Kepler’s laws of Planetary Motion Questions in Gujarati

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r^{3/2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24$ કલાક (ભૂસ્થિર કક્ષા માટે) અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ આ રીતે મળે છે: $T_2 = T_1 \times (r_2/r_1)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 24 \times (2)^{3/2} = 24 \times 2\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ કલાક.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
અહીં આપેલ છે કે ઉપગ્રહ $S$ ની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_s = 4r_c$ છે, જ્યાં $r_c$ એ કોમ્યુનિકેશન ઉપગ્રહ $C$ ની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
કોમ્યુનિકેશન ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T_c = 1 \text{ દિવસ}$ છે.
સંબંધ $\frac{T_s}{T_c} = \left(\frac{r_s}{r_c}\right)^{3/2}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે આપેલી કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{T_s}{1} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી, ઉપગ્રહ $S$ નો સમયગાળો $8 \text{ દિવસ}$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $(R)$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $T^2 \propto R^3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T^2}{R^3} = \text{અચળ}$.
આ ગુણોત્તર એક અચળ મૂલ્ય હોવાથી,તે ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખતું નથી.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^{3/2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 5$ કલાક.
ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $R_1$ છે અને નવું અંતર $R_2 = 4R_1$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ શોધી શકાય: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{5} = \left( \frac{4R_1}{R_1} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 5 \times 8 = 40$ કલાક.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે આપેલ છે: $T_1 = 1 \text{ દિવસ}$,$r_1 = R$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે આપેલ છે: $T_2 = 8 \text{ દિવસ}$,$r_2 = ?$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{8}{1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{R} \right)^3$.
$64 = \left( \frac{r_2}{R} \right)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\sqrt[3]{64} = \frac{r_2}{R}$.
$4 = \frac{r_2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 4R$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે $T_s$ અને $r_s$ એ ઉપગ્રહનો સમયગાળો અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,અને $T_m$ અને $r_m$ એ ચંદ્રનો સમયગાળો અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $r_s = \frac{1}{2} r_m$ અને $T_m = 1$ ચંદ્ર માસ.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_s}{T_m} = \left( \frac{r_s}{r_m} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_s}{1} = \left( \frac{1/2 r_m}{r_m} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = 2^{-3/2}$.
તેથી,ઉપગ્રહ $2^{-3/2}$ ચંદ્ર માસમાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto R^3$।
આપેલ છે:
$R_1 = 10^{13} \ m$ (નેપ્ચ્યુન)
$R_2 = 10^{12} \ m$ (શનિ)
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{3/2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{10^{13}}{10^{12}} \right)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = (10)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = 10^1 \cdot 10^{1/2} = 10\sqrt{10}$

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
આપેલ છે કે છાયાંકિત વિસ્તારો $A$ અને $B$ સમાન છે,તેથી આ વિસ્તારોને કાપવા માટે લાગતો સમય પણ સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,જો ${t_1}$ એ $a$ થી $b$ સુધી જવા માટેનો સમય હોય (ક્ષેત્રફળ $A$ કાપવા માટે) અને ${t_2}$ એ $d$ થી $c$ સુધી જવા માટેનો સમય હોય (ક્ષેત્રફળ $B$ કાપવા માટે),તો ${t_1} = {t_2}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે આપેલ છે: $T_1 = T$ અને $R_1 = R$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $R_2 = 4R$ અને આપણે $T_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T} = \left( \frac{4R}{R} \right)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (4)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
તેથી,$T_2 = 8T$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જેને કક્ષાનો નિયમ પણ કહેવામાં આવે છે,દરેક ગ્રહ સૂર્ય (અથવા તારા) ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય બે કેન્દ્રો (foci) માંથી એક પર હોય છે. તેથી,કક્ષાનો સાચો આકાર લંબગોળ છે.

