Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
અહીં આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{4}$ છે,તેથી સમીકરણમાં $g' = \frac{g}{4}$ મૂકતા:
$\frac{g}{4} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4}$
$\frac{d}{R} = \frac{3}{4}$
$d = \frac{3R}{4}$
આમ,$\frac{3R}{4}$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{4}$ થાય છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ સપાટીના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણો છે,તેથી $g' = \frac{g}{n}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{n} = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,ઊંડાઈ $d = R \left( \frac{n-1}{n} \right)$ મળે.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે.
પદાર્થ વજનરહિત થાય તે માટે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $g' = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = g - \omega^2 R \cos^2(60^{\circ})$.
અહીં $\cos(60^{\circ}) = 1/2$ હોવાથી,$\cos^2(60^{\circ}) = 1/4$ થાય.
તેથી,$g = \omega^2 R (1/4) \implies \omega^2 = 4g/R$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = 2 \sqrt{g/R}$.
$g = 9.8 \, m/s^2$ અને $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ લેતા:
$\omega = 2 \sqrt{9.8 / (6.4 \times 10^6)} \approx 2.47 \times 10^{-3} \, rad/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $2.5 \times 10^{-3} \, rad/s$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ એ $F = mI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
કિસ્સો $1$: ગોળાની બહારના બિંદુઓ માટે $(r > R)$:
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I = \frac{GM}{r^2}$ છે.
તેથી,$F \propto \frac{1}{r^2}$.
આમ,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ જ્યારે $r_1 > R$ અને $r_2 > R$ હોય.
કિસ્સો $2$: ગોળાની અંદરના બિંદુઓ માટે $(r < R)$:
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I = \frac{GMr}{R^3}$ છે.
તેથી,$F \propto r$.
આમ,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$ જ્યારે $r_1 < R$ અને $r_2 < R$ હોય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ ઊંચાઈ પરથી પદાર્થને પડવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ થાય છે.
પૃથ્વી માટે,$t_{earth} = \sqrt{\frac{2h}{g_{earth}}}$.
ચંદ્ર માટે,$t_{moon} = \sqrt{\frac{2h}{g_{moon}}}$.
આપેલ છે કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{moon} = \frac{g_{earth}}{6}$ છે,તેથી આપણે ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{t_{moon}}{t_{earth}} = \sqrt{\frac{g_{earth}}{g_{moon}}} = \sqrt{\frac{g_{earth}}{g_{earth}/6}} = \sqrt{6}$.
તેથી,$t_{moon} = \sqrt{6}t$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
નવા ગ્રહ માટે,$M' = 2M$ અને $R' = 2R$ છે.
તેથી,નવા ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$:
$g' = \frac{G(2M)}{(2R)^2} = \frac{2GM}{4R^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{2}$.
લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g/2}} = \sqrt{2}$.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \ s$ છે.
તેથી,$T' = T \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g' = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2} \quad ... (i)$
જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
બંને બાજુ પદાર્થના દળ $m$ વડે ગુણતા,આપણને $h$ ઊંચાઈએ વજન $W'$ મળે છે:
$W' = mg' = \frac{mg}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{W}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
પ્રશ્ન મુજબ,$W' = \frac{1}{16}W$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$1 + \frac{h}{R} = 4$
$\frac{h}{R} = 3$
$h = 3R$

