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Binomial theorem for any index Questions in Hindi
Class 11 Mathematics · Binomial Theorem · Binomial theorem for any index
125+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 125 questions in Hindi
1
DifficultMCQ
श्रेणी $1 + \frac{1 \times 3}{6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{6 \times 8} + \dots \infty$ का योगफल है
A
$1$
B
$0$
C
$\infty$
D
$4$
Solution
(D) माना $S = 1 + \frac{1 \times 3}{6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{6 \times 8} + \dots \infty$.
$\frac{1}{4}$ से गुणा करने पर,$\frac{S}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{4 \times 6 \times 8} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रसार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी की तुलना करने पर,हमें $S = 4$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{4}$ से गुणा करने पर,$\frac{S}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{4 \times 6 \times 8} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रसार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी की तुलना करने पर,हमें $S = 4$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
सूत्र $(a + b)^m = a^m + ma^{m-1}b + \frac{m(m - 1)}{1 \cdot 2}a^{m - 2}b^2 + \dots$ कब मान्य है?
A
$b < a$
B
$a < b$
C
$|a| < |b|$
D
$|b| < |a|$
Solution
(D) दिया गया व्यंजक $(a + b)^m$ का द्विपद विस्तार है।
हम व्यंजक को $a^m \left( 1 + \frac{b}{a} \right)^m$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद श्रेणी विस्तार $(1 + x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}x^2 + \dots$ के मान्य होने के लिए,शर्त $|x| < 1$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
यहाँ,$x = \frac{b}{a}$ है,इसलिए हमें $\left| \frac{b}{a} \right| < 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है कि $|b| < |a|$।
हम व्यंजक को $a^m \left( 1 + \frac{b}{a} \right)^m$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद श्रेणी विस्तार $(1 + x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}x^2 + \dots$ के मान्य होने के लिए,शर्त $|x| < 1$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
यहाँ,$x = \frac{b}{a}$ है,इसलिए हमें $\left| \frac{b}{a} \right| < 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है कि $|b| < |a|$।
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EasyMCQ
व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{5 + 4x}}$ का द्विपद प्रमेय द्वारा विस्तार किया जा सकता है,यदि
A
$x < 1$
B
$|x| < 1$
C
$|x| < \frac{5}{4}$
D
$|x| < \frac{4}{5}$
Solution
(C) दिए गए व्यंजक को $5^{-1/2} \left(1 + \frac{4}{5}x\right)^{-1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद विस्तार $(1 + z)^n$,$|z| < 1$ के लिए मान्य होता है।
यहाँ,$z = \frac{4}{5}x$ है,इसलिए विस्तार तब मान्य होगा जब $\left| \frac{4}{5}x \right| < 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $|x| < \frac{5}{4}$।
द्विपद विस्तार $(1 + z)^n$,$|z| < 1$ के लिए मान्य होता है।
यहाँ,$z = \frac{4}{5}x$ है,इसलिए विस्तार तब मान्य होगा जब $\left| \frac{4}{5}x \right| < 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $|x| < \frac{5}{4}$।
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MediumMCQ
यदि $(1 + x)^m$ के द्विपद विस्तार में तीसरा पद $-\frac{1}{8}x^2$ है,तो $m$ का परिमेय मान क्या है?
A
$2$
B
$1/2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) $(1 + x)^m$ का द्विपद विस्तार $1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2!}x^2 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,तीसरा पद $\frac{m(m - 1)}{2}x^2 = -\frac{1}{8}x^2$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{m(m - 1)}{2} = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर,$4m(m - 1) = -1$ प्राप्त होता है।
$4m^2 - 4m + 1 = 0$.
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(2m - 1)^2 = 0$.
अतः,$2m - 1 = 0$,जिससे $m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,तीसरा पद $\frac{m(m - 1)}{2}x^2 = -\frac{1}{8}x^2$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{m(m - 1)}{2} = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर,$4m(m - 1) = -1$ प्राप्त होता है।
$4m^2 - 4m + 1 = 0$.
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(2m - 1)^2 = 0$.
अतः,$2m - 1 = 0$,जिससे $m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$(1 - 2x)^{3/2}$ के विस्तार में चौथा पद क्या होगा?
A
$-\frac{3}{4}x^4$
B
$\frac{x^3}{2}$
C
$-\frac{x^3}{2}$
D
$\frac{3}{4}x^4$
Solution
(B) $(1 + y)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \dots$ है।
यहाँ,$n = \frac{3}{2}$ और $y = -2x$ है।
चौथा पद $T_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$T_4 = \frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3 \times 2 \times 1} (-2x)^3$
$T_4 = \frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} (-8x^3)$
$T_4 = \frac{-\frac{3}{8}}{6} (-8x^3)$
$T_4 = -\frac{3}{48} (-8x^3) = \frac{24}{48}x^3 = \frac{x^3}{2}$.
यहाँ,$n = \frac{3}{2}$ और $y = -2x$ है।
चौथा पद $T_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$T_4 = \frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3 \times 2 \times 1} (-2x)^3$
$T_4 = \frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} (-8x^3)$
$T_4 = \frac{-\frac{3}{8}}{6} (-8x^3)$
$T_4 = -\frac{3}{48} (-8x^3) = \frac{24}{48}x^3 = \frac{x^3}{2}$.
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EasyMCQ
$217$ का घनमूल क्या है?
A
$6.01$
B
$6.04$
C
$6.02$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) हमें $(217)^{1/3}$ का मान ज्ञात करना है।
हम $217 = 216 + 1 = 6^3 + 1$ लिख सकते हैं।
अतः,$(217)^{1/3} = (6^3 + 1)^{1/3} = 6(1 + \frac{1}{6^3})^{1/3}$।
द्विपद प्रमेय $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(217)^{1/3} = 6 \left[ 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{216} \right) + \dots \right]$
$= 6 + \frac{6}{3 \times 216} = 6 + \frac{1}{108} \approx 6 + 0.009259 \approx 6.00926$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $6.01$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
हम $217 = 216 + 1 = 6^3 + 1$ लिख सकते हैं।
अतः,$(217)^{1/3} = (6^3 + 1)^{1/3} = 6(1 + \frac{1}{6^3})^{1/3}$।
द्विपद प्रमेय $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(217)^{1/3} = 6 \left[ 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{216} \right) + \dots \right]$
$= 6 + \frac{6}{3 \times 216} = 6 + \frac{1}{108} \approx 6 + 0.009259 \approx 6.00926$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $6.01$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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EasyMCQ
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए $\frac{1}{\sqrt{4 - 3x}}$ का विस्तार कब मान्य होगा?
