General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(A) ${\left( {{x^2} - \frac{{3\sqrt{3}}}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ के विस्तार में व्यापक पद इस प्रकार है:
${T_{r + 1}} = {}^{10}{C_r} {({x^2})^{10 - r}} {\left( { - 3\sqrt{3} \cdot {x^{ - 3}}} \right)^r}$
${T_{r + 1}} = {}^{10}{C_r} {x^{20 - 2r}} {(-3\sqrt{3})^r} {x^{ - 3r}}$
${T_{r + 1}} = {}^{10}{C_r} {(-3\sqrt{3})^r} {x^{20 - 5r}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$20 - 5r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r = 4$ रखने पर:
${T_5} = {}^{10}{C_4} {(-3\sqrt{3})^4}$
${T_5} = 210 \times 81 \times 9 = 153090$

(B) $(1 + x)^n$ के द्विपद विस्तार में $n+1$ पद होते हैं।
यहाँ,$n = 10$,जो एक सम संख्या है,इसलिए कुल पदों की संख्या $10 + 1 = 11$ है।
चूंकि पदों की संख्या विषम है,इसलिए केवल एक मध्य पद होता है,जो $\left( \frac{n}{2} + 1 \right)$ वां पद है।
मध्य पद $= \left( \frac{10}{2} + 1 \right) = 6$ वां पद।
$(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$6$ वें पद के लिए,$r+1 = 6$,इसलिए $r = 5$ है।
$T_6 = {}^{10}C_5 x^5$।
मध्य पद का गुणांक ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{(5!)^2}$ है।

(C) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या $2n + 1$ है,जो कि एक विषम संख्या है।
इसलिए,इसमें केवल एक ही मध्य पद है,जो $\left(\frac{2n}{2} + 1\right)$-वाँ पद है,अर्थात $(n + 1)$-वाँ पद।
$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$r = n$ के लिए,मध्य पद $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ है।
सूत्र ${}^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n! n!}$ का उपयोग करने पर,हमें मध्य पद $\frac{(2n)!}{(n!)^2} x^n$ प्राप्त होता है।

(B) $(1 + x)^m$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक सबसे बड़ा होता है।
$(1 + x)^{2n + 2}$ के लिए,घात $m = 2n + 2$ है,जो एक सम संख्या है।
मध्य पद $\left(\frac{m}{2} + 1\right)$-वां पद है,अर्थात $(n + 2)$-वां पद।
$(n + 2)$-वें पद का गुणांक $\binom{2n + 2}{n + 1}$ है।
अतः,सबसे बड़ा गुणांक $\binom{2n + 2}{n + 1} = \frac{(2n + 2)!}{\{(n + 1)!\}^2}$ है।

(A) माना कि $\sqrt{3} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{20}$ के विस्तार में $T_{r+1}$ सबसे बड़ा पद है।
हमें प्राप्त होता है $T_{r+1} = \sqrt{3} \cdot {}^{20}C_r \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^r$ और $T_r = \sqrt{3} \cdot {}^{20}C_{r-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{r-1}$.
सबसे बड़े पद के लिए,हम अनुपात $\frac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ पर विचार करते हैं।
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{20}C_r}{{}^{20}C_{r-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20-r+1}{r} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \ge 1$.
$21 - r \ge r\sqrt{3} \Rightarrow 21 \ge r(\sqrt{3} + 1)$.
$r \le \frac{21}{\sqrt{3} + 1} \approx 7.686$.
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे बड़ा पद $r = 7$ पर प्राप्त होता है,जो $T_8$ है।
$T_8 = \sqrt{3} \cdot {}^{20}C_7 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^7 = \frac{25840}{9}$.

(A) यदि $n$ सम है,तो महत्तम गुणांक $^nC_{n/2}$ है।
महत्तम पद का गुणांक महत्तम होने के लिए,पद $T_{n/2+1} = ^nC_{n/2} x^{n/2}$ को अपने पड़ोसी पदों $T_{n/2}$ और $T_{n/2+2}$ से बड़ा होना चाहिए।
$T_{n/2+1} > T_{n/2} \implies ^nC_{n/2} x^{n/2} > ^nC_{n/2-1} x^{n/2-1} \implies x > \frac{^nC_{n/2-1}}{^nC_{n/2}} = \frac{n}{n + 2}$.
$T_{n/2+1} > T_{n/2+2} \implies ^nC_{n/2} x^{n/2} > ^nC_{n/2+1} x^{n/2+1} \implies x < \frac{^nC_{n/2}}{^nC_{n/2+1}} = \frac{n + 2}{n}$.
अतः,शर्त $\frac{n}{n + 2} < x < \frac{n + 2}{n}$ है।

