$\sum\limits_{m = 0}^{100} {{\,^{100}}{C_m}{{(x - 3)}^{100 - m}}} {.2^m}$ के विस्तार में ${x^{53}}$ का गुणांक है

यदि $n$, बहुपद ${\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  - \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8} $$+ {\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  + \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8}$ की घात है, तथा $m$ इसमें स्थित $x ^{ n }$ का गुणांक है, तो क्रमित युग्म $( n , m )$ बराबर है $:$

${(1 + x)^{10}}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक होगा

यदि ${(3 + ax)^9}$ के विस्तार में ${x^2}$ व ${x^3}$ के गुणांक बराबर हों, तो $a$ का मान होगा

यदि $(3+a x)^{9}$ के प्रसार में $x^{2}$ तथा $x^{3}$ के गुणांक समान हों, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+$ $\cdots \cdots+x^{1000}$ के द्विपद प्रसार में $x^{50}$ का गुणाँक है