General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(C) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1+x^{-1/2}$
अब,व्यंजक $(x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$ हो जाता है।
सामान्य पद $T_{r+1} = ^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = ^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ रखने पर:
$T_{5} = ^{10}C_4 = 210$

(B) दिया गया विस्तार $(1 + ax + bx^2)(1 - 2x)^{18}$ है।
$x^n$ का गुणांक $\binom{18}{n}(-2)^n + a \cdot \binom{18}{n-1}(-2)^{n-1} + b \cdot \binom{18}{n-2}(-2)^{n-2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x^3$ के लिए $(n=3)$: $\binom{18}{3}(-2)^3 + a \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 + b \cdot \binom{18}{1}(-2)^1 = 0 \implies 51a - 3b = 544 \dots (i)$.
$x^4$ के लिए $(n=4)$: $\binom{18}{4}(-2)^4 + a \cdot \binom{18}{3}(-2)^3 + b \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 = 0 \implies 544a - 51b = 4080 \dots (ii)$.
समीकरणों को हल करने पर,$a = 16$ और $b = \frac{272}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = (1 - 2\sqrt{x})^{50} = \sum_{r=0}^{50} {^{50}C_r} (-2\sqrt{x})^r$.
सामान्य पद $T_{r+1} = {^{50}C_r} (-2)^r x^{r/2}$ है।
$x$ की घात पूर्णांक होने के लिए,$r$ एक सम संख्या होनी चाहिए। माना $r = 2k$,जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \dots, 25\}$।
$x$ के पूर्णांक घातों वाले पदों के गुणांकों का योग $S = \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$ है।
$(1+2)^{50}$ और $(1-2)^{50}$ के विस्तार पर विचार करने पर:
$(1+2)^{50} + (1-2)^{50} = 2 \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$।
$3^{50} + 1 = 2S$।
अतः,$S = \frac{3^{50} + 1}{2}$।

(C) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ है।
$(a + b)^n$ के विस्तार के लिए,$\frac{T_2}{T_3} = \frac{^nC_1 a^{n-1} b}{^nC_2 a^{n-2} b^2} = \frac{2}{n-1} \cdot \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
$(a + b)^{n+3}$ के विस्तार के लिए,$\frac{T_3}{T_4} = \frac{^{n+3}C_2 a^{n+1} b^2}{^{n+3}C_3 a^n b^3} = \frac{3}{n+1} \cdot \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{T_2}{T_3} = \frac{T_3}{T_4}$,इसलिए $\frac{2}{n-1} = \frac{3}{n+1}$।
इसे हल करने पर $2(n + 1) = 3(n - 1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2n + 2 = 3n - 3$।
अतः,$n = 5$।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{C_k}{C_{k - 1}} = \frac{n - k + 1}{k}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{n - k + 1}{k}} \right)^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {k(n - k + 1)^2}$
$= \sum\limits_{k = 1}^n {k((n + 1) - k)^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {k((n + 1)^2 - 2k(n + 1) + k^2)}$
$= (n + 1)^2 \sum\limits_{k = 1}^n k - 2(n + 1) \sum\limits_{k = 1}^n k^2 + \sum\limits_{k = 1}^n k^3$
$= (n + 1)^2 \frac{n(n + 1)}{2} - 2(n + 1) \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$
$= \frac{n(n + 1)^2}{2} \left[ (n + 1) - \frac{2(2n + 1)}{3} + \frac{n}{2} \right]$
$= \frac{n(n + 1)^2}{2} \left[ \frac{6n + 6 - 8n - 4 + 3n}{6} \right]$
$= \frac{n(n + 1)^2}{12} (n + 2)$.

(B) $(x + y)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x = 1$ और $y = 1$ रखकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$(1 + 1)^n = 2^n = 1024$।
चूंकि $2^{10} = 1024$,इसलिए $n = 10$ है।
$(x + y)^n$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक होता है,जो ${}^{n}C_{n/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 10$ के लिए,सबसे बड़ा गुणांक ${}^{10}C_{10/2} = {}^{10}C_5$ है।
गणना करने पर: ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$।

(B) $(1 - x)^n$ के विस्तार के लिए,संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद(ओं) पर प्राप्त होता है। $n = 21$ के लिए,गुणांक $^{21}C_{10}$ और $^{21}C_{11}$ हैं।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ शर्त $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ और $|T_{r+1}| \geq |T_{r+2}|$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$x$ के लिए अंतराल $x \in \left( \frac{5}{6}, \frac{6}{5} \right)$ प्राप्त होता है।

(C) $(1 + \alpha x)^4$ के विस्तार में मध्य पद $3^{rd}$ पद है,जो $T_3 = ^4C_2 (\alpha x)^2 = 6 \alpha^2 x^2$ द्वारा दिया जाता है। गुणांक $6 \alpha^2$ है।
$(1 - \alpha x)^6$ के विस्तार में मध्य पद $4^{th}$ पद है,जो $T_4 = ^6C_3 (-\alpha x)^3 = -20 \alpha^3 x^3$ द्वारा दिया जाता है। गुणांक $-20 \alpha^3$ है।
प्रश्न के अनुसार,गुणांक समान हैं:
$6 \alpha^2 = -20 \alpha^3$
चूंकि $\alpha \neq 0$,$2 \alpha^2$ से विभाजित करने पर:
$3 = -10 \alpha$
$\alpha = -3/10$.

