Mix Examples-Gravitation Questions in Gujarati

(C) પ્રવેગી ફ્રેમમાં પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app} = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ ઉપરની તરફનો પ્રવેગ છે.
શરૂઆતમાં,જેમ વિમાન ઉડાન ભરે છે અને ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તે ઉપરની તરફ પ્રવેગ અનુભવે છે,જેના કારણે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું વાંચન વધે છે.
જેમ વિમાન વધુ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,તેમ પ્રવેગ શૂન્ય (અથવા નગણ્ય) થઈ જાય છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે $(g' = g(1 - 2h/R))$.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું વાંચન પહેલા ઉપરની તરફના પ્રવેગને કારણે વધશે અને પછી વધુ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં ઘટાડાને કારણે ઘટશે.

(A) પૃથ્વી જેવા ગોલીય સંમિત વિશાળ પદાર્થ માટે,સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગ $(V_e)$ નું સૂત્ર: $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય વેગ $(V_0)$ નું સૂત્ર: $V_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_e}{V_0} = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = \sqrt{2}$.
આમ,નિષ્ક્રમણ વેગ એ કક્ષીય વેગ કરતા $\sqrt{2}$ ગણો હોય છે.

(B) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે ઉપગ્રહને જરૂરી $K.E.$ એ નિષ્ક્રમણ ઉર્જા છે: $E_e = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{2GM}{R}})^2 = \frac{GMm}{R}$.
ઉપગ્રહ પૃથ્વીના વાતાવરણની બરાબર ઉપર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે તે માટે જરૂરી $K.E.$ એ કક્ષીય ઉર્જા છે: $E_o = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{GM}{R}})^2 = \frac{GMm}{2R}$.
આ બે ઉર્જાઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_e}{E_o} = \frac{GMm/R}{GMm/2R} = 2$ થાય છે.

(D) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
તેથી,જેમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે,તેમ ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ ઘટે છે.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે ઉપગ્રહ પૃથ્વીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલમાં સ્થિર કક્ષામાં ગતિ કરી શકે છે (દા.ત.,ધ્રુવીય કક્ષાઓ).
વિધાન $C$ પણ ખોટું છે કારણ કે એક ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીનો માત્ર ત્રીજો ભાગ જ આવરી શકે છે; વૈશ્વિક કવરેજ માટે ત્રણ ઉપગ્રહોની જરૂર પડે છે.
જોકે,આ પ્રકારના પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,વિધાન $D$ એ સૌથી મૂળભૂત રીતે ખોટો ભૌતિક સંબંધ છે.

(D) $(i)$ પૃથ્વીની સપાટીની બરાબર ઉપર ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,આવર્તકાળ $T_{st} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ છે.
$(ii)$ પૃથ્વીના વ્યાસમાંથી પસાર થતી ટનલમાં દોલન કરતા દળ માટે,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે જ્યાં $T_{ma} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ છે.
$(iii)$ $g$ ના સમાન ક્ષેત્રમાં $l=R$ લંબાઈના સાદા લોલક માટે,$T_{sp} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ છે.
$(iv)$ પૃથ્વીના વાસ્તવિક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં અનંત લંબાઈના સાદા લોલક માટે,આવર્તકાળ $T_{is} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6 \; \text{min}$ છે.
આમ,ચારેય આવર્તકાળ સમાન છે: ${T_{st}} = {T_{ma}} = {T_{sp}} = {T_{is}}$.

(A) નિકોલસ કોપરનિકસ,એક પોલિશ ખગોળશાસ્ત્રીએ,કેથેડ્રલની ટોચ પરથી આકાશનો અભ્યાસ કર્યો હતો. $1543$ માં,તેમણે તેમનું પુસ્તક 'ડી રિવોલ્યુશનિબસ ઓર્બિયમ કોલેસ્ટિયમ' (સ્વર્ગીય ગોળાઓના પરિભ્રમણ પર) પ્રકાશિત કર્યું. આ કાર્યમાં,તેમણે હેલિયોસેન્ટ્રિક મોડેલનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો,જેમાં જણાવ્યું હતું કે પૃથ્વી વર્ષમાં એકવાર સૂર્યની આસપાસ ફરે છે અને તે પોતાની ધરી પર પણ ફરે છે.

