General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(B) $(p+q)^{n}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} p^{n-k} q^{k}$ છે.
આપેલ છે કે $r$-મું પદ અને $(r+1)$-મું પદ સમાન છે,તેથી $T_{r} = T_{r+1}$.
$T_{r} = {}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1}$ અને $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$.
તેમને સરખાવતા: ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$.
બંને બાજુ ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r} q^{r-1}$ વડે ભાગતા,આપણને $p = \frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} q$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$p = \frac{n-r+1}{r} q$ મળે.
ગોઠવતા $pr = (n-r+1)q = nq - rq + q = q(n+1) - rq$ મળે.
આમ,$pr + rq = q(n+1)$,જેનો અર્થ છે કે $r(p+q) = q(n+1)$.
તેથી,$\frac{q(n+1)}{r(p+q)} = 1$.

(A) આપણને આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = 576$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$.
$x$ વડે ગુણતા,$\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k+1} = x(1+x)^{n}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} x^{k} = (1+x)^{n} + nx(1+x)^{n-1}$.
$x=1$ મુકતા,$\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = (1+1)^{n} + n(1)(1+1)^{n-1} = 2^{n} + n \cdot 2^{n-1}$.
આનું સાદું રૂપ $2^{n-1}(2+n) = 576$ થાય.
આપણે $576 = 64 \times 9 = 2^{6} \times 9 = 2^{7-1}(7+2)$ લખી શકીએ.
$2^{n-1}(n+2) = 2^{7-1}(7+2)$ ની સરખામણી કરતા,$n=7$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $ \left(\frac{10}{x}+\frac{x}{10}\right)^{10} $ છે.
અહીં,ઘાત $ n = 10 $ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,વિસ્તરણમાં પદોની કુલ સંખ્યા $ n + 1 = 11 $ છે.
મધ્યમ પદ $ \left(\frac{n}{2} + 1\right) $-મું પદ છે,એટલે કે $ \left(\frac{10}{2} + 1\right) = 6 $-ઠું પદ.
$ (a+b)^n $ ના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $ T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$ 6 $-ઠા પદ માટે,$ r = 5 $ લેતા.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{10-5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \times 1 = {}^{10}C_{5} $.

(D) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{44}$ ના વિસ્તરણ માટે,$21^{\text{st}}$ પદ $T_{21} = T_{20+1} = {}^{44}C_{20} x^{20}$ છે.
$22^{\text{nd}}$ પદ $T_{22} = T_{21+1} = {}^{44}C_{21} x^{21}$ છે.
આપેલ છે કે $T_{21} = T_{22}$,તેથી ${}^{44}C_{20} x^{20} = {}^{44}C_{21} x^{21}$.
બંને બાજુ $x^{20}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$),આપણને $x = \frac{{}^{44}C_{20}}{{}^{44}C_{21}}$ મળે છે.
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{44!}{20!24!} \times \frac{21!23!}{44!} = \frac{21!}{20!} \times \frac{23!}{24!} = \frac{21}{1} \times \frac{1}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

(C) ધારો કે $y = \sqrt{x^2-1}$. પદાવલિ $(x+y)^8 + (x-y)^8$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(x+y)^8 + (x-y)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k$.
$y^2 = x^2-1$ મુકતા,પદો આ મુજબ મળે:
$2 [ \binom{8}{0} x^8 + \binom{8}{2} x^6(x^2-1) + \binom{8}{4} x^4(x^2-1)^2 + \binom{8}{6} x^2(x^2-1)^3 + \binom{8}{8} (x^2-1)^4 ]$.
$x$ ની મહત્તમ ઘાત $x^8$ છે.
$x^8$ નો સહગુણક $2 [ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} ]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$.
તેથી,સરવાળો $2 \times 2^{8-1} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256$ થાય.

(A) આપણી પાસે $(1-x+x^2-x^3)^4 = [(1-x) + x^2(1-x)]^4 = [(1-x)(1+x^2)]^4 = (1-x)^4(1+x^2)^4$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$.
$(1+x^2)^4 = 1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8$.
આપણે $(1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4)(1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8)$ ના ગુણાકારમાં $x^4$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$x^4$ આપતા પદો છે:
$(1 \times 6x^4) + (6x^2 \times 4x^2) + (x^4 \times 1) = 6x^4 + 24x^4 + 1x^4 = 31x^4$.
તેથી,$x^4$ નો સહગુણક $31$ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $2^{\text{nd}}$,$3^{\text{rd}}$ અને $4^{\text{th}}$ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે $\binom{n}{1}$,$\binom{n}{2}$ અને $\binom{n}{3}$ છે.
તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2 \binom{n}{2} = \binom{n}{1} + \binom{n}{3}$ થાય.
દ્વિપદી સહગુણકોનું વિસ્તરણ કરતા: $2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ વડે ભાગતા ($n > 0$ હોવાથી): $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$.
$6$ વડે ગુણતા: $6n - 6 = 6 + (n^2 - 3n + 2)$.
પદોને ગોઠવતા: $n^2 - 9n + 14 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n-7)(n-2) = 0$.
આમ,$n = 7$ અથવા $n = 2$.
$4^{\text{th}}$ પદ અસ્તિત્વમાં હોવા માટે,$n \ge 3$ હોવું જોઈએ,તેથી $n = 7$.