(C) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में,$x^k$ का गुणांक $^{2n}C_k$ है,जहाँ $0 \le k \le 2n$ है।
दिया गया है कि $x^{3r}$ और $x^{r+2}$ के गुणांक समान हैं,इसलिए $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_a = ^{n}C_b$ का उपयोग करते हुए,जिसका अर्थ है $a = b$ या $a + b = n$,हमें दो स्थितियाँ मिलती हैं:
स्थिति $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$। हालाँकि,यह दिया गया है कि $r > 1$,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$।
अतः,सही संबंध $n = 2r + 1$ है।

(B) $(a - b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r + 1} = {}^nC_r a^{n - r} (-b)^r$ द्वारा दिया जाता है।
$5$ वां पद $T_5 = T_{4 + 1} = {}^nC_4 a^{n - 4} (-b)^4 = {}^nC_4 a^{n - 4} b^4$ है।
$6$ वां पद $T_6 = T_{5 + 1} = {}^nC_5 a^{n - 5} (-b)^5 = -{}^nC_5 a^{n - 5} b^5$ है।
दिया गया है कि $T_5 + T_6 = 0$,इसलिए:
${}^nC_4 a^{n - 4} b^4 - {}^nC_5 a^{n - 5} b^5 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
${}^nC_4 a^{n - 4} b^4 = {}^nC_5 a^{n - 5} b^5$
दोनों पक्षों को $a^{n - 5} b^4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{{}^nC_5}{{}^nC_4}$
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{n!}{5!(n - 5)!} \times \frac{4!(n - 4)!}{n!}$
$\frac{a}{b} = \frac{(n - 4)!}{(n - 5)!} \times \frac{4!}{5!}$
$\frac{a}{b} = \frac{n - 4}{5}$.

(A) द्विपद विस्तार $(a + bx)^n$ में,यदि $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ और $|T_{r+1}| \geq |T_{r+2}|$ हो,तो $T_{r+1}$ अधिकतम संख्यात्मक पद होता है।
यहाँ $a = 2$,$bx = \frac{3x}{8}$,और $n = 10$ है।
$|T_4| \geq |T_3|$ के लिए,$\frac{10-3+1}{3} \cdot |\frac{3x/8}{2}| \geq 1 \implies |x| \geq 2$।
$|T_4| \geq |T_5|$ के लिए,$\frac{10-4+1}{4} \cdot |\frac{3x/8}{2}| \leq 1 \implies |x| \leq \frac{64}{21}$।
अतः,$2 \leq |x| \leq \frac{64}{21}$,जिसका अर्थ है $x \in [-\frac{64}{21}, -2] \cup [2, \frac{64}{21}]$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही परास $ - \frac{64}{21} < x < -2$ है।

(C) $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r + 1}$ इस प्रकार है:
$T_{r + 1} = ^{15}C_r (x^{1/3})^{15 - r} (-x^{-1/2})^r$
$T_{r + 1} = ^{15}C_r (-1)^r x^{(15 - r)/3 - r/2}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{15 - r}{3} - \frac{r}{2} = 0$
$30 - 5r = 0 \Rightarrow r = 6$
$r = 6$ रखने पर:
$T_7 = ^{15}C_6 = 5005$
$5m = 5005 \Rightarrow m = 1001$.

(B) द्विपद $(a + b)^n$ का व्यापक पद $T_{r + 1} = ^nC_r a^{n - r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 2^{1/3}$ और $b = 3^{-1/3}$ है।
प्रारंभ से $7$ वाँ पद $T_7 = ^nC_6 a^{n - 6} b^6$ है।
अंत से $7$ वाँ पद $(b + a)^n$ के विस्तार के प्रारंभ से $7$ वाँ पद है,जो $T_7' = ^nC_6 b^{n - 6} a^6$ है।
अनुपात $\frac{T_7}{T_7'} = \frac{^nC_6 a^{n - 6} b^6}{^nC_6 b^{n - 6} a^6} = \frac{a^{n - 12}}{b^{n - 12}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - 12} = \frac{1}{6}$ दिया गया है।
$a = 2^{1/3}$ और $b = 3^{-1/3}$ रखने पर,हमें $\left(\frac{2^{1/3}}{3^{-1/3}}\right)^{n - 12} = (2^{1/3} \cdot 3^{1/3})^{n - 12} = (6^{1/3})^{n - 12} = 6^{\frac{n - 12}{3}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $6^{\frac{n - 12}{3}} = 6^{-1}$ दिया गया है,घातों की तुलना करने पर: $\frac{n - 12}{3} = -1$।
$n - 12 = -3$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।