A
$x < 1$
B
$|x| < 1$
C
$-\frac{2}{\sqrt{3}} < x < \frac{2}{\sqrt{3}}$
D
$-\frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$
Solution
(D) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{1}{(4 - 3x)^{1/2}} = (4 - 3x)^{-1/2}$ है।
हम इसे $4^{-1/2} (1 - \frac{3x}{4})^{-1/2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{3x}{4})^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1 - z)^n$,$|z| < 1$ के लिए मान्य है।
यहाँ,$z = \frac{3x}{4}$ है,इसलिए शर्त $|\frac{3x}{4}| < 1$ है।
इसका अर्थ है $|x| < \frac{4}{3}$,अर्थात $-\frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$।
हम इसे $4^{-1/2} (1 - \frac{3x}{4})^{-1/2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{3x}{4})^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1 - z)^n$,$|z| < 1$ के लिए मान्य है।
यहाँ,$z = \frac{3x}{4}$ है,इसलिए शर्त $|\frac{3x}{4}| < 1$ है।
इसका अर्थ है $|x| < \frac{4}{3}$,अर्थात $-\frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$।
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MediumMCQ
यदि $(a + bx)^{-2} = \frac{1}{4} - 3x + \dots$ है,तो $(a, b) = $
A
$(2, 12)$
B
$(-2, 12)$
C
$(2, -12)$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) दिया गया है $(a + bx)^{-2} = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
हम व्यंजक को $\frac{1}{a^2} (1 + \frac{b}{a}x)^{-2} = \frac{1}{4} - 3x + \dots$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रसार $(1 + z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{a^2} [1 + (-2)(\frac{b}{a}x) + \dots] = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
$\frac{1}{a^2} - \frac{2b}{a^3}x + \dots = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
अचर पदों की तुलना करने पर: $\frac{1}{a^2} = \frac{1}{4} \implies a^2 = 4 \implies a = 2$।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-\frac{2b}{a^3} = -3$।
$a = 2$ रखने पर: $-\frac{2b}{8} = -3 \implies -\frac{b}{4} = -3 \implies b = 12$।
अतः,$(a, b) = (2, 12)$।
हम व्यंजक को $\frac{1}{a^2} (1 + \frac{b}{a}x)^{-2} = \frac{1}{4} - 3x + \dots$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रसार $(1 + z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{a^2} [1 + (-2)(\frac{b}{a}x) + \dots] = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
$\frac{1}{a^2} - \frac{2b}{a^3}x + \dots = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
अचर पदों की तुलना करने पर: $\frac{1}{a^2} = \frac{1}{4} \implies a^2 = 4 \implies a = 2$।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-\frac{2b}{a^3} = -3$।
$a = 2$ रखने पर: $-\frac{2b}{8} = -3 \implies -\frac{b}{4} = -3 \implies b = 12$।
अतः,$(a, b) = (2, 12)$।
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MediumMCQ
$\frac{1}{\sqrt[3]{6 - 3x}}$ का द्विपद विस्तार ज्ञात कीजिए।
A
$6^{1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} + \dots \right]$
B
$6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} + \dots \right]$
C
$6^{1/3} \left[ 1 - \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} - \dots \right]$
D
$6^{-1/3} \left[ 1 - \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} - \dots \right]$
Solution
(B) हमारे पास $\frac{1}{(6 - 3x)^{1/3}} = (6 - 3x)^{-1/3}$ है।
$6$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $6^{-1/3} (1 - \frac{3x}{6})^{-1/3} = 6^{-1/3} (1 - \frac{x}{2})^{-1/3}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!} y^2 + \dots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n = 1/3$ और $y = x/2$:
$6^{-1/3} \left[ 1 + (\frac{1}{3})(\frac{x}{2}) + \frac{(\frac{1}{3})(\frac{4}{3})}{2} (\frac{x}{2})^2 + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{4/9}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{36} + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} + \dots \right]$.
$6$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $6^{-1/3} (1 - \frac{3x}{6})^{-1/3} = 6^{-1/3} (1 - \frac{x}{2})^{-1/3}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!} y^2 + \dots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n = 1/3$ और $y = x/2$:
$6^{-1/3} \left[ 1 + (\frac{1}{3})(\frac{x}{2}) + \frac{(\frac{1}{3})(\frac{4}{3})}{2} (\frac{x}{2})^2 + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{4/9}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{36} + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} + \dots \right]$.
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MediumMCQ
${\left( {\frac{a}{{a + x}}} \right)^{\frac{1}{2}}} + {\left( {\frac{a}{{a - x}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = $
A
$2 + \frac{{3{x^2}}}{{4{a^2}}} + \dots$
B
$1 + \frac{{3{x^2}}}{{8{a^2}}} + \dots$
C
$2 + \frac{x}{a} + \frac{{3{x^2}}}{{4{a^2}}} + \dots$
D
$2 - \frac{x}{a} + \frac{{3{x^2}}}{{4{a^2}}} + \dots$
Solution
(A) हमारे पास व्यंजक है: ${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} + {\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}}$.
द्विपद प्रसार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करके,हम दोनों पदों का विस्तार करते हैं:
${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( \frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 - \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
${\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( -\frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( -\frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 + \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
इन दोनों प्रसारों को जोड़ने पर,विषम घात वाले पद (जिनमें $x/a$ है) कट जाते हैं:
$(1 + 1) + (-\frac{x}{2a} + \frac{x}{2a}) + (\frac{3x^2}{8a^2} + \frac{3x^2}{8a^2}) + \dots = 2 + \frac{6x^2}{8a^2} + \dots = 2 + \frac{3x^2}{4a^2} + \dots$
द्विपद प्रसार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करके,हम दोनों पदों का विस्तार करते हैं:
${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( \frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 - \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
${\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( -\frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( -\frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 + \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
इन दोनों प्रसारों को जोड़ने पर,विषम घात वाले पद (जिनमें $x/a$ है) कट जाते हैं:
$(1 + 1) + (-\frac{x}{2a} + \frac{x}{2a}) + (\frac{3x^2}{8a^2} + \frac{3x^2}{8a^2}) + \dots = 2 + \frac{6x^2}{8a^2} + \dots = 2 + \frac{3x^2}{4a^2} + \dots$
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MediumMCQ
$(1 - x)^{-4}$ के विस्तार में ${(r + 1)^{th}}$ पद क्या होगा?
A
$\frac{x^r}{r!}$
B
$\frac{(r + 1)(r + 2)(r + 3)}{6}x^r$
C
$\frac{(r + 2)(r + 3)}{2}x^r$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) $(1 - x)^{-n}$ के विस्तार के लिए सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n+r-1}{r} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(1 - x)^{-4}$ के विस्तार के लिए,हमारे पास $n = 4$ है।
अतः,$T_{r+1} = \binom{4+r-1}{r} x^r = \binom{r+3}{r} x^r$।
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $\binom{r+3}{r} = \binom{r+3}{3}$ प्राप्त होता है।
द्विपद गुणांक का विस्तार करने पर: $\binom{r+3}{3} = \frac{(r+3)(r+2)(r+1)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(r+1)(r+2)(r+3)}{6}$।
इसलिए,$T_{r+1} = \frac{(r+1)(r+2)(r+3)}{6} x^r$।
$(1 - x)^{-4}$ के विस्तार के लिए,हमारे पास $n = 4$ है।
अतः,$T_{r+1} = \binom{4+r-1}{r} x^r = \binom{r+3}{r} x^r$।
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $\binom{r+3}{r} = \binom{r+3}{3}$ प्राप्त होता है।
द्विपद गुणांक का विस्तार करने पर: $\binom{r+3}{3} = \frac{(r+3)(r+2)(r+1)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(r+1)(r+2)(r+3)}{6}$।
इसलिए,$T_{r+1} = \frac{(r+1)(r+2)(r+3)}{6} x^r$।
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MediumMCQ
$\frac{1}{(2 + x)^4} = $
A
$\frac{1}{2}\left( 1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 - \dots \right)$
B
$\frac{1}{16}\left( 1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 - \dots \right)$
C
$\frac{1}{16}\left( 1 + 2x + \frac{5}{2}x^2 + \dots \right)$
D
$\frac{1}{2}\left( 1 + 2x + \frac{5}{2}x^2 + \dots \right)$
Solution
(B) हमारे पास $\frac{1}{(2 + x)^4} = (2 + x)^{-4}$ है।
पद से $2$ बाहर निकालने पर: $(2 + x)^{-4} = [2(1 + \frac{x}{2})]^{-4} = 2^{-4}(1 + \frac{x}{2})^{-4} = \frac{1}{16}(1 + \frac{x}{2})^{-4}$।
द्विपद प्रसार $(1 + z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = -4$ और $z = \frac{x}{2}$:
$(1 + \frac{x}{2})^{-4} = 1 + (-4)(\frac{x}{2}) + \frac{(-4)(-5)}{2}(\frac{x}{2})^2 + \dots$
$= 1 - 2x + \frac{20}{2 \times 4}x^2 + \dots = 1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 + \dots$
अतः,$\frac{1}{(2 + x)^4} = \frac{1}{16}(1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 - \dots)$।
पद से $2$ बाहर निकालने पर: $(2 + x)^{-4} = [2(1 + \frac{x}{2})]^{-4} = 2^{-4}(1 + \frac{x}{2})^{-4} = \frac{1}{16}(1 + \frac{x}{2})^{-4}$।
द्विपद प्रसार $(1 + z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = -4$ और $z = \frac{x}{2}$:
$(1 + \frac{x}{2})^{-4} = 1 + (-4)(\frac{x}{2}) + \frac{(-4)(-5)}{2}(\frac{x}{2})^2 + \dots$
$= 1 - 2x + \frac{20}{2 \times 4}x^2 + \dots = 1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 + \dots$
अतः,$\frac{1}{(2 + x)^4} = \frac{1}{16}(1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 - \dots)$।
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EasyMCQ
व्यंजक $\frac{1}{(x^2 + \frac{1}{x})^{4/3}}$ का द्विपद प्रमेय द्वारा विस्तार किया जा सकता है यदि:
A
$x < 1$
B
$|x| < 1$
C
$x > 1$
D
$|x| > 1$
Solution
(D) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{(x^2 + \frac{1}{x})^{4/3}} = \frac{1}{(x^3(1 + \frac{1}{x^3}))^{4/3}} = x^{-4}(1 + \frac{1}{x^3})^{-4/3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1 + z)^n$ के मान्य होने के लिए,शर्त $|z| < 1$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
यहाँ,$z = \frac{1}{x^3}$,इसलिए हमें $|\frac{1}{x^3}| < 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $|x^3| > 1$,जो सरल होकर $|x| > 1$ हो जाता है।
द्विपद विस्तार $(1 + z)^n$ के मान्य होने के लिए,शर्त $|z| < 1$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
यहाँ,$z = \frac{1}{x^3}$,इसलिए हमें $|\frac{1}{x^3}| < 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $|x^3| > 1$,जो सरल होकर $|x| > 1$ हो जाता है।
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DifficultMCQ
$\frac{(1 + 3x)^2}{1 - 2x}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक क्या होगा?