(D) ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$,નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ છે.
આ સંબંધો પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $g \propto \frac{M}{R^2}$,$v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$,અને $U \propto \frac{M}{R}$ છે.
ધારો કે ફેરફાર $x = 0.5\% = 0.005$ છે. જો $M' = M(1+x)$ અને $R' = R(1+x)$ હોય તો:
$1$. $g$ માટે: $g' = \frac{G M(1+x)}{R^2(1+x)^2} = g(1+x)^{-1} \approx g(1-x)$. આમ,$g$ માં $0.5\%$ નો ઘટાડો થાય છે.
$2$. $v_e$ માટે: $v_e' = \sqrt{\frac{2G M(1+x)}{R(1+x)}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_e$. આમ,નિષ્ક્રમણ વેગ બદલાતો નથી.
$3$. $U$ માટે: $U' = -\frac{G M(1+x)m}{R(1+x)} = -\frac{GMm}{R} = U$. આમ,સ્થિતિ ઊર્જા બદલાતી નથી.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) પોલાણ ધરાવતા નક્કર ગોળાને કારણે કોઈપણ બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = V_{\text{large sphere}} - V_{\text{cavity A}} - V_{\text{cavity B}}$.
$1$. ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ પર,મોટા ગોળાને કારણે ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય છે. બે પોલાણને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે $(\vec{E}_A = -\vec{E}_B)$,તેથી ઉગમબિંદુ પરનું કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2$. પોલાણ ધરાવતા ગોળાને કારણે કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન એ પોલાણના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી ધરીની આસપાસ સંમિત છે. $x = 0$ સમતલમાં ${y^2} + {z^2} = R^2$ વર્તુળ માટે,વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી કેન્દ્રો $A(-2, 0, 0)$ અને $B(2, 0, 0)$ સુધીનું અંતર સમાન છે. ખાસ કરીને,વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $(0, y, z)$ માટે,$A$ થી અંતર $\sqrt{(-2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ છે અને $B$ થી અંતર $\sqrt{(2-0)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4 + R^2}$ છે. અંતર સમાન હોવાથી,પોલાણને કારણે સ્થિતિમાન સમાન છે,અને મોટા ગોળાને કારણે સ્થિતિમાન આ વર્તુળ પર અચળ છે. આમ,કુલ સ્થિતિમાન ${y^2} + {z^2} = 4$ અને ${y^2} + {z^2} = 36$ વર્તુળો પર અચળ છે. વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ પણ સાચા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) મુસાફરનું વજન એ તેના પર લાગતું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. ધારો કે $M_e$ અને $M_m$ એ પૃથ્વી અને મંગળના દળ છે,અને $R_e$ અને $R_m$ તેમની ત્રિજ્યા છે. પૃથ્વીથી મંગળ તરફના માર્ગ પર $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = |F_e - F_m| = |\frac{G M_e m}{x^2} - \frac{G M_m m}{(d-x)^2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પૃથ્વી અને મંગળ વચ્ચેનું અંતર છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(x = R_e)$,વજન $W_e = m g_e = 60 \times 10 = 600 \, N$ છે.
મંગળની સપાટી પર $(x = d - R_m)$,વજન $W_m = m g_m = 60 \times 4 = 240 \, N$ છે.
જેમ જેમ અવકાશયાન પૃથ્વીથી મંગળ તરફ જાય છે,તેમ પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘટે છે અને મંગળનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વધે છે. બંને ગ્રહોની વચ્ચે કોઈ એક બિંદુએ,પૃથ્વી અને મંગળના ગુરુત્વાકર્ષણ બળો મૂલ્યમાં સમાન હશે,જેનાથી ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) શૂન્ય થઈ જશે.
અવકાશયાન અચળ વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,અંતર $x$ એ સમય $t$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી,વજન વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ $600 \, N$ થી ઘટવો જોઈએ,કોઈ મધ્યવર્તી સમયે $0 \, N$ સુધી પહોંચવો જોઈએ,અને પછી આગમન સમય $t_0$ પર $240 \, N$ સુધી વધવો જોઈએ. વક્ર $D$ એકમાત્ર એવો વક્ર છે જે દર્શાવે છે કે વજન શૂન્ય થાય છે અને પછી $240 \, N$ સુધી વધે છે.

(C) $M$ દળના ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,ઉર્જાઓ નીચે મુજબ છે:
સ્થિતિ ઉર્જા: $U = -\frac{GMm}{r}$
ગતિ ઉર્જા: $K = \frac{GMm}{2r}$
કુલ ઉર્જા: $E = U + K = -\frac{GMm}{2r}$
આ સમીકરણો પરથી:
$1$. $U$ હંમેશા ઋણ હોય છે અને જેમ $r$ વધે છે તેમ તેનું મૂલ્ય ઘટે છે,જે નીચેથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
$2$. $K$ હંમેશા ધન હોય છે અને જેમ $r$ વધે છે તેમ તે ઘટે છે,જે ઉપરથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
$3$. $E$ હંમેશા ઋણ હોય છે અને જેમ $r$ વધે છે તેમ તેનું મૂલ્ય ઘટે છે,જે નીચેથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
$4$. મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $|U| = 2|E|$ અને $K = |E|$.
આમ,$U$ અને $E$ ઋણ વક્ર છે,જ્યારે $K$ ધન વક્ર છે. જેમ $r \to \infty$,બધી ઉર્જાઓ $0$ ની નજીક પહોંચે છે. સાચો આલેખ એ છે જેમાં $K$ એ $r$-અક્ષની ઉપર છે,અને $U$ તથા $E$ બંને $r$-અક્ષની નીચે છે,જેમાં $U$ એ $E$ કરતા વધુ ઋણ છે (એટલે કે $|U| > |E|$).

(D) બાઈનરી તારાઓ એવા બે તારાઓ છે જે સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. તેમના ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળા અને તેમની વચ્ચેના અંતરનું અવલોકન કરીને,ખગોળશાસ્ત્રીઓ તારાઓના દળ નક્કી કરવા માટે કેપ્લરના નિયમો અને ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકે છે. વધુમાં,બાઈનરી તારાઓની ગતિ અવકાશી સંદર્ભમાં ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ માટે સીધી અવલોકનક્ષમ કસોટી પૂરી પાડે છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે પૃથ્વી પરની વસ્તુઓ માટે જે ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમો લાગુ પડે છે તે જ દૂરના તારાઓ માટે પણ લાગુ પડે છે.