(A) $M$ દળ અને $R = D/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી નજીક $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{GMm}{R^2} = \frac{GMm}{(D/2)^2}$
કણ દ્વારા અનુભવાતો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ એ એકમ દળ દીઠ લાગતું બળ છે:
$g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{(D/2)^2}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$g = \frac{GM}{D^2/4} = \frac{4GM}{D^2}$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $\frac{4GM}{D^2}$ છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$r \le R$ માટે (પૃથ્વીની અંદર):
$g = \frac{4}{3} \pi \rho G r$
આ દર્શાવે છે કે $g$ એ $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(g \propto r)$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$r > R$ માટે (પૃથ્વીની બહાર):
$g = \frac{GM}{r^2} = \frac{4}{3} \frac{\pi \rho R^3 G}{r^2}$
આ દર્શાવે છે કે $g$ એ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(g \propto \frac{1}{r^2})$,જે હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે.
આ બંનેને જોડતા,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે. આ આલેખ ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ વક્ર સાથે મેળ ખાય છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V_h = -\frac{GM}{R+h} = -5.4 \times 10^7\, J kg^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = 6.0\, m s^{-2}$ છે.
આપણે આ બે સમીકરણોને $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{R+h} \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{-V_h}{R+h}$ તરીકે સંબંધિત કરી શકીએ છીએ.
$(R+h)$ માટે ગોઠવતા,આપણને $R+h = \frac{-V_h}{g_h}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R+h = \frac{-(-5.4 \times 10^7)}{6.0} = \frac{5.4 \times 10^7}{6.0} = 0.9 \times 10^7 = 9.0 \times 10^6\, m$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યાને મીટરમાં ફેરવતા: $R = 6400\, km = 6.4 \times 10^6\, m$.
હવે,$h = (R+h) - R = 9.0 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 2.6 \times 10^6\, m$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા: $h = 2600\, km$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{4}$,તેથી $\frac{g}{4} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$2 = 1 + \frac{h}{R}$,જે આપે છે $\frac{h}{R} = 1$,એટલે કે $h = R$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g}{4}$,તેથી $\frac{g}{4} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
$g$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$,જે આપે છે $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $d = \frac{3R}{4}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{h}{d} = \frac{R}{3R/4} = \frac{4}{3}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
પ્રશ્ન મુજબ,$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ એ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ જેટલો જ છે:
$g_h = g_d$
સૂત્રો મૂકતા:
$g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right) = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
અહીં $h = 1\, km$ આપેલ હોવાથી:
$d = 2 \times 1\, km = 2\, km$

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
નોંધો કે સૂર્યનું દળ પૃથ્વીની સપાટી પર $g$ ના મૂલ્યને અસર કરતું નથી.
જો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ એ $10G$ થઈ જાય,તો નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{(10G)M}{R^2} = 10g$ થશે.
જેથી $g' = 10g$ થાય છે,ગુરુત્વપ્રવેગમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
$1$. વરસાદના ટીપાં ઝડપથી પડશે કારણ કે ગુરુત્વપ્રવેગ વધારે છે.
$2$. જમીન પર ચાલવું વધુ મુશ્કેલ બનશે કારણ કે વ્યક્તિનું અસરકારક વજન વધે છે.
$3$. સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે. જેમ $g$ વધે છે,તેમ $T$ ઘટશે.
$4$. વિધાન 'પૃથ્વી પર $g$ બદલાશે નહીં' ખોટું છે કારણ કે $g$ દસ ગણો વધે છે.

(A) વજન એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પદાર્થ પર લાગતું બળ છે,જે $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અદૃશ્ય થઈ જાય,તો $g$ નું મૂલ્ય $0$ થઈ જાય છે,જેના પરિણામે વજન $W$ શૂન્ય થઈ જાય છે. જો કે,દળ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે જે તેમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો દર્શાવે છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધારિત નથી. તેથી,દળ અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) વૈજ્ઞાનિક $A$ માટે,જે $d$ ઊંડાઈએ ખાણમાં જાય છે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $d$ વધે છે,તેમ $g'$ ઘટે છે.
વૈજ્ઞાનિક $B$ માટે,જે $h$ ઊંચાઈએ ફુગ્ગામાં જાય છે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g(1 - 2h/R)$ (જ્યારે $h \ll R$) દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ $g'$ ઘટે છે.
ગુરુત્વપ્રવેગમાં ઊંડાઈ અને ઊંચાઈ સાથે થતા ફેરફારના ગાણિતિક સમીકરણો અલગ હોવાથી,દરેક વૈજ્ઞાનિક દ્વારા માપવામાં આવતું $g$ નું મૂલ્ય અલગ અલગ દરે ઘટે છે.

