Change in Gravitational Potential Energy, Energy Conservation Questions in Gujarati

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સપાટીથી $h = nR$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + nR = R(1+n)$ થાય.
આ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R(1+n)}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R(1+n)} - (-\frac{GMm}{R})$ છે.
$\Delta U = \frac{GMm}{R} (1 - \frac{1}{1+n}) = \frac{GMm}{R} (\frac{1+n-1}{1+n}) = \frac{GMm}{R} (\frac{n}{n+1})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા: $\Delta U = \frac{gR^2 m}{R} (\frac{n}{n+1}) = mgR \frac{n}{n+1}$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r_1 = R$,તેથી $U_1 = -\frac{GMm}{R}$.
$h = 3R$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + h = R + 3R = 4R$ થાય.
તેથી,$U_2 = -\frac{GMm}{4R}$.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થાન પૃથ્વીની સપાટીથી $2R$ ઊંચાઈએ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_i = R + 2R = 3R$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા: $U_i = -\frac{GMm}{3R}$.
અંતિમ સ્થાન પૃથ્વીની સપાટીથી $R$ ઊંચાઈએ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_f = R + R = 2R$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા: $U_f = -\frac{GMm}{2R}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જા $(KE)$ માં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$KE = U_i - U_f = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$KE = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$.

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 2R$ થી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 3R$ સુધી ખસેડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે,$\Delta U = U_f - U_i$.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{3 - 2}{6R} \right) = \frac{GMm}{6R}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં રહેલા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E$ એ તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે.
જો કોઈ મિસાઇલને નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2GM/R}$ થી છોડવામાં આવે,તો તેની કુલ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે,જે તેને અનંત સુધી જવા દે છે.
જો પ્રક્ષેપણ વેગ $v$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા ઓછો $(v < v_e)$ હોય,તો પદાર્થ પૃથ્વી સાથે ગુરુત્વાકર્ષણથી બંધાયેલો રહે છે.
બંધાયેલી સિસ્ટમ માટે,કુલ ઊર્જા $E = K + U$ હંમેશા ઋણ હોય છે.
આ ઋણ મૂલ્ય દર્શાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે અને પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી મુક્ત થઈ શકતો નથી.

(A) સૌર મંડળમાં,ગ્રહની કક્ષા લંબગોળ હોય છે અને સૂર્ય તેના બે કેન્દ્રો પૈકીના એક પર હોય છે.
જેમ ગ્રહ લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરે છે તેમ સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું અંતર બદલાય છે,તેથી કક્ષાના દરેક બિંદુએ ગ્રહનો વેગ સમાન હોતો નથી.
વેગ બદલાતો હોવાથી,રેખીય વેગમાન $(p = mv)$ અને ગતિ ઉર્જા $(K.E. = \frac{1}{2}mv^2)$ બંનેનું સંરક્ષણ થતું નથી.
કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ કોણીય વેગ પણ બદલાય છે.
જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,ગ્રહ-સૂર્ય તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(K.E. + P.E.)$ હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GM_eM}{R+h}$
$E_i = E_f$ સરખાવતા: $\frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R} = - \frac{GM_eM}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM_e \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
$g = \frac{GM_e}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$GM_e = gR^2$ મળે.
$\frac{V^2}{2} = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{gR^2h}{R(R+h)} = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$
અંશ અને છેદને $V^2$ વડે ભાગતા: $h = \frac{R}{\frac{2gR}{V^2} - 1}$

(C) કેન્દ્રીય બળ એવું બળ છે જે કણ અને ઉગમબિંદુ (બળનું કેન્દ્ર) ને જોડતી રેખાની દિશામાં હોય છે.
કેન્દ્રીય બળ માટે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ હોવાથી (કારણ કે $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ એક જ રેખા પર છે),કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
વધુમાં,કેન્દ્રીય બળો સંરક્ષી બળો છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના દ્વારા થતું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી અને તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = K + U$ સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,કેન્દ્રીય બળની અસર હેઠળ કોણીય વેગમાન અને યાંત્રિક ઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પ્રારંભિક ઊંચાઈ,$r_1 = R + 2R = 3R$.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતિમ ઊંચાઈ,$r_2 = R + R = 2R$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા,$U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{3R}$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા,$U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
સ્થિતિઊર્જામાં ફેરફાર,$\Delta U = U_1 - U_2 = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$.
$\Delta U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$.
પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવ્યો હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $K = \Delta U = \frac{1}{6} \frac{GMm}{R}$ થાય.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ લેતા: $\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{V^2}{2} = gR^2 (\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h})$
$\frac{V^2}{2} = gR^2 (\frac{R+h-R}{R(R+h)}) = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{2gR}{V^2} = \frac{R+h}{h} = \frac{R}{h} + 1$
$\frac{R}{h} = \frac{2gR}{V^2} - 1$
$h = \frac{R}{(\frac{2gR}{V^2} - 1)}$