A
$8$
B
$32$
C
$50$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) व्यंजक $(1 + 3x)^2 (1 - 2x)^{-1}$ है।
$(1 + 3x)^2 = 1 + 6x + 9x^2$ का विस्तार।
$(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ का द्विपद विस्तार।
दोनों के गुणनफल में $x^3$ का गुणांक:
$1 \times 8 + 6 \times 4 + 9 \times 2 = 8 + 24 + 18 = 50$।
$(1 + 3x)^2 = 1 + 6x + 9x^2$ का विस्तार।
$(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ का द्विपद विस्तार।
दोनों के गुणनफल में $x^3$ का गुणांक:
$1 \times 8 + 6 \times 4 + 9 \times 2 = 8 + 24 + 18 = 50$।
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DifficultMCQ
यदि $|x| < 1$ है,तो $(1 + x + x^2 + ....)^2$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक क्या होगा?
A
$1$
B
$n$
C
$n + 1$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) दिया गया व्यंजक $(1 + x + x^2 + ....)^2$ है।
चूंकि $|x| < 1$,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $(1 - x)^{-1}$ होता है।
अतः,व्यंजक $((1 - x)^{-1})^2 = (1 - x)^{-2}$ हो जाता है।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^{-k} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k-1} x^n$.
$k = 2$ के लिए,$(1 - x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2-1}{2-1} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{1} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n + 1) x^n$.
इसलिए,$x^n$ का गुणांक $(n + 1)$ है।
चूंकि $|x| < 1$,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $(1 - x)^{-1}$ होता है।
अतः,व्यंजक $((1 - x)^{-1})^2 = (1 - x)^{-2}$ हो जाता है।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^{-k} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k-1} x^n$.
$k = 2$ के लिए,$(1 - x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2-1}{2-1} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{1} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n + 1) x^n$.
इसलिए,$x^n$ का गुणांक $(n + 1)$ है।
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DifficultMCQ
यदि $|x| > 1$ है,तो $(1 + x)^{-2} = $
A
$1 - 2x + 3x^2 - \dots$
B
$1 + 2x + 3x^2 + \dots$
C
$1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} - \dots$
D
$\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^4} - \dots$
Solution
(D) दिया गया है कि $|x| > 1$ है।
चूंकि $|x| > 1$,इसलिए $|\frac{1}{x}| < 1$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(1 + x)^{-2} = [x(1 + \frac{1}{x})]^{-2} = x^{-2}(1 + \frac{1}{x})^{-2}$.
द्विपद प्रसार $(1 + z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $|z| < 1$:
$x^{-2}(1 + \frac{1}{x})^{-2} = \frac{1}{x^2} [1 - 2(\frac{1}{x}) + \frac{2(3)}{2!}(\frac{1}{x})^2 - \dots]$
$= \frac{1}{x^2} [1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} - \dots]$
$= \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^4} - \dots$
चूंकि $|x| > 1$,इसलिए $|\frac{1}{x}| < 1$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(1 + x)^{-2} = [x(1 + \frac{1}{x})]^{-2} = x^{-2}(1 + \frac{1}{x})^{-2}$.
द्विपद प्रसार $(1 + z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $|z| < 1$:
$x^{-2}(1 + \frac{1}{x})^{-2} = \frac{1}{x^2} [1 - 2(\frac{1}{x}) + \frac{2(3)}{2!}(\frac{1}{x})^2 - \dots]$
$= \frac{1}{x^2} [1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} - \dots]$
$= \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^4} - \dots$
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DifficultMCQ
यदि $|x| < 1$ है,तो $(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ....)^{1/2}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक क्या है?
A
$n$
B
$n + 1$
C
$1$
D
$-1$
Solution
(C) दी गई श्रेणी $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ....\infty = (1 - x)^{-2}$ है,जहाँ $|x| < 1$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ....\infty)^{1/2} = ((1 - x)^{-2})^{1/2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= (1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + .... + x^n + ....\infty$
अतः,$x^n$ का गुणांक $1$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ....\infty)^{1/2} = ((1 - x)^{-2})^{1/2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= (1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + .... + x^n + ....\infty$
अतः,$x^n$ का गुणांक $1$ है।
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DifficultMCQ
यदि $|x| < 1$ है,तो $1 + n\left( \frac{2x}{1 + x} \right) + \frac{n(n + 1)}{2!}\left( \frac{2x}{1 + x} \right)^2 + \dots \infty$ का मान क्या होगा?
A
$\left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^n$
B
$\left( \frac{2x}{1 + x} \right)^n$
C
$\left( \frac{1 + x}{2x} \right)^n$
D
$\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^n$
Solution
(A) ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद विस्तार $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n + 1)}{2!}y^2 + \dots \infty$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई श्रेणी $1 + n\left( \frac{2x}{1 + x} \right) + \frac{n(n + 1)}{2!}\left( \frac{2x}{1 + x} \right)^2 + \dots \infty$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = \frac{2x}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\left( 1 - \frac{2x}{1 + x} \right)^{-n}$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $1 - \frac{2x}{1 + x} = \frac{1 + x - 2x}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 + x}$।
इसलिए,योग $\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^{-n} = \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^n$ है।
दी गई श्रेणी $1 + n\left( \frac{2x}{1 + x} \right) + \frac{n(n + 1)}{2!}\left( \frac{2x}{1 + x} \right)^2 + \dots \infty$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = \frac{2x}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\left( 1 - \frac{2x}{1 + x} \right)^{-n}$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $1 - \frac{2x}{1 + x} = \frac{1 + x - 2x}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 + x}$।
इसलिए,योग $\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^{-n} = \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^n$ है।
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DifficultMCQ
$1 + n(1 - \frac{1}{x}) + \frac{n(n + 1)}{2!}(1 - \frac{1}{x})^2 + \dots \infty$ का योग क्या होगा?
