${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^7}$ के विस्तार में ${x^3}$ का गुणांक है   

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{11}}$ के विस्तार में मध्य पद होगा

यदि $\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)^{11}$ के प्रसार में $x^9$ का गुणांक एवं $\left(\alpha \mathrm{x}-\frac{1}{\beta \mathrm{x}^3}\right)^{11}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{-9}$ का गुणांक बराबर हैं तब $(\alpha \beta)^2$ बराबर है____________. 

यदि $\left(x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{1}{3}}}\right)^{18},(x>0)$, के प्रसार में $x^{-2}$ तथा $x^{-4}$ के गुणांक क्रमशः $m$ तथा $n$ हैं, तो $\frac{m}{n}$ बराबर है

यदि द्विपद ${\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\log 3}}}}} \right]^m}$ के प्रसार में $6$ वां पद $21$ के बराबर है तथा यह ज्ञात है कि प्रसार में दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमश: समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद हैं. (संकेत $log$ आधार $10$ के सापेक्ष लघुगणक के लिये प्रयुक्त है), तब $x = $

${\left( {{x^2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ के प्रसार में $x$ का गुणांक है