General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિપદી પદાવલિ $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ પ્રથમ ત્રણ પદો નીચે મુજબ છે:
$T_1 = { }^n C_0 x^n$
$T_2 = -3 { }^n C_1 x^{n-3}$
$T_3 = 9 { }^n C_2 x^{n-6}$
સહગુણકોનો સરવાળો $376$ આપેલ છે:
${ }^n C_0 - 3 { }^n C_1 + 9 { }^n C_2 = 376$
$1 - 3n + 9 \frac{n(n-1)}{2} = 376$
$9n^2 - 15n - 750 = 0$
$3n^2 - 5n - 250 = 0$
$(n-10)(3n+25) = 0$
$n = 10$ મળે છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = { }^{10} C_r (-3)^r x^{10-3r}$ છે.
$x^4$ ના સહગુણક માટે $10-3r = 4$ લેતા $r = 2$ મળે.
તેથી સહગુણક ${ }^{10} C_2 (-3)^2 = 45 \times 9 = 405$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $a_r$ એ $(1+x)^{10}$ માં $x^{10-r}$ નો સહગુણક છે,તેથી $a_r = {}^{10}C_{10-r} = {}^{10}C_r$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{10}C_r}{{}^{10}C_{r-1}} = \frac{11-r}{r}$ છે.
સરવાળામાં કિંમત મૂકતા,$\sum \limits_{r=1}^{10} r^3 \left(\frac{11-r}{r}\right)^2 = \sum \limits_{r=1}^{10} r(11-r)^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum \limits_{r=1}^{10} (121r - 22r^2 + r^3)$.
$n=10$ માટે સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= 121 \times 55 - 22 \times 385 + 3025 = 6655 - 8470 + 3025 = 1210$.

(C) પ્રથમ પદાવલિ $(\alpha x^3 + \frac{1}{\beta x})^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r \alpha^{11-r} \beta^{-r} x^{33-4r}$ છે.
$x^9$ માટે $33-4r = 9 \Rightarrow r = 6$. સહગુણક ${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6}$ છે.
બીજી પદાવલિ $(\alpha x - \frac{1}{\beta x^3})^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{11}C_k \alpha^{11-k} (-1)^k \beta^{-k} x^{11-4k}$ છે.
$x^{-9}$ માટે $11-4k = -9 \Rightarrow k = 5$. સહગુણક $-{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$ છે.
બંને સહગુણકો સમાન હોવાથી,${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6} = -{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$.
આથી $\alpha \beta = -1$ મળે,તેથી $(\alpha \beta)^2 = 1$.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ છે. તેમના સહગુણકો $^nC_{r-1} 2^{r-1}, ^nC_r 2^r, ^nC_{r+1} 2^{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^nC_{r-1} 2^{r-1} : ^nC_r 2^r : ^nC_{r+1} 2^{r+1} = 2 : 5 : 8$ છે.
$\frac{^nC_{r-1} 2^{r-1}}{^nC_r 2^r} = \frac{2}{5}$ પરથી,$\frac{r}{n-r+1} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow 5r = 4n - 4r + 4$ $\Rightarrow 9r - 4n = 4$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{^nC_r 2^r}{^nC_{r+1} 2^{r+1}} = \frac{5}{8}$ પરથી,$\frac{r+1}{n-r} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$ $\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4r + 4 = 5n - 5r$ $\Rightarrow 9r - 5n = -4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(9r - 4n) - (9r - 5n) = 4 - (-4) \Rightarrow n = 8$.
$n=8$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $9r - 32 = 4$ $\Rightarrow 9r = 36$ $\Rightarrow r = 4$.
વચ્ચેના પદનો સહગુણક $^nC_r 2^r = ^8C_4 2^4 = 70 \times 16 = 1120$ થાય.

(C) $(1+x)^{99}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના એકી ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $K = 2^{99-1} = 2^{98}$ છે.
$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $a$ એ $101$ મું પદ છે:
$a = {}^{200}C_{100} (2)^{100} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{100} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{100} \cdot 2^{-50} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}$.
હવે,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{{}^{200}C_{99} \cdot 2^{98}}{{}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}}$ લો.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = \frac{n-r+1}{r} {}^{n}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{{}^{200}C_{99}}{{}^{200}C_{100}} = \frac{100}{101}$ મળે છે.
આમ,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{100}{101} \cdot 2^{48} = \frac{25 \cdot 2^2 \cdot 2^{48}}{101} = \frac{2^{50} \cdot 25}{101}$.
$\frac{2^{\ell} m}{n}$ સાથે સરખાવતા,$\ell = 50$,$m = 25$,અને $n = 101$ મળે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(\ell, n) = (50, 101)$ છે.