A
$x^n$
B
$x^{-n}$
C
$(1 - \frac{1}{x})^n$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) ऋणात्मक सूचकांक के लिए सामान्य द्विपद विस्तार $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n + 1)}{2!}y^2 + \dots \infty$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई श्रेणी $1 + n(1 - \frac{1}{x}) + \frac{n(n + 1)}{2!}(1 - \frac{1}{x})^2 + \dots \infty$ के साथ तुलना करने पर,हम $y = (1 - \frac{1}{x})$ प्राप्त करते हैं।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें योग $(1 - (1 - \frac{1}{x}))^{-n}$ प्राप्त होता है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $1 - 1 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$।
अतः,योग $(\frac{1}{x})^{-n} = (x^{-1})^{-n} = x^n$ है।
दी गई श्रेणी $1 + n(1 - \frac{1}{x}) + \frac{n(n + 1)}{2!}(1 - \frac{1}{x})^2 + \dots \infty$ के साथ तुलना करने पर,हम $y = (1 - \frac{1}{x})$ प्राप्त करते हैं।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें योग $(1 - (1 - \frac{1}{x}))^{-n}$ प्राप्त होता है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $1 - 1 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$।
अतः,योग $(\frac{1}{x})^{-n} = (x^{-1})^{-n} = x^n$ है।
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EasyMCQ
$(1 - x)^{3/2}$ के विस्तार में पहले चार पद क्या हैं?
A
$1 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3$
B
$1 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{8}x^2 - \frac{x^3}{16}$
C
$1 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{x^3}{16}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) $(1 + z)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = \frac{3}{2}$ और $z = -x$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
पहला पद: $1$
दूसरा पद: $\frac{3}{2}(-x) = -\frac{3}{2}x$
तीसरा पद: $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)}{2!}(-x)^2 = \frac{3}{8}x^2$
चौथा पद: $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3 = \frac{1}{16}x^3$
अतः,पहले चार पद $1 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$ हैं।
यहाँ,$n = \frac{3}{2}$ और $z = -x$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
पहला पद: $1$
दूसरा पद: $\frac{3}{2}(-x) = -\frac{3}{2}x$
तीसरा पद: $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)}{2!}(-x)^2 = \frac{3}{8}x^2$
चौथा पद: $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3 = \frac{1}{16}x^3$
अतः,पहले चार पद $1 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$ हैं।
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DifficultMCQ
$\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3}$ में $x^n$ का गुणांक है
A
$3n^2 + 2n + 1$
B
$2n^2 + 2n + 1$
C
$n^2 + n + 1$
D
$2n^2 - 2n + 1$
Solution
(B) हमारे पास $\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3} = (1 + 2x + x^2)(1 - x)^{-3}$ है।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$।
अतः,व्यंजक $(1 + 2x + x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ है।
$x^n$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$= 1 \cdot \binom{n+2}{2} + 2 \cdot \binom{n+1}{2} + 1 \cdot \binom{n}{2}$
$= \frac{(n+2)(n+1)}{2} + 2 \frac{(n+1)n}{2} + \frac{n(n-1)}{2}$
$= \frac{1}{2} [n^2 + 3n + 2 + 2n^2 + 2n + n^2 - n]$
$= \frac{1}{2} [4n^2 + 4n + 2] = 2n^2 + 2n + 1$।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$।
अतः,व्यंजक $(1 + 2x + x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ है।
$x^n$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$= 1 \cdot \binom{n+2}{2} + 2 \cdot \binom{n+1}{2} + 1 \cdot \binom{n}{2}$
$= \frac{(n+2)(n+1)}{2} + 2 \frac{(n+1)n}{2} + \frac{n(n-1)}{2}$
$= \frac{1}{2} [n^2 + 3n + 2 + 2n^2 + 2n + n^2 - n]$
$= \frac{1}{2} [4n^2 + 4n + 2] = 2n^2 + 2n + 1$।
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MediumMCQ
$1 + \frac{1}{3}x + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}x^3 + \dots$ किसके बराबर है?
A
$x$
B
$(1 + x)^{1/3}$
C
$(1 - x)^{1/3}$
D
$(1 - x)^{-1/3}$
Solution
(D) किसी भी घातांक $n$ के लिए द्विपद प्रसार $(1 + y)^n = 1 + ny + \frac{n(n - 1)}{2!}y^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}y^3 + \dots$ होता है।
दी गई श्रेणी $1 + \frac{1}{3}x + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}x^3 + \dots$ की तुलना प्रसार से करने पर:
$ny = \frac{1}{3}x$
$\frac{n(n - 1)}{2}y^2 = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 = \frac{2}{9}x^2$
$ny = \frac{1}{3}x$ से,$y = \frac{x}{3n}$ प्राप्त होता है। इस मान को दूसरे पद में रखने पर:
$\frac{n(n - 1)}{2} \cdot \frac{x^2}{9n^2} = \frac{2}{9}x^2$
$\frac{n - 1}{18n} = \frac{2}{9} \implies n - 1 = 4n \implies 3n = -1 \implies n = -\frac{1}{3}$
$n = -\frac{1}{3}$ को $ny = \frac{1}{3}x$ में रखने पर $(-\frac{1}{3})y = \frac{1}{3}x$ प्राप्त होता है,अतः $y = -x$।
इस प्रकार,श्रेणी $(1 - x)^{-1/3}$ है।
दी गई श्रेणी $1 + \frac{1}{3}x + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}x^3 + \dots$ की तुलना प्रसार से करने पर:
$ny = \frac{1}{3}x$
$\frac{n(n - 1)}{2}y^2 = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 = \frac{2}{9}x^2$
$ny = \frac{1}{3}x$ से,$y = \frac{x}{3n}$ प्राप्त होता है। इस मान को दूसरे पद में रखने पर:
$\frac{n(n - 1)}{2} \cdot \frac{x^2}{9n^2} = \frac{2}{9}x^2$
$\frac{n - 1}{18n} = \frac{2}{9} \implies n - 1 = 4n \implies 3n = -1 \implies n = -\frac{1}{3}$
$n = -\frac{1}{3}$ को $ny = \frac{1}{3}x$ में रखने पर $(-\frac{1}{3})y = \frac{1}{3}x$ प्राप्त होता है,अतः $y = -x$।
इस प्रकार,श्रेणी $(1 - x)^{-1/3}$ है।
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DifficultMCQ
$1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{16} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{8 \cdot 16 \cdot 24} + \dots =$
A
$\frac{2}{5}$
B
$\frac{\sqrt{2}}{5}$
C
$\frac{2}{\sqrt{5}}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) दी गई श्रेणी $1 - \frac{1}{8} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 16} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{8 \cdot 16 \cdot 24} + \dots$ है।
इसे द्विपद प्रसार $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ के साथ तुलना करने पर:
$nx = -\frac{1}{8}$ $(1)$
$\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{3}{128}$ $(2)$
$(1)$ से,$x = -\frac{1}{8n}$। इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{64n^2} = \frac{3}{128}$
$\frac{n-1}{128n} = \frac{3}{128}$ $\Rightarrow n-1 = 3n$ $\Rightarrow 2n = -1$ $\Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$n = -\frac{1}{2}$ को $(1)$ में रखने पर:
$-\frac{1}{2}x = -\frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$
अतः,योग $(1 + x)^n = (1 + \frac{1}{4})^{-1/2} = (\frac{5}{4})^{-1/2} = (\frac{4}{5})^{1/2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ होगा।
इसे द्विपद प्रसार $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ के साथ तुलना करने पर:
$nx = -\frac{1}{8}$ $(1)$
$\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{3}{128}$ $(2)$
$(1)$ से,$x = -\frac{1}{8n}$। इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{64n^2} = \frac{3}{128}$
$\frac{n-1}{128n} = \frac{3}{128}$ $\Rightarrow n-1 = 3n$ $\Rightarrow 2n = -1$ $\Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$n = -\frac{1}{2}$ को $(1)$ में रखने पर:
$-\frac{1}{2}x = -\frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$
अतः,योग $(1 + x)^n = (1 + \frac{1}{4})^{-1/2} = (\frac{5}{4})^{-1/2} = (\frac{4}{5})^{1/2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ होगा।
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DifficultMCQ
यदि $(1 + x)^{7/2}$ के विस्तार में $(r + 1)^{th}$ पद पहला ऋणात्मक पद है,तो $r$ का मान है
A
$5$
B
$6$
C
$4$
D
$7$
Solution
(A) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = \frac{7}{2}$ है।
पद तब ऋणात्मक हो जाते हैं जब अंश में कारकों का गुणनफल ऋणात्मक हो जाता है।
कारक $\frac{7}{2}, \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ...$ हैं।
पहला ऋणात्मक कारक $5^{th}$ पद पर आता है,जहाँ कारक $(n-r+1) = \frac{7}{2} - r + 1$ है।
पद के ऋणात्मक होने के लिए,हमें $\frac{7}{2} - r + 1 < 0$ की आवश्यकता है,जो $r > \frac{9}{2} = 4.5$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे छोटा मान $r = 5$ है।
यहाँ,$n = \frac{7}{2}$ है।
पद तब ऋणात्मक हो जाते हैं जब अंश में कारकों का गुणनफल ऋणात्मक हो जाता है।
कारक $\frac{7}{2}, \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ...$ हैं।
पहला ऋणात्मक कारक $5^{th}$ पद पर आता है,जहाँ कारक $(n-r+1) = \frac{7}{2} - r + 1$ है।
पद के ऋणात्मक होने के लिए,हमें $\frac{7}{2} - r + 1 < 0$ की आवश्यकता है,जो $r > \frac{9}{2} = 4.5$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे छोटा मान $r = 5$ है।
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DifficultMCQ
$(1 - 9x + 20{x^2})^{-1}$ के विस्तार में ${x^n}$ का गुणांक क्या है?
