Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(A) શૂન્યાવકાશમાં,પદાર્થો પર કોઈ હવાના અવરોધની અસર થતી નથી.
ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ મુજબ,$h$ ઊંચાઈએથી નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ એ પદાર્થના દળ અને કદથી સ્વતંત્ર હોવાથી,લોખંડનો દડો અને લાકડાનો દડો બંને સમાન પ્રવેગ અનુભવે છે.
તેથી,તેઓ એક જ સમયે જમીન પર પહોંચે છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે કૂદકો મારતી વ્યક્તિ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
બંને કૂદકા માટે પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન હોવાથી,$H_{\max} \propto \frac{1}{g}$ થાય.
ધારો કે $g_A$ અને $g_B$ એ અનુક્રમે ગ્રહ $A$ અને $B$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે. આપણને આપેલ છે કે $g_A = 9g_B$.
ધારો કે $H_A = 2 \ m$ એ ગ્રહ $A$ પરની ઊંચાઈ છે અને $H_B$ એ ગ્રહ $B$ પરની ઊંચાઈ છે.
પ્રમાણસરતા $H_A g_A = H_B g_B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $H_B = H_A \left( \frac{g_A}{g_B} \right)$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$H_B = 2 \times 9 = 18 \ m$ મળે.

(A) પદાર્થનું વજન એ પૃથ્વી દ્વારા તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે $W = mg$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની અંદર,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g \frac{r}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,અંતર $r = 0$ થાય છે.
આ સૂત્રમાં $r = 0$ મૂકતા,આપણને $g' = g \frac{0}{R} = 0$ મળે છે.
વજન $W = mg'$ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર વજન $W = m \times 0 = 0$ થાય છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પદાર્થનું વજન શૂન્ય હોય છે.

(D) કોઈપણ અવકાશી પદાર્થની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
આપેલ છે:
ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
ચંદ્રનું દળ $M = 7.34 \times 10^{22} \ kg$
ચંદ્રની ત્રિજ્યા $R = 1.74 \times 10^6 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.34 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^6)^2}$
$g = \frac{48.9578 \times 10^{11}}{3.0276 \times 10^{12}}$
$g \approx 1.62 \ N/kg$.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આપણે તેને ગુરુત્વાકર્ષણના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \cdot (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{4}{3}\pi \rho GR$.
આપેલ છે કે બંને ગ્રહો માટે સરેરાશ ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી $g \propto R$ થાય.
તેથી,બંને ગ્રહો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1}{R_2}$ છે.

(B) પદાર્થનું વજન $W = mg$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
પૃથ્વી ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવો પર ઓછી હોય છે $(R_{pole} < R_{equator})$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(g \propto \frac{1}{R^2})$.
તેથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
જેમ પદાર્થને વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ લઈ જવામાં આવે છે,તેમ $g$ વધે છે,અને પરિણામે પદાર્થનું વજન $W$ વધે છે.

(D) પદાર્થનું દળ એ તેનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે તેના સ્થાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના અચળ રહે છે.
જોકે,પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
જેમ આપણે ખાણમાં ઊંડે જઈએ છીએ,તેમ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ એ $g' = g(1 - d/R)$ સૂત્ર મુજબ ઘટે છે,જ્યાં $d$ એ ઊંડાઈ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
જેમ $g$ ઘટે છે,તેમ પદાર્થનું વજન $W$ પણ ઘટે છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
અહીં ગ્રહનું દળ $M = M_0$ અને વ્યાસ $D_0$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{D_0}{2}$ થશે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G M_0}{(D_0 / 2)^2}$
$g = \frac{G M_0}{D_0^2 / 4}$
$g = \frac{4 G M_0}{D_0^2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^\circ$ છે,તેથી $\cos 0^\circ = 1$.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eq} = g - \omega^2 R$ થાય છે.
જો પૃથ્વી ફરતી બંધ થઈ જાય,તો કોણીય વેગ $\omega$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે,પદ $\omega^2 R$ શૂન્ય થઈ જાય છે અને વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય $g_{eq} = g$ બને છે.
કારણ કે $g$ એ $(g - \omega^2 R)$ કરતા મોટું છે,તેથી વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય વધશે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ગ્રહનું દળ $M' = 2M$ અને વ્યાસ $D' = 2D$ છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{GM'}{(R')^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $g' = \frac{G(2M)}{(2R)^2} = \frac{2GM}{4R^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{2}$.
પૃથ્વી માટે $g = 9.8 \ m/s^2$ હોવાથી,આપણને $g' = \frac{9.8}{2} = 4.9 \ m/s^2$ મળે છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{r^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે. પરિણામે,વિષુવવૃત્ત પર પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(r_{eq})$ એ ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $(r_{pole})$ કરતા વધારે છે.
જેમ આપણે વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ જઈએ છીએ,તેમ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r$ ઘટે છે. કારણ કે $g$ એ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(g \propto \frac{1}{r^2})$,તેથી $r$ માં ઘટાડો થવાથી $g$ ના મૂલ્યમાં વધારો થાય છે. તેથી,જેમ આપણે વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ જઈએ છીએ તેમ $g$ નું મૂલ્ય વધે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ એ સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી હોવાથી,ત્રિજ્યા $R$ વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ અને ધ્રુવો પર ન્યૂનતમ હોય છે.
જેহেতু $g \propto \frac{1}{R^2}$,તેથી $g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યાં $R$ મહત્તમ હોય ત્યાં $g$ ન્યૂનતમ હોય છે,જે વિષુવવૃત્ત પર છે.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિષુવવૃત્ત પર સૌથી ઓછું હોય છે.

