Expansion of binomial theorem Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 0$
$(x - 1)^4$ के द्विपद विस्तार को पहचानने पर:
$(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$
अतः,समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(x - 1)^4 = 0$
इसका अर्थ है:
$(x - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1) = 0$
इस प्रकार,मूल $x = 1, 1, 1, 1$ हैं।

(A) $15$ फलों को वितरित करने के तरीकों की संख्या प्रत्येक फल के प्रकार के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के गुणनफल के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक है।
सेब के लिए: $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) = \frac{1-x^6}{1-x}$
आम के लिए: $(1 + x + x^2 + \dots + x^{10}) = \frac{1-x^{11}}{1-x}$
संतरे के लिए: $(1 + x + x^2 + \dots + x^{15}) = \frac{1-x^{16}}{1-x}$
जनरेटिंग फ़ंक्शन $f(x) = \frac{(1-x^6)(1-x^{11})(1-x^{16})}{(1-x)^3} = (1 - x^6 - x^{11} - x^{16} + x^{17} + x^{21} + x^{22} - x^{33})(1-x)^{-3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-3} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ का उपयोग करते हुए,हमें $x^{15}$ का गुणांक प्राप्त होता है:
$= \binom{15+2}{2} - \binom{9+2}{2} - \binom{4+2}{2} = \binom{17}{2} - \binom{11}{2} - \binom{6}{2}$
$= \frac{17 \times 16}{2} - \frac{11 \times 10}{2} - \frac{6 \times 5}{2} = 136 - 55 - 15 = 66$.
अतः,वितरण के कुल तरीके $66$ हैं।

(C) द्विपद विस्तार सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x + a)^n - (x - a)^n = 2[\binom{n}{1}x^{n-1}a + \binom{n}{3}x^{n-3}a^3 + \binom{n}{5}x^{n-5}a^5 + \dots]$
यहाँ $n=6, x=\sqrt{2}, a=1$ रखने पर:
$(\sqrt{2} + 1)^6 - (\sqrt{2} - 1)^6 = 2[\binom{6}{1}(\sqrt{2})^5(1)^1 + \binom{6}{3}(\sqrt{2})^3(1)^3 + \binom{6}{5}(\sqrt{2})^1(1)^5]$
$= 2[6 \times 4\sqrt{2} + 20 \times 2\sqrt{2} + 6 \times \sqrt{2}]$
$= 2[24\sqrt{2} + 40\sqrt{2} + 6\sqrt{2}]$
$= 2[70\sqrt{2}] = 140\sqrt{2}$.

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + y)^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + 2a)^5$ के लिए,$n=5$ और $y=2a$ है।
विस्तार इस प्रकार है:
$\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{1}x^4(2a) + \binom{5}{2}x^3(2a)^2 + \binom{5}{3}x^2(2a)^3 + \binom{5}{4}x(2a)^4 + \binom{5}{5}(2a)^5$
$= x^5 + 5x^4(2a) + 10x^3(4a^2) + 10x^2(8a^3) + 5x(16a^4) + 32a^5$
$= x^5 + 10x^4a + 40x^3a^2 + 80x^2a^3 + 80xa^4 + 32a^5$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) द्विपद विस्तार सूत्र $(x+a)^n - (x-a)^n = 2 \left[ {^nC_1} x^{n-1} a + {^nC_3} x^{n-3} a^3 + {^nC_5} x^{n-5} a^5 + \dots \right]$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$x = \sqrt{5}$,$a = 1$,और $n = 5$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{5} + 1)^5 - (\sqrt{5} - 1)^5 = 2 \left[ {^5C_1} (\sqrt{5})^4 (1)^1 + {^5C_3} (\sqrt{5})^2 (1)^3 + {^5C_5} (\sqrt{5})^0 (1)^5 \right]$
$= 2 \left[ 5 \times 25 \times 1 + 10 \times 5 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 \right]$
$= 2 \left[ 125 + 50 + 1 \right]$
$= 2 \times 176$
$= 352$.