(B) સૌર અચળાંક $S$ એ પૃથ્વીના સૂર્યથી અંતરે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં આપાત થતી સૌર ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ,બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતી વિકિરણની તીવ્રતા $I$ એ ઉદગમથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto \frac{1}{r^2}$.
ધારો કે પૃથ્વીના અંતરે $r_E = 1 \, AU$ સૌર અચળાંક $S$ છે.
ધારો કે $r_P = 5.3 \, AU$ અંતરે સૌર અચળાંક $S'$ છે.
તેથી,$\frac{S'}{S} = \frac{r_E^2}{r_P^2} = \left(\frac{1}{5.3}\right)^2$.
આમ,$S' = \frac{S}{(5.3)^2}$.

(D) જેમ આપણે સૂર્યના કેન્દ્ર તરફ જઈએ છીએ,તેમ બહારના સ્તરો દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વધે છે,જેના પરિણામે ઘનતા અને દબાણ બંનેમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સોલર અચળાંક $S$ એ સૂર્યથી અંતર $R$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $S \propto \frac{1}{R^2}$.
આપેલ છે કે,$R_M = 0.4 \, R_E$,જ્યાં $R_M$ એ બુધનું અંતર છે અને $R_E$ એ પૃથ્વીનું અંતર છે.
પૃથ્વીનો સોલર અચળાંક $S_E = 2 \, cal/min \cdot cm^2$ છે.
સંબંધ $\frac{S_M}{S_E} = \frac{R_E^2}{R_M^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{S_M}{2} = \frac{R_E^2}{(0.4 \, R_E)^2} = \frac{1}{0.16} = 6.25$.
તેથી,$S_M = 6.25 \times 2 = 12.5 \, cal/min \cdot cm^2$.

(A) ધારો કે ઉદ્ગમબિંદુ પરનો કણ $A(0,0)$ છે,$(0.2, 0)$ પરનો કણ $C$ છે અને $(0, 0.2)$ પરનો કણ $B$ છે. બધા દળ $m = 1 \, kg$ છે.
કણ $C$ દ્વારા $A$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$\vec{F}_{AC} = \frac{G m_A m_C}{r_{AC}^2} \hat{i} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{(0.2)^2} \hat{i} = \frac{6.67 \times 10^{-11}}{0.04} \hat{i} = 1.6675 \times 10^{-9} \hat{i} \approx 1.67 \times 10^{-9} \hat{i} \, N$
કણ $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$\vec{F}_{AB} = \frac{G m_A m_B}{r_{AB}^2} \hat{j} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{(0.2)^2} \hat{j} = 1.67 \times 10^{-9} \hat{j} \, N$
કણ $A$ પર લાગતું કુલ બળ:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_{AC} + \vec{F}_{AB} = 1.67 \times 10^{-9} (\hat{i} + \hat{j}) \, N$

(C) ધારો કે ચોરસનું કેન્દ્ર $P$ છે. દરેક ખૂણેથી કેન્દ્ર $P$ સુધીનું અંતર $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
ખૂણાઓ $A, B, C, D$ પર રહેલા દળો દ્વારા $P$ પરના $m$ દળ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો નીચે મુજબ છે:
$F_{PA} = \frac{G(m)(m)}{x^2} = \frac{Gm^2}{x^2} = F$
$F_{PB} = \frac{G(2m)(m)}{x^2} = 2F$
$F_{PC} = \frac{G(3m)(m)}{x^2} = 3F$
$F_{PD} = \frac{G(4m)(m)}{x^2} = 4F$
આ બળો વિકર્ણોની દિશામાં લાગે છે. વિકર્ણ $AC$ પરનું પરિણામી બળ $F_{net, AC} = F_{PC} - F_{PA} = 3F - F = 2F$ ($C$ ની દિશામાં).
વિકર્ણ $BD$ પરનું પરિણામી બળ $F_{net, BD} = F_{PD} - F_{PB} = 4F - 2F = 2F$ ($D$ ની દિશામાં).
પરિણામી બળ $F_{net}$ એ આ બે લંબ બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$F_{net} = \sqrt{(2F)^2 + (2F)^2} = 2\sqrt{2}F$
$F = \frac{Gm^2}{x^2} = \frac{Gm^2}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2Gm^2}{a^2}$ મૂકતા:
$F_{net} = 2\sqrt{2} \left( \frac{2Gm^2}{a^2} \right) = \frac{4\sqrt{2}Gm^2}{a^2}$

(A) $m$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I = \frac{Gmr}{(a^2 + r^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ ધરાવતા ગોળા દ્વારા રીંગ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = M \times I = \frac{GMmr}{(a^2 + r^2)^{3/2}}$ થાય.
અહીં $r = \sqrt{3}a$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$F = \frac{GMm(\sqrt{3}a)}{(a^2 + (\sqrt{3}a)^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm\sqrt{3}a}{(a^2 + 3a^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm\sqrt{3}a}{(4a^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm\sqrt{3}a}{8a^3}$
$F = \frac{\sqrt{3}GMm}{8a^2}$