(C) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થનું વજન વિષુવવૃત્ત પર શૂન્ય થાય તે માટે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $g' = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $g = R\omega^2$,અથવા $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
અહીં $g = 10 \, m/s^2$ અને $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{6.4 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} \, rad/s$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{r^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પૃથ્વીનું દળ $M$ અચળ રહે છે.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર $r$ પણ અચળ રહે છે.
જેથી $G$,$M$ અને $r$ ત્રણેય બદલાતા ન હોવાથી,તે ચોક્કસ બિંદુ પર $g$ નું મૂલ્ય $9.8\,m/s^2$ જ રહેશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
પૃથ્વીના દળ $M$ ને તેની સરેરાશ ઘનતા $D$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \frac{4}{3}\pi R^3 D$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$M$ ની કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3}\pi R^3 D)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$g = \frac{4}{3} \pi R G D$
સરેરાશ ઘનતા $D$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$D = \frac{3g}{4\pi RG}$

(A) પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સમુદ્ર સપાટી પર,$g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.
જ્યારે આપણે કોલસાની ખાણમાં ઊંડે જઈએ છીએ,ત્યારે $g$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - d/R)$ મુજબ ઘટે છે.
જ્યારે આપણે પર્વતની ટોચ પર જઈએ છીએ,ત્યારે પણ $g$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - 2h/R)$ મુજબ ઘટે છે.
$W_2$ સમુદ્ર સપાટી પર હોવાથી,તે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,$W_1$ (ખાણમાં) અને $W_3$ (પર્વત પર) બંને $W_2$ કરતા ઓછા છે.
આમ,સાચો સંબંધ $W_1 < W_2$ અને $W_3 < W_2$ છે,જેને $W_1 < W_2 > W_3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ ના પદમાં $M = \rho V = \rho \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4}{3}\pi G \rho R$
તેથી,$g \propto \rho R$ મળે છે.
બે ગ્રહો માટે,તેમના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2}$
આમ,$g_1:g_2 = R_1\rho_1:R_2\rho_2$ થાય.

(A) કોઈ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ દળ છે અને $R$ ત્રિજ્યા છે.
ચંદ્ર માટે,$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
પૃથ્વી માટે,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
આપેલ છે કે $M_e = 81M_m$ અને $R_e = 3.5R_m$.
ચંદ્રની સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ અને પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_m}{g_e} = \frac{GM_m}{R_m^2} \times \frac{R_e^2}{GM_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{81M_m} \times (3.5)^2 = \frac{1}{81} \times 12.25 = \frac{12.25}{81} \approx 0.1512$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ગુણોત્તર $0.15$ મળે છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$1$. જેમ આપણે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નીચે જઈએ છીએ,તેમ $g$ ઘટે છે.
$2$. જેમ આપણે પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર જઈએ છીએ,તેમ $g$ ઘટે છે.
$3$. જેમ આપણે વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ જઈએ છીએ,તેમ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ ઘટે છે,જેના કારણે $g$ વધે છે. તેથી,વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ જતી વખતે $g$ ઘટે છે તે વિધાન ખોટું છે.
$4$. જો પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ગતિ વધે,તો કેન્દ્રત્યાગી બળ વધે છે,જેના કારણે $g$ નું અસરકારક મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ ખોટું વિધાન છે.