(B) $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^3)^{15-r} (b^{-1}x^{-1/3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} b^{-r} x^{45-3r-r/3}$ છે.
$x$ નો ઘાતાંક $15$ લેતા: $45 - \frac{10r}{3} = 15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 30$ $\Rightarrow r = 9$.
સહગુણક ${}^{15}C_9 a^6 b^{-9}$ છે.
$(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^{1/3})^{15-r} (-b^{-1}x^{-3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} (-1)^r b^{-r} x^{5-r/3-3r}$ છે.
$x$ નો ઘાતાંક $-15$ લેતા: $5 - \frac{10r}{3} = -15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 20$ $\Rightarrow r = 6$.
સહગુણક ${}^{15}C_6 a^9 (-1)^6 b^{-6} = {}^{15}C_6 a^9 b^{-6}$ છે.
${}^{15}C_9 = {}^{15}C_6$ હોવાથી,સહગુણકોને સરખાવતા: $a^6 b^{-9} = a^9 b^{-6}$.
બંને બાજુ $a^6 b^{-6}$ વડે ભાગતા,આપણને $b^{-3} = a^3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^3 b^3 = 1$,તેથી $ab = 1$.

(A) $(x^{2/3} + 2x^{-3})^{30}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ:
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} (x^{2/3})^{30-r} (2x^{-3})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{(60-11r)/3}$
અહીં પદ $\beta x^{-\alpha}$ છે,તેથી $-\alpha = \frac{60-11r}{3}$,એટલે કે $\alpha = \frac{11r-60}{3}$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$11r > 60$,એટલે કે $r > 5.45$.
$r$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$r$ ની સૌથી નાની કિંમત $6$ છે.
$r = 6$ માટે,$\alpha = \frac{11(6)-60}{3} = 2$.
આમ,$\alpha$ ની સૌથી નાની કિંમત $2$ છે.

(D) $\left(\frac{4x}{5} + \frac{5}{2x^2}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^9C_r \left(\frac{4x}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2x^2}\right)^r$
$= {}^9C_r \left(\frac{4}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2}\right)^r x^{9-3r}$
$x^{-6}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $-6$ લઈએ:
$9 - 3r = -6$
$3r = 15 \Rightarrow r = 5$
$r = 5$ મૂકતા,સહગુણક:
સહગુણક $= {}^9C_5 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{5}{2}\right)^5$
$= 126 \times \frac{256}{625} \times \frac{3125}{32} = 5040$

(D) $\left(\frac{x^{5/2}}{2} - \frac{4}{x^{\ell}}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left(\frac{x^{5/2}}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{4}{x^{\ell}}\right)^r$ છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ: $\frac{45-5r}{2} - r\ell = 0 \implies r(5+2\ell) = 45$.
અચળ પદ $-84$ આપેલ છે,તેથી $(-1)^r \binom{9}{r} 2^{3r-9} = -84$. $r=3$ લેતા,$\binom{9}{3} = 84$,જે શરત સંતોષે છે.
$r=3$ મૂકતા,$3(5+2\ell) = 45 \implies \ell = 5$.
$x^{-3\ell} = x^{-15}$ ના સહગુણક માટે,$\frac{45-5r}{2} - 5r = -15 \implies r=5$.
સહગુણક $(-1)^5 \binom{9}{5} \frac{4^5}{2^4} = -126 \times 2^6 = -63 \times 2^7$ મળે છે.
તેથી $\alpha = 7$ અને $\beta = -63$.
$|\alpha\ell - \beta| = |7(5) - (-63)| = 98$.

(B) $(x^{\frac{2}{3}} + \alpha x^{-3})^{22}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot (x^{\frac{2}{3}})^{22-r} \cdot (\alpha x^{-3})^r$
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot \alpha^r \cdot x^{\frac{44-2r}{3} - 3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{44-2r}{3} - 3r = 0$
$44 - 2r - 9r = 0$
$11r = 44 \implies r = 4$
આપેલ છે કે સ્વતંત્ર પદ $7315$ છે:
${}^{22}C_4 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\frac{22 \times 21 \times 20 \times 19}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \cdot \alpha^4 = 7315$
$7315 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\alpha^4 = 1 \implies |\alpha| = 1$

(B) શરૂઆતથી $5$-મું પદ $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4 = {^nC_4} 2^{(n-4)/4} 3^{-1}$ છે.
અંતથી $5$-મું પદ એ શરૂઆતથી $(n-3)$-મું પદ છે,જે $T_{n-3} = {^nC_4} 2^1 3^{-(n-4)/4}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $6^{(n-4)/4 - 1} = 6^{1/2}$.
તેથી,$\frac{n-4}{4} - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 10$.
શરૂઆતથી ત્રીજું પદ $T_3 = {^{10}C_2} (2^{1/4})^8 (3^{-1/4})^2 = 45 \cdot 4 \cdot 3^{-1/2} = 60 \sqrt{3}$.

