Escape Velocity and Escape Energy Questions in Gujarati

(A) પૃથ્વી વાયુઓના (હવાના) વાતાવરણથી ઘેરાયેલી છે.
આનું કારણ એ છે કે પૃથ્વીના વાતાવરણમાં,મહત્તમ શક્ય તાપમાને પણ સૌથી હલકા અણુઓનો સરેરાશ ઉષ્મીય વેગ એ નિષ્ક્રમણ વેગ (escape velocity) ની સરખામણીમાં ઓછો હોય છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધાર રાખે છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{2gR_{e}}$ છે.
વાયુના અણુઓનો ઉષ્મીય વેગ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા ઘણો ઓછો હોવાથી,અણુઓ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી છટકી શકતા નથી. તેથી,પૃથ્વીની આસપાસ વાતાવરણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) પૃથ્વી અને ચંદ્રના કેન્દ્રો વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = -\frac{GM_1}{d/2} - \frac{GM_2}{d/2} = -\frac{2G}{d}(M_1 + M_2)$
આ બિંદુએ $m$ દળના કણની સ્થિતિ ઊર્જા $PE$ નીચે મુજબ છે:
$PE = m \times V = -\frac{2G m}{d}(M_1 + M_2)$
અનંત સુધી પહોંચવા માટે,કણની કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. તેથી,આપવી પડતી ગતિ ઊર્જા $KE$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ:
$KE = |PE|$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2G m}{d}(M_1 + M_2)$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{4G}{d}(M_1 + M_2)$
$v = 2\sqrt{\frac{G}{d}(M_1 + M_2)}$

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$.
$V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = \frac{V_e^2 R}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{v^2}{2} - \frac{V_e^2}{2} = - \frac{V_e^2 R}{2(R+h)}$.
ગોઠવણ કરતા: $\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} \left(1 - \frac{v^2}{V_e^2}\right)$.
આપેલ છે $v = 10 \ km/s$ અને $V_e = 11.2 \ km/s$:
$h = \frac{R}{\left(\frac{V_e^2}{v^2} - 1\right)} = \frac{R}{\left(\left(\frac{11.2}{10}\right)^2 - 1\right)} = \frac{R}{(1.2544 - 1)} = \frac{R}{0.2544} \approx 3.93R$.
આમ,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ આશરે $4R$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_e = 100\, m/s$,તેથી $\sqrt{\frac{2GM}{R}} = 100$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{2GM}{R} = 10000$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{GM}{R} = 5000$.
ગ્રહની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = 1\, kg$ અને $\frac{GM}{R} = 5000$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $U = -(5000) \times 1 = -5000\, J$ મળે છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2}$,જ્યાં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$. તેથી,$v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$.
$E_i = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3(R+h) = 4R \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = \frac{R}{3}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
$m$ દળના પદાર્થને અનંત અંતરે ફેંકવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા એ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,જે નિષ્ક્રમણ વેગ પરની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ = $\frac{1}{2}mv_e^2$.
$v_e$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gR})^2$.
$K = \frac{1}{2}m(2gR)$.
$K = mgR$.

(B) અનંત અંતરેથી પૃથ્વીની સપાટી પર પડતા કણનો વેગ એ પૃથ્વીના નિષ્ક્રમણ વેગ (escape velocity) જેટલો હોય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા શૂન્ય છે (ગતિ ઉર્જા + સ્થિતિ ઉર્જા = $0 + 0 = 0$).
પૃથ્વીની સપાટી પર,કુલ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0$ થાય છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$v = \sqrt{\frac{2gR^2}{R}} = \sqrt{2gR}$ મળે છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થનો પલાયન વેગ $(v_e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,
$M$ એ ગ્રહનું દળ છે,
$R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે પલાયન વેગ માત્ર ગ્રહના દળ $(M)$ અને ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પલાયન કરતા કણના દળ કે ગ્રહના તાપમાન પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચા પરિબળો $I$ અને $IV$ છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,આપણે $M$ ને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho}$.
આપેલ છે કે સરેરાશ ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તેથી $v \propto R$ મળે છે.
પૃથ્વી $(e)$ અને ગ્રહ $(p)$ માટે,$\frac{v_e}{v_p} = \frac{R_e}{R_p}$ થાય.
$R_p = 2R_e$ આપેલ હોવાથી,$\frac{v_e}{v_p} = \frac{R_e}{2R_e} = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$v_e = \frac{v_p}{2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી કોઈ પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ એ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ વેગ છે.
તે પદાર્થની ગતિઊર્જાને પૃથ્વીની સપાટી પર તેની ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય સાથે સરખાવીને મેળવવામાં આવે છે: $\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GM_em}{R_e}$.
