General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(A) $(x+1)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $(k+1)^{th}$ પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(r-1)^{th}$ પદ $T_{r-1} = {^nC_{r-2}} x^{n-r+2}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^nC_{r-2}}$ છે.
$r^{th}$ પદ $T_r = {^nC_{r-1}} x^{n-r+1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^nC_{r-1}}$ છે.
$(r+1)^{th}$ પદ $T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^nC_r}$ છે.
સહગુણકોનો ગુણોત્તર $1:3:5$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{3}{5}$.
$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{3}$ પરથી,$3r-3 = n-r+2$,એટલે કે $n-4r+5=0$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{5}$ પરથી,$5r = 3n-3r+3$,એટલે કે $3n-8r+3=0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા $2n-8r+10=0$ મળે. સમીકરણ $2$ માંથી આ બાદ કરતા $n-7=0$ મળે,તેથી $n=7$.
$n=7$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $7-4r+5=0$ $\Rightarrow 4r=12$ $\Rightarrow r=3$.
આમ,$n=7$ અને $r=3$.

$(a+b)^{m}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ એ $T_{r+1} = {}^{m}C_{r} a^{m-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણ માટે,$x^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
સહગુણક $= {}^{2n}C_{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ ........... $(1)$
$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણ માટે,$x^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
સહગુણક $= {}^{2n-1}C_{n} = \frac{(2n-1)!}{n!(2n-1-n)!} = \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}$
અંશ અને છેદને $2n$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2n \cdot (2n-1)!}{2n \cdot n!(n-1)!} = \frac{(2n)!}{2 \cdot n! \cdot n!} = \frac{1}{2} \left[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \right]$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
${}^{2n}C_{n} = 2 \cdot {}^{2n-1}C_{n}$
આમ,$(1+x)^{2n}$ માં $x^{n}$ નો સહગુણક એ $(1+x)^{2n-1}$ માં $x^{n}$ ના સહગુણક કરતા બમણો છે.

(A) $\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{6}C_{r} \left(\frac{3}{2} x^{2}\right)^{6-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} \left(\frac{3}{2}\right)^{6-r} (x^{2})^{6-r} (-1)^{r} \left(\frac{1}{3}\right)^{r} (x^{-1})^{r}$.
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} \frac{3^{6-r}}{2^{6-r}} \frac{(-1)^{r}}{3^{r}} x^{12-3r}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $12-3r = 0$,જે $r = 4$ આપે છે.
$r=4$ મૂકતા:
$T_{5} = {}^{6}C_{4} \frac{3^{2}}{2^{2}} \frac{1}{3^{4}} = 15 \times \frac{9}{4} \times \frac{1}{81} = \frac{5}{12}$.

(N/A) અહીં $2n$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં માત્ર એક જ મધ્યમ પદ છે,જે $(\frac{2n}{2}+1)^{\text{th}}$ પદ એટલે કે $(n+1)^{\text{th}}$ પદ છે.
$(n+1)^{\text{th}}$ પદ $^{2n}C_{n}x^{n}$ છે. તેથી $x^{n}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{n}$ છે.
તે જ રીતે,$(2n-1)$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં બે મધ્યમ પદો છે,જે $(\frac{2n-1+1}{2})^{\text{th}}$ અને $(\frac{2n-1+1}{2}+1)^{\text{th}}$ પદ એટલે કે $n^{\text{th}}$ અને $(n+1)^{\text{th}}$ પદ છે.
આ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે $^{2n-1}C_{n-1}$ અને $^{2n-1}C_{n}$ છે.
નિત્યસમ $^{n}C_{r-1} + ^{n}C_{r} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{2n-1}C_{n-1} + ^{2n-1}C_{n} = ^{2n}C_{n}$.
આમ,$(1+x)^{2n}$ ના મધ્યમ પદનો સહગુણક એ $(1+x)^{2n-1}$ ના બે મધ્યમ પદોના સહગુણકોના સરવાળા બરાબર છે.

$(x+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $(n+1)$ પદો હોય છે.
અંતથી $r^{\text{th}}$ પદ શોધવા માટે,આપણે પેટર્ન જોઈએ:
અંતથી $1^{\text{st}}$ પદ એ $(n+1)^{\text{th}}$ પદ છે.
અંતથી $2^{\text{nd}}$ પદ એ $n^{\text{th}}$ પદ છે.
અંતથી $3^{\text{rd}}$ પદ એ $(n-1)^{\text{th}}$ પદ છે.
સામાન્ય રીતે,અંતથી $r^{\text{th}}$ પદ એ શરૂઆતથી $(n+1)-(r-1) = (n-r+2)^{\text{th}}$ પદ છે.
$(x+a)^{n}$ નું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = ^{n}C_{k} x^{n-k} a^{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(n-r+2)^{\text{th}}$ પદ માટે,આપણે $k+1 = n-r+2$ લઈએ,જે $k = n-r+1$ આપે છે.
સામાન્ય પદના સૂત્રમાં $k = n-r+1$ મૂકતા:
$T_{n-r+2} = ^{n}C_{n-r+1} x^{n-(n-r+1)} a^{n-r+1} = ^{n}C_{n-r+1} x^{r-1} a^{n-r+1}$.