(C) $(x+a)^{15}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r x^{15-r} a^r$ છે.
આપેલ છે કે $T_{11} = \sqrt{T_8 T_{12}}$.
પદો મૂકતા: ${}^{15}C_{10} x^5 a^{10} = \sqrt{({}^{15}C_7 x^8 a^7)({}^{15}C_{11} x^4 a^{11})}$.
ગણતરી કરતા $\frac{x}{a} \approx 1.013$ મળે છે.
સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ શોધવા માટે $r = \lfloor \frac{(n+1)|x|}{|x|+|a|} \rfloor$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$r = \lfloor \frac{16 \cdot 1.013}{1.013+1} \rfloor = 8$.
તેથી,$T_{8+1} = T_9$ એ સૌથી મોટું પદ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(x^2+x-2)^5$ છે.
આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2+x-2$ ના અવયવ $(x+2)(x-1)$ તરીકે પાડી શકીએ છીએ.
તેથી,પદાવલિ $((x+2)(x-1))^5 = (x+2)^5(x-1)^5$ બને છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^k 2^{5-k}$ અને $(x-1)^5 = \sum_{j=0}^{5} \binom{5}{j} x^j (-1)^{5-j}$.
આપણે આ બે વિસ્તરણોના ગુણાકારમાં $x^2$ નો સહગુણક શોધવાની જરૂર છે.
ગુણાકાર $(\binom{5}{0}2^5 + \binom{5}{1}2^4 x + \binom{5}{2}2^3 x^2 + \dots) \times (\binom{5}{0}(-1)^5 + \binom{5}{1}(-1)^4 x + \binom{5}{2}(-1)^3 x^2 + \dots)$ છે.
ધારો કે $A = (32 + 80x + 80x^2 + \dots)$ અને $B = (-1 + 5x - 10x^2 + \dots)$.
$x^2$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$(32 \times -10) + (80 \times 5) + (80 \times -1) = -320 + 400 - 80 = 0$.
આમ,$x^2$ નો સહગુણક $0$ છે.

(A) $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{(10-r)/2} y^{r/k}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, 10$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$\frac{10-r}{2}$ અને $\frac{r}{k}$ બંને પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
કુલ $11$ પદોમાંથી $9$ અસંમેય છે,તેથી $2$ પદો સંમેય હોવા જોઈએ.
$r=0$ માટે,$T_1 = x^5$ હંમેશા સંમેય છે.
$r=10$ માટે,$T_{11} = y^{10/k}$ સંમેય છે જો $k$ એ $10$ નો ભાજક હોય.
$k=5$ અને $k=10$ માટે,આપણને બરાબર $2$ સંમેય પદો મળે છે.

(C) $(x+y^2)^{13}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = \binom{13}{k} x^{13-k} y^{2k}$ છે,જ્યાં $0 \le k \le 13$.
અહીં,$r = 13-k$ અને $s = 2k$.
$(x^2+y)^{14}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{j+1} = \binom{14}{j} x^{28-2j} y^j$ છે,જ્યાં $0 \le j \le 14$.
અહીં,$r = 28-2j$ અને $s = j$.
પદો સમાન હોવા માટે,$13-k = 28-2j$ અને $2k = j$ હોવું જોઈએ.
$j = 2k$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $13-k = 28-4k \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
તેથી $j = 10$.
આમ,$\alpha = 1$ પદ મળે છે.
આ પદ માટે,$r = 8$ અને $s = 10$,તેથી $r+s = 18$.
પરિણામે,$\alpha \sum (r+s) = 1 \times 18 = 18$.