(B) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक है,जो $^{2n}C_n$ है।
पद $T_{n+1} = ^{2n}C_n x^n$ के सबसे बड़ा पद होने के लिए,इसे $T_{n+1} \ge T_n$ और $T_{n+1} \ge T_{n+2}$ को संतुष्ट करना चाहिए।
प्रथम,$T_{n+1} \ge T_n \Rightarrow ^{2n}C_n x^n \ge ^{2n}C_{n-1} x^{n-1}$।
यह $x \ge \frac{n}{n+1}$ में सरल हो जाता है।
द्वितीय,$T_{n+1} \ge T_{n+2} \Rightarrow ^{2n}C_n x^n \ge ^{2n}C_{n+1} x^{n+1}$।
यह $x \le \frac{n+1}{n}$ में सरल हो जाता है।
अतः,आवश्यक अंतराल $\left( \frac{n}{n + 1}, \frac{n + 1}{n} \right)$ है।

(A) $(1 + x)^{2n + 1}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{2n+1}C_r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
गुणांक $r = 0, 1, 2, \dots, 2n+1$ के लिए द्विपद गुणांक ${}^{2n+1}C_r$ हैं।
$(1+x)^N$ के विस्तार के लिए,सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक होता है। यहाँ $N = 2n + 1$ है,जो एक विषम संख्या है।
विषम घात $N$ के लिए,$r = \frac{N-1}{2}$ और $r = \frac{N+1}{2}$ पर दो मध्य पद होते हैं।
$N = 2n + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r_1 = \frac{2n+1-1}{2} = n$
$r_2 = \frac{2n+1+1}{2} = n+1$
सबसे बड़े गुणांक ${}^{2n+1}C_n$ और ${}^{2n+1}C_{n+1}$ हैं।
${}^{2n+1}C_n = \frac{(2n+1)!}{n!(2n+1-n)!} = \frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}$ की गणना करने पर।
अतः,सबसे बड़ा गुणांक $\frac{(2n + 1)!}{n!(n + 1)!}$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $(1 + x)^n (1 + \frac{1}{x})^n = (1 + x)^n \frac{(x + 1)^n}{x^n} = \frac{(1 + x)^{2n}}{x^n}$.
हमें इस विस्तार में $\frac{1}{x}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n-1}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है।
$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ है।
$x^{n-1}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$r = n - 1$ रखें।
अतः,गुणांक ${}^{2n}C_{n-1} = \frac{(2n)!}{(n - 1)!(2n - (n - 1))!} = \frac{(2n)!}{(n - 1)!(n + 1)!}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $E = (1 + x)^n \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^n$ है।
इसे $E = (1 + x)^n \left( \frac{x + 1}{x} \right)^n = \frac{(1 + x)^{2n}}{x^n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$E$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद,$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है।
$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ है।
$x^n$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $r = n$ रखते हैं।
अतः,गुणांक ${}^{2n}C_n$ है।
सर्वसमिका ${}^{2n}C_n = \sum_{k=0}^{n} ({}^nC_k)^2$ का उपयोग करने पर,हमें $C_0^2 + C_1^2 + .... + C_n^2$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक: $(x^2 - x - 2)^5 = ((x - 2)(x + 1))^5 = (x - 2)^5(x + 1)^5$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$(x - 2)^5 = x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$.
$(x + 1)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5$.
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,दोनों विस्तारों के पदों का गुणा करने पर:
$(1)(1) + (-10)(5) + (40)(10) + (-80)(10) + (80)(5) + (-32)(1)$
$= 1 - 50 + 400 - 800 + 400 - 32 = -81$.

(B) व्यंजक $(1 + x)(1 - x)^n = (1 - x)^n + x(1 - x)^n$ है।
हमें इस व्यंजक में $x^n$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (1)^{n-r} (-x)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$r = n$ के लिए,गुणांक $\binom{n}{n} (-1)^n = (-1)^n$ है।
$x(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक $(1 - x)^n$ में $x^{n-1}$ का गुणांक है।
$r = n-1$ के लिए,गुणांक $\binom{n}{n-1} (-1)^{n-1} = n (-1)^{n-1} = -n (-1)^n$ है।
इन दोनों को जोड़ने पर,कुल गुणांक $(-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1 - n)$ प्राप्त होता है।

(B) $(x + a)^{2n}$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या $2n + 1$ है,जो एक विषम संख्या है। अतः,मध्य पद $(n+1)$-वाँ पद है।
सामान्य पद के सूत्र $T_{r+1} = {}^{2n}C_r (x)^{2n-r} (\frac{1}{2x})^r$ का उपयोग करके,मध्य पद के लिए $r = n$ रखने पर:
$T_{n+1} = {}^{2n}C_n (x)^{2n-n} (\frac{1}{2x})^n = {}^{2n}C_n \cdot x^n \cdot \frac{1}{2^n x^n} = \frac{(2n)!}{n! n! 2^n}$.
$(2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n)$ को विषम और सम पदों में अलग करने पर:
$(2n)! = [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)] \cdot 2^n \cdot n!$.
यह मान रखने पर:
$T_{n+1} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{n!}$.