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_i = R$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈએ,કેન્દ્રથી અંતર $r_f = R + h = R + 2R = 3R$ થાય છે.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{3R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}(1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}\frac{GMm}{R}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR^2)m}{R} = \frac{2}{3}mgR$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જતી વખતે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = \frac{mgh}{1 + \frac{h}{R}}$.
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = 3R$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta U = \frac{mg(3R)}{1 + \frac{3R}{R}}$
$\Delta U = \frac{3mgR}{1 + 3}$
$\Delta U = \frac{3mgR}{4}$
આમ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{3}{4} mgR$ છે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $0$ છે.
$d$ અંતરે,કુલ ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $K.E. + P.E. = 0$.
રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $-\frac{G m_1 m_2}{d}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{rel}^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$.
$v_{rel}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{rel}^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$.
$v_{rel}^2 = \frac{2G(m_1 + m_2)}{d}$.
$v_{rel} = \sqrt{\frac{2G(m_1 + m_2)}{d}}$.

(B) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી $u = \sqrt{Rg}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે તે પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m u^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
આપેલ છે કે $u^2 = Rg$ અને $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. સમીકરણમાં $u^2 = Rg$ અને $GM = gR^2$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} m (Rg) - \frac{(gR^2) m}{R} = - \frac{(gR^2) m}{R+h}$
$\frac{1}{2} mgR - mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$
$-\frac{1}{2} mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 2R$
$h = R$

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h = \frac{R}{2}$ ઊંચાઈ પર,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય.
આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{3R/2} = -\frac{2GMm}{3R}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{3R}$.
સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{3R} = \frac{mgR}{3}$ મળે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર સ્થિતિ ઉર્જા $U_s = -\frac{GMm}{R}$ છે.
ગ્રહના કેન્દ્ર પર સ્થિતિ ઉર્જા $U_c = -\frac{3GMm}{2R}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ કેન્દ્ર પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$-\frac{GMm}{R} + 0 = -\frac{3GMm}{2R} + \frac{1}{2}mv^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{2R}$.
આમ,$v^2 = \frac{GM}{R}$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{GM}{R} = \frac{V_e^2}{2}$.
આ કિંમતને $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v^2 = \frac{V_e^2}{2}$ મળે છે,તેથી $v = \frac{V_e}{\sqrt{2}}$.

(B) અનંત અંતરે તંત્રની પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $0$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે કુલ ઉર્જા પણ $0$ હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{G m_1 m_2}{d} \quad ... (i)$
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી):
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 \implies v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \left( \frac{m_1}{m_2} v_1 \right)^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right) = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left( \frac{m_1 + m_2}{m_2} \right) = \frac{G m_2}{d}$
$v_1^2 = \frac{2 G m_2^2}{d(m_1 + m_2)} \implies v_1 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$
તે જ રીતે,$v_2 = m_1 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GM \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$
આપેલ છે કે $h = R$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GMR}{R(R+R)} = \frac{GM}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left( \frac{GM}{R} \right)^{1/2}$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટીથી $R$ ઊંચાઈએ (કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે) કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ સપાટી પર (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
$R$ ઊંચાઈએ પ્રારંભિક ઉર્જા $(r = 2R)$: $E_i = -\frac{GMm}{2R} + 0$
સપાટી પર અંતિમ ઉર્જા $(r = R)$: $E_f = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ થાય.
$v^2$ ના સમીકરણમાં $GM = gR^2$ મૂકતા:
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$
તેથી,$v = \sqrt{gR}$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GM_eM}{R+h}$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R} = - \frac{GM_eM}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM_e \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
$g = \frac{GM_e}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM_e = gR^2$ મળે છે:
$\frac{V^2}{2} = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{gR^2h}{R(R+h)} = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2} = \frac{R}{\left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)}$