(B) કોઈપણ અવકાશી પદાર્થની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_m = \frac{1}{81} M_e$ અને $g_m = \frac{1}{6} g_e$.
આપણે ગુણોત્તર લઈએ: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = \frac{1}{81} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
તેથી,$\left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2 = \frac{81}{6}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{R_e}{R_m} = \sqrt{\frac{81}{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}}$.
આમ,$R_e = \frac{9}{\sqrt{6}} R_m$.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
આ સૂચવે છે કે $g \propto \frac{M}{R^2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,ગ્રહનું દળ $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_p = \frac{R_e}{2}$ છે,જ્યાં $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીના દળ અને ત્રિજ્યા છે.
ગ્રહ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_p)$ અને પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_e)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g_p}{g_e} = \left( \frac{M_p}{M_e} \right) \times \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,$g_p = 2 \times g_e = 2 \times 9.8\, m/s^2 = 19.6\, m/s^2$.

(B) કોઈ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી માટે,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
બીજા ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 2M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 2R_e$ છે.
આ કિંમતોને $g_p$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right)$.
કારણ કે $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$,તેથી આપણને $g_p = \frac{g_e}{2}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8 \, m/s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે: $g = 9.8 \, m/s^2$,$R = 6400 \, km$,અને $h = 480 \, km$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = 9.8 \times \left( \frac{6400}{6400 + 480} \right)^2$
$g' = 9.8 \times \left( \frac{6400}{6880} \right)^2$
$g' = 9.8 \times (0.9302)^2$
$g' = 9.8 \times 0.8653 \approx 8.48 \, m/s^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $8.4 \, m/s^2$ મળે છે.

(C) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R + h}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $R + h = R\sqrt{2}$,તેથી $h = R(\sqrt{2} - 1)$.
$R = 4000 \ mile$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$h = 4000(1.414 - 1) = 4000(0.414) = 1656 \ mile$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $h \approx 1600 \ mile$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
$h$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $g_h = g_0$ ના $25\%$,જેનો અર્થ છે કે $g_h = \frac{1}{4} g_0$.
$g_h$ અને $g_0$ ના સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{4} \frac{GM}{R^2}$.
બંને બાજુથી $GM$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{4R^2}$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{R+h} = \frac{1}{2R}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2R = R + h$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $h = R$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \rho V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$.
અહીં $G$,$\pi$ અને $\frac{4}{3}$ અચળ હોવાથી,$g \propto \rho R$ થાય.
$g$ ને અચળ રાખવા માટે,ગુણાકાર $\rho R$ અચળ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે પ્રારંભિક ઘનતા $\rho_1$ અને ત્રિજ્યા $R_1$ છે. ધારો કે અંતિમ ઘનતા $\rho_2$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 5R_1$ છે.
તેથી,$\rho_1 R_1 = \rho_2 R_2$.
$\rho_1 R_1 = \rho_2 (5R_1)$.
$\rho_2 = \frac{\rho_1}{5}$.
આમ,ઘનતામાં $1/5$ ના ગુણાંકનો ફેરફાર કરવો જોઈએ.

(A) ધારો કે પૃથ્વીની ઘનતા $d$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
તો ગ્રહની ઘનતા $8d$ અને ત્રિજ્યા $2R$ થશે.
પૃથ્વીનું દળ $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$.
ગ્રહનું દળ $M' = \frac{4}{3} \pi (2R)^3 (8d) = \frac{4}{3} \pi (8R^3) (8d) = 64 M$.
પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{(2R)^2} = \frac{G(64M)}{4R^2} = 16 \frac{GM}{R^2} = 16g$.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S = \frac{1}{2}at^2$ છે.
પૃથ્વી પર: $S = \frac{1}{2}g(1)^2 = \frac{g}{2}$.
ગ્રહ પર: $S = \frac{1}{2}g't^2 = \frac{1}{2}(16g)t^2 = 8gt^2$.
$S$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{g}{2} = 8gt^2$.
$t^2 = \frac{1}{16} \implies t = \frac{1}{4} = 0.25 \, \text{sec}$.
નોંધ: પદાર્થનું દળ મુક્ત પતનના સમયને અસર કરતું નથી.