(C) $[2 + \frac{x}{3}]^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^r = ^nC_r (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^r x^r$ है।
$x^7$ का गुणांक $^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7$ है।
$x^8$ का गुणांक $^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
$^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7 = ^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$।
दोनों पक्षों को $^nC_7 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^7$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{^nC_8}{^nC_7} \times \frac{1}{3}$।
गुणधर्म $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^nC_8}{^nC_7} = \frac{n-8+1}{8} = \frac{n-7}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 = \frac{n-7}{8} \times \frac{1}{3} \Rightarrow 2 = \frac{n-7}{24}$।
$n - 7 = 48 \Rightarrow n = 55$।

(A) $(a + b)^n$ के द्विपद गुणांकों का योग $2^n$ होता है।
दिया गया है $2^n = 256 = 2^8$,इसलिए $n = 8$.
$[2x + x^{-1}]^8$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = \binom{8}{r} (2x)^{8-r} (x^{-1})^r$ है।
$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} x^{8-2r}$.
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए,इसलिए $8 - 2r = 0 \Rightarrow r = 4$.
अचर पद $= \binom{8}{4} 2^{8-4} = \binom{8}{4} 2^4$.
$\binom{8}{4} = 70$.
अचर पद $= 70 \times 16 = 1120$.

(A) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\left[ \frac{x}{2} - \frac{3}{x^2} \right]^{10}$ के लिए,$a = \frac{x}{2}$,$b = -\frac{3}{x^2}$,और $n = 10$ है।
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \left( \frac{x}{2} \right)^{10-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \cdot (-1)^r \cdot \frac{3^r}{2^{10-r}} \cdot x^{10-3r}$
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $4$ के बराबर रखें:
$10 - 3r = 4$
$3r = 6$
$r = 2$
$r=2$ रखने पर,गुणांक:
गुणांक $= {}^{10}C_{2} \cdot (-1)^2 \cdot \frac{3^2}{2^{8}}$
$= 45 \cdot \frac{9}{256} = \frac{405}{256}$

(A) दिया गया विस्तार $\left[ a^{1/13} + a^{3/2} \right]^n$ है।
सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (a^{1/13})^{n-r} (a^{3/2})^r$ है।
दूसरा पद $(r=1)$ $T_2 = ^nC_1 (a^{1/13})^{n-1} (a^{3/2})^1 = n \cdot a^{\frac{n-1}{13} + \frac{3}{2}}$ है।
चूंकि $T_2 = 14a^{5/2}$ दिया गया है,इसलिए $n = 14$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{^{14}C_3}{^{14}C_2} = \frac{12}{3} = 4$।

(C) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(2r + 1)^{th}$ पद के लिए,$k = 2r$,इसलिए गुणांक ${^{43}C_{2r}}$ है।
$(r + 2)^{th}$ पद के लिए,$k = r + 1$,इसलिए गुणांक ${^{43}C_{r+1}}$ है।
यह दिया गया है कि गुणांक समान हैं,इसलिए ${^{43}C_{2r}} = {^{43}C_{r+1}}$।
गुणधर्म ${^nC_a} = {^nC_b}$ का उपयोग करते हुए,या तो $a = b$ या $a + b = n$ होगा।
स्थिति $1$: $2r = r + 1 \Rightarrow r = 1$।
स्थिति $2$: $2r + (r + 1) = 43$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$।
अतः,$r = 14$ सही विकल्प है।

(A) $(x^2 + \frac{a}{x^3})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}_{10}C_r (x^2)^{10-r} (\frac{a}{x^3})^r = {}_{10}C_r \cdot a^r \cdot x^{20-5r}$
$x^5$ के गुणांक के लिए,$20-5r = 5 \Rightarrow r = 3$. गुणांक ${}_{10}C_3 a^3 = 120a^3$ है।
$x^{15}$ के गुणांक के लिए,$20-5r = 15 \Rightarrow r = 1$. गुणांक ${}_{10}C_1 a^1 = 10a$ है।
गुणांकों को बराबर करने पर: $120a^3 = 10a$.
चूंकि $a > 0$,$12a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{1}{2\sqrt{3}}$।

(C) माना दी गई व्यंजक $E = \left( \frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} - \frac{x - 1}{x - x^{1/2}} \right)^{10}$ है।
प्रथम पद का सरलीकरण: $\frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} = x^{1/3} + 1$.
द्वितीय पद का सरलीकरण: $\frac{x - 1}{x - x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$.
अतः,$E = (x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$.
सामान्य पद $T_{r+1} = ^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = ^{10}C_r (-1)^r x^{(20-5r)/6}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$\frac{20-5r}{6} = 0 \Rightarrow r = 4$.
अतः,वह पद $^{10}C_4$ है।

