Newton’s Law of Gravitation Questions in Gujarati

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$
ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$
બળ $F$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$,અંતર $d$ નો એકમ મીટર $(m)$ અને દળ $m$ નો એકમ કિલોગ્રામ $(kg)$ છે.
આ એકમોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$G = \frac{N \cdot m^2}{kg^2} = N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$
તેથી,સાચો એકમ $N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$ છે.

(A) સમુદ્રમાં આવતા ભરતીના મોજા મુખ્યત્વે પૃથ્વીના મહાસાગરો પર ચંદ્ર દ્વારા લગાડવામાં આવતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે હોય છે.
જોકે સૂર્ય પણ પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે,પરંતુ પૃથ્વીથી ચંદ્રનું અંતર ઓછું હોવાને કારણે તેની ભરતી પેદા કરવાની શક્તિ સૂર્ય કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાતાવરણમાં વિવિધ વાયુઓના અણુઓ હોય છે જે દળ ધરાવે છે.
ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વી અને આ વાયુના અણુઓ વચ્ચે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વાયુના અણુઓને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ખેંચે છે,જેનાથી તેઓ અવકાશમાં જતા અટકે છે.
તેથી,વાતાવરણ મુખ્યત્વે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પૃથ્વી સાથે જકડાયેલું રહે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
જો અંતર $r$ ને બમણું કરવામાં આવે,તો નવું અંતર $r' = 2r$ થાય છે.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F'$ એ $F' = G \frac{m_1 m_2}{(2r)^2} = G \frac{m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4} F$ થશે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું થઈ જાય છે.

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m_1 = 1 \, kg$,$m_2 = 1 \, kg$,$r = 1 \, m$,અને ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = 6.675 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (6.675 \times 10^{-11}) \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 6.675 \times 10^{-11} \, N$.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ બે કણો વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2R)^2} = \frac{Gm^2}{4R^2}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{Gm^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m}$
$v^2 = \frac{Gm}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Gm}{R}}$

(A) $F = k \frac{m_1 m_2}{r^2}$ સૂત્રમાં અચળાંક $k$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,જેને $G$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે દળ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમની વચ્ચેના માધ્યમથી સ્વતંત્ર છે.
$G$ નું મૂલ્ય એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે,પરંતુ તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય વપરાતી એકમોની પદ્ધતિ પર આધાર રાખે છે (દા.ત.,$SI$ એકમો વિરુદ્ધ $CGS$ એકમો).
તેથી,$k$ માત્ર એકમોની પદ્ધતિ પર આધાર રાખે છે.

(D) ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ અને ચંદ્રનું દળ $M_m$ છે. આપેલ છે કે $M_e = 81 M_m$.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી જે અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થાય છે તે અંતર $x$ છે.
$x$ અંતરે રહેલા એકમ દળ પર પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_e = \frac{G M_e m}{x^2}$ છે.
$(D - x)$ અંતરે રહેલા તે જ દળ પર ચંદ્ર દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_m = \frac{G M_m m}{(D - x)^2}$ છે.
કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_e = F_m$ હોવું જોઈએ.
$\frac{G M_e m}{x^2} = \frac{G M_m m}{(D - x)^2}$
$\frac{81 M_m}{x^2} = \frac{M_m}{(D - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D - x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$10x = 9D$
$x = \frac{9D}{10}$.

(A) હેનરી કેવેન્ડિશે પૃથ્વીની ઘનતા શોધવા માટે એક પ્રયોગ કર્યો હતો. $1798$ માં,તેમણે ટોર્સન બેલેન્સનો ઉપયોગ કરીને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કર્યું હતું.

(A) બે દળ $m_1 = xM$ અને $m_2 = (1 - x)M$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$,જે $r$ અંતરે રહેલા છે,તે $F = \frac{G(xM)((1 - x)M)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $G$,$M$,અને $r$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ $x(1 - x) = x - x^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
બળ મહત્તમ થાય તે માટે $x$ નું મૂલ્ય શોધવા,આપણે $F$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{d}{dx}(x - x^2) = 1 - 2x = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $1 = 2x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0.5$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ એક સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડતી વખતે તેના દ્વારા અથવા તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલ કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,કોઈ પદાર્થને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,અનુસરવામાં આવેલા માર્ગ પર નહીં. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર ફક્ત સ્થાનનું વિધેય છે.