(B) વિસ્તરણ $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(1+\alpha x+\beta x^2) \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k = \sum \binom{11}{k} x^k + \alpha \sum \binom{11}{k} x^{k+1} + \beta \sum \binom{11}{k} x^{k+2}$.
$x^{10}$ માટે,સહગુણક $\binom{11}{10} + \alpha \binom{11}{9} + \beta \binom{11}{8} = 11 + 55\alpha + 165\beta = 396$ છે.
$11$ વડે ભાગતા,$1 + 5\alpha + 15\beta = 36$,તેથી $5\alpha + 15\beta = 35$,અથવા $\alpha + 3\beta = 7$ (સમીકરણ $1$).
$x^{11}$ માટે,સહગુણક $\binom{11}{11} + \alpha \binom{11}{10} + \beta \binom{11}{9} = 1 + 11\alpha + 55\beta = 144$ છે.
તેથી,$11\alpha + 55\beta = 143$,અથવા $\alpha + 5\beta = 13$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(5\beta - 3\beta) = 13 - 7$,તેથી $2\beta = 6$,જેનો અર્થ છે $\beta = 3$.
સમીકરણ $1$ માં $\beta = 3$ મુકતા: $\alpha + 3(3) = 7$,તેથી $\alpha = 7 - 9 = -2$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

(C) વિસ્તરણ $(1 + (x - x^2))^6$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$.
અહીં,$n = 6$ અને $y = (x - x^2)$.
$(1 + x - x^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k (1 - x)^k$.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
$k=2$ માટે: $15$,$k=3$ માટે: $-60$,$k=4$ માટે: $15$.
$x^4$ નો કુલ સહગુણક $= 15 - 60 + 15 = -30$.
$x^6$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
$k=3$ માટે: $-20$,$k=4$ માટે: $90$,$k=5$ માટે: $-30$,$k=6$ માટે: $1$.
$x^6$ નો કુલ સહગુણક $= -20 + 90 - 30 + 1 = 41$.
સહગુણકોનો સરવાળો $= -30 + 41 = 11$.

(B) $(p-q)^{14}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{14}{r} p^{14-r} (-q)^r$ છે.
$7^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=6$: $T_7 = \binom{14}{6} p^8 q^6$.
$8^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=7$: $T_8 = -\binom{14}{7} p^7 q^7$.
$T_7 + T_8 = 0$ આપેલ હોવાથી,$\binom{14}{6} p^8 q^6 = \binom{14}{7} p^7 q^7$.
તેથી,$p = \frac{\binom{14}{7}}{\binom{14}{6}} q = \frac{8}{7} q$.
હવે,$\frac{p+q}{p-q} = \frac{\frac{8}{7}q + q}{\frac{8}{7}q - q} = \frac{15/7}{1/7} = 15$.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(x+3y)^{13}$ છે જ્યાં $x=\frac{1}{2}$ અને $y=\frac{1}{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{1}{2} + 3(\frac{1}{3}))^{13} = (\frac{1}{2} + 1)^{13} = (\frac{3}{2})^{13}$ મળે.
ધારો કે $T_{r+1}$ એ $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)$-મું પદ છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ માટેની શરત $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$ છે.
અહીં,$T_{r+1} = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r} (1)^r = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}$.
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}}{{}^{13}C_{r-1} (\frac{1}{2})^{13-(r-1)}} = \frac{{}^{13}C_r}{{}^{13}C_{r-1}} \times 2 = \frac{14-r}{r} \times 2$.
$\frac{28-2r}{r} \geq 1$ લેતા,$28-2r \geq r$,તેથી $3r \leq 28$,એટલે કે $r \leq 9.33$.
આમ,$r=9$ માટે સૌથી મોટું પદ $T_{10} = {}^{13}C_9 (\frac{1}{2})^4$ મળે છે.

(C) $\left(\frac{2x^2}{5} + \left(\frac{5}{x}\right)^{1/2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \left(\frac{2x^2}{5}\right)^{10-r} \left(\frac{5^{1/2}}{x^{1/2}}\right)^r$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$20 - 2r - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 8$
$r=8$ મૂકતા,$T_9 = {}^{10}C_8 \cdot \frac{2^2}{5^{-2}} = 45 \cdot 4 \cdot 25 = 4500$
સ્વતંત્ર પદનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$ થાય.

(B) ધારો કે $T_{r+1}$ એ સૌથી મોટું પદ છે,તેથી $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$.
$(a+b)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,શરત $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \times |\frac{b}{a}| \geq 1$ છે.
અહીં $n=6$,$a=5$,$b=3x$. $x=1$ પર,$b=3$.
$\frac{6-r+1}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow \frac{7-r}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow 21 - 3r \geq 5r$
$\Rightarrow 8r \leq 21$
$\Rightarrow r \leq 2.625$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી મોટું પદ $r=2$ પર મળે છે,જે $T_{2+1} = T_3$ છે.
$T_3 = {}^6C_2 \times 5^{6-2} \times (3 \times 1)^2$
$T_3 = 15 \times 5^4 \times 3^2$
$T_3 = (3 \times 5) \times 5^4 \times 3^2 = 3^3 \times 5^5$.