(D) $(x^4-\frac{1}{x^3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-\frac{1}{x^3})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r}$ થાય છે.
$x^{18}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંક $60-7r = 18$ લઈએ છીએ.
$7r = 60 - 18 = 42$,જે આપણને $r = 6$ આપે છે.
સહગુણક ${}^{15}C_6 (-1)^6 = {}^{15}C_6 = 5005$ છે.

(B) વિસ્તરણ $\left(ax^2+\frac{1}{2bx}\right)^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax^2)^{11-r} (\frac{1}{2bx})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (\frac{1}{2b})^r x^{22-3r}$ છે.
$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$. સહગુણક ${}^{11}C_5 a^6 (\frac{1}{2b})^5 = \frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5}$ છે.
વિસ્તરણ $\left(ax-\frac{1}{3bx^2}\right)^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{3bx^2})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (-\frac{1}{3b})^r x^{11-3r}$ છે.
$11-3r = -7$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$. સહગુણક ${}^{11}C_6 a^5 (-\frac{1}{3b})^6 = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: $\frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5} = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$.
કારણ કે ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$,તેથી $\frac{a^6}{32b^5} = \frac{a^5}{729b^6}$.
$a^5$ વડે ભાગતા અને $b^6$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{ab}{32} = \frac{1}{729}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $729ab = 32$.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો ${}^nC_{r-1}, {}^nC_r, {}^nC_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^nC_{r-1} : {}^nC_r : {}^nC_{r+1} = 1 : 5 : 20$ છે.
$\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{5}{1}$ પરથી,$\frac{n-r+1}{r} = 5 \implies n = 6r-1 \dots(1)$.
$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{20}{5} = 4$ પરથી,$\frac{n-r}{r+1} = 4 \implies n = 5r+4 \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,$6r-1 = 5r+4 \implies r = 5$.
$r=5$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$n = 6(5)-1 = 29$.
ચોથા પદનો સહગુણક ${}^nC_3 = {}^{29}C_3$ છે.
${}^{29}C_3 = \frac{29 \times 28 \times 27}{3 \times 2 \times 1} = 3654$.

(B) $\left(3x^2 - \frac{1}{2x^5}\right)^7$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^7C_r (3x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{2x^5}\right)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = {}^7C_r \cdot 3^{7-r} \cdot (-1/2)^r \cdot x^{14-7r}$ મળે છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $14 - 7r = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r = 2$.
$r = 2$ મૂકતા,$\alpha = {}^7C_2 \cdot 3^5 \cdot (-1/2)^2 = 21 \cdot 243 \cdot \frac{1}{4} = 1275.75$.
તેથી,$[\alpha] = [1275.75] = 1275$.

(A) $\left(2x^2+\frac{1}{2x}\right)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{11}C_r (2x^2)^{11-r} \left(\frac{1}{2x}\right)^r = {}^{11}C_r \cdot 2^{11-2r} \cdot x^{22-3r}$
$x^{10}$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 10 \implies r = 4$.
સહગુણક $= {}^{11}C_4 \cdot 2^3 = 330 \cdot 8 = 2640$.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 7 \implies r = 5$.
સહગુણક $= {}^{11}C_5 \cdot 2^1 = 462 \cdot 2 = 924$.
તફાવત $= 2640 - 924 = 1716$.
$12^3 - 12 = 1728 - 12 = 1716$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $(ax - \frac{1}{bx^2})^{13}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} (-b^{-1})^r x^{13-3r}$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = 7$ લેતા,$r = 2$ મળે છે.
તેથી,$x^7$ નો સહગુણક ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2}$ છે.
$(ax + \frac{1}{bx^2})^{13}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} b^{-r} x^{13-3r}$ છે.
$x^{-5}$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = -5$ લેતા,$r = 6$ મળે છે.
તેથી,$x^{-5}$ નો સહગુણક ${}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$ છે.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2} = {}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$.
બંને બાજુ $a^7 b^{-6}$ વડે ભાગતા,$a^4 b^4 = \frac{{}^{13}C_6}{{}^{13}C_2}$ મળે છે.
કિંમતો ગણતા: ${}^{13}C_6 = 1716$ અને ${}^{13}C_2 = 78$.
તેથી,$a^4 b^4 = \frac{1716}{78} = 22$.