A
${5^n} - {4^n}$
B
${5^{n + 1}} - {4^{n + 1}}$
C
${5^{n - 1}} - {4^{n - 1}}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) हमारे पास है,$(1 - 9x + 20{x^2})^{-1} = [(1 - 5x)(1 - 4x)]^{-1}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं:
$\frac{1}{(1 - 5x)(1 - 4x)} = \frac{5}{1 - 5x} - \frac{4}{1 - 4x}$.
अतः,व्यंजक बनता है:
$5(1 - 5x)^{-1} - 4(1 - 4x)^{-1}$.
द्विपद श्रेणी $(1 - z)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= 5 \sum_{k=0}^{\infty} (5x)^k - 4 \sum_{k=0}^{\infty} (4x)^k$.
इसलिए ${x^n}$ का गुणांक:
$5(5^n) - 4(4^n) = 5^{n+1} - 4^{n+1}$ है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं:
$\frac{1}{(1 - 5x)(1 - 4x)} = \frac{5}{1 - 5x} - \frac{4}{1 - 4x}$.
अतः,व्यंजक बनता है:
$5(1 - 5x)^{-1} - 4(1 - 4x)^{-1}$.
द्विपद श्रेणी $(1 - z)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= 5 \sum_{k=0}^{\infty} (5x)^k - 4 \sum_{k=0}^{\infty} (4x)^k$.
इसलिए ${x^n}$ का गुणांक:
$5(5^n) - 4(4^n) = 5^{n+1} - 4^{n+1}$ है।
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MediumMCQ
यदि $y = 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots$ है,तो $y$ के पदों में $x$ का मान क्या होगा?
A
$1 - (1 - y)^{-1/3}$
B
$1 - (1 + y)^{1/3}$
C
$1 + (1 + y)^{-1/3}$
D
$1 - (1 + y)^{-1/3}$
Solution
(D) दी गई श्रेणी $y = 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 + y = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots$
दायां पक्ष $(1 - x)^{-3}$ का द्विपद विस्तार है।
अतः,$1 + y = (1 - x)^{-3}$।
दोनों पक्षों की घात $-1/3$ लेने पर,$(1 + y)^{-1/3} = 1 - x$।
$x$ का मान निकालने पर,$x = 1 - (1 + y)^{-1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 + y = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots$
दायां पक्ष $(1 - x)^{-3}$ का द्विपद विस्तार है।
अतः,$1 + y = (1 - x)^{-3}$।
दोनों पक्षों की घात $-1/3$ लेने पर,$(1 + y)^{-1/3} = 1 - x$।
$x$ का मान निकालने पर,$x = 1 - (1 + y)^{-1/3}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 8} + \frac{1 \times 3 \times 5}{4 \times 8 \times 12} + \dots = $
A
$\sqrt{2}$
B
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C
$\sqrt{3}$
D
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
Solution
(A) दी गई श्रेणी की तुलना $(1 - x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3x^2}{8} + \dots$ के विस्तार से करने पर।
यहाँ $x = 1/2$ रखने पर,श्रेणी का योग $(1 - 1/2)^{-1/2} = (1/2)^{-1/2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x = 1/2$ रखने पर,श्रेणी का योग $(1 - 1/2)^{-1/2} = (1/2)^{-1/2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
यदि $x$ धनात्मक है,तो $(1 + x)^{27/5}$ के विस्तार में पहला ऋणात्मक पद कौन सा है ($\text{वां पद}$ में)?
A
$7$
B
$5$
C
$8$
D
$6$
Solution
(C) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
पद के ऋणात्मक होने के लिए,गुणनफल $n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$ ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि $x > 0$ के लिए $x^r$ और $r!$ धनात्मक हैं।
यहाँ $n = \frac{27}{5} = 5.4$ है।
पद तब ऋणात्मक हो जाते हैं जब गुणनखंड $(n-r+1) < 0$ होता है।
$5.4 - r + 1 < 0 \implies 6.4 < r$।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $r = 7$ है।
अतः,पहला ऋणात्मक पद $T_{7+1} = T_8$ है,जो $8$ वां पद है।
पद के ऋणात्मक होने के लिए,गुणनफल $n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$ ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि $x > 0$ के लिए $x^r$ और $r!$ धनात्मक हैं।
यहाँ $n = \frac{27}{5} = 5.4$ है।
पद तब ऋणात्मक हो जाते हैं जब गुणनखंड $(n-r+1) < 0$ होता है।
$5.4 - r + 1 < 0 \implies 6.4 < r$।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $r = 7$ है।
अतः,पहला ऋणात्मक पद $T_{7+1} = T_8$ है,जो $8$ वां पद है।
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MediumMCQ
${(1 - 2x)^{-1/2}}$ के विस्तार में ${x^r}$ का गुणांक है
A
$\frac{(2r)!}{(r!)^2}$
B
$\frac{(2r)!}{2^r(r!)^2}$
C
$\frac{(2r)!}{(r!)^2 2^{2r}}$
D
$\frac{(2r)!}{2^r(r+1)!(r-1)!}$
Solution
(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $\binom{n}{r} x^r = \frac{n(n-1)...(n-r+1)}{r!} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(1-2x)^{-1/2}$ के लिए,$n = -1/2$ और पद $\binom{-1/2}{r} (-2x)^r$ है।
${x^r}$ का गुणांक $\binom{-1/2}{r} (-2)^r$ है।
$= \frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)...(-(2r-1)/2)}{r!} (-2)^r$.
$= \frac{(-1)^r [1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)]}{2^r r!} (-2)^r$.
$= \frac{(-1)^r [1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)]}{2^r r!} (-1)^r 2^r$.
$= \frac{1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)}{r!}$.
अंश और हर को $2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2r) = 2^r r!$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{(1 \times 3 \times ... \times (2r-1)) \times (2 \times 4 \times ... \times 2r)}{r! \times 2^r r!} = \frac{(2r)!}{2^r (r!)^2}$.
$(1-2x)^{-1/2}$ के लिए,$n = -1/2$ और पद $\binom{-1/2}{r} (-2x)^r$ है।
${x^r}$ का गुणांक $\binom{-1/2}{r} (-2)^r$ है।
$= \frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)...(-(2r-1)/2)}{r!} (-2)^r$.
$= \frac{(-1)^r [1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)]}{2^r r!} (-2)^r$.
$= \frac{(-1)^r [1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)]}{2^r r!} (-1)^r 2^r$.
$= \frac{1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)}{r!}$.
अंश और हर को $2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2r) = 2^r r!$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{(1 \times 3 \times ... \times (2r-1)) \times (2 \times 4 \times ... \times 2r)}{r! \times 2^r r!} = \frac{(2r)!}{2^r (r!)^2}$.