(C) द्विपद $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$6^{th}$ पद के लिए,$r = 5$ और $n = 8$ है।
$T_6 = ^8C_5 \left( \frac{1}{x^{8/3}} \right)^{8-5} (x^2 \log_{10} x)^5 = 5600$.
$T_6 = ^8C_5 (x^{-8/3})^3 (x^{10} (\log_{10} x)^5) = 5600$.
$T_6 = 56 \cdot x^{-8} \cdot x^{10} \cdot (\log_{10} x)^5 = 5600$.
$56 \cdot x^2 \cdot (\log_{10} x)^5 = 5600$.
$x^2 (\log_{10} x)^5 = 100$.
यदि $x = 10$ है,तो $10^2 (\log_{10} 10)^5 = 100 \cdot 1^5 = 100$.
अतः,$x = 10$ समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) दी गई व्यंजक $m$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = (\alpha + p)^{m - 1}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{\alpha + q}{\alpha + p}$ है।
योग सूत्र $S_m = a \frac{1 - r^m}{1 - r}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{(\alpha + p)^m - (\alpha + q)^m}{p - q}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{(\alpha + p)^m - (\alpha + q)^m}{p - q}$ के विस्तार में $\alpha^t$ का गुणांक ज्ञात करते हैं।
$(\alpha + p)^m$ में $\alpha^t$ का गुणांक $^mC_t p^{m - t}$ है और $(\alpha + q)^m$ में $^mC_t q^{m - t}$ है।
अतः,व्यंजक में $\alpha^t$ का गुणांक $\frac{^mC_t (p^{m - t} - q^{m - t})}{p - q}$ है।

(B) $( \sqrt{2} + \sqrt[4]{3} )^{100}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^{100}C_r (\sqrt{2})^{100-r} (\sqrt[4]{3})^r$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{r+1} = ^{100}C_r (2)^{50 - r/2} (3)^{r/4}$।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$r/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $r/4$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 100$,$r$ के संभावित मान $0, 4, 8, \dots, 100$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 4$,और अंतिम पद $l = 100$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$100 = 0 + (n-1)4$।
$25 = n - 1$,इसलिए $n = 26$।
अतः,कुल $26$ परिमेय पद हैं।

(D) ${\left( {x\sin \theta + \frac{{\cos \theta }}{x}} \right)^{10}}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r + 1} = ^{10}C_r (x\sin \theta )^{10 - r} \cdot {\left( {\frac{{\cos \theta }}{x}} \right)^r}$ है।
व्यंजक को सरल करने पर,$T_{r + 1} = ^{10}C_r (\sin \theta )^{10 - r} (\cos \theta )^r \cdot x^{10 - 2r}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $10 - 2r = 0$,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
स्वतंत्र पद $T_6 = ^{10}C_5 (\sin \theta )^5 (\cos \theta )^5 = ^{10}C_5 (\sin \theta \cos \theta )^5$ है।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta \cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_6 = ^{10}C_5 \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right)^5 = \frac{^{10}C_5}{2^5} (\sin 2\theta )^5$।
इस पद का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin 2\theta = 1$ हो,जो $\frac{^{10}C_5}{2^5}$ मान देता है।

(B) द्विपद प्रसार ${\left( \frac{4x^2}{3} - \frac{3}{2x} \right)^9}$ में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {^9C_r} {\left( \frac{4x^2}{3} \right)^{9-r}} {\left( -\frac{3}{2x} \right)^r}$
$T_{r+1} = {^9C_r} {\left( \frac{4}{3} \right)^{9-r}} {\left( -\frac{3}{2} \right)^r} {x^{18-3r}}$
$x^6$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए,घात को $6$ के बराबर रखें:
$18 - 3r = 6$ $\Rightarrow 3r = 12$ $\Rightarrow r = 4$
अब,$r = 4$ रखने पर:
गुणांक $= {^9C_4} {\left( \frac{4}{3} \right)^5} {\left( -\frac{3}{2} \right)^4}$
$= 126 \times \frac{4^5}{3^5} \times \frac{3^4}{2^4} = 2688$