(B) $(3^{1/2} + 5^{1/4})^{680}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{680}C_r (3^{1/2})^{680-r} (5^{1/4})^r$ છે.
આ પદ $T_{r+1} = {}^{680}C_r \cdot 3^{(680-r)/2} \cdot 5^{r/4}$ તરીકે સરળ બને છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,બંને ઘાતાંકો પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$1$) $r/4$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,તેથી $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. આમ,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$.
$2$) $(680-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $680-r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. $680$ બેકી હોવાથી,$r$ પણ બેકી હોવો જોઈએ.
બધા $4$ ના ગુણકો બેકી સંખ્યા હોવાથી,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$ બંને શરતોનું પાલન કરે છે.
આવા પદોની સંખ્યા $0, 4, 8, \dots, 680$ શ્રેણીમાં રહેલા પદોની સંખ્યા જેટલી છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોની સંખ્યા શોધવાના સૂત્ર મુજબ,$n = \frac{680 - 0}{4} + 1 = 170 + 1 = 171$.

(C) શરૂઆતથી $1011$ મું પદ $T_{1011} = {}^{2022}C_{1010} (\frac{4x}{5})^{1012} (-\frac{5}{2x})^{1010}$ છે.
અંતથી $1011$ મું પદ એ શરૂઆતથી $1012$ મું પદ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$|x| = \frac{5}{16}$ મળે છે.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{100} = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + C_{100}x^{100}$ છે.
ધારો કે $S = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots - C_{49}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{100}$ માં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $(1-1)^{100} = 0$ થાય છે.
તેથી,$(C_0 - C_1 + C_2 - \dots + C_{50} - \dots + C_{100}) = 0$.
ગુણધર્મ $C_r = C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$C_{100} = C_0, C_{99} = C_1, \dots, C_{51} = C_{49}$ મળે.
તેથી,$2(C_0 - C_1 + C_2 - \dots - C_{49}) + C_{50} = 0$.
$2S + C_{50} = 0 \implies S = -\frac{1}{2} C_{50}$.
$S = -\frac{1}{2} \binom{100}{50} = -\frac{1}{2} \times \frac{100}{50} \binom{99}{49} = -\binom{99}{49}$.

(C) સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} (x^{1/2})^{n-k} (-6 x^{-3/2})^k = {^nC_k} (-6)^k x^{(n-4k)/2}$ છે.
અચળ પદ માટે,$n-4k = 0$,તેથી $n = 4k$. $n \leq 15$ હોવાથી,$k$ ની કિંમત $1, 2, 3$ હોઈ શકે.
બધા સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ મૂકવાથી મળે,જે $(1-6)^n = (-5)^n$ છે.
બાકીના પદોનો સરવાળો $(-5)^n - \alpha = 649$ છે.
જો $k=1, n=4$ લઈએ: $(-5)^4 - {^4C_1}(-6)^1 = 625 + 24 = 649$. આ સાચું છે.
તેથી,$n=4$ અને $\alpha = {^4C_1}(-6)^1 = -24$.
$x^{-n} = x^{-4}$ નો સહગુણક ત્યારે મળે જ્યારે $(n-4k)/2 = -4$,એટલે કે $4-4k = -8$,$4k = 12$,$k=3$.
સહગુણક ${^4C_3}(-6)^3 = 4 \times (-216) = -864$ છે.
આમ,$-864 = \lambda(-24)$,તેથી $\lambda = \frac{-864}{-24} = 36$.

(B) $(7^{1/2} + 11^{1/6})^{824}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{824}C_r (7)^{(824-r)/2} (11)^{r/6}$ છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$7$ અને $11$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$1$. $7$ નો ઘાતાંક $(824-r)/2 = 412 - r/2$ છે. આ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$2$. $11$ નો ઘાતાંક $r/6$ છે. આ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આ બંનેને જોડતા,$r$ એ $\text{lcm}(2, 6) = 6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ ની કિંમતો $0, 6, 12, \dots, 822$ હોઈ શકે છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 6$ અને છેલ્લું પદ $l = 822$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$822 = 0 + (n-1)6$.
$n-1 = 822/6 = 137$.
$n = 138$.
તેથી,કુલ $138$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = (1+x)(1-x^2)(1+\frac{1}{x})^{15} = (1+x)(1-x)(1+x)(1+\frac{1}{x})^{15}$
$= \frac{(1-x^2)(1+x)^{16}}{x^{15}} = \frac{(1+x)^{16} - x^2(1+x)^{16}}{x^{15}}$
$= (1+x)^{16}x^{-15} - (1+x)^{16}x^{-13}$
$E$ માં $x^3$ નો સહગુણક:
$= (1+x)^{16}$ માં $x^{18}$ નો સહગુણક $- (1+x)^{16}$ માં $x^{16}$ નો સહગુણક
$= 0 - \binom{16}{16} = -1$
$E$ માં $x^{-13}$ નો સહગુણક:
$= (1+x)^{16}$ માં $x^2$ નો સહગુણક $- (1+x)^{16}$ માં $x^0$ નો સહગુણક
$= \binom{16}{2} - \binom{16}{0} = 120 - 1 = 119$
સહગુણકોનો સરવાળો $= 119 + (-1) = 118$.