(D) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતું કેન્દ્રત્યાગી બળ વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ અને ધ્રુવો પર શૂન્ય હોય છે. પરિણામે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g)$ વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ અને ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા અને $d$ ઊંડાઈ પર $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,સપાટી પર $g$ નું મૂલ્ય તેની ઉપરની ઊંચાઈ અથવા નીચેની ઊંડાઈ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,વિધાન કે $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હોય છે તે સાચું છે.

(B) સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દ્વારા માપવામાં આવતું પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
જેમ પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ વધે છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ સૂત્ર $g_h = g \left( 1 + \frac{h}{R} \right)^{-2}$ મુજબ ઘટે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
કારણ કે $m$ અચળ રહે છે અને ઊંચાઈ વધવાની સાથે $g$ ઘટે છે,તેથી સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દ્વારા દર્શાવેલ વજન $W$ સતત ઘટતું જશે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે: $g = 980 \, cm/s^2$,$R = 6400 \, km$,અને $h = 64 \, km$.
કિંમતો મૂકતા:
$g' = 980 \times \left( \frac{6400}{6400 + 64} \right)^2$
$g' = 980 \times \left( \frac{6400}{6464} \right)^2$
$g' = 980 \times \left( \frac{100}{101} \right)^2$
આશરે ગણતરી કરતા $g' \approx g(1 - 2h/R)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$g' = 980 \times (1 - 2 \times 64 / 6400) = 980 \times (1 - 0.02) = 980 \times 0.98 = 960.40 \, cm/s^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર છે: $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^o$ છે,તેથી $\cos 0^o = 1$. આમ,$g' = g - \omega^2 R$. જો પૃથ્વી ઝડપથી ફરે,તો $\omega$ વધે છે,જેના પરિણામે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g'$ ઘટે છે,અને તેથી વિષુવવૃત્ત પર પદાર્થનું વજન ઘટે છે.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^o$ છે,તેથી $\cos 90^o = 0$. આમ,$g' = g$. કારણ કે $\omega$ વાળું પદ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ઝડપ ગમે તે હોય,ધ્રુવો પર પદાર્થનું વજન અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
અહીં દળ $M$ અચળ રહે છે અને ત્રિજ્યા તેની વર્તમાન કિંમતના અડધા ભાગમાં સંકોચાય છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ થશે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $g'$ આ મુજબ થશે: $g' = \frac{GM}{(R')^2} = \frac{GM}{(R/2)^2} = \frac{GM}{R^2/4} = 4 \left( \frac{GM}{R^2} \right) = 4g$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ તેની વર્તમાન કિંમત કરતા ચાર ગણો થઈ જશે.

(B) કોઈ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી માટે,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2} = g$.
ચંદ્ર માટે,$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
આપેલ છે કે $M_m = \frac{M_e}{80}$ અને $R_m = \frac{R_e}{4}$.
આ કિંમતોને $g_m$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_m = \frac{G(M_e/80)}{(R_e/4)^2} = \frac{G M_e}{80} \times \frac{16}{R_e^2} = \frac{16}{80} \times \frac{GM_e}{R_e^2}$.
કારણ કે $\frac{GM_e}{R_e^2} = g$,તેથી $g_m = \frac{1}{5} g = g/5$.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g'$ શોધવાનું સૂત્ર: $g' = g_p - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.
અહીં આપેલ અક્ષાંશ $\lambda = 60^\circ$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ થાય.
હવે આ કિંમતને મુખ્ય સૂત્રમાં મૂકતા: $g' = g_p - R\omega^2 (\frac{1}{4})$.
આમ,$g$ નું અસરકારક મૂલ્ય $g_p - \frac{1}{4}R\omega^2$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણનું મૂલ્ય સપાટીના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણું છે,તેથી $g' = \frac{g}{n}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{n} = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$.
તેથી,$d = R \left( \frac{n - 1}{n} \right)$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g \left(1 - \frac{2h}{R}\right)$ છે,જ્યાં $h \ll R$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ગુરુત્વપ્રવેગમાં $1\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta g}{g} = 0.01$.
સંબંધ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0.01 = \frac{2h}{R}$ મળે છે.
$R = 6400 \, km$ કિંમત મૂકતા,$h = \frac{0.01 \times 6400}{2} = \frac{64}{2} = 32 \, km$ મળે છે.
આમ,જરૂરી ઊંચાઈ $32 \, km$ છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $g = \frac{GM}{R^2}$.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની સરેરાશ ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી $g$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\rho \times \frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{4}{3}G\pi R\rho$.
તેથી,બે ગ્રહો માટે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1 \rho_1}{R_2 \rho_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) \times \left(\frac{\rho_1}{\rho_2}\right)$.
આપેલ છે કે વ્યાસનો ગુણોત્તર $4:1$ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2}$ પણ $4:1$ થશે.
આપેલ છે કે સરેરાશ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_1}{\rho_2}$ એ $1:2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_1}{g_2} = \left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = g$ ના $25\%$,તેથી $g' = \frac{g}{4}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{2} = \frac{R}{R + h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $R + h = 2R$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = R$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\lambda$ એ અક્ષાંશ છે.
ઉત્તર ધ્રુવ પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^\circ$ છે.
કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ થાય છે,તેથી સમીકરણ $g' = g - \omega^2 R (0)^2 = g$ બને છે.
આમ,ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ $(\omega)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો કોણીય ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો પણ ઉત્તર ધ્રુવ પર $g$ નું મૂલ્ય સમાન રહે છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું દળ એ તેનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે સ્થાન અથવા ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખતું નથી.
વજનને $W = mg$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = g/4$ હોવાથી,ગ્રહ પરનું વજન $W' = m(g/4) = W/4$ થાય છે.
તેથી,દળ બદલાતું નથી,જે વિધાન $(A)$ ને ખોટું ઠેરવે છે,જ્યારે વિધાનો $(B)$,$(C)$,અને $(D)$ સાચા છે.