(A) दिया गया व्यंजक $n+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (1 + x)$ है।
$G.P.$ का योग $S = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$E = \frac{1((1 + x)^{n + 1} - 1)}{(1 + x) - 1} = \frac{(1 + x)^{n + 1} - 1}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $E = x^{-1} \{(1 + x)^{n + 1} - 1\}$ के रूप में सरल होता है।
$E$ में $x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हमें $(1 + x)^{n + 1} - 1$ के विस्तार में $x^{k+1}$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + x)^{n + 1}$ में सामान्य पद $^{n+1}C_r x^r$ है।
अतः,$x^{k+1}$ का गुणांक $^{n+1}C_{k+1}$ है।
इसलिए,व्यंजक में $x^k$ का गुणांक $^{n+1}C_{k+1}$ है।

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके,हम $101^{50}$ और $99^{50}$ का $100$ के आसपास विस्तार करते हैं:
$101^{50} = (100 + 1)^{50} = 100^{50} + 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} + \dots$ $(i)$
$99^{50} = (100 - 1)^{50} = 100^{50} - 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} - \dots$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$101^{50} - 99^{50} = 2 \times (50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49 \times 48}{6} \times 100^{47} + \dots)$
चूंकि दाईं ओर का मान स्पष्ट रूप से $100^{50}$ से बड़ा है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$101^{50} - 99^{50} > 100^{50}$
अतः,$101^{50} > 100^{50} + 99^{50}$.

(C) $(a + b)^n + (a - b)^n$ का विस्तार $2[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \dots]$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 3\sqrt{2}x$,और $n = 9$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक $2[\binom{9}{0}(1)^9 + \binom{9}{2}(1)^7(3\sqrt{2}x)^2 + \binom{9}{4}(1)^5(3\sqrt{2}x)^4 + \binom{9}{6}(1)^3(3\sqrt{2}x)^6 + \binom{9}{8}(1)^1(3\sqrt{2}x)^8]$ हो जाता है।
यह $2[1 + 36(18x^2) + 126(324x^4) + 84(5832x^6) + 9(104976x^8)]$ के बराबर है।
चूंकि सभी गुणांक शून्येतर हैं,इसलिए विस्तार में $5$ पद हैं।

(A) द्विपद विस्तार $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए।
दिया गया है $(1.0002)^{3000} = (1 + 0.0002)^{3000}$.
यहाँ $n = 3000$ और $x = 0.0002$ है।
विस्तार के पहले दो पदों का उपयोग करते हुए:
$(1 + 0.0002)^{3000} \approx 1 + (3000)(0.0002) + \frac{3000 \times 2999}{2} \times (0.0002)^2$.
चूंकि $(0.0002)^2 = 0.00000004$ है,इसलिए उच्च घात वाले पदों को नगण्य माना जा सकता है।
अतः,$(1.0002)^{3000} \approx 1 + 0.6 = 1.6$.

(D) हम जानते हैं कि $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ और $2 < e < 3$ होता है।
$n = 10000$ के लिए,व्यंजक $(1 + \frac{1}{10000})^{10000} = (1 + 0.0001)^{10000}$ है।
चूंकि अनुक्रम $(1 + \frac{1}{n})^n$ निरंतर बढ़ता है और $e$ की ओर अग्रसर होता है,इसलिए $(1 + 0.0001)^{10000} < e < 3$ है।
द्विपद प्रमेय के विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1 + 0.0001)^{10000} = 1 + 10000(0.0001) + \frac{10000 \times 9999}{2!} (0.0001)^2 + \dots = 1 + 1 + \frac{0.9999}{2} + \dots > 2$ है।
अतः,$2 < (1 + 0.0001)^{10000} < 3$ है।
$(1 + 0.0001)^{10000}$ से ठीक बड़ी धनात्मक पूर्णांक संख्या $3$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) हमारे पास $7^2 = 49 = 50 - 1$ है।
अब,$7^{300} = (7^2)^{150} = (50 - 1)^{150}$।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(50 - 1)^{150} = \sum_{k=0}^{150} \binom{150}{k} (50)^{150-k} (-1)^k$।
अंतिम पद को छोड़कर सभी पदों में $50$ का एक गुणनखंड है,जिसका अर्थ है कि वे $00$ या $10$ की उच्च घातों के साथ समाप्त होते हैं।
अंतिम पद $\binom{150}{150} (50)^0 (-1)^{150} = 1 \times 1 \times 1 = 1$ है।
अतः,$7^{300}$ का अंतिम अंक $1$ है।

