Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

(B) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાન પદાર્થ અચળ વેગથી સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપગ્રહને વર્તુળમાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચાનક અદૃશ્ય થઈ જાય,તો ઉપગ્રહના વેગની દિશા બદલવા માટે કોઈ કેન્દ્રગામી બળ રહેશે નહીં.
તેથી,દિશાના જડત્વને કારણે,ઉપગ્રહ તે ક્ષણે તેના વેગની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે,તેથી ઉપગ્રહ મૂળ કક્ષાને સ્પર્શકની દિશામાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરશે.

(B) પૃથ્વી સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે સૂર્યની આસપાસ ફરે છે.
આ અવકાશી પદાર્થો વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણને કારણે કેન્દ્રગામી બળ ઉત્પન્ન થાય છે,જે પૃથ્વીને તેની ભ્રમણકક્ષામાં જાળવી રાખે છે.
ન્યૂટનના ગતિના નિયમો અનુસાર,વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થ પર વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કેન્દ્રગામી બળ કાર્યરત હોવું આવશ્યક છે.
તેથી,પૃથ્વીનું સૂર્યની આસપાસનું પરિભ્રમણ એ પુરાવો છે કે પૃથ્વી પર સૂર્ય તરફ નિર્દેશિત બળ કાર્યરત હોવું જોઈએ.

(D) આપેલ છે: પૃથ્વીનું દળ $m = 6 \times 10^{24} \ kg$,કોણીય વેગ $\omega = 2 \times 10^{-7} \ rad/s$,અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $R = 1.5 \times 10^8 \ km = 1.5 \times 10^{11} \ m$.
પૃથ્વીની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સૂર્ય દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = m \omega^2 R$ છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$F = (6 \times 10^{24}) \times (2 \times 10^{-7})^2 \times (1.5 \times 10^{11})$
$F = (6 \times 10^{24}) \times (4 \times 10^{-14}) \times (1.5 \times 10^{11})$
$F = (6 \times 4 \times 1.5) \times (10^{24} \times 10^{-14} \times 10^{11})$
$F = 36 \times 10^{21} \ N$.

(B) પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કેન્દ્રગામી બળ એ કોઈ વધારાનું બળ નથી,પરંતુ તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા જ પૂરું પાડવામાં આવે છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ જ ઉપગ્રહ પર લાગતું પરિણામી બળ છે.
તેથી,ઉપગ્રહ પર લાગતું પરિણામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું જ એટલે કે $F$ છે.

(C) ભારહીનતાનું કારણ ઉપગ્રહની સપાટી દ્વારા લાગતું $\text{શૂન્ય}$ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
વજન એટલે પૃષ્ઠ દ્વારા પદાર્થ પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ.
ઉપગ્રહમાં, ઉપગ્રહ અને તેની અંદરનો પદાર્થ બંને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ સમાન પ્રવેગ (તે ઊંચાઈ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ જેટલો) સાથે મુક્ત પતન કરે છે.
તેઓ સાથે નીચે પડી રહ્યા હોવાથી, ઉપગ્રહની સપાટી પદાર્થ પર કોઈ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડતી નથી.
તેથી, પદાર્થ ભારહીનતા અનુભવે છે.

(D) જ્યારે અવકાશયાન પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે અવકાશયાન અને તેની અંદરની વસ્તુઓ બંને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય છે. કારણ કે બંને સમાન પ્રવેગ (ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ) સાથે નીચે પડી રહ્યા છે,તેથી અવકાશયાનના તળિયા દ્વારા અંદરની વસ્તુઓ પર કોઈ લંબબળ લાગતું નથી. સંપર્ક બળના આ અભાવને કારણે ભારહીનતાનો અનુભવ થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની અંદરનો અવકાશયાત્રી પૃથ્વી તરફ સતત મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય છે.
જોકે પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અવકાશયાત્રી પર લાગે છે,પરંતુ ઉપગ્રહ અને અવકાશયાત્રી બંને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ સમાન દરે (તે ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ જેટલા દરે) પ્રવેગિત થાય છે.
બંને સાથે પડતા હોવાથી,અવકાશયાત્રીને ઉપગ્રહના તળિયામાંથી કોઈ લંબબળનો અનુભવ થતો નથી,જેના પરિણામે ભારહીનતાનો અનુભવ થાય છે.
તેથી,ભારહીનતા એ મુક્ત પતનની સ્થિતિ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા અને $r$ વડે ગુણતા:
$v^2 = \frac{GM}{r}$.
આમ,સાચું સમીકરણ $v^2 = \frac{GM}{r}$ છે.