(A) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $\left(x^{1/3} + \frac{1}{2x^{1/3}}\right)^{18}$ માટે:
$T_{r+1} = ^{18}C_r (x^{1/3})^{18-r} \left(\frac{1}{2x^{1/3}}\right)^r$
$T_{r+1} = ^{18}C_r \cdot x^{\frac{18-r}{3}} \cdot \frac{1}{2^r \cdot x^{r/3}}$
$T_{r+1} = ^{18}C_r \cdot \frac{1}{2^r} \cdot x^{\frac{18-2r}{3}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{18-2r}{3} = 0 \implies 18-2r = 0 \implies r = 9$.
$r=9$ મૂકતા,સ્વતંત્ર પદ:
$T_{9+1} = ^{18}C_9 \cdot \frac{1}{2^9} = ^{18}C_9 \cdot 2^{-9}$.

(A) $(x - \frac{3}{x^2})^m$ ના પ્રથમ ત્રણ પદોના સહગુણકો $^mC_0, -3(^mC_1)$,અને $9(^mC_2)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ: $^mC_0 - 3(^mC_1) + 9(^mC_2) = 559$.
કિંમતો મૂકતા: $1 - 3m + \frac{9m(m-1)}{2} = 559$.
$2$ વડે ગુણતા: $2 - 6m + 9m^2 - 9m = 1118$.
$9m^2 - 15m - 1116 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $3m^2 - 5m - 372 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(m - 12)(3m + 31) = 0$.
$m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$m = 12$.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = ^{12}C_r x^{12-r} (-3)^r x^{-2r} = ^{12}C_r (-3)^r x^{12-3r}$ છે.
$x^3$ ધરાવતા પદ માટે,$12 - 3r = 3$ લેતા,$r = 3$ મળે.
માગેલ પદ $^{12}C_3 (-3)^3 x^3 = 220 \times (-27) x^3 = -5940x^3$ છે.

(A) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(r-5)^{th}$ પદ $T_{r-5} = T_{(r-6)+1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^{34}C_{r-6}}$ છે.
$(2r-1)^{th}$ પદ $T_{2r-1} = T_{(2r-2)+1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^{34}C_{2r-2}}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે,તેથી ${^{34}C_{r-6}} = {^{34}C_{2r-2}}$.
ગુણધર્મ ${^nC_a} = {^nC_b} \implies a = b$ અથવા $a + b = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $r-6 = 2r-2 \implies r = -4$ (શક્ય નથી કારણ કે $r$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ).
કિસ્સો $2$: $(r-6) + (2r-2) = 34 \implies 3r - 8 = 34 \implies 3r = 42 \implies r = 14$.
આમ,$r = 14$.

(A) $(x+y)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} y^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(3+ax)^{9}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{9}C_{r} (3)^{9-r} (ax)^{r} = {}^{9}C_{r} (3)^{9-r} a^{r} x^{r}$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$r=2$ લેતા:
$x^{2}$ નો સહગુણક $= {}^{9}C_{2} (3)^{9-2} a^{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} (3)^{7} a^{2} = 36 \times 3^{7} a^{2}$.
$x^{3}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$r=3$ લેતા:
$x^{3}$ નો સહગુણક $= {}^{9}C_{3} (3)^{9-3} a^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} (3)^{6} a^{3} = 84 \times 3^{6} a^{3}$.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
$84 \times 3^{6} a^{3} = 36 \times 3^{7} a^{2}$.
બંને બાજુ $12 \times 3^{6} a^{2}$ વડે ભાગતા:
$7a = 3 \times 3 = 9$.
તેથી,$a = 9/7$.

(A) ધારો કે વિસ્તરણ $(a + b)^n$ છે. શરૂઆતથી $r$-મું પદ $T_r = {\,^nC_{r-1}} a^{n-r+1} b^{r-1}$ છે.
શરૂઆતથી પાંચમું પદ $T_5 = {\,^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4 = {\,^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1})$ છે.
અંતથી પાંચમું પદ એ $(b+a)^n$ ના વિસ્તરણમાં શરૂઆતથી પાંચમું પદ છે,જે $T'_5 = {\,^nC_4} (3^{-1/4})^{n-4} (2^{1/4})^4 = {\,^nC_4} (3^{-1/4})^{n-4} (2^1)$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T'_5} = \sqrt{6} : 1$ પરથી:
$\frac{2^{(n-4)/4}}{2^1} \cdot \frac{3^{(n-4)/4}}{3^1} = 6^{1/2}$.
$6^{(n-8)/4} = 6^{1/2}$.
$\frac{n-8}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 10$.