(C) વ્યસ્ત વર્ગના ક્ષેત્રમાં,$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = \frac{k}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે,આ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{k}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v^2 = \frac{k}{mr}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{k}{mr}}$.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v}$ છે.
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{k}{mr}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r^{3/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} r^3$ મળે છે.
આમ,$4, \pi, m,$ અને $k$ અચળાંક હોવાથી,$T^2 \propto r^3$ થાય છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ તેના સૂર્યથી સરેરાશ અંતરના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
અહીં આપેલ છે કે નવું અંતર $r' = \frac{1}{4}r$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left( \frac{T'}{T} \right)^2 = \left( \frac{r'}{r} \right)^3$.
$r'$ ની કિંમત મૂકતા: $\left( \frac{T'}{T} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$.
તેથી,વર્ષનો નવો સમયગાળો $T' = \frac{1}{8}T$ થશે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્ય દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે.
કેન્દ્રીય બળ દ્વારા સૂર્યના કેન્દ્રની આસપાસ લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી $(\tau = r \times F = 0)$,પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન $(L)$ તેની સમગ્ર કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
જો કે,લંબગોળ કક્ષામાં પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર બદલાતું રહે છે,જેના કારણે પૃથ્વીની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા બંને તેના સ્થાન સાથે બદલાય છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સૌથી નજીકના બિંદુ (પેરીહેલિયન) અને સૌથી દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$ થાય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_1 d_1 = m v_2 d_2$
બંને બાજુથી દળ $m$ ને દૂર કરતા:
$v_1 d_1 = v_2 d_2$
$v_2$ માટે ઉકેલતા:
$v_2 = \frac{v_1 d_1}{d_2}$

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ તેની કક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યાના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$T^2 \propto r^3$.
બે ગ્રહો માટે,આપણે ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{3/2}$

(B) કેપ્લરનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ $(dA/dt)$ અચળ રહે છે.
સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $(\tau)$ શૂન્ય હોય છે.
સંબંધ $\tau = dL/dt$ મુજબ,જો $\tau = 0$ હોય,તો ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
ક્ષેત્રીય વેગનું સૂત્ર $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
અહીં $L$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
તેથી,કેપ્લરનો બીજો નિયમ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) કેપ્લરનો ગ્રહીય ગતિનો ત્રીજો નિયમ, જેને આવર્તકાળનો નિયમ પણ કહેવામાં આવે છે, તે જણાવે છે કે ગ્રહના પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ સૂર્યની આસપાસ તેની ભ્રમણકક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, આને $T^2 \propto r^3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આને $\frac{T^2}{r^3} = \text{અચળ}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, આ $T^2 r^{-3} = \text{અચળ}$ ને સમાન છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ $(T)$ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $(r)$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
આપેલ છે કે ગ્રહનું સરેરાશ અંતર $(r_p)$ એ પૃથ્વીના સરેરાશ અંતર $(r_e)$ કરતા $1.588$ ગણું છે, તેથી $r_p = 1.588 \times r_e$.
સમયગાળાનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{T_p}{T_e} = \left( \frac{r_p}{r_e} \right)^{3/2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_p}{T_e} = (1.588)^{3/2}$.
કારણ કે $1.588 \approx (2)^{2/3}$, તેથી $(1.588)^{3/2} \approx ((2)^{2/3})^{3/2} = 2^1 = 2$.
તેથી, $T_p = 2 \times T_e$. પૃથ્વીનો પરિભ્રમણ સમય $T_e = 1 \text{ વર્ષ}$ હોવાથી, ગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય $2 \text{ વર્ષ}$ થશે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
આ સંબંધ ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત નથી.
ઉપગ્રહ $A$ માટે આપેલ છે: $r_A = r$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: $r_B = 2r$.
તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2} = \left( \frac{r}{2r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2\sqrt{2}$ છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પ્રારંભિક સમયગાળો $T_1$ છે. નવી ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ છે અને નવો સમયગાળો $T_2$ છે.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$.
તેથી,વર્ષનો નવો સમયગાળો મૂળ સમયગાળાના $\frac{1}{8}$ ગણો થશે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 1$ વર્ષ અને $r_1 = r$.
નવી સ્થિતિ માટે: $r_2 = 2r$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{1} = \left( \frac{2r}{r} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
આમ,નવો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T_2 = 2\sqrt{2}$ વર્ષ થશે.