(D) $(a+b)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{18}C_r a^{18-r} b^r$ છે.
સાતમા પદ $(T_7)$ માટે,$r=6$:
$T_7 = {}^{18}C_6 \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^{12} \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^6 = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
તેથી,$m = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
તેરમા પદ $(T_{13})$ માટે,$r=12$:
$T_{13} = {}^{18}C_{12} \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^6 \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^{12} = {}^{18}C_{12} \cdot 3^{-6} \cdot 2^{-12}$.
અહીં ${}^{18}C_6 = {}^{18}C_{12}$ હોવાથી:
$\frac{n}{m} = \frac{3^{-6} \cdot 2^{-12}}{3^{-12} \cdot 2^{-6}} = 3^6 \cdot 2^{-6} = \left(\frac{3}{2}\right)^6$.
તેથી $\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

(A) $(2^{\frac{1}{5}} + 5^{\frac{1}{3}})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (2^{\frac{1}{5}})^{15-r} (5^{\frac{1}{3}})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} 2^{3 - \frac{r}{5}} 5^{\frac{r}{3}}$ મળે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 15$ હોવાથી,$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0$ અને $15$ છે.
$r = 0$ માટે,$T_1 = {}^{15}C_0 2^3 5^0 = 1 \times 8 \times 1 = 8$.
$r = 15$ માટે,$T_{16} = {}^{15}C_{15} 2^0 5^5 = 1 \times 1 \times 3125 = 3125$.
તમામ સંમેય પદોનો સરવાળો $8 + 3125 = 3133$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1+2x-3x^3)(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ છે.
$(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2}x^2)^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r$ છે.
$T_{r+1} = {}^9C_r \frac{3^{9-2r}}{2^{9-r}} (-1)^r x^{18-3r}$.
અચળ પદ મેળવવા માટે,આપણે $x^0$ અને $x^{-3}$ ના સહગુણકોની જરૂર છે.
$1$. $x^0$ માટે: $18-3r = 0 \implies r=6$. સહગુણક ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$ મળે છે.
$2$. $x^{-3}$ માટે: $18-3r = -3 \implies r=7$. સહગુણક ${}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{1}{27}$ મળે છે.
અચળ પદ $p = 1(\frac{7}{18}) - 3(-\frac{1}{27}) = \frac{7}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$108p = 108 \cdot \frac{1}{2} = 54$.

(C) $\left(\frac{3^{1/5}}{x} + \frac{2x}{5^{1/3}}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \left(\frac{3^{1/5}}{x}\right)^{12-r} \left(\frac{2x}{5^{1/3}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot 3^{\frac{12-r}{5}} \cdot 2^r \cdot 5^{-r/3} \cdot x^{2r-12}$
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2r - 12 = 0$,જે $r = 6$ આપે છે.
$r = 6$ મૂકતા:
$T_7 = {}^{12}C_6 \cdot 3^{6/5} \cdot 2^6 \cdot 5^{-2} = \frac{693 \cdot 2^8}{25} \cdot 3^{1/5}$
અચળ પદ $\alpha \times 2^8 \times 3^{1/5}$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = \frac{693}{25}$ મળે.
તેથી,$25 \alpha = 693$.

(B) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદો $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$T_2 = {}^nC_1 x^{n-1} y = 135$ ...........$(i)$
$T_3 = {}^nC_2 x^{n-2} y^2 = 30$ ............$(ii)$
$T_4 = {}^nC_3 x^{n-3} y^3 = \frac{10}{3}$ ............$(iii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^nC_1 x^{n-1} y}{{}^nC_2 x^{n-2} y^2} = \frac{135}{30} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{9(n-1)}{4}$ ............$(iv)$
$(ii)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^nC_2 x^{n-2} y^2}{{}^nC_3 x^{n-3} y^3} = \frac{30}{10/3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 3(n-2)$ ............$(v)$
$(iv)$ અને $(v)$ ને સરખાવતા:
$n = 5$.
$(v)$ માં $n=5$ મૂકતા:
$\frac{x}{y} = 9 \Rightarrow x = 9y$.
$(i)$ માં $n=5$ અને $x=9y$ મૂકતા:
$y = \frac{1}{3}$ અને $x = 3$.
$6(n^3+x^2+y)$ ની ગણતરી:
$6(5^3 + 3^2 + \frac{1}{3}) = 806$.

