Multinomial theorem, Terms free from radical sign in the expansion of (a1/p + b1/q), Problems regarding to three/four consecutive terms or coefficients Questions in Hindi

(C) माना कि चार क्रमागत द्विपद गुणांक $a = {}^nC_{r-1}$,$b = {}^nC_r$,$c = {}^nC_{r+1}$,और $d = {}^nC_{r+2}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ होता है।
अतः,$\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{r}{n-r+1} = \frac{n+1}{n-r+1}$.
इसी प्रकार,$\frac{b+c}{b} = 1 + \frac{c}{b} = 1 + \frac{n-r}{r+1} = \frac{n+1}{r+1}$.
और $\frac{c+d}{c} = 1 + \frac{d}{c} = 1 + \frac{n-r-1}{r+2} = \frac{n+1}{r+2}$.
अतः,ये पद $H.P.$ (हरात्मक श्रेणी) में हैं।

(D) $(1+x)^{14}$ में $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ के गुणांक क्रमशः $^{14}C_{r-1}, ^{14}C_r, ^{14}C_{r+1}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 \cdot ^{14}C_r = ^{14}C_{r-1} + ^{14}C_{r+1}$ होगा।
सरल करने पर,$r^2 - 14r + 45 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(r-5)(r-9) = 0$ अर्थात $r = 5$ या $r = 9$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$r = 9$ सही उत्तर है।

(B) $(5^{1/2} + 7^{1/8})^{1024}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{1024}C_r (5^{1/2})^{1024-r} (7^{1/8})^r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $0 \le r \le 1024$ है।
यह $T_{r+1} = {}^{1024}C_r \cdot 5^{(1024-r)/2} \cdot 7^{r/8}$ के रूप में सरल होता है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,$5$ और $7$ के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(1024-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
साथ ही,$r/8$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
चूँकि $r$ को $8$ का गुणज होना है,यह स्वतः ही सम संख्या है।
इसलिए,$r$ को $8k$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $k$ एक ऐसा पूर्णांक है कि $0 \le 8k \le 1024$ हो।
इससे $0 \le k \le 128$ प्राप्त होता है।
$k$ के लिए संभावित मानों की संख्या $128 - 0 + 1 = 129$ है।
अतः,कुल $129$ पूर्णांक पद हैं।

(B) $(y^{1/5} + x^{1/10})^{55}$ के विस्तार में,सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{55}C_r (y^{1/5})^{55-r} (x^{1/10})^r = {}^{55}C_r \cdot y^{11 - r/5} \cdot x^{r/10}$.
पद को रेडिकल चिह्नों से मुक्त होने के लिए,$x$ और $y$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसके लिए $r/5$ और $r/10$ का पूर्णांक होना आवश्यक है।
चूंकि $0 \le r \le 55$,इसलिए $r$ को $10$ का गुणज होना चाहिए ($5$ और $10$ का लघुत्तम समापवर्त्य)।
$r$ के संभावित मान $0, 10, 20, 30, 40, 50$ हैं।
ऐसे $6$ मान हैं,जो पदों $T_1, T_{11}, T_{21}, T_{31}, T_{41}, T_{51}$ के अनुरूप हैं।
अतः,रेडिकल चिह्नों से मुक्त पदों की संख्या $6$ है।