(D) दी गई व्यंजक $(1 + 3x + 2x^2)^6 = ((1 + x)(1 + 2x))^6 = (1 + x)^6 (1 + 2x)^6$ है।
हमें $(1 + x)^6 (1 + 2x)^6$ के गुणनफल में $x^{11}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 + x)^6 = \sum_{r=0}^{6} \binom{6}{r} x^r$ और $(1 + 2x)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} 2^k x^k$ है।
गुणनफल में सामान्य पद $\binom{6}{r} \binom{6}{k} 2^k x^{r+k}$ है।
$x^{11}$ के लिए,$r + k = 11$ होना चाहिए। संभव जोड़े $(r, k) = (5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
$(r, k) = (5, 6)$ के लिए: गुणांक $\binom{6}{5} \binom{6}{6} 2^6 = 6 \cdot 1 \cdot 64 = 384$ है।
$(r, k) = (6, 5)$ के लिए: गुणांक $\binom{6}{6} \binom{6}{5} 2^5 = 1 \cdot 6 \cdot 32 = 192$ है।
$x^{11}$ का कुल गुणांक $= 384 + 192 = 576$ है।

(B) $(x + a)^n$ के विस्तार के लिए,यदि $n$ सम है,तो मध्य पद $(\frac{n}{2} + 1)$ वाँ पद होता है।
यहाँ,$n = 18$,जो कि सम है।
अतः,मध्य पद $(\frac{18}{2} + 1) = 10$ वाँ पद है।
$(x - \frac{1}{x})^{18}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^{18}C_r (x)^{18-r} (- \frac{1}{x})^r$ है।
$10$ वें पद के लिए,$r = 9$ रखने पर,
$T_{10} = ^{18}C_9 (x)^9 (-1)^9 (\frac{1}{x})^9 = -^{18}C_9$.

(A) $(x - 2y + 3z)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1, y = 1, z = 1$ रखते हैं।
योग $= (1 - 2 + 3)^n = 2^n$.
दिया गया है कि $2^n = 128$,इसलिए $2^n = 2^7$,जिसका अर्थ है $n = 7$.
$(1 + x)^7$ का विस्तार $\sum_{r=0}^{7} {^7C_r} x^r$ है।
गुणांक ${^7C_0}, {^7C_1}, {^7C_2}, {^7C_3}, {^7C_4}, {^7C_5}, {^7C_6}, {^7C_7}$ हैं।
सबसे बड़ा गुणांक ${^7C_3} = {^7C_4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (x + 3)^{n - 1}$,सार्व अनुपात $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ और $n$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \frac{(x + 3)^{n - 1} [1 - (\frac{x + 2}{x + 3})^n]}{1 - \frac{x + 2}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^{n - 1} [\frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3)^n}]}{\frac{(x + 3) - (x + 2)}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3) - (x + 2)} = (x + 3)^n - (x + 2)^n$.
अब,हम $(x + 3)^n - (x + 2)^n$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक ज्ञात करते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} x^{n-k} a^k$.
$(x + 3)^n$ के लिए,$x^r$ युक्त पद $^nC_{n-r} x^r 3^{n-r} = ^nC_r x^r 3^{n-r}$ है।
$(x + 2)^n$ के लिए,$x^r$ युक्त पद $^nC_{n-r} x^r 2^{n-r} = ^nC_r x^r 2^{n-r}$ है।
अतः,$x^r$ का गुणांक $^nC_r 3^{n-r} - ^nC_r 2^{n-r} = ^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$ है।

(C) हमारे पास $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ है।
सर्वसमिका $r^2 = r(r-1) + r$ का उपयोग करने पर:
$= \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$
$= \sum\limits_{r = 2}^n {r(r - 1){\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}} + \sum\limits_{r = 1}^n {{r^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}}$
$= \sum\limits_{r = 2}^n {n(n - 1){\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^r}{y^{n - r}}} + \sum\limits_{r = 1}^n {n{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{x^r}{y^{n - r}}}$
$= n(n - 1){x^2}\sum\limits_{r = 2}^n {{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^{r - 2}}{y^{(n - 2) - (r - 2)}}} + nx\sum\limits_{r = 1}^n {{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{x^{r - 1}}{y^{(n - 1) - (r - 1)}}}$
$= n(n - 1){x^2}{(x + y)^{n - 2}} + nx{(x + y)^{n - 1}}$
चूँकि $x + y = 1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= n(n - 1){x^2} + nx$
$= n^2x^2 - nx^2 + nx = nx(nx - x + 1)$
चूँकि $1 - x = y$,अतः:
$= nx(nx + y)$