(D) ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_m = \frac{G M_m}{R_m^2}$ છે.
આપેલ છે કે ચંદ્ર પર વજન પૃથ્વીના વજનના $1/6$ ભાગનું છે,તેથી $g_m = \frac{g_e}{6}$ થાય.
$g_e = 9.8 \, m/s^2$ લેતા,$g_m = \frac{9.8}{6} \approx 1.633 \, m/s^2$ મળે.
સૂત્ર $M_m = \frac{g_m R_m^2}{G}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ અને $R_m = 1.768 \times 10^6 \, m$ છે:
$M_m = \frac{1.633 \times (1.768 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_m = \frac{1.633 \times 3.1258 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_m \approx 0.765 \times 10^{23} \, kg = 7.65 \times 10^{22} \, kg$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે.
અહીં પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6000 \, km$ અને ઊંચાઈ $h = 6000 \, km$ આપેલ છે,તેથી $h = R$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $g' = g \left( \frac{R}{R + R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{g}{4}$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,$h$ ઊંચાઈ પર વજન $W' = mg' = \frac{mg}{4} = \frac{W}{4}$ થશે.
આમ,પદાર્થનું વજન પૃથ્વીની સપાટી પરના વજન કરતા ચોથો ભાગ થઈ જશે.

(B) કોઈપણ પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી હોવાથી,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ અને ધ્રુવો પર ન્યૂનતમ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(g \propto 1/R^2)$.
તેથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ અને ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.
સમાન વજન માટે વધુ ખાંડ મેળવવા માટે (અથવા સમાન દળ માટે ઓછી કિંમત ચૂકવવા માટે),ત્યાં ખરીદી કરવી જોઈએ જ્યાં $g$ ન્યૂનતમ હોય,કારણ કે ત્રાજવું સમાન દળ $m$ માટે ઓછું વજન દર્શાવશે.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર ખાંડ ખરીદવી સૌથી વધુ ફાયદાકારક છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણને $g \propto \frac{1}{R^2}$ મળે છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $1.5\%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -1.5\%$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-1.5\%) = +3\%$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગનું મૂલ્ય $3\%$ વધશે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી સ્પષ્ટ છે કે $g \propto \frac{1}{R^2}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $R$ માં $2\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નાના ફેરફારો માટે આપણે લખી શકીએ: $\frac{\Delta g}{g} \approx -2 \frac{\Delta R}{R}$.
અહીં $\frac{\Delta R}{R} = -0.02$ હોવાથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta g}{g} \approx -2(-0.02) = 0.04$ એટલે કે $4\%$ થશે.
જેમ $g$ વધે છે,તેમ પદાર્થનું વજન $W = mg$ પણ $4\%$ જેટલું વધશે.