(A) આપેલ છે: $g_{h} = 1\% \text{ of } g_{s} = 0.01 g_{s}$.
ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_{h} = g_{s} \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$ છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $0.01 g_{s} = g_{s} \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$.
બંને બાજુ $g_{s}$ વડે ભાગતા: $0.01 = \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $0.1 = \frac{R}{R+h}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $0.1(R + h) = R$.
$0.1R + 0.1h = R$.
$0.1h = 0.9R$.
$h = \frac{0.9}{0.1} R = 9R$.
આમ,$9R$ ની ઊંચાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ સપાટી પરના તેના મૂલ્યના $1\%$ જેટલો થઈ જાય છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય પ્રવેગ $g_h$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય પ્રવેગ છે.
ઊંચાઈ $h_1 = 3R$ માટે,પ્રવેગ:
$g_1 = g \left( \frac{R}{R+3R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{4R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{g}{16}$
ઊંચાઈ $h_2 = 4R$ માટે,પ્રવેગ:
$g_2 = g \left( \frac{R}{R+4R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{g}{25}$
$3R$ ઊંચાઈ અને $4R$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{g/16}{g/25} = \frac{25}{16}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગ્રહની અંદર કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માટે, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{in} = g(r_1/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g_{in} = g/4$, તેથી $r_1/R = 1/4$, એટલે કે $r_1 = R/4$.
સપાટીથી બિંદુ $P$ નું અંતર $d = R - r_1 = R - R/4 = 3R/4$ છે.
ગ્રહની બહાર કેન્દ્રથી $r_2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $Q$ માટે, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{out} = g(R/r_2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g_{out} = g/4$, તેથી $(R/r_2)^2 = 1/4$, જે સૂચવે છે કે $R/r_2 = 1/2$, એટલે કે $r_2 = 2R$.
સપાટીથી બિંદુ $Q$ નું અંતર $h = r_2 - R = 2R - R = R$ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર એ સપાટીથી તેમના અંતરનો સરવાળો છે: $d + h = 3R/4 + R = 7R/4$.

(D) પૃથ્વીની બહારના બિંદુએ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r > R)$, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{out} = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ, $g_{out} \propto \frac{1}{r^2}$.
પૃથ્વીની અંદરના બિંદુએ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R)$, સમાન ઘનતા $\rho$ ધારીએ તો, ઘેરાયેલું દળ $M' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$ થાય. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{in} = \frac{GM'}{r^2} = \frac{G}{r^2} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ થાય. આમ, $g_{in} \propto r$.
તેથી, વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g = \frac{G \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$.
આ સમીકરણ પરથી,સરેરાશ ઘનતા $\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$ મળે છે.
અહીં $G$,$\pi$,અને $R$ (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) અચળ હોવાથી,$\rho \propto g$ થાય છે.
તેથી,પૃથ્વીની સરેરાશ ઘનતા $g$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{9}$,તેથી:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $R + h = 3R$.
તેથી,$h = 3R - R = 2R$.