(A) $(3^{1/4} + 5^{1/8})^{60}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{60}C_r (3^{1/4})^{60-r} (5^{1/8})^r = {}^{60}C_r (3)^{(60-r)/4} (5)^{r/8}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ જેથી $0 \leq r \leq 60$ થાય.
$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56$ છે.
કુલ $8$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $60 + 1 = 61$ છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $n = 61 - 8 = 53$ છે.
આપણે $(n - 1) = 53 - 1 = 52$ માટે વિભાજ્યતા તપાસવાની છે.
કારણ કે $52 = 26 \times 2$,તેથી $(n - 1)$ એ $26$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ છે.
ચોથા પદ $(T_4)$ માટે,$r=3$ લેતા:
$T_4 = {}^{7}C_{3} (x)^{7-3} (x^{\log_{2} x})^{3} = 4480$.
${}^{7}C_{3} = 35$ હોવાથી:
$35 \cdot x^{4} \cdot x^{3 \log_{2} x} = 4480$.
$35$ વડે ભાગતા:
$x^{4 + 3 \log_{2} x} = 128 = 2^{7}$.
ધારો કે $t = \log_{2} x$,તો $x = 2^t$. સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2^t)^{4 + 3t} = 2^{7} \Rightarrow t(4 + 3t) = 7$.
$3t^{2} + 4t - 7 = 0$.
$(3t + 7)(t - 1) = 0$.
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = -7/3$.
જો $t = 1$,તો $\log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$.
$x \in N$ હોવાથી,$x = 2$ મળે છે.

(B) $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \alpha^{10-r} \beta^{r} x^{\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6}}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાત શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6} = 0 \Rightarrow r = 4$.
સ્વતંત્ર પદ $T_{5} = {}^{10}C_{4} \alpha^{6} \beta^{4} = 210 \alpha^{6} \beta^{4}$ છે.
$\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ આપેલ છે. $AM \geq GM$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16}}$
$1 \geq \frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16} \Rightarrow \alpha^{6} \beta^{4} \leq 16$.
$T_{5}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $210 \times 16 = 3360$ છે.
$10k = 3360$ હોવાથી,$k = 336$ મળે.

(D) $(1+\frac{1}{x})^n$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k x^{-k}$ છે.
અહીં ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો ${}^{n}C_{r-1}, {}^{n}C_r, {}^{n}C_{r+1}$ નો ગુણોત્તર $2:5:12$ આપેલ છે.
$\frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{2}{5} \Rightarrow 7r = 2n + 2$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r+1}} = \frac{5}{12} \Rightarrow 17r = 5n - 12$ (સમીકરણ $2$).
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$n = 118$ મળે છે.

(D) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{9}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ:
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2} x^{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^{r} x^{18-3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$18 - 3r = 0 \implies r = 6$
$k$ શોધવા માટે $r = 6$ મૂકતા:
$k = {}^{9}C_{6} \left(\frac{3}{2}\right)^{3} \left(-\frac{1}{3}\right)^{6} = \frac{7}{18}$
તેથી,$18k = 18 \times \frac{7}{18} = 7$.

(B) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^nC_r} (3)^{\frac{n-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ છે,જ્યાં $0 \le r \le n$.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,ઘાતાંક $\frac{n-r}{2}$ અને $\frac{r}{8}$ બંને અઋણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 8, 16, \dots, 8k\}$.
વળી,$\frac{n-r}{2}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(n-r)$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,$n$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
અહીં $33$ પૂર્ણાંક પદો હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 8, 16, \dots, 8 \times 32$ છે.
$r$ ની મહત્તમ કિંમત $8 \times 32 = 256$ છે.
$r \le n$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $256$ મળે છે.

(C) ધારો કે $N = n+5.$
$(1+x)^N$ ના વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકો $^N C_{r-1}, ^N C_r,$ અને $^N C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^N C_{r-1} : ^N C_r : ^N C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ છે.
$\frac{^N C_r}{^N C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ પરથી,
$\frac{N-r+1}{r} = 2 \Rightarrow N+1 = 3r. \quad (1)$
$\frac{^N C_{r+1}}{^N C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ પરથી,
$\frac{N-r}{r+1} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5N-12r = 7. \quad (2)$
$r = \frac{N+1}{3}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$5N - 4(N+1) = 7 \Rightarrow N = 11.$
તેથી $r = 4.$
વિસ્તરણ $(1+x)^{11}$ છે. સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદ છે,જે $^{11} C_6 = 462$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $(2x^2 + 3x + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$.
આ નિત્યસમમાં $x$ ને $\frac{2}{x}$ વડે બદલતા:
$(2(\frac{2}{x})^2 + 3(\frac{2}{x}) + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r (\frac{2}{x})^r$.
$\frac{2^{10}(2x^2 + 3x + 4)^{10}}{x^{20}} = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{-r}$.
$2^{10} \sum_{r=0}^{20} a_r x^r = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{20-r}$.
$\frac{a_7}{a_{13}}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે,બંને બાજુ $x^7$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા.
$L$.$H$.$S$. પર,$x^7$ નો સહગુણક $2^{10} a_7$ છે.
$R$.$H$.$S$. પર,$20-r = 7$ લેતા $r = 13$ મળે છે,તેથી સહગુણક $a_{13} 2^{13}$ છે.
સરખાવતા: $2^{10} a_7 = a_{13} 2^{13}$.
તેથી,$\frac{a_7}{a_{13}} = \frac{2^{13}}{2^{10}} = 2^3 = 8$.