(D) $(x - \frac{1}{2x})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (x)^{n-r} (-\frac{1}{2x})^r = ^nC_r (x)^{n-2r} (-\frac{1}{2})^r$ है।
तीसरे पद $(T_3)$ के लिए $r=2$ रखने पर: $T_3 = ^nC_2 (\frac{1}{4}) x^{n-4}$।
तीसरे पद का गुणांक $C_3 = \frac{n(n-1)}{8}$ है।
चौथे पद $(T_4)$ के लिए $r=3$ रखने पर: $T_4 = ^nC_3 (-\frac{1}{8}) x^{n-6}$।
चौथे पद का गुणांक $C_4 = -\frac{n(n-1)(n-2)}{48}$ है।
दिया गया अनुपात $1:2$ है,इसलिए $\frac{C_3}{C_4} = \frac{1}{2}$:
$\frac{n(n-1)/8}{-n(n-1)(n-2)/48} = \frac{1}{2}$
$\frac{-6}{n-2} = \frac{1}{2}$
$n-2 = -12$
$n = -10$।

(C) $(1 + ax)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + n(ax) + \frac{n(n-1)}{2}(ax)^2 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि पहले तीन पद $1, 6x, 16x^2$ हैं,इसलिए:
$n(ax) = 6x \implies na = 6$ $(i)$
$\frac{n(n-1)}{2} a^2 x^2 = 16x^2 \implies n(n-1)a^2 = 32$ $(ii)$
$(i)$ से,$a = \frac{6}{n}$। इस मान को $(ii)$ में रखने पर:
$n(n-1) \left(\frac{6}{n}\right)^2 = 32$
$n(n-1) \frac{36}{n^2} = 32$
$\frac{n-1}{n} \times 36 = 32$
$\frac{n-1}{n} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$
$9n - 9 = 8n \implies n = 9$
$n = 9$ को $(i)$ में रखने पर,$9a = 6 \implies a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$।
अतः,$a = 2/3$ और $n = 9$।

(C) विस्तार $(1 + x)^m(1 - x)^n = (1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2}x^2 + \dots)(1 - nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 - \dots)$ द्वारा दिया गया है।
पदों का गुणा करने पर,हमें $1 + (m - n)x + [\frac{n(n - 1)}{2} - mn + \frac{m(m - 1)}{2}]x^2 + \dots$ प्राप्त होता है।
$x$ का गुणांक $3$ दिया गया है,इसलिए $m - n = 3$,अर्थात $n = m - 3$ है।
$x^2$ का गुणांक $-6$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n^2 - n}{2} - mn + \frac{m^2 - m}{2} = -6$ है।
समीकरण में $n = m - 3$ रखने पर:
$\frac{(m - 3)(m - 4)}{2} - m(m - 3) + \frac{m^2 - m}{2} = -6$।
$2$ से गुणा करने पर: $(m^2 - 7m + 12) - 2(m^2 - 3m) + (m^2 - m) = -12$।
$m^2 - 7m + 12 - 2m^2 + 6m + m^2 - m = -12$।
$-2m + 12 = -12$।
$-2m = -24$,जिससे $m = 12$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $(1 + x + x^3 + x^4)^{10} = (1 + x)^{10}(1 + x^3)^{10}$ है।
दोनों भागों का विस्तार करने पर:
$(1 + x)^{10} = 1 + ^{10}C_1 x + ^{10}C_2 x^2 + ^{10}C_3 x^3 + ^{10}C_4 x^4 + \dots$
$(1 + x^3)^{10} = 1 + ^{10}C_1 x^3 + ^{10}C_2 x^6 + \dots$
$x^4$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए:
गुणांक $= (^{10}C_1 \times ^{10}C_1) + ^{10}C_4 = 100 + 210 = 310$.

