Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(A) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે ન્યૂટનનો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે બ્રહ્માંડનો દરેક કણ બીજા દરેક કણને એક બળ સાથે આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ શૂન્ય હોય છે. વજનની વ્યાખ્યા $W = mg$ હોવાથી,જો $g = 0$ હોય,તો પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર વ્યક્તિનું વજન $W$ પણ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \ s$ હોય છે.
સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2} = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^{2} = g \left( \frac{1}{3} \right)^{2} = \frac{g}{9}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g = \pi^{2} \ m/s^{2}$,તેથી $g' = \frac{\pi^{2}}{9} \ m/s^{2}$.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\pi^{2}/9}}$.
$1 = \pi \sqrt{\frac{9L}{\pi^{2}}} = \pi \cdot \frac{3\sqrt{L}}{\pi} = 3\sqrt{L}$.
$\sqrt{L} = \frac{1}{3} \Rightarrow L = \frac{1}{9} \ m$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી અંતર $r = \frac{5}{4}R$ આપેલું હોવાથી,આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ:
$g' = \frac{GM}{(\frac{5}{4}R)^2} = \frac{GM}{\frac{25}{16}R^2} = \frac{16}{25} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{16}{25}g$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,નવું વજન $W' = m g' = \frac{16}{25}mg = \frac{16}{25}W$ થાય.
વજનમાં ઘટાડો $\Delta W = W - W' = W - \frac{16}{25}W = \frac{9}{25}W$ છે.
વજનમાં ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta W}{W} \times 100 = \frac{9/25 W}{W} \times 100 = \frac{9}{25} \times 100 = 36\%$ થાય.
આમ,પદાર્થના વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $36\%$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h << R$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta g = g - g' = g(\frac{2h}{R})$ છે.
વજનમાં થતો આંશિક ઘટાડો (જે $g$ માં થતા ફેરફારના પ્રમાણસર છે) $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ઘટાડો શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{ટકાવારી ઘટાડો} = \frac{\Delta g}{g} \times 100 = \frac{2h}{R} \times 100$.
આપેલ કિંમતો $h = 32 \ km$ અને $R = 6400 \ km$ મૂકતા:
$\text{ટકાવારી ઘટાડો} = 2 \times \frac{32}{6400} \times 100 = 2 \times \frac{1}{200} \times 100 = 1 \%$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{g'}{g}} = \frac{R_E}{R_E + h}$.
આપેલ આવર્તકાળ $T_1 = 4\,s$ અને $T_2 = 6\,s$ માટે,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \frac{R_E + h}{R_E}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{4} = \frac{6400 + h}{6400}$.
$1.5 = 1 + \frac{h}{6400}$.
$0.5 = \frac{h}{6400}$.
$h = 0.5 \times 6400 = 3200\,km$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$.
અહીં ત્રિજ્યા $2 \%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.02$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.02) = 0.04$.
ટકાવારીમાં ફેરવવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 4 \%$.
પરિણામ ધન હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગમાં $4 \%$ નો વધારો થશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ છે,જ્યાં $h \ll R_e$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_h = g_d$ હોવાથી:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
આપેલ છે કે $d = \alpha h$,તેથી:
$\alpha h = 2h$
$\alpha = 2$.