(C) આપણી પાસે $(1+x+x^{2}+x^{3})^{6} = ((1+x)(1+x^{2}))^{6} = (1+x)^{6}(1+x^{2})^{6}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x)^{6} = \sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} x^{r}$ અને $(1+x^{2})^{6} = \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{t} x^{2t}$.
ગુણાકાર $\sum_{r=0}^{6} \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{r} {}^{6}C_{t} x^{r+2t}$ થાય છે.
$x^{4}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$r+2t = 4$ લઈએ. શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો $(r, t)$ નીચે મુજબ છે:

$r$	$t$
$0$	$2$
$2$	$1$
$4$	$0$

સહગુણક ${}^{6}C_{0} \times {}^{6}C_{2} + {}^{6}C_{2} \times {}^{6}C_{1} + {}^{6}C_{4} \times {}^{6}C_{0}$ છે.
$= (1 \times 15) + (15 \times 6) + (15 \times 1) = 15 + 90 + 15 = 120$.

(C) $\left( x^{m} + x^{-2} \right)^{22}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{22}C_{r} (x^{m})^{22-r} (x^{-2})^{r} = {}^{22}C_{r} x^{22m - mr - 2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ના સહગુણક માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $1$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$22m - mr - 2r = 1 \implies r(m+2) = 22m - 1$.
આપણને આપેલ છે કે સહગુણક $1540$ છે,તેથી ${}^{22}C_{r} = 1540$.
કારણ કે ${}^{22}C_{3} = 1540$,તેથી $r = 3$ અથવા $r = 19$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 3$,તો $3(m+2) = 22m - 1 \implies 3m + 6 = 22m - 1 \implies 19m = 7$,જે $m = \frac{7}{19}$ આપે છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
કિસ્સો $2$: જો $r = 19$,તો $19(m+2) = 22m - 1 \implies 19m + 38 = 22m - 1 \implies 3m = 39 \implies m = 13$.
આમ,પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ એ $13$ છે.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^{2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} x^{(10-r)/2} (-k)^{r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (-k)^{r} x^{(10-5r)/2}$
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-5r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 10$ $\Rightarrow r = 2$
$r = 2$ મુકતા:
$T_{3} = {}^{10}C_{2} (-k)^{2} = 405$
$45 \cdot k^{2} = 405$
$k^{2} = \frac{405}{45} = 9$
$|k| = \sqrt{9} = 3$

(B) આપેલ છે $(1+x+2x^2)^{20} = \sum_{k=0}^{40} a_k x^k$.
$f(x) = (1+x+2x^2)^{20}$ લો.
$f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = (1+1+2)^{20} = 4^{20} = 2^{40}$.
$f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{40} = (1-1+2)^{20} = 2^{20}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $f(1) - f(-1) = 2(a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) = 2^{40} - 2^{20}$.
તેથી,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{39} = \frac{2^{40} - 2^{20}}{2} = 2^{39} - 2^{19}$.
આપણને $a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = (a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) - a_{39}$ જોઈએ છે.
$a_{39}$ શોધવા માટે,$(1+x+2x^2)^{20}$ માં $x^{39}$ નો સહગુણક શોધો.
બહુપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$a_{39} = \frac{20!}{0! 1! 19!} (1)^0 (1)^1 (2)^{19} = 20 \times 2^{19}$.
આમ,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = 2^{39} - 2^{19} - 20 \times 2^{19} = 2^{39} - 21 \times 2^{19} = 2^{19}(2^{20} - 21)$.

(C) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} (\frac{a}{x^2})^r = {}^{n}C_{r} a^r x^{n-3r}$ છે.
ત્રીજા,ચોથા અને પાંચમા પદના સહગુણકો અનુક્રમે ${}^{n}C_{2} a^2$,${}^{n}C_{3} a^3$ અને ${}^{n}C_{4} a^4$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^{n}C_{2} a^2 : {}^{n}C_{3} a^3 : {}^{n}C_{4} a^4 = 12 : 8 : 3$ છે.
$\frac{{}^{n}C_{2} a^2}{{}^{n}C_{3} a^3} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ પરથી,$a(n-2) = 2$ મળે છે.
$\frac{{}^{n}C_{3} a^3}{{}^{n}C_{4} a^4} = \frac{8}{3}$ પરથી,$a(n-3) = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આ ઉકેલતા,$n=6$ અને $a=\frac{1}{2}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે $n-3r = 0$,તેથી $6-3r = 0 \implies r=2$.
તેથી પદ ${}^{6}C_{2} a^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{4} = 3.75$ છે.
નજીકનો પૂર્ણાંક $4$ છે.

(C) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
પ્રથમ પદ: $\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
બીજું પદ: $\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
બાદબાકી કરતા: $(x^{1/3}+1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$
પદાવલિ $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ બને છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 20 - 5r = 0$ $\Rightarrow r = 4$.
તેથી પદ ${}^{10}C_4 = 210$ થાય.

(B) $\left( tx^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (tx^{\frac{1}{5}})^{10-r} \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^r$ છે.
$t$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$t$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(10-r) - r = 0 \Rightarrow r = 5$.
તેથી,$t$ થી સ્વતંત્ર પદ $T_6 = {}^{10}C_5 (x^{\frac{1}{5}})^5 ((1-x)^{\frac{1}{10}})^5 = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$ છે.
ધારો કે $f(x) = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$. મહત્તમ મૂલ્ય માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = {}^{10}C_5 \left[ (1-x)^{1/2} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \right] = {}^{10}C_5 \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = {}^{10}C_5 \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $f(\frac{2}{3}) = {}^{10}C_5 (\frac{2}{3}) \sqrt{1-\frac{2}{3}} = {}^{10}C_5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10!}{3\sqrt{3}(5!)^2}$.