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_0 \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
તેથી,કક્ષીય વેગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ એ સાચું વિધાન છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
આ કિંમતોને કક્ષીય વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R + h}}$.

(B) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ હોય છે,જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઉપગ્રહ પર બળ લાગતું હોવાથી,તે પ્રવેગ અનુભવે છે,જેને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/r)$ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,તે કોઈ પ્રવેગ અનુભવતું નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.
વિકલ્પ $(b)$ એ ખોટું વિધાન છે.

(B) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કક્ષીય ઝડપ $v$ એ ઉપગ્રહના દળ ($m_1$ કે $m_2$) પર આધાર રાખતી નથી.
જોકે,કક્ષીય ઝડપ $v$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \frac{1}{\sqrt{r}})$.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{r_1}} < \frac{1}{\sqrt{r_2}}$ થાય.
તેથી,$v_1 < v_2$ સાચું છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા અવકાશયાનમાંથી બહાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ક્ષણે તેની પાસે અવકાશયાન જેટલો જ કક્ષીય વેગ હોય છે. અવકાશના શૂન્યાવકાશમાં તેની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે કોઈ બાહ્ય બળ (જેમ કે હવાનો અવરોધ) ન હોવાથી,ચમચી અવકાશયાનની સાથે તે જ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે. તેથી,ચમચી અવકાશયાનની સાથે ગતિ કરશે.

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષાના પરિઘ અને કક્ષીય વેગના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 \pi r}{v_o}$
કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
અહીં,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,અને $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ગ્રહના દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,આવર્તકાળ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક હોય,ત્યારે ઊંચાઈ $h$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે (એટલે કે $h \approx 0$).
તેથી,સૂત્ર $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ લખી શકાય.
આ કિંમતને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$.
આમ,પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે.

(D) $T.V.$ પ્રસારણ માટે વપરાતો રિલે સેટેલાઇટ એ જીઓસ્ટેશનરી (ભૂસ્થિર) સેટેલાઇટ છે.
સેટેલાઇટને જીઓસ્ટેશનરી બનવા માટે,તે પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિર દેખાવો જોઈએ.
આ માટે સેટેલાઇટનો ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો પૃથ્વીના તેની ધરી પરના પરિભ્રમણ સમયગાળા જેટલો,એટલે કે $24$ કલાક હોવો જરૂરી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$ હોવાથી,ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$
આપેલ છે કે $r_A = 4R$ અને $r_B = R$,તેથી:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
ઉપગ્રહ $A$ ની ઝડપ $v_A = 3V$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{3V}{v_B} = \frac{1}{2}$
આમ,$v_B = 3V \times 2 = 6V$.

(A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ એ એક એવો ઉપગ્રહ છે જે પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં પૃથ્વીના પરિભ્રમણ સમય ($24$ કલાક) જેટલા જ સમયગાળા સાથે ભ્રમણ કરે છે.
પૃથ્વી તેની ધ્રુવીય ધરીની આસપાસ ફરે છે,તેથી ભૂસ્થિર ઉપગ્રહે પણ પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેવા માટે તે જ ધ્રુવીય ધરીની આસપાસ ફરવું પડે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તે ધ્રુવીય ધરીની આસપાસ ફરે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $(v_{0})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{0} = \sqrt{g R_{e}}$
જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(9.8 \ m/s^{2})$ છે અને $R_{e}$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(6.4 \times 10^{6} \ m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_{0} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^{6}}$
$v_{0} = \sqrt{62.72 \times 10^{6}}$
$v_{0} \approx 7.92 \times 10^{3} \ m/s$
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v_{0} \approx 7.92 \ km/s \approx 8 \ km/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
જ્યારે ઉપગ્રહ લંબગોળ કક્ષામાં હોય છે,ત્યારે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ માટે તે પૃથ્વીની નજીક હોય ત્યારે (પેરીજી પર) ઝડપથી અને દૂર હોય ત્યારે (એપોજી પર) ધીમેથી ગતિ કરે છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(\theta)$ સંરક્ષિત રહે છે.
$L$ અચળ હોવાથી,જ્યારે ઉપગ્રહ સૌથી નજીકના કે દૂરના બિંદુ પર હોય ત્યારે $v$ એ $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે પૃથ્વીથી અંતર $r$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે ઝડપ સૌથી વધુ હોય છે.