(A) दिए गए पद को ${\left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2} = (1 + x)^2 (1 - x)^{-2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2$ और $(1 - x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)x^k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + (n-1)x^{n-2} + nx^{n-1} + (n+1)x^n + \dots$ का विस्तार करने पर।
इन दोनों का गुणा करने पर,${x^n}$ का गुणांक:
$1 \cdot (n+1) + 2 \cdot n + 1 \cdot (n-1) = n + 1 + 2n + n - 1 = 4n$ प्राप्त होता है।
अतः,${x^n}$ का गुणांक $4n$ है।

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{-2}$ का श्रेणी विस्तार $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots$ है,जहाँ $|x| < 1$ है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$(1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots)^{-n} = [(1+x)^{-2}]^{-n} = (1+x)^{2n}$।
अब,हमें $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक ज्ञात करना है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद $\binom{2n}{r} x^r$ है।
$r = n$ के लिए,गुणांक $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ होगा।

(B) माना कि दो क्रमागत पदों के गुणांक $^nC_r$ और $^nC_{r+1}$ हैं।
दिया गया है कि $^nC_r = ^nC_{r+1}$।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}$
$\frac{1}{r!(n-r)(n-r-1)!} = \frac{1}{(r+1)r!(n-r-1)!}$
$\frac{1}{n-r} = \frac{1}{r+1}$
$r + 1 = n - r$
$n = 2r + 1$
चूंकि $r$ एक पूर्णांक है,इसलिए $2r + 1$ हमेशा एक विषम पूर्णांक होता है। अतः,$n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए।

(B) माना तीन क्रमागत गुणांक $a = {^nC_{r-1}}$,$b = {^nC_r}$,और $c = {^nC_{r+1}}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{b}{a} = \frac{n-r+1}{r}$ और $\frac{c}{b} = \frac{n-r}{r+1}$।
$\frac{b}{a} = \frac{n-r+1}{r}$ से,हमें $br = an - ar + a$ प्राप्त होता है,इसलिए $r(a+b) = a(n+1)$,जिसका अर्थ है $r = \frac{a(n+1)}{a+b}$।
$\frac{c}{b} = \frac{n-r}{r+1}$ से,हमें $cr + c = bn - br$ प्राप्त होता है,इसलिए $r(b+c) = bn - c$,जिसका अर्थ है $r = \frac{bn-c}{b+c}$।
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{a(n+1)}{a+b} = \frac{bn-c}{b+c}$।
$a(n+1)(b+c) = (bn-c)(a+b)$।
$n(ab + ac) + ab + ac = abn + b^2n - ac - bc$।
$n(ac - b^2) = -(ab + 2ac + bc)$।
$n = \frac{ab + 2ac + bc}{b^2 - ac}$।

(C) माना $(1+x)^n$ के तीन क्रमागत गुणांक $^nC_{r-1}, ^nC_r, ^nC_{r+1}$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$^nC_{r-1} : ^nC_r : ^nC_{r+1} = 6 : 33 : 110$ है।
क्रमागत द्विपद गुणांकों के अनुपात $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{33}{6} = \frac{11}{2}$ $\Rightarrow 2(n-r+1) = 11r$ $\Rightarrow 2n - 13r + 2 = 0$ $(i)$।
इसी प्रकार,$\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{110}{33} = \frac{10}{3}$ $\Rightarrow 3(n-r) = 10(r+1)$ $\Rightarrow 3n - 13r - 10 = 0$ (ii)।
(ii) में से $(i)$ घटाने पर,$(3n - 13r - 10) - (2n - 13r + 2) = 0$ $\Rightarrow n - 12 = 0$ $\Rightarrow n = 12$।
$(i)$ में $n=12$ रखने पर,$24 - 13r + 2 = 0$ $\Rightarrow 13r = 26$ $\Rightarrow r = 2$।

(C) माना कि तीन क्रमागत गुणांक $^nC_{r-1} = 28, ^nC_r = 56,$ और $^nC_{r+1} = 70$ हैं।
गुणधर्म $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2 = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r - 1.$
गुणधर्म $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{70}{56} = \frac{n-r}{r+1}$ $\Rightarrow \frac{5}{4} = \frac{n-r}{r+1}$ $\Rightarrow 5r + 5 = 4n - 4r$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5.$
दूसरे समीकरण में $n = 3r - 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(3r - 1) = 9r + 5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3.$
अब,$n$ का मान ज्ञात करें:
$n = 3(3) - 1 = 8.$