$v_e$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ મળે છે.
નોંધો કે પદાર્થનું દળ $m$ સમીકરણમાંથી દૂર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ એ પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
આપેલ છે કે,ગ્રહ માટે: $g_p = 2g_e$ અને $R_p = 2R_e$ (કારણ કે વ્યાસ બમણો છે,તેથી ત્રિજ્યા પણ બમણી થશે).
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
તેથી,$v_p = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \ km/s = 22.4 \ km/s$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,આપણે $M$ ને સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho} \cdot R$.
આપેલ છે કે સરેરાશ ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તેથી $v_e \propto R$ થાય.
જો ગ્રહની ત્રિજ્યા પૃથ્વી કરતા બમણી $(R' = 2R)$ હોય,તો નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ નીચે મુજબ થશે:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \, km/s = 22 \, km/s$.

(B) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે,પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$K.E. + P.E. = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r}$
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{r^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gr^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2(gr^2)}{r}}$
$v = \sqrt{2gr}$

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{2gR}$ છે.
અહીં ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 9.8 \ m/s^2$ (અંદાજિત $10 \ m/s^2$) અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R \approx 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_{e} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} \approx 11.2 \times 10^3 \ m/s$.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ $11.2 \ km/s$ છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ ફક્ત તે ગ્રહ (અથવા અવકાશી પદાર્થ) ના દળ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે જેની સપાટી પરથી પદાર્થને ફેંકવામાં આવે છે.
તે ફેંકવામાં આવતા પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ $m^0$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતર $r$ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $v_e = \sqrt{2} \, v_0$ મળે છે.
તેથી,ચંદ્ર પૃથ્વીનો ઉપગ્રહ રહેવાનું બંધ કરે અને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જાય તે માટે,તેના કક્ષીય વેગમાં $\sqrt{2}$ ગણો વધારો કરવો જરૂરી છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $v$ એ ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{-GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = 0$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ મળે છે.
પૃથ્વીનું દળ $M$ તેની સરેરાશ ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
$M$ ની આ કિંમતને નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$v = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi R^2 \rho} = R\sqrt{\frac{8\pi}{3}G\rho}$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
અહીં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,તેથી જો ત્રિજ્યા $R$ અચળ રહે,તો $v_e \propto \sqrt{M}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $M$ છે અને નવું દળ $M' = 4M$ છે.
નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ એ $v_e' = \sqrt{\frac{2G(4M)}{R}} = 2 \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 2v_e$ થશે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ મૂળ મૂલ્ય કરતાં $2$ ગણો થશે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $V_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_e$ છે,અને ગ્રહનું દળ $M_p$ અને ત્રિજ્યા $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_p = 3M_e$ અને $R_p = 3R_e$.
ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_p$ નીચે મુજબ મળે:
$V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2G(3M_e)}{3R_e}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = V_e$.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન રહેશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $PE = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ લખી શકાય.
આ કિંમત સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $PE = -\frac{(gR^2)m}{R} = -mgR$.
અહીં $m = 500 \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,અને $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ છે:
$PE = -(500) \times (9.8) \times (6.4 \times 10^6) = -3.136 \times 10^{10} \, J$.
પદાર્થને પલાયન કરાવવા માટે,આપણે તેની સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઉર્જા આપવી પડે,જે $3.1 \times 10^{10} \, J$ છે.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આપેલ છે કે પૃથ્વીનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = 11.2 \ km/s$ છે.
બીજા ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 100 M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 4 R_e$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{100 M_e}{M_e} \times \frac{R_e}{4 R_e}} = \sqrt{100 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$v_p = 5 \times v_e = 5 \times 11.2 \ km/s = 56.0 \ km/s$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_e$ છે,અને પૃથ્વીનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,$M_p = 6M_e$ અને $R_p = 2R_e$ છે.
ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}}$ દ્વારા મળે છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_p}{V_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}} = \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$V_p = \sqrt{3} \, V_e$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
આપેલ છે કે,$g_p = 9g_e$ અને $R_p = 4R_e$,જ્યાં $g_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું ગુરુત્વપ્રવેગ અને ત્રિજ્યા છે,અને $g_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીના છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$.
પૃથ્વી પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ આશરે $v_e = 11.2 \ km/s$ હોવાથી,ગ્રહ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = 6 \times 11.2 \ km/s = 67.2 \ km/s$ થાય.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_p = 8M_e$ અને $R_p = 2R_e$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{8 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_p = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. પ્રારંભિક નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e1} = 11.2 \, km/s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું દળ $M' = 2M$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ છે.
નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{e2} = \sqrt{\frac{2G(2M)}{R/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2GM}{R}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 2 \cdot v_{e1}$.