(D) हमारे पास $(1 + x + x^2 + x^3)^n = ((1 + x)(1 + x^2))^n = (1 + x)^n (1 + x^2)^n$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दोनों भागों का विस्तार करने पर:
$(1 + x)^n = 1 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + ^nC_3 x^3 + ^nC_4 x^4 + \dots$
$(1 + x^2)^n = 1 + ^nC_1 x^2 + ^nC_2 x^4 + \dots$
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम दोनों विस्तारों से उन पदों को गुणा करते हैं जिनका घातों का योग $4$ हो:
$1 \cdot (^nC_2 x^4) + (^nC_2 x^2) \cdot (^nC_1 x^2) + (^nC_4 x^4) \cdot 1$
$= ^nC_2 x^4 + ^nC_1 \cdot ^nC_2 x^4 + ^nC_4 x^4$
$= (^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2) x^4$।
अतः,गुणांक $^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2$ है।

(C) किसी बहुपद विस्तार $P(x)$ में सभी गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया व्यंजक $P(x) = (x^2 + x - 3)^{319}$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$P(1) = (1^2 + 1 - 3)^{319}$
$P(1) = (1 + 1 - 3)^{319}$
$P(1) = (-1)^{319}$
चूंकि $319$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{319} = -1$ होगा।
अतः,सभी गुणांकों का योग $-1$ है।

(B) दिया गया विस्तार: $(1 + x - 2x^2)^6 = 1 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{12}x^{12}$.
माना $f(x) = (1 + x - 2x^2)^6 = 1 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + .... + a_{12}x^{12}$.
$x = 1$ के लिए: $f(1) = (1 + 1 - 2)^6 = 0^6 = 0 = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{12}$.
$x = -1$ के लिए: $f(-1) = (1 - 1 - 2(-1)^2)^6 = (-2)^6 = 64 = 1 - a_1 + a_2 - a_3 + .... + a_{12}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$f(1) + f(-1) = 0 + 64 = 2(1 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12})$.
$64 = 2(1 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12})$.
$32 = 1 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12}$.
अतः,$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} = 32 - 1 = 31$.

(C) बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग $P(1)$ का मान रखकर प्राप्त किया जाता है।
दिया गया बहुपद $P(x) = (\alpha ^2 x^2 - 2\alpha x + 1)^{51}$ है।
$x = 1$ रखने पर,गुणांकों का योग $(\alpha ^2(1)^2 - 2\alpha(1) + 1)^{51} = (\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51}$ होता है।
चूंकि गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए $(\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $(\alpha - 1)^2 = 0$,जिससे $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार: $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} {C_r} x^r = {C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{2} (1 + x)^{10} dx = \int_{0}^{2} ({C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}) dx$।
बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{(1 + x)^{11}}{11} \right]_{0}^{2} = \frac{(1 + 2)^{11}}{11} - \frac{(1 + 0)^{11}}{11} = \frac{3^{11} - 1}{11}$।
दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ {C_0}x + {C_1}\frac{x^2}{2} + {C_2}\frac{x^3}{3} + \dots + {C_{10}}\frac{x^{11}}{11} \right]_{0}^{2} = 2{C_0} + \frac{2^2}{2}{C_1} + \frac{2^3}{3}{C_2} + \dots + \frac{2^{11}}{11}{C_{10}}$।
अतः,योगफल $\frac{3^{11} - 1}{11}$ है।

(C) किसी बहुपद के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम सभी चरों को $1$ के बराबर रखते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति $(x + 2y + 3z)^8$ के लिए,हम $x = 1$,$y = 1$,और $z = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
गुणांकों का योग $= (1 + 2(1) + 3(1))^8$
$= (1 + 2 + 3)^8$
$= 6^8$.