(A) $(\sqrt{2} + 3^{1/5})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{2})^{10-r} (3^{1/5})^r = {}^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$(10-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ (જે તમામ બેકી $r$ માટે સાચું છે) અને $r/5$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ.
$0 \le r \le 10$ માટે,$r = 0$ અને $r = 10$ એ શરતોનું પાલન કરે છે.
$r = 0$ માટે: $T_1 = {}^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$r = 10$ માટે: $T_{11} = {}^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$.
સંમેય પદોનો સરવાળો $32 + 9 = 41$ છે.

(B) મધ્યમ પદ $(\frac{12}{2}+1)$ મું પદ એટલે કે $7$ મું પદ છે.
મધ્યમ પદથી સમાન અંતરે આવેલા પદો $T_{7-k}$ અને $T_{7+k}$ છે.
$k=2$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T_9} = \frac{{}^{12}C_4 x^4}{{}^{12}C_8 x^8} = \frac{1}{256}$ છે.
${}^{12}C_4 = {}^{12}C_8$ હોવાથી,$\frac{1}{x^4} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^4 = 256$ $\Rightarrow x = 4$.
$k=4$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_3}{T_{11}} = \frac{{}^{12}C_2 x^2}{{}^{12}C_{10} x^{10}} = \frac{1}{256}$ છે.
${}^{12}C_2 = {}^{12}C_{10}$ હોવાથી,$\frac{1}{x^8} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^8 = 256$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$.
જોકે $x \in N$ આપેલ હોવાથી,$k=1$ માટે તપાસતા: $\frac{T_6}{T_8} = \frac{{}^{12}C_5 x^5}{{}^{12}C_7 x^7} = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{256} \Rightarrow x = 16$.
$(1+x)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ પદોનો સરવાળો $(1+x)^{12}$ થાય.
$x=4$ માટે,સરવાળો $(1+4)^{12} = 5^{12}$ થાય.
$x=2$ માટે,સરવાળો $(1+2)^{12} = 3^{12}$ થાય.

(A) પદો દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 96$ $(i)$
$T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a^2 = 216$ $(ii)$
$T_4 = {}^{n}C_3 x^{n-3} a^3 = 216$ $(iii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^{n}C_1 x^{n-1} a}{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2} = \frac{96}{216}$ $\Rightarrow \frac{n x}{\frac{n(n-1)}{2} a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow \frac{2x}{(n-1)a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 2(n-1)a$.
$(ii)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2}{{}^{n}C_3 x^{n-3} a^3} = \frac{216}{216}$ $\Rightarrow \frac{\frac{n(n-1)}{2} x}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a} = 1$ $\Rightarrow \frac{3x}{(n-2)a} = 1$ $\Rightarrow 3x = (n-2)a$.
બંને સમીકરણો પરથી:
$\frac{9x}{3x} = \frac{2(n-1)a}{(n-2)a}$ $\Rightarrow 3 = \frac{2(n-1)}{n-2}$ $\Rightarrow 3n-6 = 2n-2$ $\Rightarrow n=4$.
$n=4$ ને $3x = (n-2)a$ માં મૂકતા $3x = 2a$ મળે,તેથી $a = \frac{3}{2}x$.
$(i)$ માં મૂકતા:
$4 x^3 (\frac{3}{2}x) = 96$ $\Rightarrow 6x^4 = 96$ $\Rightarrow x^4 = 16$ $\Rightarrow x=2$.
તેથી $a = \frac{3}{2}(2) = 3$.
આમ,$a+x = 3+2 = 5$. $n=4$ હોવાથી,$a+x = n+1$.

(C) $(1+x)^n$ નું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ છે.
$r^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^nC_{r-1}}$ છે.
$(r+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^nC_r}$ છે.
$(r+2)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^nC_{r+1}}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${^nC_{r-1}} : {^nC_r} : {^nC_{r+1}} = 4 : 15 : 42$ છે.
$\frac{{^nC_{r-1}}}{{^nC_r}} = \frac{4}{15}$ પરથી,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{15} \Rightarrow 19r - 4n = 4$ $(i)$.
$\frac{{^nC_r}}{{^nC_{r+1}}} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$ પરથી,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{14} \Rightarrow 19r - 5n = -14$ (ii).
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $n = 18$.
$n=18$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $r = 4$.
તેથી,$n - r = 18 - 4 = 14$.

(C) $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{21}$ ના વિસ્તરણ માટે,$(k+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${}^{21}C_{k}$ છે.
$(2r+6)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${}^{21}C_{(2r+6)-1} = {}^{21}C_{2r+5}$ છે.
$(r-1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${}^{21}C_{(r-1)-1} = {}^{21}C_{r-2}$ છે.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી,${}^{21}C_{2r+5} = {}^{21}C_{r-2}$ મળે.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ છે કે $a = b$ અથવા $a + b = n$:
કિસ્સો $1$: $2r+5 = r-2 \Rightarrow r = -7$ (શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $(2r+5) + (r-2) = 21$ $\Rightarrow 3r + 3 = 21$ $\Rightarrow 3r = 18$ $\Rightarrow r = 6$.