(B) કોઈપણ અવકાશી પદાર્થની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
ત્રિજ્યા $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R = \sqrt{\frac{GM}{g}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $G = 6.667 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,$M = 7.34 \times 10^{22} \ kg$,અને $g = 1.4 \ m/s^2$.
$R = \sqrt{\frac{6.667 \times 10^{-11} \times 7.34 \times 10^{22}}{1.4}}$
$R = \sqrt{\frac{48.93578 \times 10^{11}}{1.4}}$
$R = \sqrt{34.954 \times 10^{11}} = \sqrt{3.4954 \times 10^{12}}$
$R \approx 1.87 \times 10^6 \ m$.

(C) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પર વજન પ્રારંભિક વજનના $3/5$ ગણું થાય છે,તેથી $g' = \frac{3}{5}g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{5}g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$.
કિંમતો $g = 10 \, m/s^2$ અને $R = 6400 \times 10^3 \, m$ મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5 \times 6400 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{20}{32000 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{20}{3.2 \times 10^7}} = \sqrt{6.25 \times 10^{-7}} \approx 7.8 \times 10^{-4} \, rad/s$.

(B) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 32 \, km$,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \, km$.
અહીં $h \ll R$ હોવાથી,$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ માટેનું સૂત્ર:
$g' = g \left( 1 - \frac{2h}{R} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$g' = g \left( 1 - \frac{2 \times 32}{6400} \right)$
$g' = g \left( 1 - \frac{64}{6400} \right)$
$g' = g \left( 1 - \frac{1}{100} \right)$
$g' = g \left( 0.99 \right)$
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $0.99 \, g$ થાય છે.

(D) ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યારે $h \ll R$ હોય).
$g$ માં સમાન ફેરફાર માટે બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$g(1 - d/R) = g(1 - 2h/R)$
$d/R = 2h/R$
$d = 2h$
આપેલ છે કે $d = 10 \, km$,તેથી $10 = 2h$,જેનો અર્થ છે કે $h = 5 \, km$.

(A) પદાર્થનું વજન $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
જો પૃથ્વી તેનું ગુરુત્વાકર્ષણ ગુમાવે,તો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે.
પરિણામે,વજન $W = m \times 0 = 0$ થાય છે.
જો કે,પદાર્થનું દળ $m$ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધારિત નથી; તેથી,દળ બદલાતું નથી.
આમ,વજન શૂન્ય થાય છે,પરંતુ દળ શૂન્ય થતું નથી.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g' = 1\% \text{ of } g$,તેથી $g' = \frac{1}{100} g$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{100} g = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા: $\frac{1}{100} = \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{10} = \frac{R}{R + h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $R + h = 10R$.
તેથી,$h = 10R - R = 9R$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 72 \ N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મુકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ થશે.
$W = 72 \ N$ ની કિંમત મુકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે.
$\lambda = 60^o$ પર $g'$ શૂન્ય થવા માટે:
$0 = g - \omega^2 R \cos^2(60^o)$
$0 = g - \omega^2 R (1/2)^2$
$0 = g - \frac{\omega^2 R}{4}$
$\omega^2 = \frac{4g}{R}$
$\omega = 2 \sqrt{\frac{g}{R}}$
અહીં $g = 10 \, m/s^2$ અને $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ છે:
$\omega = 2 \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = 2 \sqrt{\frac{10}{64 \times 10^5}} = 2 \times \frac{1}{800} = 2.5 \times 10^{-3} \, rad/s$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો: $g = 9.8 \, m/s^2$,$d = 100 \, km$,અને $R = 6400 \, km$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = 9.8 \left( 1 - \frac{100}{6400} \right)$
$g' = 9.8 \left( 1 - \frac{1}{64} \right)$
$g' = 9.8 \left( \frac{63}{64} \right)$
$g' = 9.8 \times 0.984375$
$g' \approx 9.6468 \, m/s^2$,જે આપેલા વિકલ્પો મુજબ $9.66 \, m/s^2$ થાય છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g$ નું મૂલ્ય ચોથા ભાગનું થાય છે,એટલે કે $g' = \frac{g}{4}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
બંને બાજુથી $g$ દૂર કરતા: $\frac{1}{4} = \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{2} = \frac{R}{R + h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $R + h = 2R$.
તેથી,$h = 2R - R = R$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
અહીં દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ હોવાથી,સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3}\pi G R \rho$
આમ,$g \propto R\rho$.
પૃથ્વી અને ચંદ્ર માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_e}{g_m} = \frac{R \cdot \rho_e}{r \cdot \rho_m} = \frac{R}{r} \cdot \frac{\rho_e}{\rho_m}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.