(B) જેમ આપણે પૃથ્વીની સપાટીથી દૂર જઈએ છીએ તેમ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ઘટે છે,જે $g(h) = g_0(1 - 2h/R_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $C$ એ કેબિનનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. $h$ ઊંચાઈ પરના કોઈપણ પદાર્થનો પ્રવેગ $a = g(h)$ છે.
કારણ કે $A$ એ $C$ ની ઉપર છે અને $B$ એ $C$ ની નીચે છે,તેથી તેમની ઊંચાઈઓ $h_A > h_C > h_B$ છે.
પરિણામે,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $a_B > a_C > a_A$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
કેબિનના ફ્રેમ (જેનો પ્રવેગ $a_C$ છે) થી જોતા,સાપેક્ષ પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$a_{A,rel} = a_A - a_C < 0$ (એટલે કે $A$ કેબિનની સાપેક્ષમાં ઉપર તરફ પ્રવેગિત થાય છે).
$a_{B,rel} = a_B - a_C > 0$ (એટલે કે $B$ કેબિનની સાપેક્ષમાં નીચે તરફ પ્રવેગિત થાય છે).
આમ,$A$ ધીમેથી ઉપર તરફ અને $B$ ધીમેથી નીચે તરફ કેબિનની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ગ્રહના પરિભ્રમણને કારણે,$\lambda$ અક્ષાંશ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g^{\prime} = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્ત પર,$\lambda = 0^{\circ}$,તેથી $g_e = g - \omega^2 R$.
$60^{\circ}$ અક્ષાંશ પર,$\lambda = 60^{\circ}$,તેથી $g_{60} = g - \omega^2 R \cos^2(60^{\circ}) = g - \frac{\omega^2 R}{4}$.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પરનું વજન એ $60^{\circ}$ પરના વજનના $f$ ગણું છે,તેથી $g_e = f \cdot g_{60}$.
સમીકરણો મૂકતા: $g - \omega^2 R = f \left( g - \frac{\omega^2 R}{4} \right)$.
ગોઠવતા: $g(1 - f) = \omega^2 R \left( 1 - \frac{f}{4} \right) = \frac{\omega^2 R}{4} (4 - f)$.
$g = \frac{GM}{R^2}$,$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$,અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) (1 - f) = \frac{4 \pi^2}{T^2} R \left( \frac{4 - f}{4} \right)$.
$\frac{4}{3} \pi G R \rho (1 - f) = \frac{\pi^2 R}{T^2} (4 - f)$.
ઘનતા $\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = \left( \frac{4 - f}{1 - f} \right) \cdot \frac{3 \pi}{4 G T^2}$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_h = g_d$ છે.
તેથી,$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{2h}{R} = \frac{d}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = 2h$.
અહીં $h = 10 \,km$ આપેલ હોવાથી,$d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ થાય.

(D) દડાની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(6400 \, km)$ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ $(9 \, km)$ છે.
$h \ll R$ હોવાથી,$r \approx R$ થાય.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = v^2 / r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{GM/r}$ મૂકતા,આપણને $a = (GM/r) / r = GM/r^2$ મળે છે.
$r \approx R$ હોવાથી,પ્રવેગ $a \approx GM/R^2$ થાય.
વ્યાખ્યા મુજબ,પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = GM/R^2$ છે.
તેથી,કક્ષામાં રહેલા દડાનો પ્રવેગ લગભગ $g$ જેટલો જ હોય છે.