(C) ત્રણ કણોની સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = -\frac{G m_1 m_2}{r_{12}} - \frac{G m_2 m_3}{r_{23}} - \frac{G m_1 m_3}{r_{13}}$
અહીં $m_1 = m_2 = m_3 = 100 \, g = 0.1 \, kg$ અને $r_{12} = r_{23} = r_{13} = 20 \, cm = 0.2 \, m$ છે.
બધા દળ અને અંતર સમાન હોવાથી,$U = -3 \times \frac{G m^2}{r}$ થાય.
$U = -3 \times \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (0.1)^2}{0.2}$
$U = -3 \times \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 0.01}{0.2} = -3 \times 3.335 \times 10^{-12} = -1.00 \times 10^{-11} \, J$.
કણોને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = U_{\infty} - U_{initial} = 0 - (-1.00 \times 10^{-11} \, J) = 1.00 \times 10^{-11} \, J$ થાય.

(C) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2R)^2} = \frac{Gm^2}{4R^2}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $v^2 = \frac{Gm^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m} = \frac{Gm}{4R}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Gm}{R}}$.

(B) પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તેનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
$L = I\omega = \text{અચળ}$
કારણ કે $I = \frac{2}{5}MR^2$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી:
$\frac{2}{5}MR^2 \times \frac{2\pi}{T} = \text{અચળ}$
આ સૂચવે છે કે $T \propto R^2$.
નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{n}$ આપેલ છે,તેથી નવો સમયગાળો $T_2$ અને મૂળ સમયગાળો $T_1 = 24 \ hr$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 = \left( \frac{R/n}{R} \right)^2 = \frac{1}{n^2}$
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{n^2} = \frac{24}{n^2} \ hr$.

(B) પાવરને બળ અને વેગના ડોટ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,વેગ $v = 0$ છે,તેથી પાવર $P = 0$ થાય છે.
ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}$ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ વેગ $\vec{v}$ નીચેની તરફ હોય છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}$ ની દિશામાં જ છે (એટલે કે,$\theta = 0^\circ$).
કારણ કે $P = Fv \cos(0^\circ) = Fv$,પાવર એ ઝડપ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટી સાથે અથડાય તે પહેલાંની ક્ષણે તેની ઝડપ $v$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતો પાવર પદાર્થ પૃથ્વી સાથે અથડાય તે પહેલાંની ક્ષણે સૌથી વધુ હોય છે.

(C) આપેલ છે:
કણનું દળ $= M$
ગોળાકાર કવચનું દળ $= M$
ગોળાકાર કવચની ત્રિજ્યા $= a$
ધારો કે $O$ એ ગોળાકાર કવચનું કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા કણને કારણે કેન્દ્રથી $r = a/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{GM}{r} = -\frac{GM}{a/2} = -\frac{2GM}{a}$ છે.
ગોળાકાર કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V_2 = -\frac{GM}{a}$ છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2$ છે.
$V = -\frac{2GM}{a} + \left( -\frac{GM}{a} \right) = -\frac{3GM}{a}$.
ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય $|V| = \frac{3GM}{a}$ થશે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F$ નીચે મુજબ છે:
$1$. કવચની અંદર,એટલે કે $r < R$ માટે:
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F = 0$ થાય છે.
$2$. કવચની સપાટી પર,એટલે કે $r = R$ માટે:
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F = \frac{GM}{R^2}$ થાય છે.
$3$. કવચની બહાર,એટલે કે $r > R$ માટે:
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F = \frac{GM}{r^2}$ થાય છે.
આમ,$r < R$ માટે ક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $r > R$ માટે તે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે. સાચો આલેખ તે છે જે $r < R$ માટે $F = 0$ અને $r > R$ માટે $F \propto 1/r^2$ દર્શાવે છે.

(A) પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે,એટલે કે $r < R$:
$E = -\frac{GM}{R^3}r$
જ્યાં $M$ અને $R$ એ અનુક્રમે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત છે.
કેન્દ્ર પર,$r = 0$,તેથી $E = 0$.
પૃથ્વીની બહારના બિંદુ માટે,એટલે કે $r > R$:
$E = -\frac{GM}{r^2}$
પૃથ્વીની સપાટી પર,એટલે કે $r = R$:
$E = -\frac{GM}{R^2}$
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રનું મૂલ્ય પૃથ્વીની અંદર અંતર $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને પૃથ્વીની બહાર અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે. આ ફેરફાર દર્શાવતો આલેખ ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ છે.

(C) કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $12R$ છે. અથડામણ ત્યારે થાય છે જ્યારે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય,જે $R + 2R = 3R$ છે.
તેથી,અથડામણ પહેલાં બંને પદાર્થો દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $12R - 3R = 9R$ છે.
ધારો કે $M$ અને $5M$ દળ ધરાવતા પદાર્થો દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર અનુક્રમે $x_1$ અને $x_2$ છે. કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે. તેથી,$M x_1 = 5M x_2$,જે આપણને $x_1 = 5x_2$ આપે છે.
આપેલ છે કે $x_1 + x_2 = 9R$,તેથી $5x_2 + x_2 = 9R$ મૂકતા $6x_2 = 9R$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x_2 = 1.5R$.
ત્યારબાદ,$x_1 = 5(1.5R) = 7.5R$.
નાના પદાર્થ ($M$ દળ) દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $7.5R$ છે.