(C) $\rho$ ઘનતા ધરાવતા સમાન ગોળાના કેન્દ્રથી $y$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,$m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ફક્ત $y$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર રહેલા દળ $M'$ ને કારણે હોય છે.
$M' = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \left(\frac{4}{3} \pi y^3\right) \rho$.
ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બળ $F = \frac{G M' m}{y^2}$ છે.
$M'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \frac{G m}{y^2} \left(\frac{4}{3} \pi y^3 \rho\right) = \frac{4}{3} \pi G \rho m y$.
કારણ કે $F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{4}{3} \pi G \rho y$ થાય છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે,અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને ગ્રહો $A$ અને $B$ સમાન દળ $M$ અને સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવે છે.
જેহেতু $g$ માત્ર ગ્રહના દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે,અને બંને ગ્રહો $A$ અને $B$ માટે આ સમાન છે,તેથી બંને ગ્રહોની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,ગ્રહ $A$ અને ગ્રહ $B$ ની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_A}{g_B} = \frac{GM/R^2}{GM/R^2} = 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $p$ અને ત્રિજ્યા $r$ ના સંદર્ભમાં $M = \text{Volume} \times \text{Density} = \frac{4}{3} \pi r^3 p$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આપણે આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકીએ:
$g = \frac{G}{r^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 p \right) = \frac{4}{3} \pi G r p$.
આમ,$g \propto r p$.
તેથી,બે ગ્રહો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = \frac{r_1 p_1}{r_2 p_2}$ થશે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM_e}{R_e^2} = 9.8 \ m/s^2$ છે.
ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 3M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 3R_e$ છે (કારણ કે વ્યાસ ત્રણ ગણો છે,તેથી ત્રિજ્યા પણ ત્રણ ગણી થાય).
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_p = \frac{GM_p}{R_p^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $g_p = \frac{G(3M_e)}{(3R_e)^2} = \frac{3GM_e}{9R_e^2} = \frac{1}{3} \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right)$.
તેથી,$g_p = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.3 \ m/s^2$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંચાઈ $h$ પર,નવો આવર્તકાળ $T^{\prime} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g^{\prime}}}$ છે.
આપેલ છે કે $T^{\prime} = \sqrt{2} T$,તેથી $2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g^{\prime}}} = \sqrt{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{1}{g^{\prime}} = \frac{2}{g}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g^{\prime} = \frac{g}{2}$.
ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g^{\prime} = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ છે.
$g^{\prime}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = \frac{g}{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(R+h)^2 = 2R^2$ મળે,તેથી $R+h = \sqrt{2}R$.
તેથી,$h = (\sqrt{2}-1)R \approx 0.414 R$.

(A) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંચાઈ $h$ પર વજનમાં થતો આંશિક ઘટાડો $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R} = 1\% = 0.01$ છે.
તેથી,$\frac{h}{R} = 0.005$ મળે.
ઊંડાઈ $h$ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $h$ પર વજનમાં થતો આંશિક ઘટાડો $\frac{\Delta g}{g} = \frac{h}{R} = 0.005 = 0.5\%$ છે.
આમ,પદાર્થનું વજન $0.5\%$ ઘટશે.

(D) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - R \omega^2 \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માણસ વજનહીનતા અનુભવે તે માટે,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી $g' = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$0 = g - R \omega^2 \cos^2 60^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $0 = g - R \omega^2 (\frac{1}{2})^2$.
$g = R \omega^2 (\frac{1}{4}) \Rightarrow \omega^2 = \frac{4g}{R} \Rightarrow \omega = 2 \sqrt{\frac{g}{R}}$.
સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{2 \pi}{2 \sqrt{g/R}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} \times 2 = 4 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $M$ અને $R$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M' = M - 0.10M = 0.9M = \frac{9}{10}M$ છે.
ત્રિજ્યા $R' = R + 0.20R = 1.2R = \frac{12}{10}R = \frac{6}{5}R$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{(R')^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $g' = \frac{G(\frac{9}{10}M)}{(\frac{6}{5}R)^2}$.
$g' = \frac{G \cdot \frac{9}{10}M}{\frac{36}{25}R^2} = \frac{9}{10} \cdot \frac{25}{36} \cdot \frac{GM}{R^2}$.
$g' = \frac{5}{8}g$.
આમ,ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પૃથ્વીની સપાટી કરતા $\frac{5}{8}$ ગણો હશે.