(B) किसी बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया व्यंजक $P(x) = (1 + x - 3x^2)^{2134}$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$P(1) = (1 + 1 - 3(1)^2)^{2134}$
$P(1) = (1 + 1 - 3)^{2134}$
$P(1) = (-1)^{2134}$
चूंकि $2134$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2134} = 1$ होगा।
अतः,गुणांकों का योग $1$ है।

(B) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति $(1 + x + x^2)^n$ में $x = 1$ रखने पर,
गुणांकों का योग $= (1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दी गई व्यंजक $(1 + x - 3x^2)^{3148}$ में $x = 1$ रखने पर:
गुणांकों का योग = $(1 + 1 - 3(1)^2)^{3148}$
$= (2 - 3)^{3148}$
$= (-1)^{3148}$
चूंकि $3148$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-1)^{3148} = 1$ होगा।
अतः,गुणांकों का योग $1$ है।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिए गए विस्तार $(1 + x)^5$ के लिए,गुणांकों का योग $x = 1$ रखने पर प्राप्त होता है।
गुणांकों का योग = $(1 + 1)^5 = 2^5 = 32$.

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया बहुपद $P(x) = (x^2 - x - 1)^{99}$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$P(1) = (1^2 - 1 - 1)^{99}$
$P(1) = (1 - 1 - 1)^{99}$
$P(1) = (-1)^{99}$
चूंकि $99$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{99} = -1$ होता है।
अतः,गुणांकों का योग $-1$ है।

(B) हमारे पास है,$(1 + x + x^2 + ...)^{-n} = [(1 - x)^{-1}]^{-n} = (1 - x)^n$
$(1 - x)^n$ के द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(1 - x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + ... + (-1)^n \binom{n}{n} x^n$
$x^n$ का गुणांक $(-1)^n \binom{n}{n} = (-1)^n \times 1 = (-1)^n$ है।

(D) दी गई व्यंजक: $[\sqrt{1 + x^2} - x]^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \times \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2} + x} = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{(1 + x^2) - x^2} = \sqrt{1 + x^2} + x$.
$|x| < 1$ के लिए द्विपद विस्तार $(1 + x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
व्यंजक $= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \dots + x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \dots$.
इस विस्तार में $x$ का गुणांक $1$ है.

(C) माना $y = (x^3 - 1)^{1/2}$ है। व्यंजक $(x + y)^5 + (x - y)^5$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x + y)^5 + (x - y)^5 = 2[x^5 + ^5C_2 x^3 y^2 + ^5C_4 x y^4]$ है।
$y^2 = x^3 - 1$ और $y^4 = (x^3 - 1)^2 = x^6 - 2x^3 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2[x^5 + 10x^3(x^3 - 1) + 5x(x^6 - 2x^3 + 1)]$
$= 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$
$= 10x^7 + 20x^6 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$ प्राप्त होता है।
परिणामी बहुपद में $x$ की उच्चतम घात $7$ है,अतः बहुपद की घात $7$ है।

(A) द्विपद प्रसार $(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2$ का उपयोग करने पर:
$(1+x)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2$
$(1 + \frac{1}{2}x)^3 \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2$
अंश का मान: $(1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2) - (1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2) = -\frac{3}{8}x^2$
हर $(1-x)^{1/2} \approx 1$ लेने पर,अंतिम उत्तर $-\frac{3}{8}x^2$ प्राप्त होता है।