(B) આપેલ છે કે,બીજા ગ્રહનું દળ $M_2 = 8 M_1$,જ્યાં $M_1$ એ પ્રથમ ગ્રહનું દળ છે.
બંને ગ્રહો માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$.
આમ,$M \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto M^{1/3}$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$,એટલે કે $R_2 = 2 R_1$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
બીજા ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો પ્રથમ ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{M_2}{M_1} \times \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{g_2}{g_1} = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 144 \, N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$
અહીં $h = 3R$ આપેલ છે,તેથી:
$g' = g \left( \frac{R}{R + 3R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{4R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{g}{16}$
$h$ ઊંચાઈ પર પદાર્થનું વજન $W' = mg'$ થાય.
$W' = m \left( \frac{g}{16} \right) = \frac{W}{16}$
$W = 144 \, N$ કિંમત મૂકતા:
$W' = \frac{144}{16} = 9 \, N$.
આમ,$3R$ ઊંચાઈ પર પદાર્થનું વજન $9 \, N$ થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $r$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $G, M$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$W \propto \frac{1}{r^2}$ થાય.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં $0.1 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $r' = r(1 - 0.001) = 0.999r$ થાય.
નવું વજન $W' = \frac{GMm}{(0.999r)^2} = \frac{W}{(0.999)^2}$ થશે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1-x)^{-n} \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,$W' = W(1 - 0.001)^{-2} \approx W(1 + 2 \times 0.001) = W(1 + 0.002)$ મળે.
આમ,$W' = W + 0.002W$,જે $0.002 \times 100 = 0.2 \%$ નો વધારો દર્શાવે છે.
તેથી,વજનમાં $0.2 \%$ નો વધારો થશે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પૃથ્વીનું દળ $25 \%$ ઘટે છે,તેથી નવું દળ $M' = M - 0.25M = 0.75M = \frac{3}{4}M$ થાય.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $50 \%$ વધે છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $R' = R + 0.50R = 1.5R = \frac{3}{2}R$ થાય.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે:
$g' = \frac{GM'}{(R')^2} = \frac{G(0.75M)}{(1.5R)^2} = \frac{0.75GM}{2.25R^2} = \frac{0.75}{2.25} g = \frac{1}{3} g \approx 0.333g$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગમાં ઘટાડો $\Delta g = g - g' = g - 0.333g = 0.667g$ થાય.
ટકાવારીમાં,આ ઘટાડો $0.667 \times 100 \% \approx 67 \%$ છે.
તેથી,તેની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ લગભગ $67 \%$ જેટલો ઘટશે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પદાર્થની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$
આપેલ છે કે $g_p = g_e$ અને $\rho_p = 1.5 \rho_e = \frac{3}{2} \rho_e$.
ગ્રહ અને પૃથ્વી માટે ગુરુત્વાકર્ષણના સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4}{3} \pi G \rho_p R_p = \frac{4}{3} \pi G \rho_e R_e$
$\rho_p R_p = \rho_e R_e$
$\rho_p = \frac{3}{2} \rho_e$ અને $R_e = R$ મૂકતા:
$(\frac{3}{2} \rho_e) R_p = \rho_e R$
$R_p = \frac{2}{3} R$
આમ,ગ્રહની ત્રિજ્યા $\frac{2}{3} R$ છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ પર પદાર્થનું વજન $W_h = W \left(1 - \frac{2h}{R}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W = mg$ એ સપાટી પરનું વજન છે.
ઊંચાઈ $h$ પર વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{W - W_h}{W} \times 100 = \frac{2h}{R} \times 100 = 1.5 \%$ છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{h}{R} = \frac{1.5}{2 \times 100} = 0.75 \%$ મળે છે.
ઊંડાઈ $h$ પર પદાર્થનું વજન $W_d = W \left(1 - \frac{h}{R}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $h$ પર વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{W - W_d}{W} \times 100 = \frac{h}{R} \times 100$ છે.
$\frac{h}{R}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{h}{R} \times 100 = 0.75 \%$ મળે છે.
આમ,વજનમાં $0.75 \%$ નો ઘટાડો થશે.

(D) વિષુવવૃત્ત પરની વસ્તુ વજનરહિત અનુભવે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે,અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$g_{eff} = 0$ લેતા,આપણને $g - \omega^2 R = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 R = g$.
આમ,$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
દિવસનો સમયગાળો (સમયગાળો $T$) $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો $R \approx 6.4 \times 10^6 \, m$ અને $g \approx 9.8 \, m/s^2$ મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 2 \times 3.14 \times 808 \, s \approx 5074 \, s$.
કલાકમાં રૂપાંતર કરતા: $T \approx \frac{5074}{3600} \, hr \approx 1.41 \, hr$.