(C) $\left(\frac{x}{4}-\frac{12}{x^{2}}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{x}{4}\right)^{12-r} \left(-\frac{12}{x^{2}}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{1}{4}\right)^{12-r} (-1)^{r} (12)^{r} x^{12-3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$12-3r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ મુકતા:
$T_{5} = {}^{12}C_{4} \left(\frac{1}{4}\right)^{8} (-1)^{4} (12)^{4} = 495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}}$
આપેલ પદ $\left(\frac{3^{6}}{4^{4}}\right) k$ સાથે સરખાવતા:
$495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}} = \frac{3^{6}}{4^{4}} \times k$
$k = \frac{495}{3^{2}} = 55$

(C) $(x+y)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ અને $y=1$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,$(1+1)^{n} = 2^{n} = 4096$.
કારણ કે $2^{12} = 4096$,તેથી $n = 12$.
$(x+y)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક એ મધ્યમ પદનો સહગુણક છે,જે જ્યારે $n$ બેકી હોય ત્યારે $^{n}C_{n/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 12$ માટે,સૌથી મોટો સહગુણક $^{12}C_{6}$ છે.
$^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $y = (1-x)(1-x)^{100}(x^{2}+x+1)^{100}$
$(1-x)(1+x+x^{2}) = (1-x^{3})$ હોવાથી,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = (1-x)((1-x)(1+x+x^{2}))^{100} = (1-x)(1-x^{3})^{100}$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$y = (1-x^{3})^{100} - x(1-x^{3})^{100}$
આપણે $x^{256}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
$(1-x^{3})^{100}$ માં,સામાન્ય પદ $^{100}C_{r}(-1)^{r}(x^{3})^{r} = ^{100}C_{r}(-1)^{r}x^{3r}$ છે.
$x^{256}$ માટે,$3r = 256$ શક્ય નથી.
$-x(1-x^{3})^{100}$ માં,આપણે $(1-x^{3})^{100}$ માં $x^{255}$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
$3r = 255$ લેતા,$r = 85$ મળે છે.
પદ $-1 \times (^{100}C_{85}(-1)^{85}x^{255}) = -1 \times (^{100}C_{85} \times -1)x^{255} = ^{100}C_{85}x^{255}$ થાય.
$^{100}C_{85} = ^{100}C_{15}$ હોવાથી,સહગુણક $^{100}C_{15}$ છે.

(B) $(4^{1/4} + 5^{1/6})^{120}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (4^{1/4})^{120-r} (5^{1/6})^r$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{1/2})^{120-r} (5^{r/6})$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{60 - r/2}) (5^{r/6})$
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$r/2$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ (તેથી $r$ એ $2$ નો ગુણક છે) અને $r/6$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ (તેથી $r$ એ $6$ નો ગુણક છે).
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(2, 6) = 6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \leq r \leq 120$ આપેલ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 6, 12, \dots, 120$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 6$,અને $l = 120$.
પદોની સંખ્યા $n = 21$ મળે છે.

(D) $\left(2x^{r} + x^{-2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{10}C_{k} (2x^{r})^{10-k} (x^{-2})^{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $r(10-k) - 2k = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{2k}{10-k}$.
અચળ પદ ${}^{10}C_{k} \cdot 2^{10-k} = 180$ છે.
$k$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો તપાસતા જ્યાં $0 \le k \le 10$:
જો $k = 8$ હોય,તો ${}^{10}C_{8} \cdot 2^{10-8} = {}^{10}C_{2} \cdot 2^{2} = 45 \cdot 4 = 180$.
$r$ ના સમીકરણમાં $k = 8$ મૂકતા:
$r = \frac{2(8)}{10-8} = \frac{16}{2} = 8$.

(B) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
તેથી,પદાવલિ $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ બને છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
'$x$' થી સ્વતંત્ર પદ માટે ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
તેથી,સ્વતંત્ર પદ $T_5 = {}^{10}C_4 = 210$ થાય.

(C) $(1+x)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $\left(\frac{20}{2} + 1\right) = 11$ મું પદ છે.
તેનો સહગુણક $^{20}C_{10}$ છે.
$(1+x)^{19}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદો $\left(\frac{19+1}{2}\right) = 10$ મું અને $\left(\frac{19+1}{2} + 1\right) = 11$ મું પદ છે.
તેમના સહગુણકો $^{19}C_{9}$ અને $^{19}C_{10}$ છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો $^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}$ છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{19}C_{9} + ^{19}C_{10} = ^{20}C_{10}$ મળે.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{^{20}C_{10}}{^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}} = \frac{^{20}C_{10}}{^{20}C_{10}} = 1$ છે.