(B) माना $(\sqrt{2} + 1)^6 = I + f$,जहाँ $I$ पूर्णांक भाग है और $f$ भिन्नात्मक भाग है $(0 \le f < 1)$.
माना $f' = (\sqrt{2} - 1)^6$. चूँकि $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$,इसलिए $0 < f' < 1$ है।
योग $S = (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6$ पर विचार करें।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$S = 2 \left[ \binom{6}{0}(\sqrt{2})^6 + \binom{6}{2}(\sqrt{2})^4 + \binom{6}{4}(\sqrt{2})^2 + \binom{6}{6} \right]$.
$S = 2 [1 \cdot 8 + 15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 + 1 \cdot 1] = 2 [8 + 60 + 30 + 1] = 2 [99] = 198$.
अतः,$I + f + f' = 198$ है।
चूँकि $0 < f + f' < 2$ और $f + f'$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $f + f' = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 198 - 1 = 197$।

(B) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{642}C_r (5^{1/2})^{642-r} (7^{1/6})^r$ द्वारा दिया जाता है।
पद को पूर्णांक होने के लिए,$5$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
चूंकि $5^{(642-r)/2} = 5^{321 - r/2}$,इसलिए $r$ एक सम पूर्णांक होना चाहिए।
चूंकि $7^{r/6}$ को पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$6$ का गुणज होना चाहिए।
इन दोनों को मिलाने पर,$r$ को $0 \le r \le 642$ की सीमा में $6$ का गुणज होना चाहिए।
$r$ के संभावित मान $0, 6, 12, \dots, 642$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 6$,और $l = 642$ है।
पदों की संख्या $n$ के लिए $642 = 0 + (n-1)6$,जिससे $n-1 = 107$ प्राप्त होता है,अतः $n = 108$।

(B) $(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{256}C_r (\sqrt{3})^{256-r} (\sqrt[8]{5})^r$ है।
इसे $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3)^{\frac{256-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,दोनों घातांक $\frac{256-r}{2}$ और $\frac{r}{8}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 256$,$\frac{r}{8}$ के पूर्णांक होने के लिए $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 8, 16, \dots, 256\}$।
इन मानों के लिए $\frac{256-r}{2}$ भी एक पूर्णांक होगा।
$r$ के ऐसे मानों की संख्या समांतर श्रेणी $0, 8, 16, \dots, 256$ द्वारा प्राप्त होती है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$256 = 0 + (n-1)8$,जिससे $n-1 = 32$,अर्थात $n = 33$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $33$ पूर्णांक पद हैं।

(B) हमारे पास $(1 + x^2)^5(1 + x)^4$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,विस्तार है:
$(^5C_0 + ^5C_1x^2 + ^5C_2x^4 + ^5C_3x^6 + ...)(^4C_0 + ^4C_1x + ^4C_2x^2 + ^4C_3x^3 + ^4C_4x^4)$।
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम उन पदों को देखते हैं जिनका गुणनफल $x^5$ होता है:
$1$. पहले कोष्ठक से $^5C_2x^4$ और दूसरे कोष्ठक से $^4C_1x$ का गुणनफल: $^5C_2 \times ^4C_1 = 10 \times 4 = 40$।
$2$. पहले कोष्ठक से $^5C_1x^2$ और दूसरे कोष्ठक से $^4C_3x^3$ का गुणनफल: $^5C_1 \times ^4C_3 = 5 \times 4 = 20$।
कुल गुणांक $40 + 20 = 60$ है।

(A) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
$(x + x^{\log_{10} x})^5$ के लिए,तीसरा पद $(T_3)$ $r = 2$ के लिए प्राप्त होता है।
$T_3 = ^5C_2 \cdot (x)^{5-2} \cdot (x^{\log_{10} x})^2 = 1,000,000$.
$10 \cdot x^3 \cdot (x^{\log_{10} x})^2 = 10^6$.
$x^3 \cdot x^{2 \log_{10} x} = 10^5$.
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10}(x^3 \cdot x^{2 \log_{10} x}) = \log_{10}(10^5)$.
$3 \log_{10} x + 2(\log_{10} x)^2 = 5$.
माना $y = \log_{10} x$,तो $2y^2 + 3y - 5 = 0$.
$(2y + 5)(y - 1) = 0$.
अतः,$y = 1$ या $y = -2.5$.
यदि $y = 1$,तो $\log_{10} x = 1$,जिसका अर्थ है $x = 10^1 = 10$.
अतः,$x = 10$.