(A) $(\sqrt{a}x^2 + \frac{1}{2x^3})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a}x^2)^{10-r} (\frac{1}{2x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a})^{10-r} (\frac{1}{2})^r x^{20-5r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$
$r = 4$ મૂકતા:
${}^{10}C_4 (\sqrt{a})^6 (\frac{1}{2})^4 = 105$
$210 \cdot a^3 \cdot \frac{1}{16} = 105$
$a^3 = 8 \implies a = 2$
તેથી,$a^2 = 4$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ માં $x^{70}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ દરેક $k$ માટે $(1+x)^{100-k}$ માં $x^{70-k}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે,જે ${}^{100-k}C_{70-k}$ છે.
સરવાળો કરતા,$S = {}^{98}C_{68} + {}^{97}C_{67} + \ldots + {}^{46}C_{16}$ મળે.
હોકી-સ્ટિક આઈડેન્ટિટી $\sum_{i=r}^n {}^iC_r = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\sum_{j=46}^{98} {}^jC_{30}$ થાય.
આથી,${}^{99}C_{31} - {}^{46}C_{31}$ મળે.
સરખાવતા $p=31, q=31$ અથવા $p=68, q=15$ મળે.
આમ,$p+q = 83$ શક્ય છે.

(A) $(x^{2/3} + \frac{1}{2}x^{-2/5})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (x^{2/3})^{9-r} (\frac{1}{2} x^{-2/5})^r$ છે.
$T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{1}{2})^r x^{6 - \frac{16r}{15}}$.
$x^{2/3}$ ના સહગુણક માટે,$6 - \frac{16r}{15} = \frac{2}{3}$ લેતા.
$r = 5$ મળે છે.
$x^{2/3}$ નો સહગુણક $= {}^9C_5 (\frac{1}{2})^5 = \frac{63}{16}$.
$x^{-2/5}$ ના સહગુણક માટે,$6 - \frac{16r}{15} = -\frac{2}{5}$ લેતા.
$r = 6$ મળે છે.
$x^{-2/5}$ નો સહગુણક $= {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 = \frac{21}{16}$.
સહગુણકોનો સરવાળો $= \frac{63}{16} + \frac{21}{16} = \frac{21}{4}$.

(C) વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક નીચે મુજબ છે:
$= {^2C_2} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$
નિત્યસમ ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ${^2C_2} = {^3C_3}$.
આમ,સરવાળો ${^3C_3} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = {^4C_3} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ થાય.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,પ્રથમ $49$ પદોનો સરવાળો ${^{50}C_3}$ મળે છે.
તેથી,કુલ સહગુણક ${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ $(3n+1) \cdot {^{51}C_3}$ બરાબર છે.
નોંધો કે ${^{51}C_3} = {^{50}C_3} + {^{50}C_2}$.
તેથી,${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = (3n+1)({^{50}C_3} + {^{50}C_2})$.
$16 + m^2 = 51n + 17$ મળે છે.
$m^2 = 51n + 1$.
$n=5$ માટે,$m^2 = 256 = 16^2$,તેથી $m=16$.
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(B) $(ax^2 + \frac{70}{27bx})^4$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^4C_r (ax^2)^{4-r} (\frac{70}{27bx})^r = {}^4C_r a^{4-r} (\frac{70}{27b})^r x^{8-3r}$ છે.
$x^5$ ના સહગુણક માટે,$8-3r = 5$ લેતા,$r=1$ મળે છે.
સહગુણક ${}^4C_1 a^3 (\frac{70}{27b}) = 4a^3 \cdot \frac{70}{27b} = \frac{280a^3}{27b}$ થાય.
$(ax - \frac{1}{bx^2})^7$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^7C_r (ax)^{7-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^7C_r a^{7-r} (-\frac{1}{b})^r x^{7-3r}$ છે.
$x^{-5}$ ના સહગુણક માટે,$7-3r = -5$ લેતા,$3r = 12$,એટલે કે $r=4$ મળે છે.
સહગુણક ${}^7C_4 a^3 (-\frac{1}{b})^4 = 35 \cdot \frac{a^3}{b^4} = \frac{35a^3}{b^4}$ થાય.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા: $\frac{35a^3}{b^4} = \frac{280a^3}{27b}$.
$35a^3$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ હોવાથી),$\frac{1}{b^3} = \frac{8}{27}$ મળે છે.
આમ,$b^3 = \frac{27}{8}$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{3}{2}$.
તેથી,$2b = 2(\frac{3}{2}) = 3$.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ છે. તેમના સહગુણકો ${}^{n+5}C_{r-1}, {}^{n+5}C_r, {}^{n+5}C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^{n+5}C_{r-1} : {}^{n+5}C_r : {}^{n+5}C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ છે.
$\frac{{}^{n+5}C_r}{{}^{n+5}C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ પરથી,$\frac{(n+5)-r+1}{r} = 2 \Rightarrow n+6 = 3r$.
$\frac{{}^{n+5}C_{r+1}}{{}^{n+5}C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ પરથી,$\frac{(n+5)-r}{r+1} = \frac{7}{5}$ $\Rightarrow 5n + 25 - 5r = 7r + 7$ $\Rightarrow 5n + 18 = 12r$.
$r = \frac{n+6}{3}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $5n + 18 = 12(\frac{n+6}{3}) = 4(n+6) = 4n + 24$.
આમ,$n = 24 - 18 = 6$.