(A) ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું બળ $F_g$ નીચે મુજબ છે:
$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બળ એ દળના ગુણાકાર $(m_1 m_2)$,ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગ $(r^2)$ પર આધાર રાખે છે.
તે દળના સરવાળા $(m_1 + m_2)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $m$ અને $M$ દળના બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G \frac{mM}{r^2}$ છે.
આ બળ માત્ર પદાર્થોના દળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળથી વિપરીત,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તે માધ્યમથી સ્વતંત્ર છે જેમાં પદાર્થો રાખવામાં આવ્યા છે.
તેથી,જ્યારે દળની આસપાસની જગ્યા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે પણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું બળ $F$ રહેશે.

(D) ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે દળ $M_1$ અને $M_2$ વચ્ચેનું બળ $F = \frac{G M_1 M_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$G = \frac{F r^2}{M_1 M_2}$ મળે છે.
$G$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય દળ,તેમની વચ્ચેના અંતર અથવા પદાર્થો જે માધ્યમમાં રાખવામાં આવ્યા છે તેની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખતું નથી.
$G$ એ $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ પરિમાણો ધરાવતો ભૌતિક અચળાંક હોવાથી,તેના ચોક્કસ એકમો છે (દા.ત.,$SI$ એકમોમાં $N \cdot m^2/kg^2$) અને તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય વપરાતી એકમ પદ્ધતિના આધારે બદલાય છે.
તેથી,તે માધ્યમની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખતું નથી તે વિધાન સાચું છે.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે ગોળાઓ,જેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે,તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ: $F = \frac{G m^2}{(2R)^2}$ છે.
ગોળાઓ નક્કર તાંબાના હોવાથી,તેમનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\rho$ એ તાંબાની ઘનતા છે.
બળના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{4R^2} = \frac{G \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4R^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$.
અહીં $G$,$\pi$,અને $\rho$ અચળાંક હોવાથી,$F \propto R^4$ થાય છે.

(C) પદાર્થનું દળ એટલે તેમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો.
દળ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે બ્રહ્માંડમાં કોઈપણ સ્થાને અચળ રહે છે.
વજનથી વિપરીત,જે ચોક્કસ સ્થાને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે,દળ બદલાતું નથી.
તેથી,જો પૃથ્વી પર પદાર્થનું દળ $M$ હોય,તો ચંદ્ર પર પણ તે $M$ જ રહેશે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે દળ $m$ અને $(M-m)$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m (M - m)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $F$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ: $\frac{dF}{dm} = 0$.
$\frac{d}{dm} \left( \frac{G M m - G m^2}{r^2} \right) = 0$.
અહીં $G$ અને $r^2$ અચળ હોવાથી,$\frac{d}{dm} (M m - m^2) = 0$ મળે.
$M - 2m = 0$.
$M = 2m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m}{M} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) બ્લેક હોલ એ અવકાશ-સમયનો એક એવો વિસ્તાર છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ એટલું પ્રબળ હોય છે કે કંઈપણ—કોઈ કણો કે પ્રકાશ જેવા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો પણ—તેમાંથી બહાર નીકળી શકતા નથી. તે વિશાળ તારાઓના ગુરુત્વાકર્ષણીય પતન દ્વારા રચાય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી વિકલ્પ $C$ સૌથી સચોટ વર્ણન છે,કારણ કે તે અત્યંત ઉચ્ચ ઘનતા અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ધરાવતા વિસ્તારનો ઉલ્લેખ કરે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્રને પૃથ્વીના દળ માટે ગોઠવતા,આપણને $M = \frac{gR^2}{G}$ મળે છે.
હેનરી કેવેન્ડિશે ટોર્સન બેલેન્સનો ઉપયોગ કરીને પ્રાયોગિક રીતે ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું મૂલ્ય નક્કી કર્યું હતું.
ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય માપન દ્વારા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ જાણીતી છે અને પ્રયોગો દ્વારા ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ જાણીતો છે,તેથી આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને પૃથ્વીનું દળ $M$ ગણી શકાય છે.
તેથી,સાચી પદ્ધતિ કેવેન્ડિશ દ્વારા $G$ નું નિર્ધારણ અને સપાટી પર $R$ અને $g$ નો ઉપયોગ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે દળ $m_1 = xM$ અને $m_2 = (1 - x)M$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2} = \frac{G (xM) ((1 - x)M)}{r^2}$
$F = \frac{G M^2}{r^2} (x - x^2)$
$F$ મહત્તમ થાય તે માટે $x$ ની કિંમત શોધવા,આપણે $F$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીશું:
$\frac{dF}{dx} = \frac{G M^2}{r^2} \frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$
$\frac{G M^2}{r^2} (1 - 2x) = 0$
અહીં $\frac{G M^2}{r^2} \neq 0$ હોવાથી:
$1 - 2x = 0$
$2x = 1$
$x = 1/2$
આમ,જ્યારે $x = 1/2$ હોય ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મહત્તમ થાય છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત અવકાશમાં,બે અવકાશયાત્રીઓ વચ્ચે કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ તેમનું પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ છે.
ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સ્વભાવે આકર્ષી હોવાથી,તે બંને અવકાશયાત્રીઓને એકબીજાની તરફ ખેંચશે.
તેથી,તેઓ એકબીજાની નજીક આવશે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે ગોળાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{M^2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + R = 2R$ થાય.
દરેક ગોળાનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = G \frac{(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{(2R)^2}$
$F = G \frac{\frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4R^2}$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$
આમ,$F \propto R^4$.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,એક પદાર્થ દ્વારા બીજા પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળ પરસ્પર છે,જેનો અર્થ છે કે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતું બળ અને ચંદ્ર દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,ચંદ્ર પૃથ્વી પર જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે તે પૃથ્વી ચંદ્ર પર જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે તેના જેટલું જ હોય છે.