(C) $(1 + x)^{2n + 2}$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या $2n + 3$ है,जो विषम है। अतः,मध्य पद $(\frac{2n + 2}{2} + 1) = (n + 2)$ वां पद है।
इसका गुणांक $p = {}^{2n + 2}C_{n + 1}$ है।
$(1 + x)^{2n + 1}$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या $2n + 2$ है,जो सम है। अतः,मध्य पद $(n + 1)$ वां और $(n + 2)$ वां पद हैं।
उनके गुणांक $q = {}^{2n + 1}C_n$ और $r = {}^{2n + 1}C_{n + 1}$ हैं।
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r - 1} = {}^{n + 1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$q + r = {}^{2n + 1}C_n + {}^{2n + 1}C_{n + 1} = {}^{2n + 2}C_{n + 1}$.
अतः,$p = q + r$.

(B) दिया गया बहुपद $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \dots (x - 100)$ है।
यह $100$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है।
जब हम इस गुणनफल का विस्तार करते हैं,तो $x^{99}$ पद प्राप्त करने के लिए हम $99$ गुणनखंडों से $x$ और शेष एक गुणनखंड से अचर पद $-a_i$ चुनते हैं।
अतः,$x^{99}$ का गुणांक सभी अचर पदों का योग है: $-(1 + 2 + 3 + \dots + 100)$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
गुणांक $= -\frac{100 \times 101}{2} = -5050$।

(A) ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ के विस्तार में,सामान्य पद ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(a{x^2})^{11 - r}}{\left( {\frac{1}{{bx}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{22 - 3r}}$ है।
$x^7$ के लिए,$22 - 3r = 7$ रखने पर,$r = 5$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}}$ है।
${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ के विस्तार में,सामान्य पद ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(ax)^{11 - r}}{\left( { - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{( - 1)^r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{11 - 3r}}$ है।
$x^{ - 7}$ के लिए,$11 - 3r = -7$ रखने पर,$r = 6$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{11}{C_6}{( - 1)^6}{a^5}{b^{ - 6}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$।
${}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 5}}$ से भाग देने पर,$a = 1/b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $ab = 1$।

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में तीन क्रमिक पदों $(r+1)^{th}, (r+2)^{th},$ और $(r+3)^{th}$ के गुणांक $^nC_r = 165$,$^nC_{r+1} = 330$,और $^nC_{r+2} = 462$ हैं।
अनुपात सूत्र $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{330}{165} = \frac{n-r}{r+1} \implies 2 = \frac{n-r}{r+1} \implies n-r = 2r+2 \implies n = 3r+2$ (समीकरण $1$)।
अनुपात सूत्र $\frac{^nC_{r+2}}{^nC_{r+1}} = \frac{n-(r+1)}{r+2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{462}{330} = \frac{n-r-1}{r+2} \implies \frac{7}{5} = \frac{n-r-1}{r+2}$।
वज्र-गुणन करने पर $7(r+2) = 5(n-r-1) \implies 7r+14 = 5n-5r-5 \implies 5n = 12r+19$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $n = 3r+2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$5(3r+2) = 12r+19 \implies 15r+10 = 12r+19 \implies 3r = 9 \implies r = 3$।
अब,$r=3$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$n = 3(3)+2 = 11$।
अतः,$n$ का मान $11$ है।

(D) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = ^nC_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(2r + 4)^{th}$ पद के लिए,$k = (2r + 4) - 1 = 2r + 3$. गुणांक $^{18}C_{2r+3}$ है।
$(r - 2)^{th}$ पद के लिए,$k = (r - 2) - 1 = r - 3$. गुणांक $^{18}C_{r-3}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं: $^{18}C_{2r+3} = ^{18}C_{r-3}$।
गुणधर्म $^nC_a = ^nC_b$ का उपयोग करते हुए,या तो $a = b$ या $a + b = n$ होगा।
स्थिति $1$: $2r + 3 = r - 3 \Rightarrow r = -6$ (संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $(2r + 3) + (r - 3) = 18$ $\Rightarrow 3r = 18$ $\Rightarrow r = 6$।
अतः,$r = 6$।

(D) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $2n + 1$ पद होते हैं,जो एक विषम संख्या है।
अतः,मध्य पद $(n + 1)$-वां पद है,जिसे $T_{n+1}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
सामान्य पद के सूत्र $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ का उपयोग करने पर,हमें $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ प्राप्त होता है।
द्विपद गुणांक का विस्तार करने पर:
${}^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n! n!} = \frac{[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n)]}{n! n!}$.
अंश में विषम और सम पदों को अलग करने पर:
${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n)]}{n! n!}$.
प्रत्येक $n$ सम पदों से $2$ कॉमन लेने पर:
${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot 2^n \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n]}{n! n!}$.
चूंकि $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = n!$,इसलिए:
${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot 2^n \cdot n!}{n! n!} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n$.
अतः,मध्य पद $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n x^n$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $(1 + 3x + 3x^2 + x^3)^6$ है।
हम जानते हैं कि $(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$ होता है।
अतः,व्यंजक $((1 + x)^3)^6 = (1 + x)^{18}$ हो जाता है।
द्विपद विस्तार $(1 + x)^n$ के लिए,यदि $n$ सम है,तो मध्य पद $(\frac{n}{2} + 1)^{th}$ पद होता है।
यहाँ,$n = 18$,जो कि एक सम संख्या है।
इसलिए,मध्य पद $(\frac{18}{2} + 1)^{th} = (9 + 1)^{th} = 10^{th}$ पद है।