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DifficultMCQ
यदि $x$ के छोटे मानों के लिए $\frac{(1 - 3x)^{1/2} + (1 - x)^{5/3}}{\sqrt{4 - x}}$,$a + bx$ के लगभग बराबर है,तो $(a,b) = $
A
$\left( 1, \frac{35}{24} \right)$
B
$\left( 1, -\frac{35}{24} \right)$
C
$\left( 2, \frac{35}{12} \right)$
D
$\left( 2, -\frac{35}{12} \right)$
Solution
(B) दी गई व्यंजक: $f(x) = \frac{(1 - 3x)^{1/2} + (1 - x)^{5/3}}{2(1 - x/4)^{1/2}}$
द्विपद विस्तार $(1 + z)^n \approx 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ का उपयोग करने पर:
अंश: $(1 - 3x)^{1/2} + (1 - x)^{5/3} \approx [1 + \frac{1}{2}(-3x)] + [1 + \frac{5}{3}(-x)] = 2 - \frac{19}{6}x$
हर: $2(1 - x/4)^{1/2} \approx 2[1 + \frac{1}{2}(-x/4)] = 2 - \frac{x}{4}$
अतः,$f(x) \approx \frac{2 - \frac{19}{6}x}{2(1 - x/8)} \approx (1 - \frac{19}{12}x)(1 + x/8) \approx 1 - \frac{35}{24}x$
$a + bx$ से तुलना करने पर,$a = 1$ और $b = -\frac{35}{24}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1 + z)^n \approx 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ का उपयोग करने पर:
अंश: $(1 - 3x)^{1/2} + (1 - x)^{5/3} \approx [1 + \frac{1}{2}(-3x)] + [1 + \frac{5}{3}(-x)] = 2 - \frac{19}{6}x$
हर: $2(1 - x/4)^{1/2} \approx 2[1 + \frac{1}{2}(-x/4)] = 2 - \frac{x}{4}$
अतः,$f(x) \approx \frac{2 - \frac{19}{6}x}{2(1 - x/8)} \approx (1 - \frac{19}{12}x)(1 + x/8) \approx 1 - \frac{35}{24}x$
$a + bx$ से तुलना करने पर,$a = 1$ और $b = -\frac{35}{24}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
श्रेणी $1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \times 3}{5 \times 10} + \frac{1 \times 3 \times 5}{5 \times 10 \times 15} + \dots$ का योग किसके बराबर है?
A
$\frac{1}{\sqrt{5}}$
B
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C
$\sqrt{\frac{5}{3}}$
D
$\sqrt{5}$
Solution
(C) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \times 3}{5 \times 10} + \frac{1 \times 3 \times 5}{5 \times 10 \times 15} + \dots$ है।
द्विपद प्रमेय $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर,
यहाँ $n = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
द्विपद प्रमेय $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर,
यहाँ $n = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
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DifficultMCQ
यदि $x$ का मान इतना छोटा है कि $x^2$ और उससे बड़ी घातों को नगण्य माना जा सकता है,तो $\frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt[3]{(1 - x)^2}}{1 + x + \sqrt{1 + x}}$ का मान क्या होगा?
A
$1 + \frac{5}{6}x$
B
$1 - \frac{5}{6}x$
C
$1 + \frac{2}{3}x$
D
$1 - \frac{2}{3}x$
Solution
(B) दी गई व्यंजक $E = \frac{(1 + x)^{1/2} + (1 - x)^{2/3}}{1 + x + (1 + x)^{1/2}}$ है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद प्रसार $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$(1 + x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x$
$(1 - x)^{2/3} \approx 1 - \frac{2}{3}x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E \approx \frac{(1 + \frac{1}{2}x) + (1 - \frac{2}{3}x)}{1 + x + (1 + \frac{1}{2}x)}$
$E \approx \frac{2 - \frac{1}{6}x}{2 + \frac{3}{2}x} = \frac{2(1 - \frac{1}{12}x)}{2(1 + \frac{3}{4}x)}$
$E \approx (1 - \frac{1}{12}x)(1 + \frac{3}{4}x)^{-1}$
$(1 + z)^{-1} \approx 1 - z$ का उपयोग करने पर:
$E \approx (1 - \frac{1}{12}x)(1 - \frac{3}{4}x)$
$E \approx 1 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{12}x = 1 - \frac{5}{6}x$.
छोटे $x$ के लिए द्विपद प्रसार $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$(1 + x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x$
$(1 - x)^{2/3} \approx 1 - \frac{2}{3}x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E \approx \frac{(1 + \frac{1}{2}x) + (1 - \frac{2}{3}x)}{1 + x + (1 + \frac{1}{2}x)}$
$E \approx \frac{2 - \frac{1}{6}x}{2 + \frac{3}{2}x} = \frac{2(1 - \frac{1}{12}x)}{2(1 + \frac{3}{4}x)}$
$E \approx (1 - \frac{1}{12}x)(1 + \frac{3}{4}x)^{-1}$
$(1 + z)^{-1} \approx 1 - z$ का उपयोग करने पर:
$E \approx (1 - \frac{1}{12}x)(1 - \frac{3}{4}x)$
$E \approx 1 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{12}x = 1 - \frac{5}{6}x$.
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MediumMCQ
$(1 + 2x)^{-1/2}$ को एक अनंत श्रेणी के रूप में विस्तारित करने के लिए,$x$ का परिसर क्या होना चाहिए?
A
$[ -1/2, 1/2 ]$
B
$( -1/2, 1/2 )$
C
$[ -2, 2 ]$
D
$( -2, 2 )$
Solution
(B) $(1 + y)^n$ का द्विपद विस्तार $|y| < 1$ के लिए मान्य है।
यहाँ,$y = 2x$ और $n = -1/2$ है।
श्रेणी के अभिसारी (convergent) होने के लिए,हमारे पास $|2x| < 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $|x| < 1/2$।
अतः,$x$ का परिसर $-1/2 < x < 1/2$ है,जिसे $x \in ( -1/2, 1/2 )$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$y = 2x$ और $n = -1/2$ है।
श्रेणी के अभिसारी (convergent) होने के लिए,हमारे पास $|2x| < 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $|x| < 1/2$।
अतः,$x$ का परिसर $-1/2 < x < 1/2$ है,जिसे $x \in ( -1/2, 1/2 )$ के रूप में लिखा जा सकता है।
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MediumMCQ
$m$ का एक धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(1+x)^{m}$ के विस्तार में $x^{2}$ का गुणांक $6$ है।
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$5$
Solution
(A) $(1+x)^{m}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ को $T_{r+1} = {}^{m}C_{r} (1)^{m-r} (x)^{r} = {}^{m}C_{r} x^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x^{2}$ के गुणांक के लिए,हम $r=2$ रखते हैं।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक ${}^{m}C_{2}$ है।
यह दिया गया है कि गुणांक $6$ है,इसलिए ${}^{m}C_{2} = 6$.
$\frac{m(m-1)}{2} = 6$
$m(m-1) = 12$
$m^{2} - m - 12 = 0$
$(m-4)(m+3) = 0$
चूंकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m=4$।
$x^{2}$ के गुणांक के लिए,हम $r=2$ रखते हैं।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक ${}^{m}C_{2}$ है।
यह दिया गया है कि गुणांक $6$ है,इसलिए ${}^{m}C_{2} = 6$.