(C) माना ${a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4}$ क्रमशः ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में $(r+1)^{th}, (r+2)^{th}, (r+3)^{th}$ और $(r+4)^{th}$ पदों के गुणांक हैं।
अतः ${a_1} = {^nC_r}, {a_2} = {^nC_{r+1}}, {a_3} = {^nC_{r+2}}, {a_4} = {^nC_{r+3}}$।
सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r+1}} = {^{n+1}C_{r+1}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{{^nC_r}}}{{{^{n+1}C_{r+1}}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{{^{n+1}C_{r+3}}}}$
गुणधर्म ${^{n+1}C_{k+1}} = \frac{n+1}{k+1} {^nC_k}$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{{{^nC_r}}}{{\frac{n+1}{r+1} {^nC_r}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{\frac{n+1}{r+3} {^nC_{r+2}}}} = \frac{r+1}{n+1} + \frac{r+3}{n+1} = \frac{2r+4}{n+1} = \frac{2(r+2)}{n+1}$।
अब,$\frac{2{a_2}}{{a_2} + {a_3}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^nC_{r+1}} + {^nC_{r+2}}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^{n+1}C_{r+2}}} = 2 \cdot \frac{{^nC_{r+1}}}{{\frac{n+1}{r+2} {^nC_{r+1}}}} = \frac{2(r+2)}{n+1}$।
अतः,$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{2{a_2}}}{{{a_2} + {a_3}}}$।

(A) $(1 + x)^n$ के विस्तार में,दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के गुणांक क्रमशः $^nC_1, ^nC_2$ और $^nC_3$ हैं।
दिया गया है कि $^nC_1, ^nC_2, ^nC_3$ $A.P.$ में हैं,इसलिए:
$2(^nC_2) = ^nC_1 + ^nC_3$
$2 \times \frac{n(n - 1)}{2} = n + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$
$n$ से विभाजित करने पर $(n \neq 0)$:
$n - 1 = 1 + \frac{(n - 1)(n - 2)}{6}$
$6(n - 1) = 6 + (n^2 - 3n + 2)$
$n^2 - 9n + 14 = 0$
$(n - 7)(n - 2) = 0$
अतः,$n = 7$ या $n = 2$ है।
$n = 2$ के लिए,$(1 + x)^2$ के विस्तार में केवल तीन पद होते हैं,इसलिए चौथा पद मौजूद नहीं है। अतः,$n = 7$ सही उत्तर है।

(A) $(1 + x + y + z)^4$ के बहुपदीय विस्तार में सामान्य पद $\frac{4!}{n_1! n_2! n_3! n_4!} (1)^{n_1} (x)^{n_2} (y)^{n_3} (z)^{n_4}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 4$ है।
$1$. $x^2y$ के गुणांक के लिए,$n_2=2, n_3=1, n_4=0$ है,इसलिए $n_1=1$ है। गुणांक $\frac{4!}{1! 2! 1! 0!} = \frac{24}{2} = 12$ है।
$2$. $xy^2z$ के गुणांक के लिए,$n_2=1, n_3=2, n_4=1$ है,इसलिए $n_1=0$ है। गुणांक $\frac{4!}{0! 1! 2! 1!} = \frac{24}{2} = 12$ है।
$3$. $xyz$ के गुणांक के लिए,$n_2=1, n_3=1, n_4=1$ है,इसलिए $n_1=1$ है। गुणांक $\frac{4!}{1! 1! 1! 1!} = 24$ है।
अनुपात $12 : 12 : 24$ है,जिसे सरल करने पर $1 : 1 : 2$ प्राप्त होता है।

(A) $(y^{1/5} + x^{1/10})^{55}$ के विस्तार का सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{55}C_{r} (y^{1/5})^{55-r} (x^{1/10})^{r}$
$T_{r+1} = ^{55}C_{r} y^{\frac{55-r}{5}} x^{\frac{r}{10}}$
$x$ और $y$ की घातें रेडिकल चिह्नों से मुक्त होने के लिए,$\frac{55-r}{5}$ और $\frac{r}{10}$ पूर्णांक होने चाहिए।
$\frac{55-r}{5} = 11 - \frac{r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
$\frac{r}{10}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$10$ का गुणज होना चाहिए।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,$r$,$10$ का गुणज होना चाहिए जहाँ $0 \le r \le 55$ है।
$r$ के संभावित मान $0, 10, 20, 30, 40, 50$ हैं।
अतः,$r$ के $6$ मान संभव हैं,इसलिए विस्तार में $6$ ऐसे पद हैं जो रेडिकल चिह्नों से मुक्त हैं।