(B) $(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3x^2}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ છે.
$(1+x+2x^2) \times {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^{18-3r}$,$x^{19-3r}$,અને $x^{20-3r}$ વાળા પદો મળે છે.
સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંકને $0$ લેતા:
$1$) $18-3r = 0 \Rightarrow r = 6$. પદ ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = 84 \times \frac{27}{8} \times \frac{1}{729} = \frac{7}{18}$ મળે છે.
$2$) $19-3r = 0 \Rightarrow r = 19/3$ (પૂર્ણાંક નથી).
$3$) $20-3r = 0 \Rightarrow r = 20/3$ (પૂર્ણાંક નથી).
આમ,સ્વતંત્ર પદ $\frac{7}{18}$ છે.

(A) $(2-3x)^9$ ના વિસ્તરણમાં સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ માટે,આપણે $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ ની શરત ચકાસીએ છીએ.
$x=1$ મૂકતા,$|T_{r+1}| = {^9C_r} 2^{9-r} 3^r$.
$\frac{|T_{r+1}|}{|T_r|} = \frac{9-r+1}{r} \cdot \frac{3}{2} \geq 1$ $\Rightarrow 30-3r \geq 2r$ $\Rightarrow 5r \leq 30$ $\Rightarrow r \leq 6$.
તેથી,$r=6$ માટે સૌથી મોટું પદ મળે છે.
$|T_7| = {^9C_6} 2^3 3^6 = 84 \times 8 \times 729 = 2^5 \times 3^7 \times 7^1$.
અહીં $P_1=2, P_2=3, P_3=7, P_4=11$ છે,તેથી $\alpha=5, \beta=7, \gamma=1, \delta=0$.
$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 5+7+1+0 = 13$.

(A) ધારો કે $(1+x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $T_{r+1}$ અને $T_r$ એ $(r+1)$-મું અને $r$-મું પદ છે.
અહીં $n=15$ અને $x=\frac{1}{2}$ આપેલ છે.
સૌથી મોટા પદ માટે,શરત $T_{r+1} \geq T_r$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$.
સામાન્ય પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{n}C_r x^r}{{}^{n}C_{r-1} x^{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \cdot x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15-r+1}{r} \cdot \frac{1}{2} \geq 1$.
$\frac{16-r}{2r} \geq 1$.
$16-r \geq 2r$.
$3r \leq 16 \Rightarrow r \leq \frac{16}{3} \approx 5.33$.
$r$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી મોટું પદ $r=5$ પર મળે છે,જે $T_{5+1} = T_6$ છે.
$T_6 = {}^{15}C_5 \cdot x^5 = {}^{15}C_5 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} {}^{15}C_5$.

(C) આપેલ વિસ્તરણ: $(1-x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$10(1-x+x^2)^9 \cdot (-1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 20a_{20} x^{19}$.
$x=1$ મૂકતા:
$10(1-1+1)^9 \cdot (-1+2) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}$.
$10(1)^9 \cdot (1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$.
$a_1$ શોધવા માટે,મૂળ પદાવલિનું વિકલન કરી $x=0$ મૂકતા અથવા $(1-x+x^2)^{10}$ માં $x$ નો સહગુણક જોતા:
$(1-x+x^2)^{10} = 1 + 10(-x+x^2) + \ldots = 1 - 10x + \ldots$.
આમ,$a_1 = -10$.
$a_1 = -10$ ને સમીકરણ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$ માં મૂકતા:
$-10 + (2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}) = 10$.
તેથી,$2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 20$.

(C) $\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $20+1 = 21$ પદો છે.
પદોની સંખ્યા એકી હોવાથી,મધ્યમ પદ $\left(\frac{20}{2}+1\right) = 11$-મું પદ છે.
તેથી,$m = 11$.
આપણે $T_{m+3} = T_{11+3} = T_{14} = T_{13+1}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$T_{13+1}$ માટે,$n=20$,$r=13$,$a=x^2$,અને $b=-\frac{1}{2x}$ છે.
$T_{14} = {}^{20}C_{13} (x^2)^7 \left(-\frac{1}{2^{13} x^{13}}\right) = -{}^{20}C_{13} \cdot 2^{-13} x$.
આમ,$T_{m+3}$ નો સહગુણક $-{}^{20}C_{13} 2^{-13}$ છે.