(A) ઈલેક્ટ્રોનિક ચાર્જ એ એક મૂળભૂત ભૌતિક અચળાંક છે અને તે ઈલેક્ટ્રોનનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર અથવા જ્યાં માપન કરવામાં આવે છે તે સ્થાન પર આધાર રાખતું નથી.
મિલિકનનો ઓઈલ ડ્રોપ પ્રયોગ પ્રાથમિક ચાર્જ $e$ નું મૂલ્ય નક્કી કરે છે,જે આશરે $1.602 \times 10^{-19} \ C$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ($g_E$ અથવા $g_M$) ગમે તે હોય,ઈલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ અચળ રહે છે,તેથી ચંદ્ર પરના ઈલેક્ટ્રોનિક ચાર્જ અને પૃથ્વી પરના ઈલેક્ટ્રોનિક ચાર્જનો ગુણોત્તર $1$ થાય છે.

(D) સમાન ઘનતા ધરાવતા ગોળા માટે, કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R)$: $g_{in} = \frac{G M r}{R^3}$. આમ, $g \propto r$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r > R)$: $g_{out} = \frac{G M}{r^2}$. આમ, $g \propto \frac{1}{r^2}$. આ એક હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે.
તેથી, આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે, $r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે, અને પછી વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે. આ વિકલ્પ $D$ માં આપેલી આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(C) કોઈ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$g = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
ચંદ્ર માટે,$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
આપેલ છે: $M_e = 80 M_m$ (તેથી $M_m = \frac{M_e}{80}$) અને $R_e = 4 R_m$ (તેથી $R_m = \frac{R_e}{4}$).
આ કિંમતોને $g_m$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_m = \frac{G(M_e / 80)}{(R_e / 4)^2} = \frac{G M_e / 80}{R_e^2 / 16} = \frac{16}{80} \frac{G M_e}{R_e^2}$.
કારણ કે $g = \frac{G M_e}{R_e^2}$,તેથી આપણને $g_m = \frac{1}{5} g = \frac{g}{5}$ મળે છે.

(A) પદાર્થનું દળ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે બ્રહ્માંડમાં તેના સ્થાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના બદલાતું નથી.
જેમ જેમ પથ્થર પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું વજન $(W = mg)$ ઘટે છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી વજન અને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા પણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,ગતિ દરમિયાન માત્ર પથ્થરનું દળ અચળ રહે છે.

(B) ગ્રહની અંદર કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g(r_1) = g_0 \frac{r_1}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g(r_1) = \frac{g_0}{4}$,તેથી $\frac{g_0}{4} = g_0 \frac{r_1}{R}$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $r_1 = \frac{R}{4}$ મળે છે.
ગ્રહની બહાર કેન્દ્રથી $r_2$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g(r_2) = g_0 \frac{R^2}{r_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g(r_2) = \frac{g_0}{4}$,તેથી $\frac{g_0}{4} = g_0 \frac{R^2}{r_2^2}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2^2 = 4R^2$,તેથી $r_2 = 2R$.
તેથી,$r_2 - r_1 = 2R - \frac{R}{4} = \frac{7R}{4}$.