(D) $\left( 9x - \frac{1}{3\sqrt{x}} \right)^{18}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{18}C_r (9x)^{18-r} \left( -\frac{1}{3\sqrt{x}} \right)^r$
$T_{r+1} = {}^{18}C_r (9)^{18-r} (x)^{18-r} (-1)^r (3)^{-r} (x)^{-r/2}$
$T_{r+1} = {}^{18}C_r (9)^{18-r} (-1)^r (3)^{-r} (x)^{18 - r - r/2}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$18 - \frac{3r}{2} = 0$
$36 - 3r = 0 \Rightarrow r = 12$
$r = 12$ रखने पर:
$T_{13} = {}^{18}C_{12} (9)^{18-12} (-1)^{12} (3)^{-12}$
$T_{13} = {}^{18}C_{12} (9)^6 (1) (3)^{-12}$
चूंकि $9 = 3^2$,इसलिए $9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}$.
$T_{13} = {}^{18}C_{12} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-12} = {}^{18}C_{12} \cdot 1$
$\alpha \cdot {}^{18}C_{12}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(C) $(1 + \alpha x)^n$ के विस्तार में मध्य पद $(\frac{n}{2} + 1)$ वाँ पद होता है।
$(1 + \alpha x)^4$ के लिए,मध्य पद $(\frac{4}{2} + 1) = 3$ रा पद है।
$3$ रे पद का गुणांक $^4C_2 \alpha^2 = 6 \alpha^2$ है।
$(1 - \alpha x)^6$ के लिए,मध्य पद $(\frac{6}{2} + 1) = 4$ था पद है।
$4$ थे पद का गुणांक $^6C_3 (-\alpha)^3 = -20 \alpha^3$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
$6 \alpha^2 = -20 \alpha^3$
चूँकि $\alpha \neq 0$,$2 \alpha^2$ से विभाजित करने पर:
$3 = -10 \alpha$
$\alpha = -\frac{3}{10}$

(B) दिया गया व्यंजक $n$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = (x + 2)^{n-1}$ और सार्व अनुपात $q = \frac{x+1}{x+2}$ है।
योगफल सूत्र $S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}$ का उपयोग करने पर:
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{1 - (\frac{x+1}{x+2})^n}{1 - \frac{x+1}{x+2}} \right]$
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{\frac{(x+2)^n - (x+1)^n}{(x+2)^n}}{\frac{x+2 - x - 1}{x+2}} \right]$
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{(x+2)^n - (x+1)^n}{(x+2)^n} \cdot (x+2) \right]$
$E = (x + 2)^n - (x + 1)^n$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(2 + x)^n - (1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} 2^{n-r} x^r - \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} 1^{n-r} x^r$
$= \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} (2^{n-r} - 1) x^r$
अतः,$x^r$ का गुणांक $^nC_r (2^{n-r} - 1)$ है।

(B) द्विपद विस्तार $(a+b)^n$ में सामान्य पद $T_{r+1} = {^nC_r} a^{n-r} b^r$ होता है।
$7^{th}$ पद के लिए,$r = 6$ और $n = 9$ है।
$T_7 = {^9C_6} \left( \frac{3}{(84)^{1/3}} \right)^{3} (\sqrt{3} \ln x)^6 = 729$.
$T_7 = 84 \times \frac{27}{84} \times 27 \times (\ln x)^6 = 729$.
$729 \times (\ln x)^6 = 729$.
$(\ln x)^6 = 1$.
$\ln x = \pm 1$.
अतः,$x = e$ या $x = \frac{1}{e}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x = e$ सही मान है।

(C) व्यंजक $(1 + x + x^2 + \dots + x^{100})^3 = (\frac{1-x^{101}}{1-x})^3 = (1-x^{101})^3(1-x)^{-3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(1 - 3x^{101} + 3x^{202} - x^{303}) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ प्राप्त होता है।
हम $x^{100}$ का गुणांक ज्ञात कर रहे हैं।
विस्तार से,केवल $1 \times \binom{100+2}{2} x^{100}$ पद ही $x^{100}$ में योगदान देता है।
अतः,गुणांक $\binom{102}{2} = ^{102}C_2$ है।

(D) $(y^{-1/6} - y^{1/3})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{9}C_{r} (y^{-1/6})^{9-r} (-y^{1/3})^r$ है।
$y$ से स्वतंत्र पद के लिए,$y$ का घातांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$-\frac{1}{6}(9-r) + \frac{1}{3}r = 0$।
$6$ से गुणा करने पर,$-(9-r) + 2r = 0$,जो सरल होकर $-9 + r + 2r = 0$ यानी $3r = 9$,जिससे $r = 3$ प्राप्त होता है।
$y$ से स्वतंत्र पद $T_{3+1} = ^{9}C_{3} (y^{-1/6})^{6} (-y^{1/3})^3$ है।
मान की गणना करने पर: $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$।
अतः,$T_{4} = 84 \times (y^{-1}) \times (-y) = -84$।

(A) विस्तार $(x^2 + \frac{1}{x})^m$ है। पहले तीन पद $^mC_0(x^2)^m$,$^mC_1(x^2)^{m-1}(\frac{1}{x})$,और $^mC_2(x^2)^{m-2}(\frac{1}{x})^2$ हैं।
चूंकि गुणांक $^mC_0$,$^mC_1$,और $^mC_2$ हैं,इसलिए $^mC_0 + ^mC_1 + ^mC_2 = 46$.
$1 + m + \frac{m(m-1)}{2} = 46$.
$2 + 2m + m^2 - m = 92$.
$m^2 + m - 90 = 0$.
$(m+10)(m-9) = 0$. चूंकि $m > 0$,इसलिए $m = 9$.
व्यापक पद $T_{r+1} = ^9C_r(x^2)^{9-r}(x^{-1})^r = ^9C_r x^{18-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$18 - 3r = 0 \Rightarrow r = 6$.
गुणांक $^9C_6 = ^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।