(C) $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે,$h = 0$,તેથી વેગ $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = v$ થાય.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,ઊંચાઈ $h = \frac{R}{2}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{R + \frac{R}{2}}} = \sqrt{\frac{GM}{\frac{3R}{2}}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$ મળે.
આને આપણે $v_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{GM}{R}}$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$,તેથી $v_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}v$ થાય.

(D) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $K.E. \propto v^2$.
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $K.E. \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યાના ઘનના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto T^{2/3}$.
$r \propto T^{2/3}$ ને $K.E. \propto \frac{1}{r}$ સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $K.E. \propto \frac{1}{T^{2/3}}$ અથવા $K.E. \propto T^{-2/3}$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ લખી શકાય.
આ કિંમતને કક્ષીય વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{0} = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}$
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે $(R >> h)$,તેથી આપણે $R+h \approx R$ લઈ શકીએ.
તેથી,કક્ષીય વેગ:
$v_{0} = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

(D) ઉપગ્રહનો કક્ષીય સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = 4\pi^2 \frac{r^3}{GM}$
કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}$
તેથી,$r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ માત્ર પૃથ્વીનું દળ $(M)$,ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$ અને ઉપગ્રહનો સમયગાળો $(T)$ પર આધાર રાખે છે. તે ઉપગ્રહના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto r^{-1/2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln v = \ln(GM)^{1/2} - \frac{1}{2} \ln r$ મળે છે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{dv}{v} = -\frac{1}{2} \frac{dr}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં $1\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{dr}{r} = -0.01$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{dv}{v} = -\frac{1}{2} (-0.01) = +0.005$.
તેથી,ઝડપમાં $0.5\%$ નો વધારો થશે.

(B) ગ્રહની આસપાસ ફરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,
$M$ એ મુખ્ય પદાર્થ (પૃથ્વી) નું દળ છે,
$r$ એ ઉપગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કક્ષીય વેગ $v$ એ પૃથ્વીના દળ $(M)$ અને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $(r)$ પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ એ પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતો ઉપગ્રહ છે,જે વિષુવવૃત્તની ઉપર આશરે $35,800 \text{ km}$ ની ઊંચાઈ પર મૂકવામાં આવે છે,જે પૃથ્વી જે દિશામાં ફરે છે (પશ્ચિમથી પૂર્વ) તે જ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે.
આ ઊંચાઈ પર,એક ભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે $24 \text{ કલાક}$ લાગે છે,જે પૃથ્વીને પોતાની ધરી પર એક વાર ફરવા માટે જરૂરી સમય જેટલો જ છે.

(A) ઉપગ્રહના કક્ષીય વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ધારો કે $v_1 = 7 \, km/s$ એ સપાટી પરનો વેગ છે (જ્યાં $r_1 = R_e$) અને $v_2$ એ $r_2 = 4R_e$ વાળી કક્ષામાં વેગ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}} = \sqrt{\frac{R_e}{4R_e}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \, km/s$.

(D) ઉપગ્રહોની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = R + R = 2R$ અને $r_2 = R + 7R = 8R$ છે.
પૃથ્વીનું દળ $M$ અને ઉપગ્રહનું દળ $m$ હોય,તો સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$,ગતિ ઉર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ અને કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ થાય.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$.
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$.
આ તમામ ગુણોત્તર $4$ હોવાથી,વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(D) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો $T$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણ સમયગાળા જેટલો હોય છે,જે $T = 2\pi/\omega$ છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાનો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $T^2 = (4\pi^2/GM)r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = GM/R^2$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $GM = gR^2$.
કેપ્લરના નિયમના સમીકરણમાં $GM$ ની કિંમત મૂકતા: $(2\pi/\omega)^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $4\pi^2/\omega^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$.
બંને બાજુથી $4\pi^2$ ને દૂર કરતા: $1/\omega^2 = r^3 / (gR^2)$.
તેથી,$r^3 = gR^2/\omega^2$.

(A) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_o$ એ સૂત્ર $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે કક્ષીય વેગ માત્ર પૃથ્વીના દળ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે; તે ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિધાન કે કક્ષીય વેગ ઉપગ્રહના દળ પર આધાર રાખે છે તે ખોટું છે.