(C) $(x - \frac{1}{x})^{11}$ के विस्तार के लिए,घात $n = 11$ एक विषम संख्या है।
अतः,दो मध्य पद $T_{\frac{n+1}{2}}$ और $T_{\frac{n+3}{2}}$ हैं,जो $T_6$ और $T_7$ हैं।
व्यापक पद $T_{r+1} = {^{11}C_r} (x)^{11-r} (-x^{-1})^r$ है।
$T_6$ के लिए,$r = 5$:
$T_6 = {^{11}C_5} (x)^6 (-x^{-1})^5 = 462 \cdot x^6 \cdot (-x^{-5}) = -462x$.
$T_7$ के लिए,$r = 6$:
$T_7 = {^{11}C_6} (x)^5 (-x^{-1})^6 = 462 \cdot x^5 \cdot (x^{-6}) = \frac{462}{x}$.

(C) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left( \frac{3}{2}x^2 \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3x} \right)^r = \binom{9}{r} \left( \frac{3}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3} \right)^r x^{18-3r}$ है।
हमें $(1 + x + 2x^3) \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ में $x$ से स्वतंत्र पद का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ के विस्तार में $x^0$,$x^{-1}$,और $x^{-3}$ के गुणांकों के योग के बराबर है।
$1$. $x^0$ के लिए: $18 - 3r = 0 \Rightarrow r = 6$. गुणांक $\binom{9}{6} \left( \frac{3}{2} \right)^3 \left( -\frac{1}{3} \right)^6 = \frac{7}{18}$ है।
$2$. $x^{-1}$ के लिए: $18 - 3r = -1 \Rightarrow 3r = 19$,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है।
$3$. $x^{-3}$ के लिए: $18 - 3r = -3 \Rightarrow r = 7$. गुणांक $2 \times \binom{9}{7} \left( \frac{3}{2} \right)^2 \left( -\frac{1}{3} \right)^7 = -\frac{2}{27}$ है।
कुल योग $\frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$ है।

(B) ${\left[ {\sqrt{\frac{x}{3}} + \frac{{\sqrt{3}}}{{{x^2}}}} \right]^{10}}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {^{10}C_r} {\left( \sqrt{\frac{x}{3}} \right)^{10-r}} {\left( \frac{\sqrt{3}}{x^2} \right)^r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0$ $\Rightarrow 5r = 10$ $\Rightarrow r = 2$
$r = 2$ रखने पर:
$T_3 = {^{10}C_2} \cdot \frac{3^1}{3^4} = 45 \cdot \frac{1}{27} = \frac{5}{3}$.

(A) ${\left( {\sqrt x - \frac{2}{x}} \right)^{18}}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{18}C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left( -\frac{2}{x} \right)^r$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,$T_{r+1} = ^{18}C_r (x^{1/2})^{18-r} (-2)^r (x^{-1})^r = ^{18}C_r (-2)^r x^{9 - 3r/2}$ प्राप्त होता है।
पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $9 - \frac{3r}{2} = 0$।
$r$ के लिए हल करने पर,$3r = 18$,जिसका अर्थ है $r = 6$।
$r = 6$ रखने पर,स्वतंत्र पद $T_7 = ^{18}C_6 (-2)^6 = ^{18}C_6 \times 2^6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $(3 + 2x)^{50} = 3^{50} (1 + \frac{2x}{3})^{50}$ है।
$x = \frac{1}{5}$ रखने पर,हमें $3^{50} (1 + \frac{2}{15})^{50}$ प्राप्त होता है।
माना $T_{r+1}$ एक $(r+1)^{th}$ पद है।
हम जानते हैं कि $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \cdot |\frac{a_2}{a_1}|$.
यहाँ $n=50$,$a_1=1$,$a_2=\frac{2}{15}$ है।
अतः,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{51-r}{r} \cdot \frac{2}{15}$.
सबसे बड़े पद के लिए,$\frac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ लेते हैं।
$\frac{2(51-r)}{15r} \ge 1$ $\Rightarrow 102 - 2r \ge 15r$ $\Rightarrow 102 \ge 17r$ $\Rightarrow r \le 6$.
चूँकि $r=6$ शर्त को संतुष्ट करता है,इसलिए $T_{6+1} = T_7$ सबसे बड़ा पद है।