(D) $(\sqrt[5]{3}+\sqrt[3]{2})^{15}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r 3^{(15-r)/5} 2^{r/3}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$r$ એ $5$ અને $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r$ એ $15$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \leq r \leq 15$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $15$ છે.
$r=0$ માટે,$T_1 = 27$ અને $r=15$ માટે,$T_{16} = 32$ મળે.
સંમેય પદોનો સરવાળો $= 27 + 32 = 59$ થાય.
આમ,અસંમેય પદોનો સરવાળો એ સંમેય પદોના સરવાળા કરતા વધારે છે.

(A) $(3+\frac{x}{2})^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r (3)^{n-r} (\frac{x}{2})^r = {}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^r$ નો સહગુણક ${}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r}$ છે.
$r=9$ માટે,સહગુણક ${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9}$ છે.
$r=10$ માટે,સહગુણક ${}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે:
${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9} = {}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$.
બંને બાજુને ${}^nC_9 \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3^{n-9}}{3^{n-10}} \times \frac{2^{10}}{2^9} = \frac{{}^nC_{10}}{{}^nC_9}$.
$3^1 \times 2^1 = \frac{n-10+1}{10} = \frac{n-9}{10}$.
$6 = \frac{n-9}{10}$ $\Rightarrow n-9 = 60$ $\Rightarrow n = 69$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(\frac{2p}{3} + \frac{3q}{2}\right)^9$ ના વિસ્તરણ માટે,$6^{th}$ પદ $(T_6)$ એ $T_{5+1}$ છે.
અહીં,$n=9$,$r=5$,$x=\frac{2p}{3}$,અને $y=\frac{3q}{2}$.
$T_6 = {}^9C_5 \left(\frac{2p}{3}\right)^4 \left(\frac{3q}{2}\right)^5$
$T_6 = 126 \times \frac{16 p^4}{81} \times \frac{243 q^5}{32} = 189 p^4 q^5$.
$189 p^4 q^5$ ને $ap^bq^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=189, b=4, c=5$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+3x)^n \left(1+\frac{1}{3x}\right)^n$
$= (1+3x)^n \left(\frac{3x+1}{3x}\right)^n$
$= \frac{(1+3x)^n (1+3x)^n}{(3x)^n}$
$= \frac{(1+3x)^{2n}}{(3x)^n}$
$(1+3x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{2n}{r} (3x)^r$ છે.
અચળ પદ શોધવા માટે,આપણે એવું પદ જોઈએ જ્યાં $x$ નો ઘાત $0$ હોય.
પદાવલિ $\frac{1}{(3x)^n} \times \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^r = \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^{r-n}$ છે.
અચળ પદ ત્યારે મળે જ્યારે $r-n = 0$,એટલે કે $r = n$.
$r=n$ મૂકતા,અચળ પદ $\binom{2n}{n} (3x)^{n-n} = \binom{2n}{n}$ મળે છે.
આમ,અચળ પદ $\binom{2n}{n}$ છે.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ આ મુજબ છે:
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^r$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (-k)^r x^{\frac{10-r}{2} - 2r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0$
$10 - r = 4r$
$5r = 10 \Rightarrow r = 2$
હવે,$r=2$ ને પદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_3 = \binom{10}{2} (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9$
$k = \pm 3$

(D) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં અંતથી $r^{\text{th}}$ પદ એ શરૂઆતથી $(n - r + 2)^{\text{th}}$ પદ છે.
અહીં,$n = 12$ અને $r = 5$ છે,તેથી આપણે શરૂઆતથી $(12 - 5 + 2) = 9^{\text{th}}$ પદ શોધવું પડશે.
સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{12}C_k (\frac{x^3}{2})^{12-k} (-\frac{2}{x^2})^k$ છે.
$9^{\text{th}}$ પદ માટે,$k = 8$.
$T_9 = {}^{12}C_8 (\frac{x^3}{2})^4 (-\frac{2}{x^2})^8$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot \frac{x^{12}}{2^4} \cdot \frac{2^8}{x^{16}}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 2^4 \cdot x^{12-16}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 16 \cdot x^{-4}$
આમ,$x$ ના ઘાતાંકનો અંક $-4$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = 1 + (1+x) + (1+x)^2 + \cdots + (1+x)^n$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$,$r = (1+x)$,અને પદોની સંખ્યા $n+1$ છે:
$S = \frac{1((1+x)^{n+1} - 1)}{(1+x) - 1} = \frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$.
આપણે $S$ માં $x^{100}$ નો સહગુણક શોધવો છે,જે $\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$ માં $x^{100}$ ના સહગુણક જેટલો છે.
આ $(1+x)^{n+1} - 1$ માં $x^{101}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(1+x)^{n+1}$ માં $x^{101}$ નો સહગુણક ${ }^{n+1} C_{101}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણક ${ }^{201} C_{101}$ છે,તેથી ${ }^{n+1} C_{101} = { }^{201} C_{101}$.
આમ,$n+1 = 201$,જેનો અર્થ છે કે $n = 200$.