(C) $(ax^{1/3} + bx^{-1/6})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {^9C_r} (ax^{1/3})^{9-r} (bx^{-1/6})^r$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{9-r}{3} - \frac{r}{6} = 0$ $\Rightarrow 18-3r=0$ $\Rightarrow r=6$.
स्वतंत्र पद $T_{6+1} = {^9C_6} a^3 b^6 = 84 a^3 b^6$ है।
$a^3 + b^6 = 2$ दिया गया है,इसलिए $AM \geq GM$ असमिका के अनुसार:
$\frac{a^3 + b^6}{2} \geq \sqrt{a^3 b^6}$ $\Rightarrow 1 \geq \sqrt{a^3 b^6}$ $\Rightarrow a^3 b^6 \leq 1$.
अतः,स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $84 \times 1 = 84$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति ${\left( {\sqrt[4]{9} + \sqrt[6]{8}} \right)^{500}}$ है।
पदों को सरल करने पर: $\sqrt[4]{9} = (3^2)^{1/4} = 3^{1/2}$ और $\sqrt[6]{8} = (2^3)^{1/6} = 2^{1/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिव्यक्ति $(3^{1/2} + 2^{1/2})^{500}$ है।
विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{500}{r} (3^{1/2})^{500-r} (2^{1/2})^r = \binom{500}{r} 3^{(500-r)/2} 2^{r/2}$ है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,$3$ और $2$ के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
इसके लिए $(500-r)/2$ और $r/2$ का पूर्णांक होना आवश्यक है।
इसका अर्थ है कि $r$ को $0 \le r \le 500$ के बीच एक सम संख्या होनी चाहिए।
$r$ के संभावित मान $0, 2, 4, \dots, 500$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 0$,अंतिम पद $l = 500$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
पदों की संख्या $n = \frac{l-a}{d} + 1 = \frac{500-0}{2} + 1 = 250 + 1 = 251$ है।

(A) हमें $(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ के विस्तार में $t^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} (t^2)^k = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} t^{2k}$ का विस्तार करने पर।
$t^{50}$ प्राप्त करने के लिए,हम $(1 + t^2)^{25}$ और दूसरे गुणनखंड $(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ के पदों का गुणनफल देखते हैं:
$1$. दूसरे गुणनखंड से $1$ का गुणा $(1 + t^2)^{25}$ के $t^{50}$ पद के साथ (जहाँ $k=25$): गुणांक = $^{25}C_{25} = 1$.
$2$. दूसरे गुणनखंड से $t^{40}$ का गुणा $(1 + t^2)^{25}$ के $t^{10}$ पद के साथ (जहाँ $k=5$): गुणांक = $^{25}C_5$.
$t^{25} \times t^{25}$ जैसे अन्य संयोजन संभव नहीं हैं क्योंकि $(1 + t^2)^{25}$ में केवल $t$ की सम घातें होती हैं।
अतः,$t^{50}$ का कुल गुणांक $1 + ^{25}C_5$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $P(x) = (2x + 1)(2x + 5)(2x + 9) \cdots (2x + 49)$ है।
यहाँ $13$ पद हैं,प्रत्येक से $2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$P(x) = 2^{13} \left(x + \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{5}{2}\right) \cdots \left(x + \frac{49}{2}\right)$.
$x^{12}$ का गुणांक अचर पदों का योग है:
$S = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} + \dots + \frac{49}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{2} (1 + 49) = \frac{13 \times 50}{4} = 325$.
अतः,$x^{12}$ का गुणांक $2^{13} \times \frac{325}{2} = 325 \cdot 2^{12}$ है।

(D) दी गई व्यंजक ${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^n} = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{2n}}}}{{{x^n}}}$ है।
${\left( {1 + x} \right)^{2n}}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ है।
अतः,$\frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{2n}}}}{{{x^n}}}$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{{{}^{2n}C_r x^r}}{{{x^n}}} = {}^{2n}C_r x^{r-n}$ होगा।
$\frac{1}{x}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,घातांक $r - n = -1$ रखने पर,$r = n - 1$ प्राप्त होता है।
अतः गुणांक ${}^{2n}C_{n-1} = \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}$ है।