(B) $(x + y)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1 + 1)^n = 2^n$ है।
दिया गया है कि $2^n = 4096 = 2^{12}$,इसलिए $n = 12$ है।
जब $n$ सम संख्या हो,तो $(x + y)^n$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक होता है,जो $^nC_{n/2}$ है।
$n = 12$ के लिए,सबसे बड़ा गुणांक $^{12}C_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh(x)$ का श्रेणी विस्तार $1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ होता है।
अतः,दिया गया व्यंजक ${\left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2}$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\frac{1}{4}(e^{2x} + e^{-2x} + 2)$ प्राप्त होता है।
$e^{2x} + e^{-2x} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} = 2 \left( 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots + \frac{(2x)^n}{n!} + \dots \right)$ का उपयोग करते हुए।
इसे वापस रखने पर,व्यंजक $\frac{1}{4} \left( 2 + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k} x^{2k}}{(2k)!}$ हो जाता है।
सम संख्या $n > 0$ के लिए,$x^n$ का गुणांक $\frac{1}{2} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{2^{n-1}}{n!}$ है।

(A) दिया गया गुणनफल $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ है।
इसे $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15}) \times (2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \dots 2^{15})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
घातांकों का योग $0 + 1 + 2 + \dots + 15 = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ है।
अतः,$P = 2^{120} \prod_{k=0}^{15} (x - 2^{-k})$ है।
$\prod_{k=0}^{15} (x - a_k)$ के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक होता है,अर्थात $-\sum_{k=0}^{15} 2^{-k}$।
इस प्रकार,$x^{15}$ का गुणांक $2^{120} \times (- \sum_{k=0}^{15} \frac{1}{2^k}) = -2^{120} \times \frac{1(1 - (1/2)^{16})}{1 - 1/2} = -2^{120} \times 2(1 - 2^{-16}) = -2^{121}(1 - 2^{-16}) = -2^{121} + 2^{105} = 2^{105} - 2^{121}$ है।

(D) भारित माध्य $W.M. = \frac{\sum_{r=0}^{n} r \cdot {^nC_r}}{\sum_{r=0}^{n} {^nC_r}}$ द्वारा दिया जाता है।
हर $\sum_{r=0}^{n} {^nC_r} = 2^n$ है।
अंश $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {^nC_r} = \sum_{r=1}^{n} r \cdot \frac{n}{r} \cdot {^{n-1}C_{r-1}} = n \sum_{r=1}^{n} {^{n-1}C_{r-1}} = n \cdot 2^{n-1}$है।
अतः,$W.M. = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n} = \frac{n}{2}$.

(B) $(a - b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} (-b)^r$ है।
$5^{th}$ पद $(r=4)$ के लिए: $T_5 = ^nC_4 a^{n-4} b^4$.
$6^{th}$ पद $(r=5)$ के लिए: $T_6 = -^nC_5 a^{n-5} b^5$.
$T_5 + T_6 = 0$ दिया गया है:
$^nC_4 a^{n-4} b^4 = ^nC_5 a^{n-5} b^5$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{^nC_5}{^nC_4} = \frac{n-4}{5}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^n$.
$s_1 = \sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} = \sum_{j=2}^{10} 10 \times 9 \binom{8}{j-2} = 90 \times 2^8$.
$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} 10 \binom{9}{j-1} = 10 \times 2^9$.
$s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = s_1 + s_2$.
$s_3 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 45 \times 2^9 + 10 \times 2^9 = 55 \times 2^9$.
कथनों की तुलना करने पर:
कथन $-1$ $55 \times 2^9$ है,जो सत्य है।
कथन $-2$ कहता है कि $s_2 = 10 \times 2^8$,लेकिन हमें $s_2 = 10 \times 2^9$ प्राप्त हुआ है,इसलिए कथन $-2$ असत्य है।
अतः,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$ असत्य है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(1 - x - x^2 + x^3)^6 = ((1 - x)(1 - x^2))^6 = (1 - x)^6 (1 - x)^6 (1 + x)^6 = (1 - x)^{12} (1 + x)^6$.
हमें $(1 - x)^{12} (1 + x)^6$ में $x^7$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 - x)^{12} = \sum_{i=0}^{12} (-1)^i \binom{12}{i} x^i$ और $(1 + x)^6 = \sum_{j=0}^{6} \binom{6}{j} x^j$ लेने पर।
$x^7$ का गुणांक $\sum_{i+j=7} (-1)^i \binom{12}{i} \binom{6}{j}$ होगा।
योग करने पर: $-12 + 396 - 3300 + 9900 - 11880 + 5544 - 792 = -144$.