(C) જોહાન્સ કેપ્લરે ત્રણ મૂળભૂત નિયમો આપ્યા જે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિનું વર્ણન કરે છે. આ નિયમોને કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના નિયમો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$1$. કક્ષાનો નિયમ: બધા ગ્રહો લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે અને સૂર્ય તેની એક નાભિ પર હોય છે.
$2$. ક્ષેત્રફળનો નિયમ: ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
$3$. આવર્તકાળનો નિયમ: ગ્રહના પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ તેની કક્ષાના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષના ઘન સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi / T$ હોવાથી,$T = 2\pi / \omega$,જે સૂચવે છે કે $T^2 \propto 1/\omega^2$.
આને કેપ્લરના નિયમમાં મૂકતા: $1/\omega^2 \propto r^3$,જે આપે છે $\omega^2 \propto 1/r^3$ અથવા $\omega \propto r^{-3/2}$.
$r$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે $r \propto \omega^{-2/3}$.
આપેલ છે કે પદાર્થ પૃથ્વી કરતા $27$ ગણી ઝડપથી ફરે છે,તેથી $\omega_{\text{body}} = 27 \omega_{\text{earth}}$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{\text{body}}}{r_{\text{earth}}} = \left( \frac{\omega_{\text{earth}}}{\omega_{\text{body}}} \right)^{2/3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_{\text{body}}}{r_{\text{earth}}} = \left( \frac{1}{27} \right)^{2/3} = \left( (3^3)^{-1} \right)^{2/3} = (3^{-3})^{2/3} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ સૂર્યથી સરેરાશ અંતર $d$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto d^3$.
આવૃત્તિ $n$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત હોવાથી $(n = 1/T)$,આપણને $T = 1/n$ મળે છે.
આ કિંમત નિયમમાં મૂકતા: $(1/n)^2 \propto d^3$,જેનો અર્થ થાય છે કે $1/n^2 \propto d^3$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $n^2 d^3 = \text{અચળ}$ મળે છે.
તેથી,બે ગ્રહો માટે,$n_1^2 d_1^3 = n_2^2 d_2^3$ થાય.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$ અથવા $T \propto R^{3/2}$.
અહીં આપેલ છે કે ગ્રહનું સૂર્યથી અંતર $R_p = 5 R_e$ છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર છે.
પૃથ્વીનો આવર્તકાળ $T_e = 1$ વર્ષ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_p}{T_e} = \left( \frac{R_p}{R_e} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_p}{1} = (5)^{3/2}$.
તેથી,ગ્રહનો આવર્તકાળ $T_p = 5^{3/2}$ વર્ષ થાય.

(A) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સૂર્ય $S$ એ લંબગોળ કક્ષાના એક કેન્દ્ર (focus) પર છે.
ગ્રહ દ્વારા $DAB$ માર્ગમાં આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $BCD$ માર્ગમાં આંતરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા ઓછું છે કારણ કે સૂર્ય $DAB$ ચાપની નજીક છે.
જેથી સમાન સમયમાં સમાન ક્ષેત્રફળની શરત મુજબ,$DAB$ માર્ગ કાપવા માટે લાગતો સમય $BCD$ માર્ગ કાપવા માટે લાગતા સમય કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
વૈકલ્પિક રીતે,કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહ જ્યારે સૂર્યની નજીક હોય (બિંદુ $A$ ની પાસે) ત્યારે તેનો કક્ષીય વેગ વધારે હોય છે અને જ્યારે તે દૂર હોય (બિંદુ $C$ ની પાસે) ત્યારે વેગ ઓછો હોય છે.
આમ,ગ્રહ $DAB$ માર્ગ પર ઝડપથી અને $BCD$ માર્ગ પર ધીમેથી ગતિ કરે છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $DAB$ માટે લાગતો સમય $BCD$ કરતા ઓછો છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v$ એ સૂર્યથી તેના અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto 1/r)$.
તેથી,જ્યારે સૂર્યથી અંતર $r$ મહત્તમ હોય ત્યારે કક્ષીય વેગ ન્યૂનતમ હોય છે.
આપેલ લંબગોળ માર્ગને જોતા,બિંદુ $C$ એ સૂર્ય $(S)$ થી મહત્તમ અંતરે છે.
આમ,ગ્રહનો કક્ષીય વેગ બિંદુ $C$ પર ન્યૂનતમ હશે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે પૃથ્વીનો આવર્તકાળ $T_1$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $R_1$ છે,અને ગ્રહનો આવર્તકાળ $T_2$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $R_2$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 1 \text{ year}$,$R_1 = R$,અને $R_2 = 2R$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 1 \times \left( \frac{2R}{R} \right)^{3/2} = 2^{3/2}$.
ગણતરી કરતા: $2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2.828 \text{ years}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આવર્તકાળ $2.8 \text{ years}$ મળે છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જેને આવર્તકાળનો નિયમ પણ કહેવામાં આવે છે,ગ્રહ (અથવા ઉપગ્રહ) ના ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળા $(T)$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $(R)$ ના ઘન સાથે સીધો પ્રમાણસર હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $T^2 \propto R^3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $T^2 \propto R^3$ છે.