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $(r = R)$: $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
સપાટીથી $h = 3R$ ઊંચાઈ પર અંતિમ સ્થિતિઊર્જા,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 3R = 4R$ થાય. તેથી,$U_f = -\frac{GMm}{4R}$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R})$ છે.
$\Delta U = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા અને પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = R$. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r_i = R + h = 2R$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = -\frac{GMm}{2R}$ અને પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = 0$ છે.
સપાટી પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R}$ અને અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{2R} + 0 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
$v^2 = \frac{GM}{R}$.
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left[ \frac{GM}{R} \right]^{1/2}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક બિંદુ $(r = R_0)$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી $(r = R)$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $(E_i)$ = પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા + પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા = $0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
અંતિમ ઉર્જા $(E_f)$ = અંતિમ ગતિ ઉર્જા + અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા = $\frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v^2$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v = \sqrt{2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$W = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = GMm \left( \frac{1}{2R} \right) = \frac{GMm}{2R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ ની કિંમત $W$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર $r_i = R$ છે.
કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર $r_f = R + h$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $U_1 + K_1 = U_2 + K_2$
અહીં,$U = -\frac{GM_e m}{r}$ અને $K = \frac{1}{2}mv^2$. નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{GM_e}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
$r_1 = 10R$ અંતરે,ઝડપ $v_1 = 12 \; km/s$. સપાટી પર $r_2 = R$ અંતરે,ઝડપ $v_2$ છે.
$-\frac{GM_e m}{10R} + \frac{1}{2}mv_1^2 = -\frac{GM_e m}{R} + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}v_2^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + \frac{GM_e}{R} - \frac{GM_e}{10R} = \frac{1}{2}v_1^2 + \frac{9}{10} \left( \frac{GM_e}{R} \right)$
$\frac{GM_e}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ મૂકતા:
$v_2^2 = v_1^2 + \frac{9}{10} v_e^2$
$v_2^2 = (12)^2 + 0.9 \times (11.2)^2 = 144 + 0.9 \times 125.44 = 144 + 112.896 = 256.896$
$v_2 = \sqrt{256.896} \approx 16.028 \; km/s$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $16 \; km/s$ છે.

(N/A) પદાર્થ પર બે ગોળાઓ દ્વારા પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળો લાગે છે. તટસ્થ બિંદુ $N$ એ એવી સ્થિતિ છે જ્યાં બંને બળો એકબીજાને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરે છે. જો $ON = r$ હોય,તો:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{4GMm}{(6R - r)^2}$
$(6R - r)^2 = 4r^2$
$6R - r = \pm 2r$
$r = 2R$ અથવા $r = -6R$ (ઋણ કિંમતને અવગણતા કારણ કે તે ગોળાઓની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર છે).
આમ,તટસ્થ બિંદુ કેન્દ્ર $O$ થી $r = 2R$ અંતરે છે.
પદાર્થને એવી ઝડપથી ફેંકવો પૂરતો છે કે જેથી તે $N$ સુધી પહોંચી શકે. ત્યારબાદ,$4M$ દળના ગોળાનું પ્રબળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેને બીજા ગોળા તરફ ખેંચી લેશે.
$M$ દળના ગોળાની સપાટી પર યાંત્રિક ઉર્જા:
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{4GMm}{5R}$
તટસ્થ બિંદુ $N$ પર,ઝડપ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે. $N$ પર યાંત્રિક ઉર્જા માત્ર સ્થિતિ ઉર્જા છે:
$E_N = -\frac{GMm}{2R} - \frac{4GMm}{4R} = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{2R}$
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ $(E_i = E_N)$:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{4GMm}{5R} = -\frac{3GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} + \frac{4GM}{5R} - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{R} \left( 1 + 0.8 - 1.5 \right) = \frac{GM}{R} (0.3) = \frac{3GM}{10R}$
$v^2 = \frac{6GM}{10R} = \frac{3GM}{5R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{5R}}$