(D) શેલ પ્રમેય મુજબ,સમાન ગોળાકાર કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે,અને બહારના ભાગમાં તે સમગ્ર દળ કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય તેવું વર્તે છે.
$1$. સ્થાન $A$ પર (બંને કવચની બહાર): કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $p$ છે. કુલ દળ $M_1 + M_2$ છે. તેથી બળ $F_A = G\frac{(M_1 + M_2)m}{p^2}$ થશે.
$2$. સ્થાન $B$ પર (બે કવચની વચ્ચે): કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $q$ છે. કણ કવચ $M_1$ ની બહાર છે પણ કવચ $M_2$ ની અંદર છે. $M_2$ ને કારણે લાગતું બળ શૂન્ય છે. $M_1$ ને કારણે લાગતું બળ $F_B = G\frac{M_1 m}{q^2}$ થશે.
$3$. સ્થાન $C$ પર (બંને કવચની અંદર): કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ છે. કણ બંને કવચ $M_1$ અને $M_2$ ની અંદર છે. તેથી,ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_C = 0$ થશે.

(A) ધારો કે સોનાના ગોળાઓની ઘનતા $\rho$ છે. દરેક ગોળાનું દળ $m$ એ $m = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે ગોળાઓ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = r + r = 2r$ થાય છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ એ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{G m^2}{d^2}$.
$m$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{G (\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3)^2}{(2r)^2}$
$F = \frac{G \rho^2 \times \frac{16}{9} \pi^2 r^6}{4r^2}$
$F = G \rho^2 \times \frac{4}{9} \pi^2 r^4$
અહીં $G$,$\rho$,અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને $F \propto r^4$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $PQR$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. $M$ દળ $P, Q$ અને $R$ પર છે. $m$ દળ બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $L$ પર મૂકવામાં આવ્યું છે.
$Q$ પરના $M$ દળ દ્વારા $L$ પરના $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_Q = \frac{GMm}{(l/2)^2}$ છે જે $Q$ ની દિશામાં છે.
$R$ પરના $M$ દળ દ્વારા $L$ પરના $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_R = \frac{GMm}{(l/2)^2}$ છે જે $R$ ની દિશામાં છે.
$F_Q$ અને $F_R$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(F_Q + F_R = 0)$.
તેથી $m$ પરનું કુલ બળ માત્ર શિરોબિંદુ $P$ પરના $M$ દળને કારણે છે.
અંતર $PL$ એ સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ છે,જે $PL = l \sin 60^{\circ} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળનું મૂલ્ય $F = \frac{GMm}{(PL)^2} = \frac{GMm}{(l\sqrt{3}/2)^2} = \frac{GMm}{3l^2/4} = \frac{4GMm}{3l^2}$ થાય છે.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m$ અને $M$ દળ ધરાવતા બે બિંદુવત પદાર્થો વચ્ચેનું બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $F = \frac{G M m}{r^2}$.
આ સૂત્ર માત્ર પદાર્થોના દળ,તેમની વચ્ચેના અંતર અને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ પર આધાર રાખે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બે પદાર્થો વચ્ચે રહેલા માધ્યમ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જ્યારે આસપાસની જગ્યાને $3$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે,ત્યારે પણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું બળ $F$ જ રહેશે.