(A) $(a+2b+4ab)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय द्वारा इस प्रकार है: $\frac{10!}{\alpha! \beta! \gamma!} a^{\alpha} (2b)^{\beta} (4ab)^{\gamma} = \frac{10!}{\alpha! \beta! \gamma!} a^{\alpha+\gamma} b^{\beta+\gamma} 2^{\beta} 4^{\gamma}$.
यहाँ $a$ और $b$ के घातांक क्रमशः $7$ और $8$ दिए गए हैं,इसलिए:
$\alpha + \beta + \gamma = 10$ $(1)$
$\alpha + \gamma = 7$ $(2)$
$\beta + \gamma = 8$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,$\alpha + \beta + 2\gamma = 15$ प्राप्त होता है। इसमें से $(1)$ घटाने पर,$\gamma = 5$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 5$ को $(2)$ और $(3)$ में रखने पर,$\alpha = 2$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
गुणांक $\frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot 2^{\beta} \cdot 4^{\gamma} = \frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot 2^{3} \cdot (2^2)^{5} = 2520 \cdot 2^{13} = 315 \cdot 2^{16}$ होता है।
अतः,$K = 315$।

(B) माना तीन क्रमागत गुणांक $^{n+2}C_{r-1}$,$^{n+2}C_{r}$,और $^{n+2}C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^{n+2}C_{r-1} : ^{n+2}C_{r} : ^{n+2}C_{r+1} = 1 : 3 : 5$ है।
$\frac{^{n+2}C_{r-1}}{^{n+2}C_{r}} = \frac{1}{3}$ से,$\frac{r}{n-r+3} = \frac{1}{3} \implies n = 4r-3$ $(i)$।
$\frac{^{n+2}C_{r}}{^{n+2}C_{r+1}} = \frac{3}{5}$ से,$\frac{r+1}{n-r+2} = \frac{3}{5} \implies 3n = 8r-1$ $(ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(4r-3) = 8r-1 \implies r = 2$ और $n = 5$।
गुणांक $^{7}C_{1}, ^{7}C_{2}, ^{7}C_{3}$ हैं,जो $7, 21, 35$ हैं।
योग $7 + 21 + 35 = 63$ है।

(B) $(1+2^{1/3}+3^{1/2})^6$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{6!}{r_1! r_2! r_3!} (1)^{r_1} (2^{1/3})^{r_2} (3^{1/2})^{r_3}$ है,जहाँ $r_1+r_2+r_3=6$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$r_2$ को $3$ का गुणज और $r_3$ को $2$ का गुणज होना चाहिए।
$(r_1, r_2, r_3)$ के लिए संभावित मान:
$1$. $(6, 0, 0) \implies 1$
$2$. $(4, 0, 2) \implies 45$
$3$. $(2, 0, 4) \implies 135$
$4$. $(0, 0, 6) \implies 27$
$5$. $(3, 3, 0) \implies 40$
$6$. $(1, 3, 2) \implies 360$
$7$. $(0, 6, 0) \implies 4$
योग $= 1 + 45 + 135 + 27 + 40 + 360 + 4 = 612$.

(A) $(a+b)^{12}$ में $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ के गुणांक $^{12}C_{r-1}, ^{12}C_r, ^{12}C_{r+1}$ हैं।
चूंकि वे $G.P.$ में हैं,इसलिए $(^{12}C_r)^2 = (^{12}C_{r-1}) \times (^{12}C_{r+1})$ होगा।
गुणधर्म $\frac{^{n}C_k}{^{n}C_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^{12}C_r}{^{12}C_{r-1}} = \frac{13-r}{r}$ और $\frac{^{12}C_{r+1}}{^{12}C_r} = \frac{12-r}{r+1}$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{13-r}{r} = \frac{12-r}{r+1} \implies (13-r)(r+1) = r(12-r)$.
$12r + 13 = 12r \implies 13 = 0$,जो असंभव है।
अतः,$r$ का कोई मान संभव नहीं है,इसलिए $p = 0$ है।
$(3^{1/4} + 4^{1/3})^{12}$ के लिए,सामान्य पद $T_{k+1} = ^{12}C_k (3^{1/4})^{12-k} (4^{1/3})^k$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$(12-k)$ को $4$ से और $k$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
$k$ के संभावित मान $k=0$ और $k=12$ हैं।
$k=0$ के लिए: $T_1 = 27$.
$k=12$ के लिए: $T_{13} = 256$.
योग $q = 27 + 256 = 283$ है।
इसलिए,$p+q = 0 + 283 = 283$।