(C) આપણે $(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{11}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ $2a + 3b + 4c = 11$ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા સમાન છે,જ્યાં $0 \le a \le 4$,$0 \le b \le 7$,અને $0 \le c \le 12$ છે.
શક્ય $(a, b, c)$ ના સંયોજનો:
$1$. જો $b=1$ હોય,તો $2a + 4c = 8 \implies a + 2c = 4$. શક્ય $(a, c)$ એ $(4, 0), (2, 1), (0, 2)$ છે.
$2$. જો $b=3$ હોય,તો $2a + 4c = 2 \implies a + 2c = 1$. શક્ય $(a, c)$ એ $(1, 0)$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય $\binom{n}{r}$ નો ઉપયોગ કરીને સહગુણકોની ગણતરી:
- $(a, b, c) = (4, 1, 0)$ માટે: $\binom{4}{4} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{0} = 7$.
- $(a, b, c) = (2, 1, 1)$ માટે: $\binom{4}{2} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{1} = 504$.
- $(a, b, c) = (0, 1, 2)$ માટે: $\binom{4}{0} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{2} = 462$.
- $(a, b, c) = (1, 3, 0)$ માટે: $\binom{4}{1} \times \binom{7}{3} \times \binom{12}{0} = 140$.
સરવાળો: $7 + 504 + 462 + 140 = 1113$.

(B) $(1+x)^{n+4}$ ના $5^{\text{th}}$,$6^{\text{th}}$ અને $7^{\text{th}}$ પદના સહગુણકો $^{n+4}C_4$,$^{n+4}C_5$ અને $^{n+4}C_6$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2 \times ^{n+4}C_5 = ^{n+4}C_4 + ^{n+4}C_6$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$n^2 - 13n + 30 = 0$ મળે છે.
$n=3$ અથવા $n=10$ મળે,પરંતુ $n \neq 10$ હોવાથી $n=3$ લેતા.
તેથી,$(1+x)^7$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક $^{7}C_3 = 35$ છે.

(B) $(1+x)^m$ ના વિસ્તરણમાં $r^{\text{th}}$ પદ $T_r = {}^{m}C_{r-1} x^{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણ માટે:
$30^{\text{th}}$ પદ $T_{30} = {}^{2n-1}C_{29} x^{29}$ છે,તેથી $A = {}^{2n-1}C_{29}$.
$12^{\text{th}}$ પદ $T_{12} = {}^{2n-1}C_{11} x^{11}$ છે,તેથી $B = {}^{2n-1}C_{11}$.
આપેલ છે કે $2A = 5B$,તેથી $2({}^{2n-1}C_{29}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{2n-1}C_{29} = {}^{2n-1}C_{2n-30}$.
તેથી,$2({}^{2n-1}C_{2n-30}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$.
$n=21$ મુકતા,$2n-1 = 41$.
$2({}^{41}C_{29}) = 5({}^{41}C_{11})$.
$2 \times \frac{41!}{12! 29!} = 5 \times \frac{41!}{11! 30!} \implies \frac{2}{12} = \frac{5}{30} \implies \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ,$n = 21$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,ઘાતાંકો $\frac{n-r}{3}$ અને $\frac{r}{12}$ બંને પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $12$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી $r \in \{0, 12, 24, \dots, 12k\}$.
વધુમાં,$n-r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $r$ એ $12$ નો ગુણક હોવાથી,તે $3$ નો પણ ગુણક છે,જે સૂચવે છે કે $n$ પણ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
અહીં $183$ પૂર્ણાંક પદો છે,તેથી $r$ ની કિંમતો $0, 12, 24, \dots, 12 \times 182$ થશે.
$r$ ની મહત્તમ કિંમત $12 \times 182 = 2184$ છે.
$r \le n$ હોવાથી,$183$ પદો મેળવવા માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $n = 2184$ છે.