(A) $(a-b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} (-b)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=4$: $T_5 = \binom{n}{4} a^{n-4} b^4$.
$6^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=5$: $T_6 = -\binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
આપેલ છે કે $T_5 + T_6 = 0$,તેથી $\binom{n}{4} a^{n-4} b^4 = \binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
બંને બાજુ $\binom{n}{4} a^{n-5} b^4$ વડે ભાગતા,$\frac{a}{b} = \frac{\binom{n}{5}}{\binom{n}{4}} = \frac{n-4}{5}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $x=2, y=3$.
$(2x - 3y)^8$ માટે,પદોની સંખ્યા $8+1=9$ છે,તેથી મધ્યમ પદ $5$મું પદ છે.
$a = {^8C_4} (2x)^4 (-3y)^4 = 70 \times 16x^4 \times 81y^4 = 70 \times 2^8 \times 3^8$.
$(3x + 4y)^7$ માટે,પદોની સંખ્યા $7+1=8$ છે,તેથી મધ્યમ પદો $4$થા અને $5$મા પદ છે.
$b = {^7C_3} (3x)^4 (4y)^3 = 35 \times 3^7 \times 2^{10}$.
$c = {^7C_4} (3x)^3 (4y)^4 = 35 \times 3^7 \times 2^{11}$.
હવે,$\frac{b+c}{a} = \frac{35 \times 3^7 \times 2^{10} + 35 \times 3^7 \times 2^{11}}{70 \times 2^8 \times 3^8} = 2$.

(D) $(1+x)^{24}$ ના વિસ્તરણમાં $r$-મું પદ $T_r = {}^{24}C_{r-1} x^{r-1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${}^{24}C_{r-1}$ છે.
$(r+1)$-મું પદ $T_{r+1} = {}^{24}C_r x^r$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${}^{24}C_r$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકોનો ગુણોત્તર $12:13$ છે,તેથી $\frac{{}^{24}C_{r-1}}{{}^{24}C_r} = \frac{12}{13}$.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_{k-1}}{{}^nC_k} = \frac{k}{n-k+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r}{25-r} = \frac{12}{13}$ મળે.
$13r = 300 - 12r \implies 25r = 300 \implies r = 12$.
હવે,$r=12$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણો તપાસતા:
$x^2-14x+24=0$ માં $x=12$ મૂકતા,$144 - 168 + 24 = 0$ મળે છે,જે સત્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $(2a - 3b)^{19}$ છે.
$a = \frac{1}{4}$ અને $b = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$2a = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$
$3b = 3(\frac{2}{3}) = 2$
તેથી,પદાવલિ $(\frac{1}{2} - 2)^{19} = (\frac{1}{2})^{19}(1 - 4)^{19}$ બને છે.
ધારો કે $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં $T_r$ એ $r$-મું પદ છે. સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ એ શરત $r \le \frac{(n+1)|y|}{|x|+|y|}$ નું પાલન કરે છે.
અહીં $n=19$,$x=1$,$y=-4$.
$r \le \frac{(19+1)|-4|}{|1|+|-4|} = \frac{20 \times 4}{5} = 16$.
કારણ કે $r=16$ એ પૂર્ણાંક છે,તેથી $T_{16}$ અને $T_{17}$ બંને સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ છે.
$T_{17} = ^{19}C_{16} (\frac{1}{2})^{19-16} (-2)^{16} = ^{19}C_3 (\frac{1}{2})^3 (2^{16}) = ^{19}C_3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^{16} = ^{19}C_3 \cdot 2^{13}$.

(A) $\left(a x^3+\frac{c}{x}\right)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^6 C_r (a x^3)^{6-r} \left(\frac{c}{x}\right)^r$
$= { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-3r-r} = { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-4r}$
$x^2$ ના સહગુણક માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $2$ તરીકે લઈએ છીએ:
$18-4r = 2$ $\Rightarrow 4r = 16$ $\Rightarrow r = 4$
સહગુણકના પદમાં $r=4$ મૂકતા:
${ }^6 C_4 a^{6-4} c^4 = 60$
$15 a^2 c^4 = 60$
$a^2 c^4 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$a c^2 = \pm 2$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a c^2 = 2$.

(B) $\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{15}{r} (x^4)^{15-r} (-x^{-3})^r = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}$ છે.
$x^{32}$ ના સહગુણક માટે,$60-7r = 32$ લેતા,$7r = 28$,તેથી $r = 4$.
સહગુણક $\binom{15}{4} (-1)^4 = 1365$ છે.
$x^{-31}$ ના સહગુણક માટે,$60-7r = -31$ લેતા,$7r = 91$,તેથી $r = 13$.
સહગુણક $\binom{15}{13} (-1)^{13} = -105$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $1365 - 105 = 1260$ થાય.