(A) પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = m_g g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_g$ એ ગુરુત્વીય દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે. પદાર્થનું વજન આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે,તેથી $W = m_g g$ થાય.
ગુરુત્વીય દળ $m_g$ બંને પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,તેમનું વજન $W$ સમાન રહેશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m_i a$,જ્યાં $m_i$ એ જડત્વીય દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળને જડત્વીય બળ સાથે સરખાવતા,આપણને $m_g g = m_i a$ મળે છે.
આમ,પ્રવેગ $a = (m_g / m_i) g$ થાય.
ગુરુત્વીય દળ $m_g$ સમાન છે પરંતુ જડત્વીય દળ $m_i$ બંને પદાર્થો માટે અલગ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ બંને પદાર્થો માટે અલગ હશે.
તેથી,પદાર્થોનું વજન સમાન હશે પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેમનો પ્રવેગ અલગ હશે.

(A) $x = r, 2r, 4r, 8r, \ldots$ પર રહેલા બિંદુવત દળોના અનંત વિતરણને કારણે ઉગમબિંદુ પરના બિંદુવત દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ એ વ્યક્તિગત ગુરુત્વાકર્ષણ બળોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{Gm^2}{r^2} + \frac{Gm^2}{(2r)^2} + \frac{Gm^2}{(4r)^2} + \frac{Gm^2}{(8r)^2} + \ldots$
$F = \frac{Gm^2}{r^2} \left[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \right]$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-q}$ છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$F = \frac{Gm^2}{r^2} \times \frac{4}{3} = \frac{4Gm^2}{3r^2}$.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાઈનરી સ્ટાર સિસ્ટમમાં,બંને તારાઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ ફરે છે.
બંને તારાઓ વચ્ચેનું અંતર એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી માપવામાં આવેલી તેમની કક્ષાની ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $r = r_1 + r_2$ છે.
આ અંતરને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય $F = \frac{G m_1 m_2}{(r_1 + r_2)^2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A$ નું દળ $4m$ છે અને $B$ નું દળ $3m$ છે. ધારો કે $C$ નું દળ $M$ છે.
ધારો કે $C$ નું $A$ થી અંતર $r$ છે. તો $C$ નું $B$ થી અંતર $(1 - r)$ થશે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{AC} = \frac{G(4m)M}{r^2}$ છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{BC} = \frac{G(3m)M}{(1 - r)^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_{AC} = \frac{1}{3} F_{BC}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{G(4m)M}{r^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{G(3m)M}{(1 - r)^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{4}{r^2} = \frac{1}{(1 - r)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{r} = \frac{1}{1 - r}$.
$2(1 - r) = r \Rightarrow 2 - 2r = r \Rightarrow 3r = 2 \Rightarrow r = \frac{2}{3}\, m$.

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત દળો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_G = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ બે દળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ કિસ્સામાં,અવકાશયાત્રી પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ અંતરે છે,તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = R + h$ થાય.
તેથી,અવકાશયાત્રી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_G = \frac{GMm}{(R + h)^2}$ છે.

(A) ધારો કે ગોળાની ઘનતા $\rho$ છે.
મૂળ ગોળાનું દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
દૂર કરેલા ગોળાનું કદ $V_{\text{removed}} = \frac{4}{3}\pi (\frac{R}{2})^3 = \frac{1}{8} (\frac{4}{3}\pi R^3)$.
દૂર કરેલા ગોળાનું દળ $m = \rho \cdot V_{\text{removed}} = \frac{M}{8}$.
ગોળાના બાકી રહેલા ભાગનું દળ $M' = M - m = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$.
ગોળાના બાકી રહેલા ભાગ અને દૂર કરેલા ગોળા વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{G M' m}{r^2}$
અહીં,$r = 3R$ એ બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
$F = \frac{G (\frac{7M}{8}) (\frac{M}{8})}{(3R)^2}$
$F = \frac{G (\frac{7M^2}{64})}{9R^2}$
$F = \frac{7GM^2}{576R^2}$