(D) પૃથ્વીની અંદર $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = \frac{GMd}{R^3} = \beta$ છે,જ્યાં $d < R$ છે.
આના પરથી,આપણે $GM$ ને $GM = \frac{\beta R^3}{d}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+d)^2}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $GM$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $g_h = \frac{\beta R^3}{d(R+d)^2}$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = \frac{GMm}{R^2} = 72 \, N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + 2R = 3R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ વજન $W' = mg' = \frac{GMm}{r^2} = \frac{GMm}{(3R)^2} = \frac{GMm}{9R^2}$ થશે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $W$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W' = \frac{1}{9} \times \left( \frac{GMm}{R^2} \right) = \frac{72}{9} = 8 \, N$ મળે છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર: $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
અહીં,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
ગ્રહ ગોળાકાર હોવાથી,તેનું દળ તેની ઘનતા $(\rho)$ અને કદ $(V)$ ના સંદર્ભમાં આ રીતે દર્શાવી શકાય: $M = \rho V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$.
આ કિંમતને $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
અહીં $G$,$\pi$,અને $\rho$ બંને ગ્રહો માટે અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે કે $g \propto R$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ એ ગ્રહની ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે. આમ,તે મોટા ગ્રહ પર વધારે હશે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$.
અહીં ત્રિજ્યા $1.5 \%$ જેટલી ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -1.5 \% = -0.015$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-1.5 \%) = +3 \%$.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગમાં $3 \%$ નો વધારો થાય છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto \rho R$.
આપેલ છે કે $\rho_p = 2 \rho_e$ અને $R_p = 1.5 R_e$,જ્યાં $p$ એ ગ્રહ અને $e$ એ પૃથ્વી દર્શાવે છે:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{\rho_p R_p}{\rho_e R_e} = \frac{2 \rho_e \times 1.5 R_e}{\rho_e R_e} = 2 \times 1.5 = 3$.
તેથી,ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પૃથ્વીની સપાટી કરતાં $3$ ગણો છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે $g$ નું મૂલ્ય $2 \%$ ઘટે છે,તેથી નવું મૂલ્ય $g' = 0.98g$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $0.98g = g(1 - \frac{2h}{R_e})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $0.98 = 1 - \frac{2h}{R_e}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{2h}{R_e} = 1 - 0.98 = 0.02$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = 0.01 \times R_e$.
$R_e = 6400 \, km$ આપેલ હોવાથી,$h = 0.01 \times 6400 \, km = 64 \, km$ મળે.

(A) વિષુવવૃત્ત પર માણસનું વજન $w_{eq} = m(g - \omega^2 R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,પરિભ્રમણની અસર શૂન્ય હોય છે,તેથી વજન $w_p = mg$ થાય છે.
વજનમાં થતો ફેરફાર $\Delta w = w_p - w_{eq} = mg - m(g - \omega^2 R) = m\omega^2 R$ છે.
વજનમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta w}{w_{eq}} = \frac{m\omega^2 R}{m(g - \omega^2 R)} = \frac{\omega^2 R}{g - \omega^2 R}$ છે.
આપેલ છે કે $\omega^2 R \approx 0.0337 \, m/s^2$ અને $g \approx 9.81 \, m/s^2$,તેથી:
$\frac{\Delta w}{w_{eq}} = \frac{0.0337}{9.81 - 0.0337} \approx \frac{0.0337}{9.7763} \approx 0.003447$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.003447 \times 100 = 0.3447 \%$.
આમ,વજન આશરે $0.34 \%$ જેટલું વધે છે.

(B) વિષુવવૃત્ત પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનું આભાસી વજન $w'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $w' = mg - m \omega^2 R$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે પૃથ્વી ફરે છે,ત્યારે અસરકારક વજન કેન્દ્રત્યાગી બળ $m \omega^2 R$ જેટલું ઘટે છે.
જો પૃથ્વી અચાનક ફરતી બંધ થઈ જાય,તો કોણીય ઝડપ $\omega$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે,નવું આભાસી વજન $w'' = mg$ થાય છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,વજનમાં કેન્દ્રત્યાગી બળના મૂલ્ય જેટલો વધારો થાય છે,જે $m \omega^2 R$ છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન $m \omega^2 R$ જેટલું વધશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g_h = g \left[ \frac{R}{R+h} \right]^2$
આપેલ છે:
$g = 9.8 \, m/s^2$
$R = 6400 \, km$
$h = 480 \, km$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$g_h = 9.8 \left[ \frac{6400}{6400 + 480} \right]^2$
$g_h = 9.8 \left[ \frac{6400}{6880} \right]^2$
$g_h = 9.8 \left[ \frac{40}{43} \right]^2$
$g_h = 9.8 \times (0.9302)^2$
$g_h = 9.8 \times 0.8653$
$g_h \approx 8.48 \, m/s^2$
નજીકના મૂલ્ય તરીકે,આપણને $8.5 \, m/s^2$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંચાઈ $h$ પર $g$ ના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R_e})$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_x = g(1 - \frac{x}{R_e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $x$ પર $g$ ના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R_e})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને કિસ્સામાં $g$ માં થતો ફેરફાર સમાન છે:
$\Delta g_h = \Delta g_x$
$g(\frac{2h}{R_e}) = g(\frac{x}{R_e})$
$x = 2h$.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
વિષુવવૃત્ત પર વ્યક્તિનું વજન $W' = m g'$ છે.
આપેલ છે કે નવું વજન વર્તમાન વજનના $\frac{3}{5}$ ગણું છે,તેથી $m g' = \frac{3}{5} m g$.
$g'$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$m(g - \omega^2 R) = \frac{3}{5} m g$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$g - \omega^2 R = \frac{3}{5} g$
$\omega^2 R$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\omega^2 R = g - \frac{3}{5} g = \frac{2}{5} g$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{2 g}{5 R}$
$\omega = \sqrt{\frac{2 g}{5 R}}$