$\frac{m(m-1)}{2} = 6$
$m(m-1) = 12$
$m^{2} - m - 12 = 0$
$(m-4)(m+3) = 0$
चूंकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m=4$।
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MediumMCQ
$\frac{1}{4}-\frac{5}{4 \cdot 8}+\frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12}-\ldots=$
A
$\frac{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{5}}{9 \sqrt{3}}$
B
$\frac{2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}}{9 \sqrt{3}}$
C
$\frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$
D
$\frac{2 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}}{9 \sqrt{3}}$
Solution
(C) माना दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ है।
यह द्विपद श्रेणी $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ के रूप में है।
हम श्रेणी को $S = 1 - [1 - \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2} - \frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{3! \cdot 4^3} + \ldots]$ के रूप में लिख सकते हैं।
कोष्ठक के अंदर के पदों की तुलना द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n}$ से करने पर,हमें $nx = \frac{1}{4}$ और $n = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अतः,कोष्ठक के अंदर की श्रेणी $(1+1)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}}$ है।
इसलिए,$S = 1 - 2^{-\frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$।
यह द्विपद श्रेणी $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ के रूप में है।
हम श्रेणी को $S = 1 - [1 - \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2} - \frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{3! \cdot 4^3} + \ldots]$ के रूप में लिख सकते हैं।
कोष्ठक के अंदर के पदों की तुलना द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n}$ से करने पर,हमें $nx = \frac{1}{4}$ और $n = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अतः,कोष्ठक के अंदर की श्रेणी $(1+1)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}}$ है।
इसलिए,$S = 1 - 2^{-\frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$।
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MediumMCQ
$1+\frac{1}{3}+\frac{1 \times 3}{3 \times 6}+\frac{1 \times 3 \times 5}{3 \times 6 \times 9}+\ldots \text{ to } \infty =$
A
$\sqrt{5}$
B
$\sqrt{6}$
C
$\sqrt{15}$
D
$\sqrt{3}$
Solution
(D) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \times 3}{3 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3 \times 6 \times 9} + \ldots \infty$ है।
हम हर को $3^n n!$ से गुणा करके सामान्य पद को फिर से लिख सकते हैं:
$S = 1 + \frac{1}{3(1!)} + \frac{1 \times 3}{3^2(2!)} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3^3(3!)} + \ldots$.
इसकी तुलना द्विपद विस्तार $(1-x)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{x}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{x}{q})^3 + \ldots$ से करने पर।
यहाँ,$p=1, q=2$,और $\frac{x}{q} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
अतः,$S = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = \sqrt{3}$.
हम हर को $3^n n!$ से गुणा करके सामान्य पद को फिर से लिख सकते हैं:
$S = 1 + \frac{1}{3(1!)} + \frac{1 \times 3}{3^2(2!)} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3^3(3!)} + \ldots$.
इसकी तुलना द्विपद विस्तार $(1-x)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{x}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{x}{q})^3 + \ldots$ से करने पर।
यहाँ,$p=1, q=2$,और $\frac{x}{q} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
अतः,$S = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = \sqrt{3}$.
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EasyMCQ
यदि $x = \frac{1}{5} + \frac{1 \times 3}{5 \times 10} + \frac{1 \times 3 \times 5}{5 \times 10 \times 15} + \ldots$ है,तो $3x^2 + 6x =$
A
$1$
B
$2$
C
$-1$
D
$-2$
Solution
(B) दी गई श्रेणी $x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$ है।
हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}y^3 + \ldots$ होता है।
मान लीजिए $1+x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$
यह $(1-y)^{-n}$ के रूप से मेल खाता है जहाँ $ny = \frac{1}{5}$ और $\frac{n(n+1)}{2}y^2 = \frac{3}{50}$ है।
$n$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1+x = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$।
इसलिए,$x = \sqrt{\frac{5}{3}} - 1$।
अब,$3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3$ की गणना करें।
$x+1 = \sqrt{\frac{5}{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3(\frac{5}{3}) - 3 = 5 - 3 = 2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}y^3 + \ldots$ होता है।
मान लीजिए $1+x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$
यह $(1-y)^{-n}$ के रूप से मेल खाता है जहाँ $ny = \frac{1}{5}$ और $\frac{n(n+1)}{2}y^2 = \frac{3}{50}$ है।
$n$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1+x = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$।
इसलिए,$x = \sqrt{\frac{5}{3}} - 1$।
अब,$3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3$ की गणना करें।
$x+1 = \sqrt{\frac{5}{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3(\frac{5}{3}) - 3 = 5 - 3 = 2$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
यदि $x = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 9}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ है,तो $5x + 8 = $
A
$\frac{5 \sqrt{5}}{3 \sqrt{3}}$
B
$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
C
$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
D
$\frac{25 \sqrt{5}}{3 \sqrt{3}}$
Solution
(D) दी गई श्रेणी $x = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 9}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ है।
पदों को समायोजित करने के लिए $5$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$
द्विपद प्रसार $(1-y)^{-n}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + x = (1 - 2/5)^{-3/2} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1$.
इस प्रकार,$5x + 8 = 5(\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1) + 8 = \frac{25\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} + 3$.
पदों को समायोजित करने के लिए $5$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$
द्विपद प्रसार $(1-y)^{-n}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + x = (1 - 2/5)^{-3/2} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1$.
इस प्रकार,$5x + 8 = 5(\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1) + 8 = \frac{25\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} + 3$.
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View Solution39
MediumMCQ
यदि $x=\frac{2}{5}+\frac{1 \cdot 3}{2 !}\left(\frac{2}{5}\right)^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 !}\left(\frac{2}{5}\right)^3+\ldots$ है,तो $x+\frac{1}{x}=$
A
$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$
B
$3$
C
$\frac{5 \sqrt{5}+3}{4}$
D
$\frac{5 \sqrt{5}-3}{4}$
Solution
(D) दी गई श्रेणी $(1-y)^{-n} - 1$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$x = \sqrt{5} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ होगा।
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} - 1 + \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{5\sqrt{5} - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।
तुलना करने पर,$x = \sqrt{5} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ होगा।
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} - 1 + \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{5\sqrt{5} - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।
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DifficultMCQ
श्रेणी $\frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ का योग ज्ञात कीजिए।
A
$\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{3}{4}$
B
$\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$
C
$\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}$
D
$\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}$
Solution
(B) दी गई श्रेणी $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,
श्रेणी में $\frac{3}{4}$ जोड़ने और घटाने पर:
$S = \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,
श्रेणी में $\frac{3}{4}$ जोड़ने और घटाने पर:
$S = \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$1+\frac{2}{4}+\frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}+\ldots \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$4^{-2 / 3}$
B
$\sqrt[3]{16}$
C
$\sqrt[3]{4}$
D
$4^{3 / 2}$
Solution
(B) माना $S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \ldots$
द्विपद श्रेणी $(1-x)^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = -2/3$ और $x = -3/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - (-3/4))^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = \sqrt[3]{16}$.
द्विपद श्रेणी $(1-x)^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = -2/3$ और $x = -3/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - (-3/4))^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = \sqrt[3]{16}$.
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MediumMCQ
$\frac{1+4x-3x^2}{(1+3x)^3}$ के पावर श्रेणी विस्तार में $x^3$ का गुणांक क्या है?
A
-$27$
B
$27$
C
$153$
D
-$153$
Solution
(A) हम सामान्य द्विपद विस्तार का उपयोग करते हैं: $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$
$(1+3x)^{-3}$ के लिए,$n=3$ और $z=3x$ है:
$(1+3x)^{-3} = 1 - 3(3x) + \frac{3(4)}{2}(3x)^2 - \frac{3(4)(5)}{6}(3x)^3 + \dots$
$= 1 - 9x + 54x^2 - 270x^3 + \dots$
अब,$(1+4x-3x^2)$ से गुणा करें:
$(1+4x-3x^2)(1-9x+54x^2-270x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1(-270) + 4(54) - 3(-9) = -270 + 216 + 27 = -27$.
$(1+3x)^{-3}$ के लिए,$n=3$ और $z=3x$ है:
$(1+3x)^{-3} = 1 - 3(3x) + \frac{3(4)}{2}(3x)^2 - \frac{3(4)(5)}{6}(3x)^3 + \dots$
$= 1 - 9x + 54x^2 - 270x^3 + \dots$
अब,$(1+4x-3x^2)$ से गुणा करें:
$(1+4x-3x^2)(1-9x+54x^2-270x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1(-270) + 4(54) - 3(-9) = -270 + 216 + 27 = -27$.
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MediumMCQ
यदि $|x| < \frac{2}{3}$ है,तो $(3x - 2)^{2/3}$ के विस्तार में $4^{th}$ पद क्या होगा?