(C) $(x_1 + x_2 + \dots + x_k)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या का सूत्र $\binom{n + k - 1}{k - 1}$ होता है।
यहाँ,$k = 3$ (पद $a, b, c$) और घात $n$ है।
अतः,पदों की संख्या $\binom{n + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{n + 2}{2}$ होगी।
संयोजन सूत्र का उपयोग करने पर: $\binom{n + 2}{2} = \frac{(n + 2)(n + 1)}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $R = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1}$.
मान लीजिए $f' = (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1}$.
चूँकि $0 < 5\sqrt{5} - 11 < 1$,इसलिए $0 < f' < 1$.
$R + f' = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1} + (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1} = 2k$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है)।
चूँकि $R = [R] + f$,इसलिए $[R] + f + f' = 2k$.
चूँकि $0 < f + f' < 2$,इसलिए $f + f' = 1$.
अतः $f = 1 - f'$.
$R \cdot f = R(1 - f') = R - R \cdot f' = R - (125 - 121)^{2n + 1} = R - 4^{2n + 1}$.
परिणाम $4^{2n + 1}$ है।

(B) $(x + y + z)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या का सूत्र $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि पदों की संख्या $45$ है,इसलिए:
$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 45$
$(n+1)(n+2) = 90$
$n^2 + 3n + 2 = 90$
$n^2 + 3n - 88 = 0$
$(n+11)(n-8) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 8$ प्राप्त होता है।

(A) अंश $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$ के रूप में है,जहाँ $a = 18$ और $b = 7$ है।
चूँकि $a + b = 18 + 7 = 25$,इसलिए अंश $25^3$ है।
हर $(x + y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} y^k$ के रूप में है।
यहाँ,$x = 3$ और $y = 2$ है,इसलिए हर $(3 + 2)^6 = 5^6$ है।
चूँकि $5^6 = (5^2)^3 = 25^3$,इसलिए हर $25^3$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{25^3}{25^3} = 1$ है।

(B) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(2 + \sqrt{2})^4$ का विस्तार करते हैं: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
$(2 + \sqrt{2})^4 = \binom{4}{0} 2^4 + \binom{4}{1} 2^3 (\sqrt{2}) + \binom{4}{2} 2^2 (\sqrt{2})^2 + \binom{4}{3} 2^1 (\sqrt{2})^3 + \binom{4}{4} (\sqrt{2})^4$.
$= 1(16) + 4(8)(\sqrt{2}) + 6(4)(2) + 4(2)(2\sqrt{2}) + 1(4)$.
$= 16 + 32\sqrt{2} + 48 + 16\sqrt{2} + 4$.
$= 68 + 48\sqrt{2}$.
यहाँ $\sqrt{2} \approx 1.414$ लेने पर,$48 \times 1.414 = 67.872$.
अतः,$68 + 67.872 = 135.872$.
यह मान $135$ और $136$ के बीच स्थित है।

(B) द्विपद विस्तार सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x + a)^n + (x - a)^n = 2[\binom{n}{0}x^n + \binom{n}{2}x^{n-2}a^2 + \binom{n}{4}x^{n-4}a^4 + \binom{n}{6}x^{n-6}a^6]$.
यहाँ,$n = 6, x = \sqrt{2}, a = 1$ है।
द्विपद गुणांक $\binom{6}{0} = 1, \binom{6}{2} = 15, \binom{6}{4} = 15, \binom{6}{6} = 1$ हैं।
मान रखने पर:
$(\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 = 2[1 \cdot (\sqrt{2})^6 + 15 \cdot (\sqrt{2})^4 \cdot 1^2 + 15 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 1^4 + 1 \cdot 1^6]$.
$= 2[8 + 15(4) + 15(2) + 1]$.
$= 2[8 + 60 + 30 + 1]$.
$= 2[99] = 198$.

