$(x^2 - 2x)^{10}$ के विस्तार में $x^{16}$ का गुणांक है

यदि $(1 + x)^{2n + 2}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक $p$ है और $(1 + x)^{2n + 1}$ के विस्तार में दो मध्य पदों के गुणांक $q$ और $r$ हैं,तो:

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 + x)^n$ के द्विपद विस्तार में तीन क्रमिक पदों के गुणांक $1 : 7 : 42$ के अनुपात में हैं,तो विस्तार में इन पदों में से पहला पद कौन सा है ($^{th}$ में)?

यदि $(1+x)^{42}$ के विस्तार में $(2r+1)^{\text{th}}$ पद और $(r+1)^{\text{th}}$ पद के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान क्या हो सकता है?

मान लीजिए $[t]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। यदि $\left(3x^2 - \frac{1}{2x^5}\right)^7$ के विस्तार में अचर पद $\alpha$ है,तो $[\alpha]$ का मान $............$ है।