(D) સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરવા માટે,જમીન પર પહોંચતી વખતે પ્રાપ્ત થતો વેગ પૃથ્વી અને ગ્રહ બંને પર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_1 = 9.8 \, m/s^2$ છે અને પૃથ્વી પર સુરક્ષિત ઊંચાઈ $h_1 = 3 \, m$ છે.
ધારો કે ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_2 = 1.96 \, m/s^2$ છે અને ગ્રહ પર અનુરૂપ સુરક્ષિત ઊંચાઈ $h_2$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પરથી પડ્યા પછી પ્રાપ્ત થતો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સુરક્ષા માટે વેગને સમાન કરતા: $\sqrt{2 g_1 h_1} = \sqrt{2 g_2 h_2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $g_1 h_1 = g_2 h_2$.
કિંમતો મૂકતા: $9.8 \times 3 = 1.96 \times h_2$.
$h_2 = \frac{9.8 \times 3}{1.96} = 5 \times 3 = 15 \, m$.
આમ,ગ્રહ પર અનુરૂપ ઊંચાઈ $15 \, m$ છે.

(A) ધારો કે $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$1$. પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R)$, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g_{in} = \frac{G M_e r}{R^3}$
આ સૂચવે છે કે $g \propto r$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ છે.
$2$. પૃથ્વીની બહારના બિંદુ માટે કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r \geq R)$, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g_{out} = \frac{G M_e}{r^2}$
આ સૂચવે છે કે $g \propto \frac{1}{r^2}$, જે હાયપરબોલિક ઘટાડાનો વક્ર છે.
સપાટી પર $(r = R)$, $g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે, $g_{max} = \frac{G M_e}{R^2}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, જે આલેખ $r < R$ માટે રેખીય વધારો અને $r > R$ માટે $1/r^2$ ઘટાડો દર્શાવે છે તે પ્રથમ આલેખ (આલેખ $A$) દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(C) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.
માણસ વજનહીનતા અનુભવે તે માટે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી $g' = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0 = g - R\omega^2 \cos^2 60^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 1/2$,તેથી $\cos^2 60^{\circ} = 1/4$.
આમ,$0 = g - R\omega^2 (1/4)$,જેનો અર્થ છે કે $R\omega^2 / 4 = g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega^2 = 4g/R$ મળે છે,તેથી $\omega = 2\sqrt{g/R}$.
દિવસનો સમયગાળો $T$ એ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે $T = 2\pi / \omega$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi / (2\sqrt{g/R}) = \pi \sqrt{R/g}$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 18 \, N$ છે.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg' = \frac{mg}{(1 + h/R_e)^2}$ થશે.
અહીં $h = 3200 \, km$ અને $R_e = 6400 \, km$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{h}{R_e} = \frac{3200}{6400} = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે.
આ કિંમતો વજનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W' = \frac{18}{(1 + 0.5)^2} = \frac{18}{(1.5)^2} = \frac{18}{2.25} = 8 \, N$.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $h$ વધતા ઘટે છે. સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ તે $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $d$ વધતા ઘટે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે: $h = d$ હોય તેવી ઊંચાઈ $h$ અને ઊંડાઈ $d$ માટે,મૂલ્યો $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ અને $g_d = g(1 - h/R)$ છે. નાના $h$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$g_h \approx g(1 - 2h/R)$,જ્યારે $g_d = g(1 - h/R)$. કારણ કે $(1 - 2h/R) \neq (1 - h/R)$,તેથી મૂલ્યો સમાન નથી.