(A) સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન,સૂર્ય અને ચંદ્ર પૃથ્વીની એક જ બાજુએ હોય છે. ચંદ્રગ્રહણ દરમિયાન,ચંદ્ર અને સૂર્ય પૃથ્વીની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય છે.
ધારો કે $F_S$ એ પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે અને $F_L$ એ પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,પૃથ્વી પરનું કુલ બળ $F = m_e a$ છે,જ્યાં $m_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન,સૂર્ય અને ચંદ્રના બળો પૃથ્વી પર એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે:
$m_e a_S = F_S + F_L$ --- $(1)$
ચંદ્રગ્રહણ દરમિયાન,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે:
$m_e a_L = F_S - F_L$ --- $(2)$
પ્રવેગમાં ફેરફાર $\Delta a = a_S - a_L$ છે. સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$m_e (a_S - a_L) = (F_S + F_L) - (F_S - F_L) = 2F_L$
કારણ કે $F_L = G \frac{m_e M_L}{D^2}$,જ્યાં $M_L$ એ ચંદ્રનું દળ છે અને $D$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે:
$m_e \Delta a = 2 G \frac{m_e M_L}{D^2} \implies \Delta a = \frac{2 G M_L}{D^2}$
કિંમતો મૂકતા: $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,$M_L = 7.36 \times 10^{22} \ kg$,$D = 3.8 \times 10^8 \ m$:
$\Delta a = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 7.36 \times 10^{22}}{(3.8 \times 10^8)^2} = \frac{98.1776 \times 10^{11}}{14.44 \times 10^{16}} \approx 6.8 \times 10^{-5} \ m/s^2$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $6.73 \times 10^{-5} \ m/s^2$ છે.

(D) ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સળિયાનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = (A + Bx^2)dx$ છે.
આ ઘટક દ્વારા $x = 0$ પર રહેલા બિંદુવત દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $dF = \frac{G(dm)m}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$dm$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dF = \frac{Gm(A + Bx^2)dx}{x^2} = Gm\left( \frac{A}{x^2} + B \right)dx$ મળે છે.
કુલ બળ શોધવા માટે,આપણે $x = a$ થી $x = a + L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$F = \int_a^{a+L} Gm\left( \frac{A}{x^2} + B \right)dx = Gm \left[ A \int_a^{a+L} x^{-2} dx + B \int_a^{a+L} dx \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( -\frac{1}{x} \right)_a^{a+L} + B(x)_a^{a+L} \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( -\frac{1}{a+L} + \frac{1}{a} \right) + B(a+L-a) \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L} \right) + BL \right]$.

(B) દરેક ગોળાનું દળ $M$ એ તેના કદ અને ઘનતાના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $M = V \cdot \rho = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho$.
સંપર્કમાં રહેલા બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + R = 2R$ છે.
ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત દળો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{(2R)^2}$.
$F = \frac{G \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4 R^2}$.
$F = \frac{16}{36} \pi^2 \rho^2 R^4 G = \frac{4}{9} \pi^2 \rho^2 R^4 G$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
ન્યૂટનનો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતું બળ $(F_{EM})$ અને ચંદ્ર દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું બળ $(F_{ME})$ એ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડ બનાવે છે.
તેથી,પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય એ ચંદ્ર દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
$F_{EM} = F_{ME}$
આમ,પૃથ્વીનું ચંદ્ર પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ચંદ્રનું પૃથ્વી પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $m$ અને $M$ દળના બે બિંદુવત પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G \frac{mM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળ માત્ર પદાર્થોના દળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળથી વિપરીત,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તે માધ્યમ પર આધારિત નથી જેમાં પદાર્થો મૂકવામાં આવ્યા હોય.
તેથી,જ્યારે ગોળાઓની આસપાસની જગ્યાને $3$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે પણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું બળ $F$ જ રહેશે.

(A) ધારો કે દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $r = L + 2L \sin \theta$ છે. ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $r \approx L$ થાય.
ગોળાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ $F = \frac{GM^2}{r^2} \approx \frac{GM^2}{L^2}$ છે.
એક ગોળાના સંતુલન માટે,તેના પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$,અને વજન $Mg$ છે.
બળોના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = F = \frac{GM^2}{L^2}$
$T \cos \theta = Mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{F}{Mg} = \frac{GM^2 / L^2}{Mg} = \frac{GM}{gL^2}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left[\frac{GM}{gL^2}\right]$.