(C) माना व्यंजक $E = \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^5$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = \left(\frac{x^2 + 2 + 2\sqrt{2}x}{2x}\right)^5 = \frac{(x + \sqrt{2})^{10}}{32x^5}$।
$E$ के विस्तार में अचर पद,$(x + \sqrt{2})^{10}$ के विस्तार में $x^5$ का गुणांक बटा $32$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + \sqrt{2})^{10}$ में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r \cdot x^{10-r} \cdot (\sqrt{2})^r$ है।
$x^5$ के गुणांक के लिए,हम $10-r = 5$ रखते हैं,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
यह पद ${}^{10}C_5 \cdot (\sqrt{2})^5 = 252 \cdot 4\sqrt{2} = 1008\sqrt{2}$ है।
अतः,अचर पद $\frac{1008\sqrt{2}}{32} = \frac{63\sqrt{2}}{2}$ है।
इसकी तुलना $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ से करने पर,हमें $a = 63$ प्राप्त होता है।

(A) $(3+2x+x^2)^5$ के बहुपदीय विस्तार में सामान्य पद $\frac{5!}{p!q!r!} (3)^p (2x)^q (x^2)^r$ है,जहाँ $p+q+r=5$ है।
हमें $x^5$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $q+2r=5$ होगा।
$(p, q, r)$ के लिए संभावित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल हैं:
$1$) यदि $r=0$,तो $q=5$,$p=0$. पद: $\frac{5!}{0!5!0!} (3)^0 (2)^5 (1)^0 = 1 \times 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$2$) यदि $r=1$,तो $q=3$,$p=1$. पद: $\frac{5!}{1!3!1!} (3)^1 (2)^3 (1)^1 = 20 \times 3 \times 8 = 480$.
$3$) यदि $r=2$,तो $q=1$,$p=2$. पद: $\frac{5!}{2!1!2!} (3)^2 (2)^1 (1)^2 = 30 \times 9 \times 2 = 540$.
इन गुणांकों का योग: $32 + 480 + 540 = 1052$।

(A) $(x-2y+3z)^6$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार $\frac{6!}{a!b!c!} x^a (-2y)^b (3z)^c$ है,जहाँ $a+b+c=6$ है।
$xy^2z^3$ पद के लिए,$a=1, b=2, c=3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,गुणांक $\frac{6!}{1! \times 2! \times 3!} \times (-2)^2 \times (3)^3$ होगा।
गणना करने पर: $\frac{720}{1 \times 2 \times 6} \times 4 \times 27 = 60 \times 4 \times 27 = 240 \times 27 = 6480$।

(B) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में $2nd$,$3rd$ और $4th$ पदों के गुणांक क्रमशः ${}^{n}C_{1}$,${}^{n}C_{2}$ और ${}^{n}C_{3}$ हैं।
यह दिया गया है कि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2({}^{n}C_{2}) = {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{3}$.
मान रखने पर,$2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ से भाग देने पर ($n \neq 0$ के लिए),हमें $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$ प्राप्त होता है।
$6(n-2) = (n-1)(n-2)$.
चूंकि $n \neq 2$,$(n-2)$ से भाग देने पर $6 = n-1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 7$.
$(1+x)^{n}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $2^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$n=7$ रखने पर,योग $2^{7-1} = 2^{6} = 64$ है।