(D) $(2^{1/3} + 3^{1/4})^{12}$ ના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $T_{r+1} = ^{12}C_{r} (2^{1/3})^{12-r} (3^{1/4})^{r}$ છે,જ્યાં $0 \le r \le 12$.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{12-r}{3}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ $(r \in \{0, 3, 6, 9, 12\})$.
વળી,$\frac{r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ $(r \in \{0, 4, 8, 12\})$.
$r$ માટે સામાન્ય કિંમતો $r = 0$ અને $r = 12$ છે.
$r = 0$ માટે: $T_{1} = ^{12}C_{0} (2^{1/3})^{12} (3^{1/4})^{0} = 1 \times 2^{4} \times 1 = 16$.
$r = 12$ માટે: $T_{13} = ^{12}C_{12} (2^{1/3})^{0} (3^{1/4})^{12} = 1 \times 1 \times 3^{3} = 27$.
આ સંમેય પદોનો સરવાળો $16 + 27 = 43$ થાય છે.

(A) $(x \sin \alpha + a \frac{\cos \alpha}{x})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x \sin \alpha)^{10-r} (a \frac{\cos \alpha}{x})^r$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $10-r-r = 0$,જેનો અર્થ છે $r = 5$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ $T_6 = {}^{10}C_5 (\sin \alpha)^5 (a \cos \alpha)^5 = {}^{10}C_5 a^5 (\sin \alpha \cos \alpha)^5$ છે.
નિત્યસમ $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_6 = {}^{10}C_5 \frac{a^5}{2^5} (\sin 2\alpha)^5$ મળે.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\sin 2\alpha = 1$ હોય,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32}$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{10!}{(5!)^2} = {}^{10}C_5$ છે,તેથી ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32} = {}^{10}C_5$.
આમ,$\frac{a^5}{32} = 1$,જેનો અર્થ છે $a^5 = 32$,તેથી $a = 2$.

(B) $(2+\frac{x}{3})^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^{r} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^{r} x^{r}$ છે.
$x^{7}$ નો સહગુણક ${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7}$ છે.
$x^{8}$ નો સહગુણક ${}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$ છે.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7} = {}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$.
બંને બાજુ ${}^{n}C_{7} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{7}$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} \cdot \frac{1}{3}$.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} = \frac{n-8+1}{8} = \frac{n-7}{8}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = \frac{n-7}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n-7}{24}$.
$n-7 = 48 \Rightarrow n = 55$.

(A) $(x^{2}+\frac{1}{bx})^{11}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x^{2})^{11-r}(\frac{1}{bx})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{22-3r}$ છે.
$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$ મળે.
$x^{7}$ નો સહગુણક ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5}$ છે.
$(x-\frac{1}{bx^{2}})^{11}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x)^{11-r}(-\frac{1}{bx^{2}})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot (-1)^{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{11-3r}$ છે.
$11-3r = -7$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$ મળે.
$x^{-7}$ નો સહગુણક ${}^{11}C_{6} \cdot (-1)^{6} \cdot b^{-6} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$.
${}^{11}C_{5} = {}^{11}C_{6}$ હોવાથી,$\frac{1}{b^{5}} = \frac{1}{b^{6}}$ મળે.
આમ,$b = 1$.

(B) ધારો કે $a = 3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}} = \sqrt{25^{x-1}+7}$ અને $b = 3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)} = (5^{x-1}+1)^{-1/8}$.
વિસ્તરણ $(a+b)^{10}$ છે. નવમું પદ $T_9 = {}^{10}C_8 a^2 b^8$ છે.
કિંમતો મૂકતા: ${}^{10}C_8 = 45$,$a^2 = 25^{x-1}+7$,અને $b^8 = (5^{x-1}+1)^{-1}$.
તેથી,$45 \times \frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 180$.
$45$ વડે ભાગતા,$\frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 4$.
ધારો કે $t = 5^{x-1}$. તો $\frac{t^2+7}{t+1} = 4$.
$t^2+7 = 4t+4 \Rightarrow t^2-4t+3 = 0$.
$(t-1)(t-3) = 0$,તેથી $t=1$ અથવા $t=3$.
જો $5^{x-1} = 1$,તો $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
જો $5^{x-1} = 3$,તો $x-1 = \log_5 3 \Rightarrow x = 1 + \log_5 3$.

(D) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r 2^{10-r} 3^r x^{30-4r}$ છે.
ધન યુગ્મ ઘાતો માટે $30-4r > 0$ અને $30-4r$ યુગ્મ હોવું જોઈએ,તેથી $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
કુલ સરવાળો $5^{10}$ માંથી $r=8, 9, 10$ માટેના પદો બાદ કરતા,આપણને $\beta \cdot 3^9$ મળે છે.
ગણતરી કરતા $\beta = 83$ મળે છે.

(B) $(x^{n} + 2x^{-5})^{7}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{7}C_{r} (x^{n})^{7-r} (2x^{-5})^{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{n(7-r) - 5r}$ છે.
સહગુણકો $C_{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
આપણને આપેલ છે કે $x$ ની ધન ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો $939$ છે.
સહગુણકોની ગણતરી:
$r=0: C_{0} = 1, \text{ઘાત}: 7n$
$r=1: C_{1} = 14, \text{ઘાત}: 6n-5$
$r=2: C_{2} = 84, \text{ઘાત}: 5n-10$
$r=3: C_{3} = 280, \text{ઘાત}: 4n-15$
$r=4: C_{4} = 560, \text{ઘાત}: 3n-20$
$r=5: C_{5} = 672, \text{ઘાત}: 2n-25$
સરવાળો: $1 + 14 + 84 + 280 + 560 = 939$.
આનો અર્થ એ છે કે $r=4$ માટે ઘાત $\geq 0$ અને $r=5$ માટે ઘાત $< 0$ હોવી જોઈએ.
$3n - 20 \geq 0 \implies n \geq 6.66$.
$2n - 25 < 0 \implies n < 12.5$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
સરવાળો = $7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 57$.