(C) ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ એ સ્થાન સદિશ દ્વારા ઘેરાતા ક્ષેત્રફળના બદલાવનો દર છે,જે $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રીય બળ માટે કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr^2\omega$ અચળ હોવાથી,ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ થાય છે.
સમીકરણ $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\frac{dA}{dt} \propto \omega r^2$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{dA}{dt} \propto \omega r^2$ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $(a^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto a^3$.
આપેલ છે કે સૂર્યથી બે ગ્રહોના અંતર (અર્ધ-મુખ્ય ધરી) નો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = 1.38$ છે.
આપણે તેમના પરિભ્રમણ સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2}$ શોધવાનો છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ પરથી: $\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3/2}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = (1.38)^{3/2}$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ $(dA/dt)$ તેની લંબગોળ કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
જ્યારે સૂર્યથી અંતર બદલાય છે ત્યારે સ્પર્શકીય,કોણીય અને ત્રિજ્યાવર્તી વેગ બદલાય છે,પરંતુ કેન્દ્રીય બળના ક્ષેત્રમાં કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણને કારણે ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે પૃથ્વીનો આવર્તકાળ $T_E$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $R_E$ છે,અને નવા ગ્રહ માટે $T_P$ અને $R_P$ છે.
આપેલ છે કે $R_P = 2R_E$ અને $T_E = 365$ દિવસ.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left( \frac{T_P}{T_E} \right)^2 = \left( \frac{R_P}{R_E} \right)^3 = \left( \frac{2R_E}{R_E} \right)^3 = 2^3 = 8$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_P}{T_E} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$T_E$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_P = 2\sqrt{2} \times 365 \approx 2.8284 \times 365 \approx 1032.37$ દિવસ.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આવર્તકાળ $1032$ દિવસ થશે.

(A) કેપ્લરનો બીજો નિયમ (ક્ષેત્રફળનો નિયમ) એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનું સીધું પરિણામ છે,જે કોઈપણ કેન્દ્રીય બળ માટે સાચું છે. કારણ કે બળ હજુ પણ કેન્દ્રીય બળ છે,ટોર્ક $\tau = r \times F$ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે. તેથી,કેપ્લરનો ક્ષેત્રફળનો નિયમ હજુ પણ જળવાઈ રહે છે.
કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ (આવર્તકાળનો નિયમ) જણાવે છે કે $T^2 \propto r^3$. આ ખાસ કરીને વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ $(F \propto 1/r^2)$ માટે મેળવવામાં આવ્યો છે. જો બળ વ્યસ્ત-ઘનના નિયમ $(F \propto 1/r^3)$ ને અનુસરે,તો કેન્દ્રગામી બળની જરૂરિયાત $mv^2/r = k/r^3$ સૂચવે છે કે $v^2 \propto 1/r^2$,અથવા $v \propto 1/r$. કારણ કે $v = 2\pi r/T$,આપણને $1/r \propto r/T$ મળે છે,જે $T \propto r^2$,અથવા $T^2 \propto r^4$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,આવર્તકાળનો નિયમ જળવાઈ રહેતો નથી.