A
$\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$
B
$-\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$
C
$\frac{\sqrt[3]{4}}{8} x^3$
D
$-\frac{\sqrt[3]{4}}{8} x^3$
Solution
(B) दी गई व्यंजक $(3x - 2)^{2/3}$ है। द्विपद विस्तार के लिए,हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
$(3x - 2)^{2/3} = [-2(1 - \frac{3x}{2})]^{2/3} = (-2)^{2/3} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3} = \sqrt[3]{4} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3}$.
$(1+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$ होता है।
यहाँ $n = \frac{2}{3}$ और $y = -\frac{3x}{2}$ है।
$4^{th}$ पद $(T_4)$ के लिए $r = 3$ लेने पर:
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)(\frac{2}{3}-2)}{3!} (-\frac{3x}{2})^3$
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{3}) \times (-\frac{4}{3})}{6} \times (-\frac{27x^3}{8})$
$T_4 = -\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$.
$(3x - 2)^{2/3} = [-2(1 - \frac{3x}{2})]^{2/3} = (-2)^{2/3} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3} = \sqrt[3]{4} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3}$.
$(1+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$ होता है।
यहाँ $n = \frac{2}{3}$ और $y = -\frac{3x}{2}$ है।
$4^{th}$ पद $(T_4)$ के लिए $r = 3$ लेने पर:
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)(\frac{2}{3}-2)}{3!} (-\frac{3x}{2})^3$
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{3}) \times (-\frac{4}{3})}{6} \times (-\frac{27x^3}{8})$
$T_4 = -\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$.
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DifficultMCQ
$\frac{1}{\sqrt[3]{(1-2 x)^2}}$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक क्या है?
A
$\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \ldots(3 r-1)}{r !}(-1)^r\left(\frac{2}{3}\right)^r$
B
$\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \ldots(3 r-1)}{r !}(-1)^r\left(\frac{3}{2}\right)^r$
C
$\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \ldots(3 r-1)}{r !}\left(\frac{2}{3}\right)^r$
D
$\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \ldots(3 r-1)}{r !}\left(\frac{3}{2}\right)^{r}$
Solution
(C) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{\sqrt[3]{(1-2 x)^2}} = (1-2 x)^{-2/3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}z^r + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 2/3$ और $z = 2x$ है:
सामान्य पद $\frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}+1)(\frac{2}{3}+2)\dots(\frac{2}{3}+r-1)}{r!}(2x)^r$ है।
$x^r$ का गुणांक $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \dots \cdot \frac{3r-1}{3}}{r!} \cdot 2^r$ है।
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r! \cdot 3^r} \cdot 2^r$.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r!} \left(\frac{2}{3}\right)^r$.
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}z^r + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 2/3$ और $z = 2x$ है:
सामान्य पद $\frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}+1)(\frac{2}{3}+2)\dots(\frac{2}{3}+r-1)}{r!}(2x)^r$ है।
$x^r$ का गुणांक $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \dots \cdot \frac{3r-1}{3}}{r!} \cdot 2^r$ है।
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r! \cdot 3^r} \cdot 2^r$.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r!} \left(\frac{2}{3}\right)^r$.
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DifficultMCQ
$(1-2x)^{1/2}(1+3x)^{-1/3}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक है
A
$-\frac{20}{3}$
B
$\frac{20}{3}$
C
$\frac{17}{3}$
D
$-\frac{17}{3}$
Solution
(A) द्विपद विस्तार $(1+ax)^n$ का उपयोग करते हुए,$x^3$ का गुणांक $-\frac{20}{3}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$(1-3x)^{\frac{1}{3}}(1+2x)^{-\frac{1}{2}}$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक है
A
$-\frac{3}{2}$
B
$\frac{3}{2}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$-\frac{1}{2}$
Solution
(B) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,हम दो पदों का विस्तार करते हैं:
$(1-3x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(-3x)^2 + \dots = 1 - x - x^2 + \dots$
$(1+2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(2x) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x)^2 + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$
इन विस्तारों का गुणा करने पर: $(1 - x - x^2 + \dots)(1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots)$
$x^2$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है: $(1 \times \frac{3}{2}) + (-1 \times -1) + (-1 \times 1) = \frac{3}{2} + 1 - 1 = \frac{3}{2}$.
$(1-3x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(-3x)^2 + \dots = 1 - x - x^2 + \dots$
$(1+2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(2x) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x)^2 + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$
इन विस्तारों का गुणा करने पर: $(1 - x - x^2 + \dots)(1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots)$
$x^2$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है: $(1 \times \frac{3}{2}) + (-1 \times -1) + (-1 \times 1) = \frac{3}{2} + 1 - 1 = \frac{3}{2}$.
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MediumMCQ
मान लीजिए $|x|$ इतना छोटा है कि $x^2$ और $x$ की उच्च घातों को नगण्य माना जा सकता है,तो $\frac{\sqrt{1+x}+(1-x)^{3/2}}{(1+x)+\sqrt{1+x}} = $
A
$1+\frac{5x}{4}$
B
$1-\frac{5x}{4}$
C
$1+\frac{4x}{5}$
D
$1-\frac{4x}{5}$
Solution
(B) छोटे $|x|$ के लिए द्विपद प्रसार $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए:
$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$
$(1-x)^{3/2} \approx 1-\frac{3}{2}x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(1+\frac{1}{2}x) + (1-\frac{3}{2}x)}{(1+x) + (1+\frac{1}{2}x)} = \frac{2-x}{2+\frac{3}{2}x} = \frac{2-x}{\frac{4+3x}{2}} = \frac{2(2-x)}{4+3x}$
$= \frac{4-2x}{4+3x} = (4-2x)(4+3x)^{-1} = (4-2x) \cdot \frac{1}{4}(1+\frac{3}{4}x)^{-1}$
$\approx \frac{1}{4}(4-2x)(1-\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}(4 - 3x - 2x + \frac{6}{4}x^2)$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$\approx \frac{1}{4}(4-5x) = 1-\frac{5x}{4}$
$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$
$(1-x)^{3/2} \approx 1-\frac{3}{2}x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(1+\frac{1}{2}x) + (1-\frac{3}{2}x)}{(1+x) + (1+\frac{1}{2}x)} = \frac{2-x}{2+\frac{3}{2}x} = \frac{2-x}{\frac{4+3x}{2}} = \frac{2(2-x)}{4+3x}$
$= \frac{4-2x}{4+3x} = (4-2x)(4+3x)^{-1} = (4-2x) \cdot \frac{1}{4}(1+\frac{3}{4}x)^{-1}$
$\approx \frac{1}{4}(4-2x)(1-\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}(4 - 3x - 2x + \frac{6}{4}x^2)$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$\approx \frac{1}{4}(4-5x) = 1-\frac{5x}{4}$
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DifficultMCQ
यदि $(2-5x)^{-1/5} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$ है,तो $\frac{a_1}{a_2} = $
A
$\frac{1}{3}$
B
$-\frac{2}{3}$
C
$-\frac{1}{3}$
D
$\frac{2}{3}$
Solution
(D) दिया गया है $(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} (1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5}$.
द्विपद विस्तार $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = -\frac{5}{2}x$ और $n = -\frac{1}{5}$:
$(1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5} = 1 + (-\frac{1}{5})(-\frac{5}{2}x) + \frac{(-\frac{1}{5})(-\frac{6}{5})}{2} (\frac{25}{4}x^2) + \ldots$
$= 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 + \ldots$
अतः,$(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} + \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}x + \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}$ और $a_2 = \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}$.
इसलिए,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.
द्विपद विस्तार $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = -\frac{5}{2}x$ और $n = -\frac{1}{5}$:
$(1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5} = 1 + (-\frac{1}{5})(-\frac{5}{2}x) + \frac{(-\frac{1}{5})(-\frac{6}{5})}{2} (\frac{25}{4}x^2) + \ldots$
$= 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 + \ldots$
अतः,$(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} + \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}x + \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}$ और $a_2 = \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}$.
इसलिए,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.
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