(C) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આપણે માઉન્ટ એવરેસ્ટ (વધારે ઊંચાઈ) પર જઈએ છીએ,તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ હોવાથી,$g$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં વધારો થાય છે.
આવર્તકાળમાં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે ઘડિયાળ એક દોલન પૂર્ણ કરવામાં વધુ સમય લે છે,જેનો અર્થ છે કે ઘડિયાળ ધીમી પડે છે,ઝડપી નહીં.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
ઊંચાઈ $h$ પર $g$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ છે,જે ખરેખર સપાટી પરના $g$ કરતા ઓછું છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ છે.
$h = R$ મૂકતા,આપણને $g' = \frac{g}{(1 + R/R)^2} = \frac{g}{(2)^2} = \frac{g}{4}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2T$ થાય છે.
આપેલ છે કે નવો આવર્તકાળ $xT$ છે,તેથી $xT = 2T$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(B) જ્યારે કોઈ કણ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે હોય, ત્યારે તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને તે $F = -\frac{GMm}{R^3}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = ma$ હોવાથી, પ્રવેગ $a = -\frac{GM}{R^3}x$ થાય.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગને $a = -\frac{g}{R}x$ તરીકે લખી શકીએ.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega^2 = \frac{g}{R}$ મળે, એટલે કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = 6400 \, km = 6400 \times 10^3 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$.
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{640000} = 2 \times 3.14 \times 800 \, s$.
$T = 5024 \, s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $T = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{મિનિટ}$, જે આશરે $1$ કલાક અને $24$ મિનિટ થાય છે.

(D) ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g_0 \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે,જ્યાં $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$h = 3R$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+3R)^2} = \frac{GM}{(4R)^2} = \frac{GM}{16R^2} = \frac{g_0}{16}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_d = 4 \times g_h$.
કિંમતો મૂકતા: $g_0 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = 4 \times \left(\frac{g_0}{16}\right)$.
$1 - \frac{d}{R} = \frac{1}{4}$.
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$d = \frac{3}{4} \times R = \frac{3}{4} \times 6400 \ km = 4800 \ km$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = G \frac{Mm}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ,વજન $W'$ એ $W' = mg' = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h = 9R$,તેથી આપણે આ કિંમત $W'$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$W' = G \frac{Mm}{(R + 9R)^2} = G \frac{Mm}{(10R)^2} = G \frac{Mm}{100R^2}$.
કારણ કે $W = G \frac{Mm}{R^2}$,આપણે લખી શકીએ કે $W' = \frac{W}{100}$.
તેથી,તે ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W/100$ થશે.

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી (તે ઉપગ્રહ જેવો ગોળાકાર છે) અને તે તેની ધરી પર ફરે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ એ અક્ષાંશ $\phi$ સાથે $g_{\phi} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \phi$ મુજબ બદલાય છે. તેથી,તે અલગ-અલગ જગ્યાએ અલગ હોય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે કારણ કે પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ઊંડાઈ $d$ વધે છે,તેમ $(1 - d/R_e)$ પદ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે જેમ આપણે પૃથ્વીમાં ઊંડે જઈએ છીએ તેમ $g_d$ ઘટે છે.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
$M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho} \cdot R$ મળે.
આમ,$V_e \propto \rho^{1/2} R$.
આપેલ છે કે $\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{3}$.
$\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{R_A}{R_B}$ પરથી,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} = \frac{3}{2}$,તેથી $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{9}{4}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi\rho R$ છે.
તેથી,$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho_A R_A}{\rho_B R_B} = \left(\frac{\rho_A}{\rho_B}\right) \left(\frac{R_A}{R_B}\right) = \left(\frac{9}{4}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$.