(A) दिया गया द्विपद विस्तार: $(1 + ax)^n = 1 + n(ax) + \frac{n(n - 1)}{2}(ax)^2 + .... = 1 + 8x + 24x^2 + ....$
$x$ और $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$na = 8$ --- $(1)$
$\frac{n(n - 1)}{2}a^2 = 24$ --- $(2)$
$(1)$ से,$n = \frac{8}{a}$। इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(\frac{8}{a})(\frac{8}{a} - 1)}{2}a^2 = 24$
$\frac{8}{2a} \times (8 - a) \times a = 24$
$4(8 - a) = 24$
$8 - a = 6$
$a = 2$
$a = 2$ को $(1)$ में रखने पर:
$n(2) = 8 \Rightarrow n = 4$.
अतः,$a = 2$ और $n = 4$ है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \sum_{j=0}^{200} (1+x)^j = 1 + (1+x) + (1+x)^2 + \dots + (1+x)^{200}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$,सार्व अनुपात $r = (1+x)$,और पदों की संख्या $n = 201$ है।
योग $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1((1+x)^{201} - 1)}{(1+x) - 1} = \frac{(1+x)^{201} - 1}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $S = \frac{(1+x)^{201} - 1}{x}$ में $x^{100}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $(1+x)^{201} - 1$ के विस्तार में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है।
$(1+x)^{201}$ के विस्तार में सामान्य पद $\binom{201}{k} x^k$ है।
$k = 101$ के लिए,गुणांक $\binom{201}{101}$ है।
नोट: $\binom{201}{101} = \binom{201}{201-101} = \binom{201}{100}$।
अतः,$x^{100}$ का गुणांक $\binom{201}{100}$ है।

(C) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार: $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k = \binom{n}{0} + x\binom{n}{1} + x^2\binom{n}{2} + \dots + x^n\binom{n}{n}$ होता है।
इस विस्तार में $x = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 + 2)^n = \binom{n}{0} + 2\binom{n}{1} + 2^2\binom{n}{2} + \dots + 2^n\binom{n}{n}$.
अतः,दिया गया व्यंजक $3^n$ के बराबर है।

(C) द्विपद विस्तार इस प्रकार है: $(x + a)^n = {^nC_0}x^n + {^nC_1}x^{n-1}a + {^nC_2}x^{n-2}a^2 + {^nC_3}x^{n-3}a^3 + \dots$
माना $A$ विषम पदों का योग है: $A = {^nC_0}x^n + {^nC_2}x^{n-2}a^2 + {^nC_4}x^{n-4}a^4 + \dots$
माना $B$ सम पदों का योग है: $B = {^nC_1}x^{n-1}a + {^nC_3}x^{n-3}a^3 + {^nC_5}x^{n-5}a^5 + \dots$
हम जानते हैं कि $(x + a)^n = A + B$ और $(x - a)^n = A - B$.
इनका उपयोग करते हुए: $(A + B)^2 - (A - B)^2 = 4AB$.
अतः,$(x + a)^{2n} - (x - a)^{2n} = 4AB$.

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दी गई व्यंजक $(1 + x - 3x^2)^{2163}$ में $x = 1$ रखने पर,
गुणांकों का योग $= (1 + 1 - 3(1)^2)^{2163}$
$= (1 + 1 - 3)^{2163}$
$= (-1)^{2163}$
चूंकि $2163$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2163} = -1$ होगा।

(B) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$(1 - 3x + 10x^2)^n$ के विस्तार के लिए,गुणांकों का योग $a$ इस प्रकार है:
$a = (1 - 3(1) + 10(1)^2)^n = (1 - 3 + 10)^n = 8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$.
$(1 + x^2)^n$ के विस्तार के लिए,गुणांकों का योग $b$ इस प्रकार है:
$b = (1 + (1)^2)^n = (1 + 1)^n = 2^n$.
$a$ और $b$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = (2^n)^3 = b^3$.
अतः,$a = b^3$.

(B) किसी बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग सभी चरों को $1$ रखकर प्राप्त किया जाता है।
प्रथम विस्तार $(\alpha x^2 - 2x + 1)^{35}$ के लिए,गुणांकों का योग $(\alpha(1)^2 - 2(1) + 1)^{35} = (\alpha - 2 + 1)^{35} = (\alpha - 1)^{35}$ है।
दूसरे विस्तार $(x - \alpha y)^{35}$ के लिए,गुणांकों का योग $(1 - \alpha(1))^{35} = (1 - \alpha)^{35}$ है।
दिया गया है कि ये योग बराबर हैं: $(\alpha - 1)^{35} = (1 - \alpha)^{35}$।
चूंकि $35$ एक विषम पूर्णांक है,$(1 - \alpha)^{35} = -(\alpha - 1)^{35}$।
अतः,$(\alpha - 1)^{35} = -(\alpha - 1)^{35}$,जिसका अर्थ है $2(\alpha - 1)^{35} = 0$।
इसलिए,$(\alpha - 1)^{35} = 0$,जिससे $\alpha - 1 = 0$,अर्थात $\alpha = 1$।