(D) $(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3)^{(144-r)/4} (7)^{r/6}$
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
તેથી,$(144-r)/4$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તે જ રીતે,$r/6$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(4, 6) = 12$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 144$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 12, 24, \dots, 144$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં $a = 0$,$d = 12$,અને છેલ્લું પદ $l = 144$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$144 = 0 + (n-1)12$
$12 = n - 1$
$n = 13$
આમ,કુલ $13$ સંમેય પદો છે.

(A) $(\sqrt{2}+\sqrt[5]{3})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} (\sqrt{2})^{10-r} (\sqrt[5]{3})^r = \binom{10}{r} 2^{(10-r)/2} 3^{r/5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$(10-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
વળી,$r/5$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 10$ હોવાથી,$r$ માટે શક્ય કિંમતો $r = 0$ અને $r = 10$ છે.
$r = 0$ માટે,$T_1 = \binom{10}{0} 2^5 3^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$r = 10$ માટે,$T_{11} = \binom{10}{10} 2^0 3^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$.
સંમેય પદોનો સરવાળો $32 + 9 = 41$ થાય છે.

(D) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $t_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ છે.
$(2^x + 4^{-x})^8$ ના વિસ્તરણ માટે,$n=8$,$a=2^x$,અને $b=4^{-x} = 2^{-2x}$ છે.
$t_2 = t_{1+1} = \binom{8}{1} (2^x)^7 (2^{-2x})^1 = 8 \cdot 2^{5x}$.
$t_3 = t_{2+1} = \binom{8}{2} (2^x)^6 (2^{-2x})^2 = 28 \cdot 2^{2x}$.
આપેલ છે કે $t_3 = 7t_2$,તેથી:
$28 \cdot 2^{2x} = 7 \cdot (8 \cdot 2^{5x}) = 56 \cdot 2^{5x}$.
બંને બાજુ $28 \cdot 2^{2x}$ વડે ભાગતા:
$1 = 2 \cdot 2^{3x} = 2^{3x+1}$.
$1 = 2^0$ હોવાથી,$3x + 1 = 0$,એટલે કે $x = -1/3$.

(A) $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં,મધ્યમ પદ $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ છે. મધ્યમ પદ સૌથી મોટું પદ હોવાથી,તે તેના પાસપાસેના પદો $T_n$ અને $T_{n+2}$ કરતા મોટું અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
$T_{n+1} \ge T_n \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n-1} x^{n-1} \implies x \ge \frac{n}{n+1}$.
$T_{n+1} \ge T_{n+2} \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n+1} x^{n+1} \implies x \le \frac{n+1}{n}$.
આમ,$x \in \left[\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right]$. વિકલ્પો મુજબ,અંતરાલ $\left(\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right)$ છે.

(B) કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\left[\frac{(x^{1/3})^3+1^3}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]^{10}$
$= \left[(x^{1/3}+1) - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right]^{10} = \left[x^{1/3}+1 - (1+x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$.
સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ આ મુજબ છે: ${}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$.
$20 - 2r - 3r = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$.
પદ ${}^{10}C_4 (-1)^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$
$T_{r+1} = {}^{100}C_r 5^{\frac{100-r}{4}} 4^{\frac{r}{5}}$
પદ સંમેય હોય તે માટે $5$ અને $4$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{100-r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ (એટલે કે $r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$).
વળી,$\frac{r}{5}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ (એટલે કે $r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$).
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(4, 5) = 20$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 20, 40, 60, 80, 100$ છે.
આ કિંમતો ગણતા,આપણને $6$ પદો મળે છે.
આમ,સંમેય પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i} \binom{20}{m-i}$ છે.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,આ સરવાળો $(1+x)^{10} (1+x)^{20} = (1+x)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^m$ નો સહગુણક દર્શાવે છે.
તેથી,$S = \binom{30}{m}$.
દ્વિપદી સહગુણક $\binom{n}{r}$ મહત્તમ હોય છે જ્યારે $n$ બેકી હોય ત્યારે $r = \frac{n}{2}$ અથવા $n$ એકી હોય ત્યારે $r = \frac{n \pm 1}{2}$.
અહીં,$n = 30$,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $m = \frac{30}{2} = 15$ હોય.

(C) $\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^5 C_r (2 x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3 x^2})^r$ છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $T_{r+1} = { }^5 C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$.
$x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$15 - 5r = 5$ લેતા,$r = 2$ મળે છે.
$r = 2$ મૂકતા,સહગુણક $= { }^5 C_2 (2)^3 (-\frac{1}{3})^2 = 10 \times 8 \times \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$.