(B) $(7^{1/3} + 11^{1/9})^{6561}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{6561}C_r (7^{1/3})^{6561-r} (11^{1/9})^r$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{r+1} = {}^{6561}C_r \cdot 7^{(6561-r)/3} \cdot 11^{r/9}$.
पद के पूर्णांक होने के लिए,$7$ और $11$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(6561-r)/3$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए।
साथ ही,$r/9$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$9$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $9$,$3$ का गुणज है,इसलिए $r$,$9$ का गुणज होना चाहिए जहाँ $0 \le r \le 6561$ है।
$r$ के संभावित मान $0, 9, 18, \dots, 6561$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 9$,और अंतिम पद $l = 6561$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$6561 = 0 + (n-1)9$ प्राप्त होता है।
$6561/9 = n-1$ $\Rightarrow 729 = n-1$ $\Rightarrow n = 730$.
अतः,पूर्णांक पदों की संख्या $730$ है।

(D) माना $P_r(x) = (x+r)(x+r+1)...(x+r+9)$। यह $10$ घात का एक बहुपद है।
$P_r(x)$ में $x^9$ का गुणांक प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों का योग है,जो $r + (r+1) + (r+2) + ... + (r+9)$ है।
यह योग $10$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है: $S_r = \frac{10}{2} [2r + (10-1)1] = 5(2r + 9) = 10r + 45$।
कुल योग $\sum_{r=1}^{11} P_r(x)$ में $x^9$ का गुणांक $\sum_{r=1}^{11} (10r + 45)$ है।
$= 10 \sum_{r=1}^{11} r + \sum_{r=1}^{11} 45 = 10 \times \frac{11 \times 12}{2} + 45 \times 11$।
$= 10 \times 66 + 495 = 660 + 495 = 1155$।

(D) ${\left( x^3 + x^{-4} \right)^n}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{p+1} = {^nC_p} (x^3)^{n-p} (x^{-4})^p$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{p+1} = {^nC_p} x^{3n - 3p - 4p} = {^nC_p} x^{3n - 7p}$।
विस्तार में $x^r$ पद प्राप्त करने के लिए,घातांक $r$ के बराबर होना चाहिए:
$3n - 7p = r$।
$p$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $7p = 3n - r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p = \frac{3n - r}{7}$।
चूंकि $p$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $3n - r$ को $7$ से विभाज्य होना चाहिए।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $(1 + t^2)^6(1 + t^6)(1 + t^{12})$ है।
अंतिम दो पदों का विस्तार करने पर: $(1 + t^6)(1 + t^{12}) = 1 + t^6 + t^{12} + t^{18}$।
अतः,अभिव्यक्ति $(1 + t^2)^6(1 + t^6 + t^{12} + t^{18})$ बन जाती है।
हमें $(1 + t^2)^6(1 + t^6 + t^{12} + t^{18})$ के गुणनफल में $t^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह निम्न प्रकार होगा:
($(1 + t^2)^6$ में $t^{12}$ का गुणांक $\times 1$) + ($(1 + t^2)^6$ में $t^6$ का गुणांक $\times t^6$) + ($(1 + t^2)^6$ में $t^0$ का गुणांक $\times t^{12}$)।
द्विपद विस्तार $(1 + t^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} {^6C_k} (t^2)^k = \sum_{k=0}^{6} {^6C_k} t^{2k}$ का उपयोग करने पर:
$1$. $(1 + t^2)^6$ में $t^{12}$ का गुणांक ${^6C_6} = 1$ है।
$2$. $(1 + t^2)^6$ में $t^6$ का गुणांक ${^6C_3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
$3$. $(1 + t^2)^6$ में $t^0$ का गुणांक ${^6C_0} = 1$ है।
योग करने पर: $1 + 20 + 1 = 22$।

(B) दिया गया व्यंजक: $(x^5 + 4 \cdot 3^{-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x^3}})^{10}$
पद का सरलीकरण: $3^{-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x^3}} = x^{-3}$।
अतः,व्यंजक $(x^5 + 4x^{-3})^{10}$ हो जाता है।
व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r \cdot 4^r \cdot x^{50-8r}$।
$x^2$ के गुणांक के लिए: $50-8r = 2 \Rightarrow r = 6$।
$x^2$ का गुणांक = ${}^{10}C_6 \cdot 4^6$।
$x^{10}$ के गुणांक के लिए: $50-8r = 10 \Rightarrow r = 5$।
$x^{10}$ का गुणांक = ${}^{10}C_5 \cdot 4^5$।
अनुपात = $\frac{{}^{10}C_6 \cdot 4^6}{{}^{10}C_5 \cdot 4^5} = \frac{10}{3}$।

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ है।
हमें इस व्यंजक में $x^{91}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1-x)^{100-r}$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{100-r} {^{100-r}C_k (-x)^k}$ के रूप में किया जा सकता है।
$(1-x)^{100-r}$ में $x^{91}$ का गुणांक $^{100-r}C_{91} (-1)^{91} = -^{100-r}C_{91}$ है।
अतः,श्रेणी में $x^{91}$ का गुणांक $\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (-^{100-r}C_{91})}$ है।
सर्वसमिका $^{n}C_r \cdot ^{n-r}C_k = ^{n}C_k \cdot ^{n-k}C_r$ का उपयोग करने पर,$^{100}C_r \cdot ^{100-r}C_{91} = ^{100}C_{91} \cdot ^{100-91}C_r = ^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r$ प्राप्त होता है।
यह मान रखने पर,गुणांक $-\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = -^{100}C_9 \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$ होता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$(2+1)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot 1^r} = ^{9}C_0 \cdot 2^9 + \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$।
अतः,$\sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = 3^9 - 2^9$।
इसलिए,गुणांक $-^{100}C_9 (3^9 - 2^9) = ^{100}C_9 (2^9 - 3^9)$ है।