(A) જ્યારે પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા અવકાશયાનમાંથી કોઈ વસ્તુ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે મુક્ત થવાના સમયે અવકાશયાન જેટલો જ કક્ષીય વેગ ધરાવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ (જડત્વ) મુજબ,તે વસ્તુ અવકાશયાનની મૂળ ભ્રમણકક્ષામાં સમાન વેગ $v$ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
દડાની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું ન હોવાથી,તે પૃથ્વી પર પડશે નહીં કે અવકાશમાં દૂર જશે નહીં; તે ફક્ત અવકાશયાનના માર્ગને જ અનુસરશે.

(B) પૃથ્વી (દળ $M_e$) ની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$\frac{GM_e M}{r^2} = \frac{M v^2}{r}$
અહીં $v = \frac{2\pi r}{T}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{GM_e}{r^2} = \frac{(2\pi r / T)^2}{r}$
$\frac{GM_e}{r^2} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2 r}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM_e}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_e}}$
આમ,$T \propto \sqrt{\frac{r^3}{GM_e}}$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સંબંધ $T \propto \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.

(D) જે ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે છે તેને ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ કહેવામાં આવે છે.
તેનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $(T)$ પૃથ્વીના પરિભ્રમણ સમયગાળા જેટલો એટલે કે $24 \text{ કલાક}$ હોય છે.
કક્ષીય ત્રિજ્યા $(r)$ માટેનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
$T = 86400 \text{ s}$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$,અને $M = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને કક્ષીય ત્રિજ્યા $r \approx 42200 \text{ km}$ મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $(h)$ $h = r - R_e$ છે,જ્યાં $R_e \approx 6400 \text{ km}$ છે.
તેથી,$h = 42200 \text{ km} - 6400 \text{ km} = 35800 \text{ km}$,જે આશરે $36000 \text{ km}$ છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું વજન $W = mg$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં,ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે.
કારણ કે ઉપગ્રહ મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં છે,તેથી અવકાશયાત્રી દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_{eff})$ $0$ હોય છે.
તેથી,અવકાશયાત્રીનું વજન $W = m \times 0 = 0$ થાય છે.

(D) કોમ્યુનિકેશન સેટેલાઇટ સામાન્ય રીતે જીઓસ્ટેશનરી (ભૂસ્થિર) સેટેલાઇટ હોય છે.
જીઓસ્ટેશનરી સેટેલાઇટ પૃથ્વીની આસપાસ પૃથ્વીની પોતાની ધરી પરની ભ્રમણ ગતિ જેટલી જ કોણીય ઝડપથી ફરે છે.
તેથી,જીઓસ્ટેશનરી સેટેલાઇટનો આવર્તકાળ પૃથ્વીને તેની ધરી પર એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમય જેટલો એટલે કે $24\, hours$ હોય છે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીની ખૂબ નજીક રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R$ છે,તેથી $V_o = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
$h = 3R$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + h = R + 3R = 4R$ થાય.
નવી કક્ષીય ઝડપ $v'$ એ $v' = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
સમીકરણમાં $V_o$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v' = \frac{1}{2} V_o = 0.5\,V_o$ મળે છે.

(D) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં $24 \text{ કલાક}$ ના સમયગાળા સાથે ભ્રમણ કરે છે.
તેની ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે,આપણે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R_e + h$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$T = 86400 \text{ s}$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$,અને $M = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $r \approx 42,200 \text{ km}$ મળે છે.
$R_e \approx 6,400 \text{ km}$ હોવાથી,ઊંચાઈ $h = r - R_e \approx 42,200 - 6,400 = 35,800 \text{ km}$ થાય છે.
આ ઊંચાઈ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં લગભગ $5.6$ થી $6$ ગણી છે $(6 \times 6,400 = 38,400 \text{ km})$.
તેથી,વિધાન $(d)$ સાચું વર્ણન છે.

(B) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે $36,000 \ km$ ની ઊંચાઈ પર પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \ km$ આપેલ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $r = 6400 \ km + 36000 \ km = 42400 \ km$.
હવે,આને $R$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $r = \frac{42400}{6400} R \approx 6.625 R$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આ અંતર પૃથ્વીના કેન્દ્રથી આશરે $7 R$ છે.