(A) ધારો કે $\omega$ એ પૃથ્વીની તેની ધરી પરની પરિભ્રમણની કોણીય ઝડપ છે.
ધારો કે $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ધારો કે $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eq} = g - \omega^2 R$ છે.
સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને અવલોકનો સમાન છે,તેથી $g_{eq} = g_d$.
$g - \omega^2 R = g(1 - \frac{d}{R})$
$g - \omega^2 R = g - \frac{gd}{R}$
$\omega^2 R = \frac{gd}{R}$
$d = \frac{\omega^2 R^2}{g}$

(B) ધારો કે લઘુગ્રહનું દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. ઘનતા $\rho = M / (\frac{4}{3} \pi R^3)$ છે.
જ્યારે $r = R/2$ ત્રિજ્યાનો ગોળાકાર ખાડો ખોદવામાં આવે છે,ત્યારે દૂર કરાયેલા ભાગનું દળ $m = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi (R/2)^3) = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi R^3) / 8 = M/8$ થાય.
સંપૂર્ણ લઘુગ્રહને કારણે બિંદુ $P$ (ખાડાની બરાબર ઉપર) પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_1 = GM/R^2$ છે,જે કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
દૂર કરાયેલા ગોળા (ખાડા) ને કારણે બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_2 = G(M/8) / (R/2)^2 = (GM/8) / (R^2/4) = GM / 2R^2$ છે,જે ખાડાના કેન્દ્રથી દૂર (લઘુગ્રહના કેન્દ્ર તરફ) લાગે છે.
ખાડો દૂર કરવામાં આવ્યો હોવાથી,ચોખ્ખો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{net}$ એ સંપૂર્ણ ગોળા અને ખાડાના ઋણ દળને કારણે લાગતા પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે: $g_{net} = g_1 - g_2 = GM/R^2 - GM/2R^2 = GM/2R^2$.

(A) ગ્રહની બહાર (સપાટી પર),માણસ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ છે: $F_{\text{old}} = \frac{GMm}{R^2}$.
ગ્રહની અંદર,માણસ $\frac{2M}{3}$ દળ ધરાવતી ગોળાકાર કવચની અંદર છે. શેલ પ્રમેય મુજબ,ગોળાકાર કવચને કારણે તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,કવચ માણસ પર કોઈ બળ લગાડતું નથી.
માણસ કેન્દ્રમાં રહેલા $\frac{M}{3}$ દળના બિંદુવત પદાર્થથી $R$ અંતરે છે. આ બિંદુવત પદાર્થ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{\text{new}} = \frac{G(\frac{M}{3})m}{R^2} = \frac{GMm}{3R^2}$ છે.
માણસ દ્વારા અનુભવાતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_{\text{old}} - F_{\text{new}} = \frac{GMm}{R^2} - \frac{GMm}{3R^2} = \frac{2GMm}{3R^2}$ છે.

(D) $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોળાકાર કવચ માટે,કવચને કારણે તેની અંદરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે અને અંદરનું ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન અચળ હોય છે જે $-GM/a$ જેટલું હોય છે.
જોકે,કવચની સપાટીથી $a$ અંતરે $M$ દળનો એક બાહ્ય કણ રહેલો છે. કવચના કેન્દ્રથી આ કણનું અંતર $r = a + a = 2a$ થાય છે.
આ બાહ્ય કણ કવચની અંદરના તમામ બિંદુઓ પર શૂન્ય ન હોય તેવું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર અને શૂન્ય ન હોય તેવું ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,કવચની અંદર,કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ બાહ્ય કણ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્ર જેટલું હોય છે,અને કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન એ કવચને કારણે મળતું અચળ સ્થિતિમાન અને બાહ્ય કણને કારણે મળતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો હોય છે.
આમ,કવચની અંદર કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર કે કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન શૂન્ય હોતા નથી.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V(x) = -\frac{GM}{\sqrt{x^2 + R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતની સ્થિતિ $(x = R)$ અને કેન્દ્ર $(x = 0)$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$.
$0 + m V(R) = \frac{1}{2}mv^2 + m V(0)$
$0 + m \left( -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + R^2}} \right) = \frac{1}{2}mv^2 + m \left( -\frac{GM}{R} \right)$
$-\frac{GM}{\sqrt{2}R} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} - \frac{GM}{\sqrt{2}R} = \frac{GM}{R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$v^2 = \frac{2GM}{R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$v = \sqrt{2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \frac{GM}{R}}$