$v_{e1}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$v_{e2} = 2 \cdot 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$.
ચંદ્ર માટે,દળ $M_m = \frac{M_e}{81}$ અને ત્રિજ્યા $R_m = \frac{R_e}{4}$ છે.
ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/81)}{(R_e/4)}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e} \times \frac{4}{81}}$.
કિંમતો મૂકતા,$v_m = \sqrt{\frac{4}{81}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = \frac{2}{9} \times 11.2 \, km/s$.
$v_m = 0.222 \times 11.2 \approx 2.488 \, km/s$,જે આશરે $2.5 \, km/s$ છે.

(C) ભ્રમણ કરતા તારાના વિષુવવૃત્ત પરથી પદાર્થને મુક્ત થવા માટે,વિષુવવૃત્ત પર રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
વિષુવવૃત્ત પર,કણ છૂટો પડવાની સ્થિતિ માટેની શરત $m\omega^2 R = \frac{GMm}{R^2}$ છે.
અહીં,નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{v_e}{R}$ થાય.
તેથી,$\omega = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2GM}{R^3}}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કોઈ ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી બહાર નીકળવા માટે પદાર્થને જરૂરી લઘુત્તમ વેગને નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ કહેવામાં આવે છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $g = 9.8 \ m/s^2$ અને $R = 6.4 \times 10^6 \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_e = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6}$
$v_e = \sqrt{19.6 \times 6.4 \times 10^6}$
$v_e = \sqrt{125.44 \times 10^6}$
$v_e = 11.2 \times 10^3 \ m/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_e$ અને $R_e$ છે,અને ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_p$ અને $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_p = 1000 M_e$ અને $R_p = 10 R_e$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{1000 \times \frac{1}{10}} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,$v_p = 10 \times v_e = 10 \times 11.2 \, km/s = 112 \, km/s$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
જો ગ્રહ સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતો ગોળો હોય,તો તેનું દળ $M$ તેના કદ અને ઘનતાના પદમાં આ રીતે દર્શાવી શકાય:
$M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) \rho$
$M$ ની કિંમત નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right)}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$v_e = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 \rho}$
$v_e = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$
અહીં $G$,$\pi$ અને અચળાંક પદો હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_e \propto R \sqrt{\rho}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ ગ્રહના કેન્દ્રથી અંતર $(R+h)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ તે ઊંચાઈ $h$ પર આધાર રાખે છે જ્યાંથી પદાર્થને ફેંકવામાં આવે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) પલાયન વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
ધારો કે $g_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ અને ત્રિજ્યા છે.
ગ્રહ માટે,આપણને આપેલ છે કે $g_p = 2g_e$ અને $R_p = 2R_e$.
ગ્રહ પરથી પલાયન વેગ $v_p = \sqrt{2g_p R_p}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$v_p = \sqrt{2(2g_e)(2R_e)} = \sqrt{4(2g_e R_e)} = 2\sqrt{2g_e R_e}$.
કારણ કે $v_e = \sqrt{2g_e R_e}$,તેથી $v_p = 2v_e$ થાય છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ ફક્ત તે ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે જ્યાંથી પદાર્થને લોન્ચ કરવામાં આવે છે.
તે લોન્ચ કરવામાં આવતા પદાર્થ (રોકેટ) ના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{2gR}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = k_1$ અને ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_A}{g_B} = k_2$ છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ $v_A$ અને $v_B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2g_A R_A}}{\sqrt{2g_B R_B}} = \sqrt{\frac{g_A}{g_B} \times \frac{R_A}{R_B}}$
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{k_2 \times k_1} = \sqrt{k_1 k_2}$.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $M = 6 \times 10^{24} \ kg$,$v_e = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ મળે છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{2GM}{v_e^2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3 \times 10^8)^2}$.
$R = \frac{80.04 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}} = 8.893 \times 10^{-3} \ m \approx 9 \times 10^{-3} \ m$.
કારણ કે $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $9 \ mm$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$.
કાલ્પનિક ગ્રહ માટે,$M_p = 2M_e$ અને $R_p = 3R_e$.
તેથી,ગ્રહ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p$ નીચે મુજબ મળે:
$v_p = \sqrt{\frac{2G(2M_e)}{3R_e}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$.
સમીકરણમાં $v_e$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_p = \sqrt{\frac{2}{3}} v_e$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગ્રહનું દળ $M_p = M_e$ (પૃથ્વીનું દળ) અને ત્રિજ્યા $R_p = \frac{R_e}{4}$ (જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે).
ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e/4}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $v_p = \sqrt{4 \times \frac{2GM_e}{R_e}} = 2 \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ મળે.