(B) द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए:
$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$
दोनों पक्षों से $nx + 1$ घटाने पर:
$(1 + x)^n - nx - 1 = \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$
$x^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1 + x)^n - nx - 1 = x^2 \left[ \frac{n(n - 1)}{2!} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x + \dots \right]$
अतः,यह व्यंजक $x^2$ से विभाज्य है।

(D) दिया गया व्यंजक $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ है।
हम $2\binom{n}{r-1}$ को $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक $\left[ \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} \right] + \left[ \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2} \right]$ हो जाता है।
पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1}$.
पुनः इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \binom{n+2}{r}$.

(D) दिया गया है $(1 - y)^m(1 + y)^n = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
द्विपद का विस्तार करने पर:
$(1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots) = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
$y$ का गुणांक तुलना करने पर:
$a_1 = n - m = 10 \implies n = m + 10$
$y^2$ का गुणांक तुलना करने पर:
$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - nm + \frac{m(m-1)}{2} = 10$
$n^2 - n - 2nm + m^2 - m = 20$
$(n - m)^2 - (n + m) = 20$
चूँकि $n - m = 10$,इसलिए $(10)^2 - (m + 10 + m) = 20$
$100 - 2m - 10 = 20$
$90 - 2m = 20$
$2m = 70 \implies m = 35$
$n = 35 + 10 = 45$
अतः,$(m, n) = (35, 45)$.

(A) माना $x = (\sqrt{3} + 1)^{2n}$ और $y = (\sqrt{3} - 1)^{2n}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\sqrt{3} + 1)^{2n} - (\sqrt{3} - 1)^{2n}$ का विस्तार करने पर यह एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

(C) माना $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^5 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^5$.
द्विपद विस्तार सूत्र $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \dots]$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3(\sqrt{x^3-1})^2 + \binom{5}{4}x(\sqrt{x^3-1})^4]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^3(x^3-1) + 5x(x^3-1)^2]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x(x^6 - 2x^3 + 1)]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$
$f(x) = 10x^7 + 20x^6 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$.
विषम घात वाले पद $10x^7$,$2x^5$,$-20x^3$,और $10x$ हैं।
इन पदों के गुणांकों का योग $10 + 2 - 20 + 10 = 2$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^n$.
हम जानते हैं कि $x=1$ पर $f(x)$ का $k$-वां अवकलज $f^k(1) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{f^k(1)}{k!}$.
चूंकि $\frac{f^k(1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - ...... + (-1)^n \binom{n}{n}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$.
$x=1$ रखने पर,हमें $(1-1)^n = 0^n = 0$ प्राप्त होता है (जहाँ $n \ge 1$)।
अतः,मान $0$ है।

(D) हमें $N \pmod{1000}$ ज्ञात करना है,जहाँ $N = 7^{100} - 3^{100}$ है।
$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ के रूप में लिखने पर।
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए: $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$।
यहाँ $n=100, x=5, y=2$ है।
प्रत्येक पद में $5^k$ का एक गुणनखंड है जहाँ $k \ge 1$ है। विशेष रूप से,$k \ge 3$ के लिए,$5^k$,$125$ का गुणज है। $2^3=8$ के साथ मिलकर,ये पद $1000$ के गुणज बन जाते हैं।
पहला पद $2 \cdot 100 \cdot 5^{99} \cdot 2 = 400 \cdot 5^{99} = 50000 \cdot 5^{96}$ है,जो $1000$ का गुणज है।
अतः,$N \equiv 0 \pmod{1000}$,जिसका अर्थ है कि अंतिम तीन अंक $000$ हैं।