(C) ગ્રહનું દળ $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
ઘનતા $\rho$ અચળ હોવાથી,$M \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto M^{1/3}$.
વસ્તુનું વજન $W = mg$ છે,જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$g$ ના સમીકરણમાં $R \propto M^{1/3}$ મૂકતા,આપણને $g \propto \frac{M}{(M^{1/3})^2} = \frac{M}{M^{2/3}} = M^{1/3}$ મળે છે.
વજન $W \propto g$ હોવાથી,$W \propto M^{1/3}$ થાય.
આપેલ છે કે ગ્રહનું દળ પૃથ્વીના દળ કરતા બમણું છે $(M_p = 2M_e)$,તેથી નવું વજન $W' = (2)^{1/3} W$ થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 100\,N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{4}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/4} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R/4} \right)^2 = g \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}g$.
$h$ ઊંચાઈએ વજન $W' = mg' = m \left( \frac{16}{25}g \right) = \frac{16}{25} \times W$ થાય.
$W = 100\,N$ મૂકતા:
$W' = \frac{16}{25} \times 100 = 16 \times 4 = 64\,N$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 400\,N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાણે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ઊંડાઈ $d = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
આ ઊંડાણે પદાર્થનું નવું વજન $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ થશે.
આમ,$mg = 400\,N$ હોવાથી,$W' = \frac{400}{2} = 200\,N$ મળે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુ માટે,ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$g(h) = \frac{GM}{R^2(1 + \frac{h}{R})^2}$
$g(h) = \frac{GM}{R^2} (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,તેથી:
$g(h) = g (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
શરત $h \ll R$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $|x| \ll 1$:
$(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$g(h) \approx g (1 - \frac{2h}{R})$
આમ,$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime} = g(1 - \frac{2h}{R})$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 200 \, N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ઊંડાઈ $d = R/2$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$.
ઊંડાઈ $d$ પર પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m(g/2) = (mg)/2$ થાય.
$mg = 200 \, N$ હોવાથી,$W' = 200/2 = 100 \, N$ મળે.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ કેન્દ્રત્યાગી બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે ગુરુત્વપ્રવેગના અસરકારક મૂલ્યમાં ફેરફાર કરે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે. ધ્રુવો પર,$\lambda = 90^{\circ}$ હોવાથી $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય,એટલે કે અસર શૂન્ય (ન્યૂનતમ) હોય છે. વિષુવવૃત્ત પર,$\lambda = 0^{\circ}$ હોવાથી $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય,એટલે કે અસર $R\omega^2$ જેટલી હોય છે,જે $g$ માં થતો મહત્તમ ઘટાડો છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \left( \frac{4}{3} \pi G \right) \rho R$.
તેથી,$g \propto \rho R$.
ગ્રહ $A$ માટે: $g_A \propto \rho \times R$.
ગ્રહ $B$ માટે: $g_B \propto \frac{\rho}{3} \times 4R = \frac{4}{3} \rho R$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho R}{\frac{4}{3} \rho R} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $(g_A : g_B)$ એ $3:4$ છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (\frac{4}{3} \pi R^3)$ હોવાથી,$g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ થાય.
ગ્રહ $A$ માટે: $g_A = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
ગ્રહ $B$ માટે: $g_B = \frac{4}{3} \pi G (\frac{\rho}{2}) (1.5 R) = \frac{4}{3} \pi G \rho R \times (0.5 \times 1.5) = \frac{4}{3} \pi G \rho R \times 0.75$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{g_B}{g_A} = \frac{0.75}{1} = \frac{3}{4}$ થાય.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે અને અંતિમ ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{2}$ છે.
તેથી,નવા પ્રવેગ $g_2$ અને પ્રારંભિક પ્રવેગ $g_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{R^2}{(R/2)^2} = \frac{R^2}{R^2/4} = 4$.
આમ,$g_2 = 4g_1 = 4g$ થાય.