(A) प्रत्येक पद $\left[ \frac{x}{k} - \frac{^nC_{k-1} + ^nC_k}{^nC_{k-1}} \right]$ के रूप में है।
सर्वसमिका $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^nC_{k-1} + ^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n+1}{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $n! \left( x - (n+1) \right) \left( \frac{x}{2} - \frac{n+1}{2} \right) \dots \left( \frac{x}{n} - \frac{n+1}{n} \right)$ बन जाता है।
प्रत्येक कोष्ठक से $\frac{1}{k}$ बाहर लेने पर,यह $(x - (n+1))^n$ में बदल जाता है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(x - (n+1))^n$ में $x^{n-6}$ का गुणांक $^nC_6 (n+1)^6$ है।

(A) बहुपद $P(x, y, z)$ के विस्तार में गुणांकों का योग सभी चरों को $1$ के बराबर रखकर प्राप्त किया जाता है।
$(x - 2y + 3z)^n$ के विस्तार के लिए,गुणांकों का योग $(1 - 2 + 3)^n = 2^n$ है।
दिया गया है $2^n = 128$,इसलिए $2^n = 2^7$,जिसका अर्थ है $n = 7$।
$(1 + x)^7$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{7} {^7C_k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
गुणांक ${^7C_0}, {^7C_1}, {^7C_2}, {^7C_3}, {^7C_4}, {^7C_5}, {^7C_6}, {^7C_7}$ हैं।
सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद है,जो ${^7C_3}$ या ${^7C_4}$ है।
मान की गणना करने पर: ${^7C_3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$।

(B) माना $P(x) = (x^2 - x + 1)^{10} (x^2 + 1)^{15}$ है।
हमें विस्तार में $x^3$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(x^2 - x + 1)^{10} = 1 - 10x + 55x^2 - 90x^3 + \dots$
$(x^2 + 1)^{15} = 1 + 15x^2 + \dots$
दोनों विस्तारों का गुणा करने पर:
$(1 - 10x + 55x^2 - 90x^3 + \dots)(1 + 15x^2 + \dots)$
$x^3$ वाला पद: $(-10x \cdot 15x^2) + (-90x^3 \cdot 1) = -150x^3 - 90x^3 = -240x^3$.
अतः,$x^3$ का गुणांक $-240$ है।

(A) $(1 + x)^{18}$ का व्यापक पद $T_{k+1} = ^{18}C_k x^k$ है।
$(2r + 4)$ वां पद $T_{2r+4}$ है,जहाँ $k = 2r + 3$ है। इसका गुणांक $^{18}C_{2r+3}$ है।
$(r - 2)$ वां पद $T_{r-2}$ है,जहाँ $k = r - 3$ है। इसका गुणांक $^{18}C_{r-3}$ है।
दी गई शर्त: $^{18}C_{2r+3} > ^{18}C_{r-3}$।
परिभाषित होने के लिए,$3 \le r \le 7.5$ प्राप्त होता है।
$r$ के संभावित मान $3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
असमिका की जाँच करने पर,$r = 3, 4, 5$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,$r$ के संभावित पूर्णांक मानों की संख्या $3$ है।

(B) विस्तार $(1 + x + ax^2)^{10} = \sum_{i+j+k=10} \frac{10!}{i!j!k!} (1)^i (x)^j (ax^2)^k = \sum \frac{10!}{i!j!k!} a^k x^{j+2k}$ है।
हमें $x^4$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $j+2k = 4$ और $i+j+k = 10$ है।
संभावित हल $(i, j, k)$:
$1$. यदि $k=0$,तो $j=4$,$i=6$. गुणांक $= \frac{10!}{6!4!0!} a^0 = 210$.
$2$. यदि $k=1$,तो $j=2$,$i=7$. गुणांक $= \frac{10!}{7!2!1!} a^1 = 360a$.
$3$. यदि $k=2$,तो $j=0$,$i=8$. गुणांक $= \frac{10!}{8!0!2!} a^2 = 45a^2$.
अतः,$K(a) = 45a^2 + 360a + 210$.
$K(a)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम परवलय $f(a) = 45a^2 + 360a + 210$ का शीर्ष ज्ञात करते हैं।
न्यूनतम मान $a = -\frac{b}{2A} = -\frac{360}{2(45)} = -4$ पर प्राप्त होता है।