(B) ધારો કે લઘુગ્રહનું મૂળ દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
જ્યારે $r = R/2$ ત્રિજ્યાનો ગોળાકાર ભાગ કાઢી લેવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દળ $M'$ એ $M' = \rho \cdot V' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = \frac{1}{8} \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{M}{8}$ દ્વારા મળે છે.
ખોદકામની બરાબર ઉપર સપાટી પરના બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર એ મૂળ ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને દૂર કરેલા ભાગ (ઋણ દળ તરીકે ગણવામાં આવે છે) ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
સપાટી પર મૂળ ગોળાને કારણે ક્ષેત્ર $g_1 = \frac{GM}{R^2}$ છે (કેન્દ્ર તરફ).
દૂર કરેલા ગોળાને કારણે તેની પોતાની સપાટી પર ક્ષેત્ર $g_2 = \frac{GM'}{r^2} = \frac{G(M/8)}{(R/2)^2} = \frac{GM/8}{R^2/4} = \frac{GM}{2R^2}$ છે (ખોદકામના કેન્દ્રથી દૂર,એટલે કે બહારની તરફ).
કુલ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g_{net} = g_1 - g_2 = \frac{GM}{R^2} - \frac{GM}{2R^2} = \frac{GM}{2R^2}$ છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
અહીં $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા $g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ મળે છે.
આમ,$g \propto \rho R$ થાય.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $D_1 : D_2 = 4 : 1$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 4 : 1$ થશે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 2$ આપેલ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2} = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{4}{1}\right) = \frac{4}{2} = 2 : 1$ થાય.

(D) અક્ષાંશ $\phi$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\phi = 90^\circ$ છે,તેથી $\cos 90^\circ = 0$ થાય. આમ,$g' = g$,જેનો અર્થ છે કે $\omega$ માં ફેરફાર થવા છતાં ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
અન્ય તમામ અક્ષાંશો પર,જેમ કોણીય ઝડપ $\omega$ વધે છે,તેમ પદ $\omega^2 R \cos^2 \phi$ વધે છે.
કારણ કે $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$,તેથી $\omega$ માં વધારો થવાથી $g'$ માં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,ધ્રુવો સિવાય પૃથ્વી પરના તમામ બિંદુઓ પર પદાર્થનું વજન $W = mg'$ ઘટશે.

(C) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય (જ્યાં $\theta = 0^\circ$) $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વજન $\frac{3}{4} W$ થાય છે,તેથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{3}{4} g$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{4} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ માટે ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{3}{4} g = \frac{1}{4} g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \sqrt{\frac{g}{4R}}$.
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{4 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{10}{25.6 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{2.56 \times 10^6}} = \frac{1}{1.6 \times 10^3} \ rad/s$.
$\omega = 0.625 \times 10^{-3} \ rad/s \approx 0.63 \times 10^{-3} \ rad/s$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r$ સાથે નીચે મુજબ બદલાય છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R_E)$: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM r}{R_E^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $g \propto r$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r \geq R_E)$: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $g \propto \frac{1}{r^2}$. આ લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ $r = R_E$ સુધી રેખીય વધારો અને $r > R_E$ માટે અરેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખમાં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે (જ્યાં $r < R$,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે) ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g' = \frac{4}{3} \pi \rho G r$
અહીં,$\rho$ એ પૃથ્વીની સમાન ઘનતા છે અને $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે.
આમ,$\frac{4}{3}$,$\pi$,$\rho$ અને $G$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે:
$g' \propto r$
તેથી,પૃથ્વીની અંદર ગુરુત્વપ્રવેગ કેન્દ્રથી અંતર $r$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_p = 3M_e$ અને $D_p = 3D_e$,જેનો અર્થ છે કે $R_p = 3R_e$.
ગ્રહ અને પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણનો ગુણોત્તર $\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2 = 3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ છે.
સાદા લોલકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે,તેથી $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
તેથી,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે $T_e = 2 \ s$,તેથી $T_p = 2\sqrt{3} \ s$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8\, m\,s^{-2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપણને $g' = 4.9\, m\,s^{-2}$ આપેલ છે,જે $g/2$ છે.
તેથી,$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{2} \frac{GM}{R^2}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત અને વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{R+h}{R} = \sqrt{2}$.
$1 + \frac{h}{R} = 1.414$.
$\frac{h}{R} = 0.414$.
$h = 0.414 \times R = 0.414 \times 6.4 \times 10^6\, m$.
$h \approx 2.65 \times 10^6\, m$.