(B) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે. લંબગોળ ભ્રમણકક્ષામાં ગ્રહની ઝડપ $v = \frac{L}{mr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે,$m$ એ દળ છે અને $r$ એ સૂર્યથી અંતર છે.
પેરિહેલિયન (સૌથી નજીકનું અંતર) પર,$r_{\min} = a(1-e)$,તેથી $v_{\max} = \frac{L}{m a(1-e)}$.
એફેલિયન (સૌથી દૂરનું અંતર) પર,$r_{\max} = a(1+e)$,તેથી $v_{\min} = \frac{L}{m a(1+e)}$.
મહત્તમ ઝડપ અને ન્યૂનતમ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{1+e}{1-e}$ છે.
આપેલ છે કે $e = 0.0167$,તેથી $\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{1 + 0.0167}{1 - 0.0167} = \frac{1.0167}{0.9833} \approx 1.034$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ અંતર $(r)$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$ અથવા $T \propto r^{3/2}$.
અહીં આપેલ છે કે નવું અંતર $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{4} \right)^{3/2} = \frac{1}{8}$.
તેથી,વર્ષની લંબાઈ (કક્ષાનો સમયગાળો) તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{8}$ ગણી થઈ જશે.

(B) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ $(T^2)$ એ સૂર્યથી તેના સરેરાશ અંતરના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે $T_1 = 365$ દિવસ અને $r_1$ એ વર્તમાન અંતર છે.
આપેલ છે કે $r_2 = \frac{1}{2} r_1$.
તેથી,$\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{2\sqrt{2}} = \frac{365}{2 \times 1.414} \approx \frac{365}{2.828} \approx 129$ દિવસ.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણ સમય $(T)$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $(R)$ ના ઘન સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $T^2 \propto R^3$ અથવા $T^2 = kR^3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આ સમીકરણ એક સીધી રેખા દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે જ્યારે $T^2$ ને y-અક્ષ પર અને $R^3$ ને x-અક્ષ પર આલેખવામાં આવે છે.
તેથી,જે આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે તે આ સંબંધને રજૂ કરે છે,જે આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળા $T$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $r$ ના ઘન સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જે $T^2 \propto r^3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ સૂર્યથી અંતર $r$ વધે છે,તેમ પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ પણ વધે છે.
સૂર્યથી ગ્રહોના સરેરાશ અંતર આ મુજબ છે: બુધ,શુક્ર,પૃથ્વી,મંગળ,ગુરુ,શનિ,યુરેનસ,નેપ્ચ્યુન અને પ્લુટો.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,સૂર્યથી વધતા અંતરનો ક્રમ મંગળ,શનિ અને પ્લુટો છે.
તેથી,પરિભ્રમણનો સમયગાળો મંગળ,શનિ અને પ્લુટોના ક્રમમાં વધે છે.

(C) સૂર્ય દ્વારા ગ્રહો પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે. કેન્દ્રીય બળ માટે બળના કેન્દ્ર (સૂર્ય) ની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. ગ્રહ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે. તેથી,સૌર મંડળમાં ગ્રહોની ગતિ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનું ઉદાહરણ છે.

(A) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા $R$ સાથે $T \propto R^{3/2}$ તરીકે સંબંધિત છે.
વળી,કક્ષીય ઝડપ $v$ એ $v = \frac{2\pi R}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપના સૂત્રમાં $T \propto R^{3/2}$ મૂકતા,આપણને $v \propto \frac{R}{R^{3/2}} = R^{-1/2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
ધારો કે $v_1$ અને $R_1$ એ પૃથ્વીની ઝડપ અને ત્રિજ્યા છે,અને $v_2$ અને $R_2$ એ ગ્રહની ઝડપ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $v_2 = 2v_1$,તેથી $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{2v_1} = \sqrt{\frac{R_2}{R}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{R_2}{R}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{R_2}{R}$.
તેથી,$R_2 = \frac{R}{4}$.