(A) $\left(\frac{x^{1/2}}{5^{1/4}} + \frac{5^{1/2}}{x^{1/3}}\right)^{60}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{60}C_r \left(x^{1/2} \cdot 5^{-1/4}\right)^{60-r} \left(5^{1/2} \cdot x^{-1/3}\right)^r$
$x^{10}$ ના સહગુણક માટે,$x$ નો ઘાતાંક $10$ લેતા:
$\frac{60-r}{2} - \frac{r}{3} = 10 \Rightarrow r = 24$
સહગુણક $= {}^{60}C_{24} \cdot 5^{24/2 - 36/4} = {}^{60}C_{24} \cdot 5^3$
લેજેન્ડ્રેના સૂત્ર મુજબ,${}^{60}C_{24}$ માં $5$ નો ઘાતાંક $14 - (4+8) = 2$ છે.
તેથી,$5$ નો કુલ ઘાતાંક $2 + 3 = 5$ થાય.
આમ,$k = 5$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1-x^{2}+3x^{3})(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ છે.
$(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2}x^{3})^{11-r}(-\frac{1}{5x^{2}})^{r}$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2})^{11-r}(-\frac{1}{5})^{r}x^{33-5r}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે:
$1$. $1 \times x^{0}$ નો સહગુણક.
$2$. $-x^{2} \times x^{-2}$ નો સહગુણક.
$3$. $3x^{3} \times x^{-3}$ નો સહગુણક.
$x^{-2}$ માટે $33-5r = -2 \Rightarrow r = 7$ મળે છે.
તેથી,$x$ થી સ્વતંત્ર પદ $-1 \times [{}^{11}C_{7}(\frac{5}{2})^{4}(-\frac{1}{5})^{7}] = \frac{33}{200}$ થાય છે.

(C) $\left(2x^3 + \frac{3}{x^k}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x^3)^r \left(\frac{3}{x^k}\right)^{12-r}$ છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $3r - k(12-r) = 0$,એટલે કે $k = \frac{3r}{12-r}$.
$r$ ની શક્ય કિંમતો માટે $k$ ની કિંમતો $r=6$ અને $r=8$ મળે છે,જેના માટે અચળ પદમાં $2^8$ નો ગુણાંક મળે છે.
આમ,$k$ ની આવી $2$ કિંમતો શક્ય છે.

(C) $(2x^{1/5} - x^{-1/5})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{15}C_k (2x^{1/5})^{15-k} (-x^{-1/5})^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{k+1} = {}^{15}C_k \cdot 2^{15-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{(15-2k)/5}$.
$x^{-1}$ ના સહગુણક માટે,$(15-2k)/5 = -1 \implies k = 10$.
તેથી,$m = {}^{15}C_{10} \cdot 2^5 = {}^{15}C_5 \cdot 2^5$.
$x^{-3}$ ના સહગુણક માટે,$(15-2k)/5 = -3 \implies k = 15$.
તેથી,$n = {}^{15}C_{15} \cdot 2^0 \cdot (-1)^{15} = -1$.
આપેલ છે કે $mn^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$,તેથી $({}^{15}C_5 \cdot 2^5) \cdot (-1)^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
${}^{15}C_5 \cdot 2^5 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
સરખાવતા,$r = 5$ મળે છે.

(A) $\left( t^{2} x^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (t^{2} x^{\frac{1}{5}})^{15-r} \cdot \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} t^{30-3r} x^{\frac{15-r}{5}} (1-x)^{\frac{r}{10}}$
$t$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$t$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$30 - 3r = 0 \implies r = 10$
$r = 10$ મૂકતા,$t$ થી સ્વતંત્ર પદ:
$T_{11} = {}^{15}C_{10} x(1-x) = 3003 x(1-x)$
$f(x) = x(1-x)$ ની મહત્તમ કિંમત $x = \frac{1}{2}$ પર મળે છે,જે $\frac{1}{4}$ છે.
તેથી,$K = 3003 \times \frac{1}{4} = 750.75$
$8K = 8 \times 750.75 = 6006$

(A) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} (6x)^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} x^{r}$ છે.
$x = \frac{3}{2}$ માટે,$T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} (\frac{3}{2})^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n+r}$ થાય.
$T_{9}$ સૌથી મોટું પદ હોવાથી,$T_{9} \ge T_{10}$ અને $T_{9} \ge T_{8}$ થાય.
$\frac{T_{9}}{T_{10}} \ge 1$ પરથી,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{9} 3^{n+9}} \ge 1 \implies n \le 11$ મળે.
$\frac{T_{9}}{T_{8}} \ge 1$ પરથી,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{7} 3^{n+7}} \ge 1 \implies n \ge 9.66$ મળે.
આમ,ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક $n_{0} = 10$ છે.
$n=10$ માટે,વિસ્તરણ $(3+6x)^{10}$ છે.
$x^{6}$ નો સહગુણક ${}^{10}C_{6} 3^{4} 6^{6} = 210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}$ છે.
$x^{3}$ નો સહગુણક ${}^{10}C_{3} 3^{7} 6^{3} = 120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}$ છે.
ગુણોત્તર $k = \frac{210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}}{120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}} = 14$ મળે.
તેથી,$k + n_{0} = 14 + 10 = 24$.