(C) ધારો કે અંતર $RS = x$. આકૃતિ પરથી,$RS = l$. $P$ થી $S$ નું અંતર $PS = \sqrt{PR^2 + RS^2} = \sqrt{(l/2)^2 + l^2} = \sqrt{l^2/4 + l^2} = \sqrt{5l^2/4} = \frac{\sqrt{5}}{2} l$ છે.
$P$ પરના કણ દ્વારા $S$ પરના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = \frac{G m^2}{PS^2} = \frac{G m^2}{5l^2/4} = \frac{4 G m^2}{5 l^2}$ છે.
તે જ રીતે,$Q$ પરના કણ દ્વારા $S$ પરના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2 = \frac{G m^2}{QS^2} = \frac{4 G m^2}{5 l^2}$ છે.
ધારો કે $RS$ અને $PS$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\cos \theta = \frac{RS}{PS} = \frac{l}{(\sqrt{5}/2) l} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ થાય.
બળો $F_1$ અને $F_2$ ના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામી બળ એ શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F = F_1 \cos \theta + F_2 \cos \theta = 2 F_1 \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times \left( \frac{4 G m^2}{5 l^2} \right) \times \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \frac{16 G m^2}{5 \sqrt{5} l^2}$.

(A) ધારો કે દરેક બિંદુવત દળ $m$ છે. $r$ અંતરે રહેલા બે દળ $m$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{Gm^2}{r^2}$ છે.
ગોઠવણી $(A)$ માટે:
બિંદુવત દળ $1$ એક છેડે છે. અન્ય બે દળ તેનાથી $x$ અને $y$ અંતરે છે. બંને બળો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ બળ $F_A = \frac{Gm^2}{x^2} + \frac{Gm^2}{y^2} = Gm^2 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right)$ થશે.
ગોઠવણી $(B)$ માટે:
બિંદુવત દળ $1$ કાટકોણ ત્રિકોણના ખૂણા પર છે. અન્ય બે દળ લંબ અક્ષો પર $x$ અને $y$ અંતરે છે. બળો $F_x = \frac{Gm^2}{x^2}$ અને $F_y = \frac{Gm^2}{y^2}$ છે. કુલ બળ $F_B = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = Gm^2 \sqrt{\frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}}$ થશે.
ગોઠવણી $(C)$ માટે:
બિંદુવત દળ $1$ વચ્ચે છે. અન્ય બે દળ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર $x$ અને $y$ અંતરે છે. બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કુલ બળ $F_C = \left| \frac{Gm^2}{x^2} - \frac{Gm^2}{y^2} \right| = Gm^2 \left| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right|$ થશે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$F_C < F_B < F_A$ (ધારો કે $x < y$). તેથી,વધતો ક્રમ $C, B, A$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય માત્ર પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે અને તે લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા બંધ ગાળામાં કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,તેને સંરક્ષી બળ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(A) બંને દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જેનો અર્થ છે કે $a = F/m$.
બંને માટે બળ $F$ સમાન હોવાથી,પ્રવેગ $a$ એ દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a \propto 1/m)$.
આપેલ છે કે $m_1 < m_2$,તેથી $a_1 > a_2$ થાય. આમ,$m_1$ નો પ્રવેગ $m_2$ કરતા વધારે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ તંત્ર માટે આંતરિક બળ હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
તેથી,તંત્રની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે $M_s = 2 \times 10^{30} \; kg$ એ સૂર્યનું દળ છે અને $M_e = 6 \times 10^{24} \; kg$ એ પૃથ્વીનું દળ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = 1.5 \times 10^{11} \; m$ છે.
ધારો કે $x$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તે અંતર છે જ્યાં $m$ દળ ધરાવતા રોકેટ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થાય છે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હશે:
$\frac{G M_e m}{x^2} = \frac{G M_s m}{(r - x)^2}$
$\frac{M_e}{x^2} = \frac{M_s}{(r - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{M_e}}{x} = \frac{\sqrt{M_s}}{r - x}$
$\frac{r - x}{x} = \sqrt{\frac{M_s}{M_e}}$
$\frac{r}{x} - 1 = \sqrt{\frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}}} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 10^6} = \frac{1000}{\sqrt{3}} \approx 577.35$
$\frac{r}{x} = 578.35$
$x = \frac{1.5 \times 10^{11}}{578.35} \approx 2.59 \times 10^8 \; m$.