(B) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L = mvr \sin(\theta) = \text{અચળ}$.
પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ) અને એફેલિયન (સૂર્યથી સૌથી દૂરનું બિંદુ) પર,વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $L = mvr$.
પૃથ્વીનું દળ $m$ અચળ હોવાથી,$vr = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto (1/r)$.
આનો અર્થ એ છે કે કક્ષીય ઝડપ $v$ એ સૂર્યથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પૃથ્વીની ઝડપ ત્યારે મહત્તમ હશે જ્યારે તેનું સૂર્યથી અંતર ન્યૂનતમ હોય.
લંબગોળ કક્ષાને જોતા,બિંદુ $A$ પર અંતર ન્યૂનતમ છે.
તેથી,પૃથ્વીની ઝડપ બિંદુ $A$ પર મહત્તમ હશે.

(C) ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ અને રેખીય વેગ $v = r\omega$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકી શકીએ.
$\frac{dA}{dt} = \frac{m(r\omega)r}{2m}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \omega r^2$ મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રીય વેગ $\omega r^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સૂર્ય $S$ એ લંબગોળ કક્ષાના એક કેન્દ્ર (focus) પર છે.
$DAB$ માર્ગ એ $BCD$ માર્ગની સરખામણીમાં સૂર્યની નજીક છે.
જેથી $DAB$ માર્ગમાં ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $BCD$ માર્ગમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા ઓછું હોવાથી,$DAB$ કાપવા માટે લીધેલો સમય $BCD$ કરતા ઓછો હશે.

(D) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ સાથે $T \propto r^{3/2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \frac{\Delta r}{r}$ મળે છે.
અહીં ત્રિજ્યા $R$ થી વધીને $1.02 R$ થાય છે,તેથી ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\Delta r = 1.02 R - R = 0.02 R$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} = \frac{0.02 R}{R} = 0.02$ અથવા $2\%$ છે.
આ કિંમતને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \times 2\% = 3\%$.
આમ,આવર્તકાળમાં $3\%$ નો વધારો થાય છે.

(B) ત્રિજ્યા સદિશનો ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $J = I \omega = mr^2 \omega$ છે,જ્યાં $m$ એ ગ્રહનું દળ છે,$r$ એ સૂર્યથી અંતર છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આના પરથી,આપણે $r^2 \omega$ ને $\frac{J}{m}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને ક્ષેત્રીય વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( \frac{J}{m} \right) = \frac{J}{2m}$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ અચળ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ કાપવા માટે લાગતો સમય તે કાપેલા ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $SCD = 2 \times \text{ક્ષેત્રફળ } SAB$.
જેহেতু $t_1$ એ $SCD$ ક્ષેત્રફળ કાપવા માટેનો સમય છે અને $t_2$ એ $SAB$ ક્ષેત્રફળ કાપવા માટેનો સમય છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\text{ક્ષેત્રફળ } SCD}{\text{ક્ષેત્રફળ } SAB} = \frac{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ } SAB}{\text{ક્ષેત્રફળ } SAB} = 2$.
આમ,$t_1 = 2t_2$.

(B) સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ ગ્રહની ભ્રમણકક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$\therefore \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r} \quad \dots(i)$
ગ્રહનો સમયગાળો $(T)$ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{(\frac{GM}{r})} = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \quad \dots(ii)$
પ્રશ્ન મુજબ,કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ આ રીતે આપવામાં આવ્યો છે:
$T^2 = Kr^3 \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{4\pi^2}{GM} \implies GMK = 4\pi^2$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે તે ઝડપથી ગતિ કરે છે અને જ્યારે તે દૂર હોય ત્યારે ધીમી ગતિ કરે છે.
બિંદુ $A$ એ પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીક) છે,અને બિંદુ $C$ એ એફેલિયન (સૂર્યથી સૌથી દૂર) છે. બિંદુ $B$ એ મધ્યવર્તી અંતરે છે.
તેથી,આ સ્થાનો પરની કક્ષીય ઝડપનો સંબંધ આ મુજબ છે: $v_A > v_B > v_C$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી તે ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(K \propto v^2)$.
આમ,આ સ્થાનો પરની ગતિઊર્જાનો સંબંધ આ મુજબ છે: $K_A > K_B > K_C$.