(A) $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$ નું મધ્યમ પદ $3^{rd}$ પદ છે: $T_{3} = {}^{4}C_{2} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2} (\beta x)^{2} = \beta^{2} x^{2}$. સહગુણક $\beta^{2}$ છે.
$(1-3 \beta x)^{2}$ નું મધ્યમ પદ $2^{nd}$ પદ છે: $T_{2} = {}^{2}C_{1} (1)^{1} (-3 \beta x)^{1} = -6 \beta x$. સહગુણક $-6 \beta$ છે.
$\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ નું મધ્યમ પદ $4^{th}$ પદ છે: $T_{4} = {}^{6}C_{3} (1)^{3} \left(-\frac{\beta}{2} x\right)^{3} = -\frac{5}{2} \beta^{3} x^{3}$. સહગુણક $-\frac{5}{2} \beta^{3}$ છે.
આ પદો $A.P.$ માં હોવાથી,$2(-6 \beta) = \beta^{2} - \frac{5}{2} \beta^{3}$.
$\beta > 0$ હોવાથી,$\beta = \frac{12}{5}$.
$d = -6 \beta - \beta^{2} = -\frac{504}{25}$.
$50 - \frac{2d}{\beta^{2}} = 50 + 7 = 57$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(\sqrt[4]{2} + 3^{-1/4})^n$ છે.
શરૂઆતથી $5$-મું પદ $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4$ છે.
અંતથી $5$-મું પદ એ શરૂઆતથી $(n-3)$-મું પદ છે,જે $T_{n-3} = {^nC_4} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^{n-4}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T_{n-3}} = 6^{(n-8)/4}$ છે.
આપેલ છે કે $6^{(n-8)/4} = 6^{1/4}$,તેથી $n-8 = 1$,એટલે કે $n = 9$.
શરૂઆતથી $6$-ઠ્ઠું પદ $T_6 = {^9C_5} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^5 = \frac{84}{3^{1/4}}$ છે.
આમ,$\alpha = 84$.

(C) આપણી પાસે $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$ છે.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે $A_n = \binom{n}{n/2}$.
તેથી $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{\binom{n}{n/2}}{\binom{n-1}{(n-2)/2}} = 2$.
$1.9 \leq 2 \leq 2$ હોવાથી,$n$ ના તમામ બેકી મૂલ્યો શરતનું પાલન કરે છે. આવા $10$ મૂલ્યો છે $(n = 2, 4, \ldots, 20)$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $A_n = \binom{n}{(n-1)/2}$.
તેથી $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{2n}{n+1}$.
શરત $1.9 \leq \frac{2n}{n+1} \leq 2$ માટે,$n \geq 19$ મળે છે.
$n \in \{1, 3, \ldots, 19\}$ માંથી,માત્ર $n = 19$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
કુલ મૂલ્યો $10 + 1 = 11$ છે.

(C) વિસ્તરણ $\left(x^{1/2} + \frac{1}{2x^{1/4}}\right)^n$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^n C_r \cdot 2^{-r} \cdot x^{\frac{2n-3r}{4}}$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદોના સહગુણકો $T_1 = { }^n C_0$,$T_2 = \frac{{ }^n C_1}{2}$,અને $T_3 = \frac{{ }^n C_2}{4}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1, T_2, T_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2T_2 = T_1 + T_3$.
$n = 1 + \frac{n(n-1)}{8} \Rightarrow n^2 - 9n + 8 = 0$.
$(n-1)(n-8) = 0$. $n=8$ લેતા.
$x$ નો ઘાતાંક $\frac{16-3r}{4} = 4 - \frac{3r}{4}$ છે.
પૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે $r = 0, 4, 8$ શક્ય છે.
આમ,$x$ ના પૂર્ણાંક ઘાતાંક ધરાવતા $3$ પદો છે.

(B) ધારો કે $f(k) = \frac{(\sqrt{101})^k}{k!}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{f(k)}{f(k-1)} = \frac{\sqrt{101}}{k}$ તપાસીએ છીએ.
આપણે $k$ શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $f(k) \ge f(k-1)$,જેનો અર્થ છે $\frac{\sqrt{101}}{k} \ge 1$,અથવા $k \le \sqrt{101}$.
કારણ કે $\sqrt{101} \approx 10.05$,શરત $k \le 10.05$ એ $k = 1, 2, \dots, 10$ માટે સાચી છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(1) < f(2) < \dots < f(10)$.
$k > 10$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{101}}{k} < 1$ છે,તેથી $f(k) < f(k-1)$.
આમ,શ્રેણી $k=10$ સુધી વધે છે અને પછી ઘટે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $k = 10$ પર મળે છે.