(A) બંને પદાર્થો તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (c.m.) ની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.
ધારો કે $4m$ દળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર $x$ છે,અને $m$ દળનું અંતર $(d-x)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ: $4m(x) = m(d-x) \Rightarrow 4x = d-x \Rightarrow 5x = d \Rightarrow x = d/5$.
આમ,$4m$ દળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = d/5$ છે અને $m$ દળનું અંતર $r_2 = 4d/5$ છે.
બંને પદાર્થો સમાન કોણીય વેગ $\omega$ થી ભ્રમણ કરે છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(r\omega)^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{4m}}{K_m} = \frac{\frac{1}{2}(4m)r_1^2\omega^2}{\frac{1}{2}(m)r_2^2\omega^2} = \frac{4(d/5)^2}{(4d/5)^2} = \frac{4(d^2/25)}{16(d^2/25)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A, C) ગોલીય ગ્રહની અંદર રહેલી ગોલીય પોલાણમાં ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન અને શૂન્યતર હોય છે. આ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોના સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત પરથી મેળવેલ પ્રમાણિત પરિણામ છે.
વિકલ્પ $C$ ના સંદર્ભમાં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = K + U$ છે. જો $E = 0$ હોય,તો $K = -U$ થાય. ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં $U$ ઋણ હોવાથી,$K$ ધન હોવું જોઈએ. જેમ પદાર્થ સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે,તેમ $U$ વધે છે (ઓછું ઋણ બને છે) અને $K$ ઘટે છે. અનંત અંતરે,$U = 0$ અને $K = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ પાસે અનંત સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઉર્જા છે,જે નિષ્ક્રમણ વેગની વ્યાખ્યા છે. આમ,શૂન્ય કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ધરાવતો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થઈ જશે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા બે સ્થિર કણોને કારણે મધ્યબિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$V = V_1 + V_2 = -\frac{Gm}{l/2} - \frac{Gm}{l/2} = -\frac{4Gm}{l}$
બિંદુ $P$ પર $m_0$ દળ ધરાવતા કણની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા:
$U = m_0 V = -\frac{4Gmm_0}{l}$
કણ અનંત સુધી પહોંચી શકે તે માટે,પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર તેની કુલ ઊર્જા અનંત પરની તેની કુલ ઊર્જા જેટલી એટલે કે શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m_0 v^2 + \left( -\frac{4Gmm_0}{l} \right) = 0 + 0$
$\frac{1}{2} m_0 v^2 = \frac{4Gmm_0}{l}$
$v^2 = \frac{8Gm}{l}$
$v = \sqrt{\frac{8Gm}{l}} = 2 \sqrt{\frac{2Gm}{l}}$
આમ,લઘુત્તમ વેગ $2 \sqrt{\frac{2Gm}{l}}$ છે.

(D) ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિમાં કુલ યાંત્રિક ઊર્જા એ અંતિમ સ્થિતિ (જ્યાં દડો ક્ષણભર માટે સ્થિર થાય છે) માં કુલ યાંત્રિક ઊર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઊર્જા $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{2R}$.
અંતિમ ઊર્જા $E_f = K_f + U_f = 0 + U_{grav, depth} + U_{spring}$.
$d = R/2$ ઊંડાઈએ (એટલે કે કેન્દ્રથી $r = R/2$ અંતરે) ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા $U_{grav} = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - r^2) = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - (R/2)^2) = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - R^2/4) = -\frac{GMm}{2R^3}(\frac{11R^2}{4}) = -\frac{11GMm}{8R}$ છે.
સ્પ્રિંગ $x = R/2$ જેટલી દબાય છે,તેથી $U_{spring} = \frac{1}{2}K(R/2)^2 = \frac{KR^2}{8}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $-\frac{GMm}{2R} = -\frac{11GMm}{8R} + \frac{KR^2}{8}$.
$\frac{KR^2}{8} = \frac{11GMm}{8R} - \frac{4GMm}{8R} = \frac{7GMm}{8R}$.
તેથી,$K = \frac{7GMm}{R^3}$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$h$ ઊંચાઈથી પાડવામાં આવેલા કણનો પૃથ્વીની સપાટી પર અથડાતા પહેલાનો વેગ $v$ એ $\frac{1}{2}mv^2 = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h})$ દ્વારા મળે છે.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = R$ માટે,અભિગમનો વેગ (velocity of approach) $v_1$ એ $\frac{1}{2}mv_1^2 = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{2R}) = \frac{GMm}{2R}$ છે,તેથી $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
$h_2 = R/2$ ઊંચાઈ સુધી પાછા ઉછળવા માટે,અલગ થવાનો વેગ (velocity of separation) $v_2$ એ $\frac{1}{2}mv_2^2 = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{R + R/2}) = GMm(\frac{1}{R} - \frac{2}{3R}) = \frac{GMm}{3R}$ છે,તેથી $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$.
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ $e = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2GM/3R}}{\sqrt{GM/R}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

(B) ધારો કે $5M$ દળના ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_r$ છે. વિસ્ફોટ પછી $M$ અને $4M$ દળના ટુકડાઓના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_4$ છે.
આપેલ છે કે $M$ દળનો ટુકડો તે જ કક્ષામાં વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેનો વેગ $v_1 = -v_r$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન = વિસ્ફોટ પછીનું કુલ વેગમાન:
$5M v_r = (4M) v_4 + (M)(-v_r)$
$5M v_r = 4M v_4 - M v_r$
$6M v_r = 4M v_4$
$v_4 = 1.5 v_r$
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2} v_r \approx 1.414 v_r$ છે.
અહીં $v_4 = 1.5 v_r > 1.414 v_r$ હોવાથી,$4M$ દળનો વેગ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધારે છે.
તેથી,$4M$ દળનો ટુકડો મુક્ત કક્ષામાં (unbound orbit) ગતિ કરશે.

