આંતરિક ગોળાનું દળ $M_{s}$ નીચે મુજબ મળે:
$M_{s} = \frac{4}{3} \pi (R_{E} - d)^{3} \rho$ $......(1)$
પૃથ્વીનું કુલ દળ $M_{E}$:
$M_{E} = \frac{4}{3} \pi R_{E}^{3} \rho$ $......(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{M_{s}}{M_{E}} = \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$
$M_{s} = M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$ $......(3)$
$d$ ઊંડાઈએ $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F(d)$:
$F(d) = \frac{G M_{s} m}{(R_{E} - d)^{2}}$ $......(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $M_{s}$ ની કિંમત સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$F(d) = \frac{G m}{(R_{E} - d)^{2}} \left[ M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}} \right]$
$F(d) = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
અહીં $F(d) = m g_{d}$,જ્યાં $g_{d}$ એ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ છે:
$m g_{d} = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
$g_{d} = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$
સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$ હોવાથી:
$g_{d} = g \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$

(N/A) $1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R_E)$: કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g(r) = \frac{4}{3} \pi G \rho r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ પૃથ્વીની ઘનતા છે. $\frac{4}{3} \pi G \rho$ અચળ હોવાથી,$g(r) \propto r$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી સપાટી તરફ જતાં $g$ રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r > R_E)$: કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g(r) = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$g(r) \propto \frac{1}{r^2}$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે કેન્દ્રથી અંતર વધતા $g$ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે.
$3$. સપાટી પર $(r = R_E)$: $g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે,જે $g = \frac{GM}{R_E^2}$ છે.
આલેખ y-અક્ષ પર $g(r)$ અને x-અક્ષ પર $r$ દર્શાવે છે,જે પૃથ્વીની અંદર રેખીય વધારો અને પૃથ્વીની બહાર વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ આપેલા સ્થળને પૃથ્વીના કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખા વિષુવવૃત્તીય સમતલ સાથે જે ખૂણો બનાવે છે તેને તે સ્થળનો અક્ષાંશ $(\lambda)$ કહે છે.
વિષુવવૃત્ત માટે અક્ષાંશ $\lambda = 0^{\circ}$ અને ધ્રુવો માટે અક્ષાંશ $\lambda = 90^{\circ}$ હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરના બિંદુ $P$ નો અક્ષાંશ $\lambda = \angle POE$ છે. આ સ્થાને $m$ દળનો એક કણ વિચારો. તેના પર બે બળો લાગે છે:
$(1)$ પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે કેન્દ્ર $O$ તરફ $PO$ રેખાની દિશામાં લાગે છે.
$(2)$ પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે,કણ વર્તુળાકાર પથ $PM$ ની ત્રિજ્યાની દિશામાં બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ $m r \omega^2$ અનુભવે છે (જ્યાં $r$ એ અક્ષાંશના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$r = R_e \cos \lambda$,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$PO$ રેખાની દિશામાં (કેન્દ્ર તરફ) કેન્દ્રત્યાગી બળ $m r \omega^2$ નો ઘટક $m r \omega^2 \cos \lambda$ થાય છે.
$r = R_e \cos \lambda$ મૂકતા,આ ઘટક $m (R_e \cos \lambda) \omega^2 \cos \lambda = m R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ મળે છે.
કેન્દ્ર તરફ કણ પર લાગતું અસરકારક બળ $F = mg - m R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ થાય છે.
જો $g'$ એ અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ હોય,તો $mg' = F = mg - m R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$.
તેથી,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g' = g - R_e \omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_h$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = g \left( \frac{R_e}{R_e + h} \right)^2$
જ્યાં:
$g_h$ એ $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
$g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$.
$R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
જ્યારે $h << R_e$ હોય,ત્યારે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$g_h \approx g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
અહીં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંચાઈ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.