(D) ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને કેન્દ્રગામી બળના સંતુલન દ્વારા નક્કી થાય છે: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,જો સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોય તો કોણીય વેગમાન $L = mvr$ સંરક્ષિત રહે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,તે ઉપગ્રહ પર કોઈ ટોર્ક લગાડતું નથી.
તેથી,જો ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ સમય સાથે બદલાય તો પણ ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ બદલાતું નથી.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ લખી શકાય.
અહીં $h = R$ અને $GM = gR^2$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+R)^3}{gR^2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{8R}{g}}$
$T = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \sqrt{\frac{R}{g}}$
$T = 4\sqrt{2}\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય $T$ કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
અહીં,$r = R + h$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} = \frac{4\pi^2 (R+h)^3}{GM}$.
$(R+h)^3$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $(R+h)^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $R+h = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$.
છેલ્લે,$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} - R$.

(D) કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જીઓસ્ટેશનરી ઉપગ્રહ માટે,$h_1 = 6R$,તેથી $r_1 = R + 6R = 7R$. સમયગાળો $T_1 = 24 \text{ hr}$ છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,$h_2 = 2.5R$,તેથી $r_2 = R + 2.5R = 3.5R$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{24} = \left( \frac{3.5R}{7R} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2}$.
$T_2 = 24 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \text{ hr}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહ (ચંદ્ર) ની કક્ષીય ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
આપેલ છે:
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^2/kg^2$
$M = 6 \times 10^{24} \, kg$
$r = 384000 \, km = 384000 \times 10^3 \, m = 3.84 \times 10^8 \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{3.84 \times 10^8}}$
$v = \sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{3.84 \times 10^8}}$
$v = \sqrt{10.42 \times 10^5} \approx \sqrt{1.042 \times 10^6}$
$v \approx 1020 \, m/s$
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v \approx 1.02 \, km/s \approx 1 \, km/s$.

(A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં ભ્રમણ કરતો હોવો જોઈએ.
આનું કારણ એ છે કે પૃથ્વીની સપાટી પરના નિરીક્ષકની સાપેક્ષમાં ઉપગ્રહ સ્થિર દેખાવો જોઈએ.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણની સાપેક્ષમાં ઉપગ્રહ સ્થિર રહે તે માટે,તેનો ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો બરાબર $24$ કલાક હોવો જોઈએ અને તેણે પૃથ્વીની દિશામાં જ (પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ) પરિભ્રમણ કરવું જોઈએ.
તેથી,તેને વિષુવવૃત્તની બરાબર ઉપર સ્થાપિત કરવો આવશ્યક છે.

(C) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર એવી રીતે ભ્રમણ કરે છે કે તેનો ભ્રમણ સમય $24 \ \text{કલાક}$ હોય.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \sqrt[3]{\frac{GM T^2}{4\pi^2}}$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર આશરે $42400 \ km$ મળે છે.
સપાટીથી ઊંચાઈ $h = r - R_e = 42400 \ km - 6400 \ km = 36000 \ km$ થાય.
પ્રશ્નમાં સપાટીથી અંતર $R_e$ ના સ્વરૂપમાં પૂછવામાં આવ્યું છે.
અંતર $h = 36000 \ km$.
$R_e$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે, $h = n \times R_e$ લઈએ.
$n = \frac{36000}{6400} = 5.625$.
આમ, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r/R_e = 42400/6400 = 6.625 \approx 6.6$ થાય છે.

(C) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0$ નું સૂત્ર $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
સંબંધ $GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g = 10\, m/s^2$ અને $R = 6400\, km = 6.4 \times 10^6\, m$ છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}$
અહીં $r = 8000\, km = 8 \times 10^6\, m$ આપેલ છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2}{8 \times 10^6}}$
$v_0 = \sqrt{\frac{10 \times 40.96 \times 10^{12}}{8 \times 10^6}}$
$v_0 = \sqrt{51.2 \times 10^6} \approx 7155\, m/s$
$v_0 \approx 7.15\, km/s$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r \approx R$ થાય,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ ને કક્ષીય વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કણને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g \propto \frac{1}{R}$ છે,જેને કોઈ અચળાંક $K$ માટે $F_g = \frac{K}{R}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{R} = \frac{K}{R}$.
બંને બાજુથી $R$ દૂર કરતા,આપણને $mv^2 = K$ મળે છે.
અહીં $m$ અને $K$ અચળાંક હોવાથી,$v^2$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $v$ અચળ છે.
તેથી,$v \propto R^0$.