(C) વ્યસ્ત-વર્ગના બળ (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ) દ્વારા બંધાયેલ સિસ્ટમ માટે વિરિયલ પ્રમેય મુજબ,સમય-સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $\langle K \rangle$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $\langle U \rangle$ વચ્ચેનો સંબંધ $\langle U \rangle = -2 \langle K \rangle$ છે.
લંબગોળ કક્ષામાં રહેલા ગ્રહ માટે,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ અચળ છે અને તે $E = K + U = -\frac{GMm}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે.
કક્ષાના કોઈપણ બિંદુએ,સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = K + U = -\frac{GMm}{2a}$ હોવાથી,આપણને $K = E - U = -\frac{GMm}{2a} - (-\frac{GMm}{r}) = GMm(\frac{1}{r} - \frac{1}{2a})$ મળે છે.
મૂલ્યો $|U| = \frac{GMm}{r}$ અને $|K| = GMm|\frac{1}{r} - \frac{1}{2a}|$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $|U| > |K|$ એ કક્ષાના તમામ બિંદુઓ માટે સાચું છે,જેમાં $C$ અને $D$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,કક્ષામાં કોઈપણ બિંદુ $r$ પર,કારણ કે $r$ હંમેશા $2a$ (મુખ્ય ધરીની લંબાઈ) કરતા ઓછું હોય છે,તેથી $|U| > |K|$ ની શરત સમગ્ર લંબગોળ માર્ગ પર સંતોષાય છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{x} = \frac{g}{R} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
બળ $F = -m g_{x} = -\left(\frac{mg}{R}\right) x$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં અને કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,દડાની ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
આ $SHM$ નો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે,જ્યાં $k = \frac{mg}{R}$.
તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{mg/R}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$.
$R \approx 6400 \text{ km}$ અને $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$ મૂકતા,આપણને $T \approx 84.6 \text{ min}$ મળે છે.
બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળનો અડધો ભાગ છે,તેથી $t = \frac{T}{2} = \frac{84.6}{2} = 42.3 \text{ min}$.

(D) આપેલ સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,પૃથ્વીનું કેન્દ્ર,ઉપગ્રહ અને ઉપગ્રહથી જોઈ શકાય તેવા ક્ષિતિજ પરના બિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. કર્ણ $(R+h)$ છે અને ખૂણા $\theta$ ની સામેની બાજુ $R$ છે. તેથી,$\sin \theta = \frac{R}{R+h}$.
કો-લેટિટ્યુડ એ ધ્રુવથી માપવામાં આવતો ખૂણો છે. ઉપગ્રહ એક ચોક્કસ અક્ષાંશ સુધી સંદેશાવ્યવહાર કરી શકે છે,જે $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{R}{R+h} \right)$ ના લઘુત્તમ કો-લેટિટ્યુડને અનુરૂપ છે.
ઉપગ્રહથી જોઈ શકાય તેવા ગોળાકાર ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{visible} = 2\pi R^2 (1 - \cos \alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ દ્રશ્યમાન વિસ્તારની કોણીય ત્રિજ્યા છે. આ ભૂમિતિમાં,$\cos \alpha = \frac{R}{R+h} = \sin \theta$. તેથી,દ્રશ્યમાન વિસ્તાર $2\pi R^2 (1 - \sin \theta)$ છે.
પૃથ્વી પરનો જે વિસ્તાર ઉપગ્રહથી જોઈ શકાતો નથી (બાકાત રહેલો વિસ્તાર) તે કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાંથી દ્રશ્યમાન ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:
$A_{escaped} = 4\pi R^2 - 2\pi R^2 (1 - \sin \theta) = 2\pi R^2 (1 + \sin \theta).$
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) જ્યારે ઉપગ્રહ હવાના અવરોધનો સામનો કરે છે,ત્યારે તે યાંત્રિક ઊર્જા ગુમાવે છે,જેના કારણે તે પૃથ્વી તરફ અંદરની તરફ સર્પાકાર ગતિ કરે છે. જેમ જેમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા વધુ ઋણ બને છે અને ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ વધે છે.
હવાનો અવરોધ અસંરક્ષી બળ તરીકે કાર્ય કરતું હોવાથી,તે ઉપગ્રહ પર ટોર્ક લગાડે છે,જેના કારણે સમય જતાં કોણીય વેગમાન $L = mvr$ ઘટે છે.
તેથી,ગતિઊર્જા વધે છે અને કોણીય વેગમાન ઘટે છે. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$. તેથી,$T_1/T_2 = (R_1/R_2)^{3/2} = (R/4R)^{3/2} = (1/4)^{3/2} = 1/8$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
કક્ષીય વેગ માટે,$v = \sqrt{GM/r}$,તેથી $v \propto 1/\sqrt{r}$. આમ,$v_1/v_2 = \sqrt{r_2/r_1} = \sqrt{4R/R} = 2/1$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
કોણીય વેગ $\omega = v/r = \sqrt{GM/r^3}$,તેથી $\omega \propto r^{-3/2}$.
$\omega_1 = \sqrt{GM/R^3}$ અને $\omega_2 = \sqrt{GM/(4R)^3} = \omega_1/8$.
સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_{rel} = |\omega_1 - \omega_2| = |\omega_1 - \omega_1/8| = 7\omega_1/8$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પો જોતા,$A$ અને $B$ સ્પષ્ટપણે સાચા છે,તેથી $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ ઝડપ $v$ વધે છે. તેથી,શક્ય તેટલી નાની $r$ ની કિંમત માટે,ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ સમયગાળો $T$ ઘટે છે. તેથી,શક્ય તેટલી નાની $r$ ની કિંમત માટે,સમયગાળો ન્યૂનતમ હોય છે.
ઉપગ્રહ-પૃથ્વી તંત્રની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $r$ ઘટે છે,તેમ $E$ ની કિંમત વધુ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ ઉર્જા ન્યૂનતમ છે.
આમ,ત્રણેય વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કોઈપણ ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે તે માટે,પૃથ્વીનું કેન્દ્ર ઉપગ્રહના કક્ષીય સમતલમાં હોવું આવશ્યક છે. વિષુવવૃત્ત એ પૃથ્વીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું મહાન વર્તુળ હોવાથી,કોઈપણ ઉપગ્રહનું કક્ષીય સમતલ વિષુવવૃત્તીય સમતલને છેદતું હોવું જોઈએ. તેથી,ઉપગ્રહ તેની કક્ષામાં કોઈક સમયે વિષુવવૃત્તની ઉપરથી પસાર થવો જ જોઈએ.
ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{r}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = R + h$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $h$ એ $0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કક્ષીય ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી,સમયગાળો $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R+h}{g}} > 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ શરતનું પાલન કરવો જોઈએ.
આમ,વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) $\text{ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પહોંચતી વખતે } m \text{ દળનો વેગ } u \text{ અને } 2m \text{ દળનો વેગ } u \text{ છે। ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, } u = \sqrt{gR} = \sqrt{\frac{GM}{R}}.
\text{કેન્દ્ર પર, પદાર્થો અથડાય છે અને ચોંટી જાય છે। રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: } (2m)u - m(u) = (3m)v, \text{ જ્યાં } v \text{ એ અથડામણ પછી } 3m \text{ દળનો વેગ છે।}
mu = 3mv \Rightarrow v = u/3.
\text{કેન્દ્રથી } x \text{ અંતરે સંયુક્ત દળની સ્થિતિ ઉર્જા } U(x) = \frac{1}{2} (3m) \omega^2 x^2 \text{ છે, જ્યાં } \omega^2 = \frac{g}{R} = \frac{GM}{R^3}.
\text{સંયુક્ત દળ માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: } \frac{1}{2} (3m) v^2 = \frac{1}{2} (3m) \omega^2 A^2.
v^2 = \omega^2 A^2 \Rightarrow A = \frac{v}{\omega} = \frac{u/3}{\sqrt{GM/R^3}} = \frac{\sqrt{GM/R}/3}{\sqrt{GM/R^3}} = \frac{R}{3}.$