(A) ધારો કે રોકેટનું દળ $m$ છે અને તે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કુલ ઉર્જા $E_i$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ $v = 0$ છે,તેથી કુલ ઉર્જા $E_f$ માત્ર સ્થિતિ ઉર્જા છે:
$E_f = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$:
$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e} = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
$m$ વડે ભાગતા અને પદ ગોઠવતા:
$\frac{v^2}{2} = G M_e \left( \frac{1}{R_e} - \frac{1}{R_e + h} \right) = G M_e \left( \frac{h}{R_e(R_e + h)} \right)$
$g = \frac{G M_e}{R_e^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $G M_e = g R_e^2$:
$\frac{v^2}{2} = \frac{g R_e^2 h}{R_e(R_e + h)} = \frac{g R_e h}{R_e + h}$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$v^2(R_e + h) = 2 g R_e h \implies v^2 R_e = h(2 g R_e - v^2)$
$h = \frac{R_e v^2}{2 g R_e - v^2}$
કિંમતો મૂકતા $v = 5 \times 10^3 \; m/s$,$R_e = 6.4 \times 10^6 \; m$,$g = 9.8 \; m/s^2$:
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times (5 \times 10^3)^2}{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6 - (5 \times 10^3)^2}$
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times 25 \times 10^6}{125.44 \times 10^6 - 25 \times 10^6} = \frac{160 \times 10^{12}}{100.44 \times 10^6} \approx 1.593 \times 10^6 \; m \approx 1.6 \times 10^6 \; m$.

(D) દરેક તારાનું દળ,$M = 2 \times 10^{30} \; kg$.
દરેક તારાની ત્રિજ્યા,$R = 10^{4} \; km = 10^{7} \; m$.
તારાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર,$r = 10^{9} \; km = 10^{12} \; m$.
ઝડપ નગણ્ય હોવાથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા,$U_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા,$E_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
અથડામણ સમયે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે.
ધારો કે દરેક તારાની ઝડપ $v$ છે.
કુલ ગતિઊર્જા,$K_{f} = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2}Mv^{2} = Mv^{2}$.
કુલ સ્થિતિઊર્જા,$U_{f} = -\frac{GM^{2}}{2R}$.
કુલ અંતિમ ઊર્જા,$E_{f} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_{i} = E_{f}$:
$-\frac{GM^{2}}{r} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
$v^{2} = GM \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{r} \right)$.
અહીં $r \gg 2R$ હોવાથી,$\frac{1}{r}$ એ $\frac{1}{2R}$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
$v^{2} \approx \frac{GM}{2R} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{2 \times 10^{7}} = 6.67 \times 10^{12} \; m^{2}/s^{2}$.
$v = \sqrt{6.67 \times 10^{12}} \approx 2.58 \times 10^{6} \; m/s$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
$1$. જ્યારે પદાર્થ પૃથ્વીથી દૂર જાય છે,ત્યારે અંતર $r$ વધે છે. $U$ ઋણ હોવાથી અને $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તે વધે છે.
$2$. જ્યારે પદાર્થ પૃથ્વીની નજીક આવે છે,ત્યારે અંતર $r$ ઘટે છે. જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઘટે છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલા કાર્ય દ્વારા મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = mg$ હોવાથી,પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = F \times h = mgh$ થાય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = mgh$ છે.

(N/A) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(r = R)$: $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલી ઊંચાઈ પર પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(r = R + R = 2R)$: $U_f = -\frac{GMm}{2R}$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $(\Delta U)$ = $U_f - U_i$.
$\Delta U = -\frac{GMm}{2R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
આ કિંમત સ્થિતિઊર્જામાં થતા વધારાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.

(B) નાના ગ્રહ સુધી પહોંચવા માટે,પદાર્થે બે ગ્રહો વચ્ચેના શૂન્ય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર (તટસ્થ બિંદુ) ને પાર કરવું આવશ્યક છે.
ધારો કે નાના ગ્રહના કેન્દ્રથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $x$ છે.
આ બિંદુએ બંને ગ્રહો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોને સરખાવતા:
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(16M)}{(10a - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{4}{10a - x} \implies 10a - x = 4x \implies x = 2a$.
હવે,મોટા ગ્રહની સપાટી અને તટસ્થ બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરતા.
મોટા ગ્રહની સપાટી પરનું પોટેન્શિયલ (ત્રિજ્યા $2a$,દળ $16M$) $V_L = -\frac{G(16M)}{2a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{8GM}{a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{65GM}{8a}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ પરનું પોટેન્શિયલ (મોટા ગ્રહથી $8a$ અંતરે,નાના ગ્રહથી $2a$ અંતરે) $V_P = -\frac{G(16M)}{8a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{2GM}{a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{5GM}{2a}$ છે.
$KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં તટસ્થ બિંદુ પર $KE_f = 0$ છે:
$\frac{1}{2}mv^2 + m V_L = 0 + m V_P$
$\frac{1}{2}v^2 = V_P - V_L = -\frac{5GM}{2a} - (-\frac{65GM}{8a}) = \frac{-20GM + 65GM}{8a} = \frac{45GM}{8a}$.
$v^2 = \frac{45GM}{4a} \implies v = \sqrt{\frac{45GM}{4a}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{5GM}{a}}$.