પૃથ્વીનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = 11.2 \ km/s$ હોવાથી,ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = 2 \times 11.2 \ km/s = 22.4 \ km/s$ થશે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ એ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ છે.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી (દળ $M_e$,ત્રિજ્યા $R_e$) પરથી મુક્ત કરવા માટે,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા તેની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ.
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_e m}{R_e}$
$v_e$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2 G M_e}{R_e}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંક $G$,પૃથ્વીના દળ $M_e$ અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e$ પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના દળ $m$ પર આધારિત નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{2gR}$ છે.
ધારો કે $g_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનો ગુરુત્વપ્રવેગ અને ત્રિજ્યા છે,અને $g_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનો ગુરુત્વપ્રવેગ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $R_p = \frac{1}{4} R_e$ અને $g_p = 2g_e$.
ગ્રહ પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_p)$ અને પૃથ્વી પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{2 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,ગ્રહ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ પૃથ્વીના નિષ્ક્રમણ વેગ કરતાં $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો હશે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,આપણે આને સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$v = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho}$.
આમ,$v \propto R\sqrt{\rho}$.
ગ્રહ માટે આપેલ છે: $R_p = 4R_e$ અને $\rho_p = 9\rho_e$.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_p}{v_e} = \frac{R_p}{R_e} \times \sqrt{\frac{\rho_p}{\rho_e}} = 4 \times \sqrt{9} = 4 \times 3 = 12$.
આમ,$v_p = 12v_e$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યા (અથવા પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન) પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થને કઈ દિશામાં અથવા કયા ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો પદાર્થને શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો પણ નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે,જે $11.2 \ km/s$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થને મુક્ત કરવા માટે,પદાર્થની ગતિઊર્જા એ સપાટીથી અનંત સુધી જવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી હોવી જોઈએ.
ઊર્જા સંતુલન સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R}$,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ ને $v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2(gR^2)}{R}} = \sqrt{2gR}$.
આમ,સાચું સમીકરણ $V = \sqrt{2gR}$ છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહ (અથવા અવકાશી પદાર્થ) ના દળ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,$100\, kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $1\, kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ જેટલો જ એટલે કે $11.2\, km/s$ રહેશે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{2gR}$ છે.
આપેલ છે કે ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પૃથ્વી જેટલો જ છે $(g_p = g_e)$ અને ગ્રહની ત્રિજ્યા પૃથ્વી કરતા ચાર ગણી છે $(R_p = 4R_e)$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{1 \times 4} = \sqrt{4} = 2$
તેથી,ગ્રહ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = 2v_e$ થશે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગ્રહ અને પૃથ્વી બંને માટે $g$ નું મૂલ્ય સમાન છે,તેથી $g_p = g_e$.
ગ્રહની ત્રિજ્યા પૃથ્વી કરતાં ચાર ગણી છે,તેથી $R_p = 4R_e$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}} = \sqrt{1 \times 4} = 2$.
તેથી,ગ્રહ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \; km/s = 22.4 \; km/s$ થશે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ અને નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = 2g$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ નીચે મુજબ મળે:
$v_e' = \sqrt{2g'R'} = \sqrt{2(2g)(2R)} = \sqrt{4(2gR)} = 2\sqrt{2gR}$.
શરૂઆતનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = 11.2 \, km/s$ હોવાથી,નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e' = 2 \times 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$ થશે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ માટેનું સૂત્ર ત્રિજ્યા $R$ અને સરેરાશ ઘનતા $\rho$ ના સ્વરૂપમાં $v_e = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi \rho G}$ છે.
ગ્રહ માટે આપેલ છે: $R_p = 2R_e$ અને $\rho_p = \frac{1}{4} \rho_e$.
ગ્રહ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_p)$ અને પૃથ્વી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_p}{v_e} = \frac{R_p}{R_e} \sqrt{\frac{\rho_p}{\rho_e}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
તેથી,પૃથ્વી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ અને ગ્રહ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની કુલ ઉર્જા અને આંતરગ્રહીય અવકાશમાં તેની કુલ ઉર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
ધારો કે $v$ એ પ્રક્ષેપણ વેગ છે અને $v'$ એ આંતરગ્રહીય અવકાશમાં વેગ છે.
સપાટી પર કુલ ઉર્જા = $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{es}^2$.
આંતરગ્રહીય અવકાશમાં કુલ ઉર્જા = $\frac{1}{2}m(v')^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{es}^2$.
$v' = \sqrt{v^2 - v_{es}^2}$.
અહીં $v = 2v_{es}$ આપેલ છે,તેથી $v' = \sqrt{(2v_{es})^2 - v_{es}^2} = \sqrt{4v_{es}^2 - v_{es}^2} = \sqrt{3v_{es}^2}$.
તેથી,$v' = \sqrt{3}v_{es}$.