(N/A) ન્યૂટનનો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક સ્વરૂપ મેળવવા માટે,ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે બિંદુવત પદાર્થો એકબીજાથી $r$ અંતરે રહેલા છે. તેમની વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F \propto m_{1} m_{2}$ ... $(1)$
$F \propto \frac{1}{r^{2}}$ ... $(2)$
આ બંને સંબંધોને જોડતા,આપણને મળે છે:
$F \propto \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે. તેનું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}$ છે. તેને સાર્વત્રિક અચળાંક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ સમાન રહે છે.

(N/A) ન્યૂટનનો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે બ્રહ્માંડમાં દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળ સાથે આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આ બળ બંને પદાર્થોને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
આ બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કહેવામાં આવે છે.
$\therefore \left|\overrightarrow{F}_{12}\right| = \left|\overrightarrow{F}_{21}\right| = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
જ્યાં $m_{1}$ અને $m_{2}$ એ બંને પદાર્થોના દળ છે,$r$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે અને $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે.
આકૃતિ મુજબ,$m_{1}$ અને $m_{2}$ એ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં મૂકેલા બે દળ છે અને $\vec{r}_{1}$ તથા $\vec{r}_{2}$ એ તેમના સ્થાન સદિશ છે.
$m_{1}$ થી $m_{2}$ તરફનો સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{r}_{12} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ છે.
$\overrightarrow{r}_{12}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{r}_{12} = \frac{\overrightarrow{r}_{12}}{\left|\overrightarrow{r}_{12}\right|} = \frac{\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}}{r}$ છે,જ્યાં $r = \left|\overrightarrow{r}_{12}\right|$.
દળ $m_{2}$ દ્વારા દળ $m_{1}$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\overrightarrow{F}_{12} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r}_{21}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{r}_{21}$ એ $m_{2}$ થી $m_{1}$ તરફનો એકમ સદિશ છે.

(N/A) સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે કોઈ કણ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ અન્ય તમામ કણો દ્વારા તેના પર લાગતા વ્યક્તિગત ગુરુત્વાકર્ષણ બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
જો $m_1$ દળ ધરાવતો કણ $m_2, m_3, ..., m_n$ દળ ધરાવતા કણોથી અનુક્રમે $r_{12}, r_{13}, ..., r_{1n}$ અંતરે હોય,તો $m_1$ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F}_1$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + ... + \vec{F}_{1n} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F}_{1i}$
જ્યાં કોઈપણ દળ $m_i$ ને કારણે લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F}_{1i} = G \frac{m_1 m_i}{|\vec{r}_{1i}|^2} \hat{r}_{1i}$
અહીં,$\hat{r}_{1i}$ એ $m_1$ થી $m_i$ તરફ નિર્દેશ કરતો એકમ સદિશ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કુલ બળ એ આ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો છે.

(N/A) પૃથ્વી જેવા વિસ્તૃત પદાર્થ અને બિંદુવત દળ વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માટે $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ સમીકરણ સીધું લાગુ પડતું નથી,કારણ કે તે માત્ર બિંદુવત દળો માટે જ માન્ય છે.
વિસ્તૃત પદાર્થમાં રહેલું દરેક સૂક્ષ્મ બિંદુવત દળ આપેલા બિંદુવત દળ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે. આ વ્યક્તિગત બળો અલગ-અલગ દિશામાં કાર્ય કરતા હોવાથી,કુલ બળ મેળવવા માટે આ તમામ સૂક્ષ્મ બળોનો સદિશ સરવાળો કરવો પડે છે.
આ સરવાળાને ગાણિતિક રીતે વિસ્તૃત પદાર્થના કદ પરના સંકલન તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે: $\vec{F} = \int d\vec{F}$. આ પ્રક્રિયા કલનશાસ્ત્ર (Calculus) નો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી કરી શકાય છે.

(A) ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે નવા દળ $m_1' = 2m_1$ અને $m_2' = 2m_2$ છે,અને નવું અંતર $r' = 2r$ છે.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે: $F' = G \frac{m_1' m_2'}{(r')^2}$.
નવી કિંમતો મૂકતા: $F' = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{(2r)^2} = G \frac{4 m_1 m_2}{4 r^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $F' = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = F$.
તેથી,નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમાન રહે છે.