(A) બીજા ગ્રહની સપાટી સુધી પહોંચવા માટે,ઉપગ્રહે તે બિંદુને પાર કરવું પડશે જ્યાં કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય.
ધારો કે $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી આ બિંદુનું અંતર $x$ છે.
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(9M)}{(8R-x)^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{8R-x}$
$8R-x = 3x \Rightarrow x = 2R$.
હવે,પ્રથમ ગ્રહની સપાટી અને $x = 2R$ બિંદુ (જ્યાં વેગ લઘુત્તમ છે,એટલે કે $v_{min} = 0$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{G(9M)m}{7R} = 0 - \frac{GMm}{2R} - \frac{G(9M)m}{6R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} + \frac{9GM}{7R} - \frac{GM}{2R} - \frac{9GM}{6R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} [1 + \frac{9}{7} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}]$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} [1 + \frac{9}{7} - 2] = \frac{GM}{R} [\frac{9}{7} - 1] = \frac{GM}{R} [\frac{2}{7}]$
$v^2 = \frac{4}{7} \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{4}{7} \frac{GM}{R}}$
આને $\sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
વસ્તુને $h = 3R$ ઊંચાઈએ લઈ જવામાં આવે છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર $r = R + h = R + 3R = 4R$ થાય.
આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ છે.
$g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4} mgR$.
અહીં $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ છે:
$\Delta U = \frac{3}{4} \times 1 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 = 3 \times 2.5 \times 6.4 \times 10^6 = 48 \times 10^6 \, J = 48 \, MJ$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને જ્યારે તે ગ્રહની સપાટી પર પાછો ફરે ત્યારે તેની ઝડપ $v$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,ગ્રહના કેન્દ્રથી અંતર $r_{max} = R + 4R = 5R$ છે. આ બિંદુએ પદાર્થનો વેગ $0$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ અને ગ્રહની સપાટી વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$E_{initial} = E_{final}$
$U_{max} + K_{max} = U_{surface} + K_{surface}$
$-\frac{G M m}{5R} + 0 = -\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} - \frac{G M}{5R}$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} (1 - \frac{1}{5}) = \frac{G M}{R} (\frac{4}{5})$
$v^2 = \frac{8 G M}{5 R}$
$v = \sqrt{\frac{8 G M}{5 R}} = 2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$
આમ,જ્યારે પદાર્થ સપાટી પર પાછો ફરે ત્યારે તેની ઝડપ $2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$ હશે.

(B) શરૂઆતના બિંદુ $P$ (કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે) અને ચંદ્રની સપાટી $S$ (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા $(E_i)$ = અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા $(E_f)$
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left(-\frac{G M m}{3 R}\right) = -\frac{G M m}{3 R}$
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + \left(-\frac{G M m}{R}\right)$
$E_i$ અને $E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{G M m}{3 R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{3 R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{G M m}{R} \left(\frac{2}{3}\right)$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{2 G M}{3 R}$
$v^2 = \frac{4 G M}{3 R}$
$v = \sqrt{\frac{4 G M}{3 R}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી અને પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા $(E_i)$ = અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા $(E_f)$
$P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$-\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{G M}{R}}\right)^2 = -\frac{G M m}{r} + 0$
$-\frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{2 R} = -\frac{G M m}{r}$
$-\frac{G M m}{2 R} = -\frac{G M m}{r}$
$r = 2 R$
અહીં $r = R + h$ હોવાથી,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે:
$R + h = 2 R$
$h = R$

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે.
$h = R$ ઊંચાઈએ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R)$ અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $U_i - U_f = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$.
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$.
$GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{2}v^2 = \frac{gR^2}{2R} = \frac{gR}{2}$ મળે છે.
તેથી,$v^2 = gR$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{gR}$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિએ કુલ ઉર્જા (સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ,કેન્દ્રથી $r = 2R$ અંતર) એ પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા (કેન્દ્રથી $r = R$ અંતર) જેટલી હોય છે.
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$-\frac{GMm}{2R} + 0 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
આ કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$
$v = \sqrt{gR}$