(C) $M$ દળ ધરાવતા એક કણનો વિચાર કરો. તેના પર અન્ય ત્રણ કણો દ્વારા બળ લાગે છે. પાસપાસેના કણો વચ્ચેનું અંતર $a = R\sqrt{2}$ અને સામસામેના કણો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
બે પાસપાસેના કણો દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GM^2}{a^2} = \frac{GM^2}{2R^2}$ છે. કેન્દ્ર તરફ આ બળોના ઘટકો $F \cos(45^{\circ})$ છે.
વિકર્ણની સામેના કણ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F' = \frac{GM^2}{d^2} = \frac{GM^2}{(2R)^2} = \frac{GM^2}{4R^2}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$F_{net} = 2F \cos(45^{\circ}) + F' = \frac{Mv^2}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \left( \frac{GM^2}{2R^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{GM^2}{4R^2} = \frac{Mv^2}{R}$
$\frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \frac{Mv^2}{R}$
$v^2 = \frac{GM}{R} \left( \frac{4 + \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \right) = \frac{GM}{R} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R} (1 + 2\sqrt{2})}$

(B) $h$ ઊંચાઈએ ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $h \ll R$,આપણે $R+h \approx R$ લઈ શકીએ છીએ. તેથી,$v_o \approx \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી (અથવા સપાટીની નજીકથી) નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ છે.
ઝડપમાં જરૂરી વધારો $\Delta v$ એ નિષ્ક્રમણ ઝડપ અને કક્ષીય ઝડપ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta v = v_e - v_o = \sqrt{2gR} - \sqrt{gR}$.
$\sqrt{gR}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta v = \sqrt{gR}(\sqrt{2} - 1)$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(d < R)$:
$g = \frac{GM}{R^3} d$
અહીં $G, M,$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$g \propto d$ થાય છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની સપાટી પર $(d = R)$:
$g = \frac{GM}{R^2} = g_s$ (મહત્તમ મૂલ્ય).
$3$. પૃથ્વીની બહાર $(d > R)$:
$g = \frac{GM}{d^2}$
અહીં,$g \propto \frac{1}{d^2}$ થાય છે. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય વધારો અને સપાટી પછી અંતર વધતા હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.