(B) ધારો કે $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે. $m$ દળનો પદાર્થ શરૂઆતમાં સપાટીથી $R$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r_A = R + R = 2R$ છે.
બિંદુ $A$ (ઊંચાઈ $R$ પર) અને બિંદુ $B$ (સપાટી પર) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E_A = E_B$
$K_A + U_A = K_B + U_B$
પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,$K_A = 0$.
$0 - \frac{G M m}{2R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{2R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2R}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{G M}{R^2}$,તેથી $G M = g R^2$.
આ કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{g R^2}{R} = g R$
$v = \sqrt{g R}$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિમાં કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{R_0}$.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$.
$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$.
તેથી,વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)}$.

(D) કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે $r_1$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર છે અને $r_2$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર છે.
કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર: $r_1 = 3R + R = 4R$.
કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર: $r_2 = R + R = 2R$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા: $U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{4R}$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા: $U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = 0$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$.
$0 + (-\frac{GMm}{4R}) = K_2 + (-\frac{GMm}{2R})$.
$K_2 = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{GMm}{4R}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
અહીં $v = \frac{v_e}{3}$ આપેલ છે,જ્યાં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
$v^2 = \frac{v_e^2}{9} = \frac{2GM}{9R}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m\left(\frac{2GM}{9R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{9R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{9R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-9}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{-8}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક બિંદુ ($R_0$ અંતરે) પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી ($R$ અંતરે) પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ,$E_i = E_f$:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R_0} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
તેથી,પ્રાપ્ત વેગ $v$:
$v = \left[ 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
ઊંચાઈ $h$ પરની અંતિમ ઉર્જા: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
કારણ કે $GM = gR^2$:
$\frac{1}{2}V^2 = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = gR \left( \frac{h}{R+h} \right)$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી ઉપગ્રહને લોન્ચ કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ સપાટીથી અંતિમ ઊંચાઈ સુધી જતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે.
સપાટી પર પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(r_1 = R)$: $U_i = -\frac{G M m}{R}$
$h = 2R$ ઊંચાઈ પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $(r_2 = R + 2R = 3R)$: $U_f = -\frac{G M m}{3R}$
જરૂરી ઉર્જા $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{G M m}{3R} - (-\frac{G M m}{R})$
$\Delta U = G M m (\frac{1}{R} - \frac{1}{3R})$
$\Delta U = G M m (\frac{3-1}{3R}) = \frac{2 G M m}{3 R}$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$m$ વડે ભાગતા અને પદ ગોઠવતા: $\frac{GM}{R+h} = \frac{GM}{R} - \frac{u^2}{2}$
$GM = gR^2$ મૂકતા: $\frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{u^2}{2} = \frac{2gR - u^2}{2}$
$\frac{R+h}{R^2} = \frac{2g}{2gR - u^2}$
$R+h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2}$
$h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2} - R = \frac{2gR^2 - 2gR^2 + u^2R}{2gR - u^2} = \frac{u^2R}{2gR - u^2}$

(B) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ગતિઊર્જા $K_e = \frac{GMm}{R}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષિપ્ત ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} K_e = \frac{GMm}{2R}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં ઘટાડો = સ્થિતિઊર્જામાં વધારો:
$K = U_f - U_i$
$\frac{GMm}{2R} = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$\frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R+h}$
બંને બાજુ $GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R}$
$R+h = 2R$
$h = R$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_E = -\frac{G M m}{R}$ છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ,$m$ એ પદાર્થનું દળ,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
જ્યારે દળ $m$ ને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલી ઊંચાઈ પર લઈ જવામાં આવે,ત્યારે કેન્દ્રથી અંતર $r = R + R = 2R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{G M m}{2R}$ થાય છે.
આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W = U - U_E = -\frac{G M m}{2R} - (-\frac{G M m}{R}) = -\frac{G M m}{2R} + \frac{G M m}{R} = \frac{G M m}{2R}$ છે.
સંબંધ $g = \frac{G M}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $G M = g R^2$ મળે છે.
આ કિંમત કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $W = \frac{(g R^2) m}{2R} = \frac{m g R}{2}$.