(A) ધારો કે પદાવલિ $E = \left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ છે.
સૂત્ર $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$ મળે.
બીજા પદ માટે,$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 1 + x^{-1/2}$ મળે.
તેથી,$E = \left(x^{1/3}-x^{-1/2}\right)^{10}$ થાય.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$.
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$.
તેથી,પદ ${}^{10}C_4 (-1)^4 = 210$ મળે.

(D) $(2+\sqrt{3})^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^8 C_r (2)^{8-r} (\sqrt{3})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$r$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
સંમેય પદોનો સરવાળો:
$S = { }^8 C_0 (2)^8 + { }^8 C_2 (2)^6 (\sqrt{3})^2 + { }^8 C_4 (2)^4 (\sqrt{3})^4 + { }^8 C_6 (2)^2 (\sqrt{3})^6 + { }^8 C_8 (\sqrt{3})^8$
$S = 1 \cdot 256 + 28 \cdot 64 \cdot 3 + 70 \cdot 16 \cdot 9 + 28 \cdot 4 \cdot 27 + 1 \cdot 81$
$S = 256 + 5376 + 10080 + 3024 + 81$
$S = 18817$

(C) આપેલ પદ $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$ છે.
સરવાળાને બે ભાગમાં વહેંચતા:
$\sum_{r=1}^9 \frac{r}{2^r} {}^9C_r + 3 \sum_{r=1}^9 \frac{1}{2^r} {}^9C_r$.
નિત્યસમ $r \cdot {}^nC_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ ભાગ:
$\frac{9}{2} \sum_{r=1}^9 {}^8C_{r-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r-1} = \frac{9}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)^8 = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9$.
બીજો ભાગ:
$3 \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right)^9 - 1 \right] = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$6 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
સરખામણી કરતા $\alpha = 6$ અને $\beta = 3$ મળે છે.
તેથી,$(\alpha + \beta)^2 = (6 + 3)^2 = 81$.

(C) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^n C_r (2^{1/3})^{n-r} (3^{-1/3})^r$ છે.
શરૂઆતથી $15^{\text{th}}$ પદ $T_{15} = {}^n C_{14} (2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}$ છે.
અંતથી $15^{\text{th}}$ પદ એ શરૂઆતથી $(n-14)^{\text{th}}$ પદ છે,જે $T'_{15} = {}^n C_{n-14} (2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_{15}}{T'_{15}} = \frac{1}{6}$ અને ${}^n C_{14} = {}^n C_{n-14}$ હોવાથી:
$\frac{(2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}}{(2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}} = \frac{1}{6}$
$(6^{1/3})^{n-28} = 6^{-1}$
$\frac{n-28}{3} = -1 \Rightarrow n = 25$.
તેથી,${}^{25} C_3 = \frac{25 \times 24 \times 23}{6} = 2300$.

(D) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{1016}C_{r} (5^{\frac{1}{2}})^{1016-r} (7^{\frac{1}{8}})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$5$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$7$ નો ઘાતાંક $\frac{r}{8}$ છે,તેથી $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$5$ નો ઘાતાંક $\frac{1016-r}{2} = 508 - \frac{r}{2}$ છે. આ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી તે આપોઆપ બેકી સંખ્યા છે.
આમ,$r \in \{0, 8, 16, \dots, 1016\}$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 8$,અને છેલ્લું પદ $l = 1016$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$1016 = 0 + (n-1)8$ મળે છે.
$n-1 = \frac{1016}{8} = 127$.
$n = 128$.
તેથી,કુલ $128$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(B) $(1 + \frac{2}{5}x)^{23}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{23}{r} (\frac{2}{5}x)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહગુણક $a_r = \binom{23}{r} (\frac{2}{5})^r$ છે.
સૌથી મોટો સહગુણક $a_r$ શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{a_r}{a_{r-1}} \geq 1$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\frac{\binom{23}{r} (\frac{2}{5})^r}{\binom{23}{r-1} (\frac{2}{5})^{r-1}} \geq 1$
$\frac{23-r+1}{r} \times \frac{2}{5} \geq 1$
$\frac{24-r}{r} \times \frac{2}{5} \geq 1$
$48 - 2r \geq 5r$
$48 \geq 7r$
$r \leq \frac{48}{7} \approx 6.85$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી મોટો સહગુણક $r = 6$ પર મળે છે.

(B) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-1})^r = {}^nC_r x^{2n-3r}$ છે.
$n$ બેકી હોવાથી,મધ્યમ પદ $(\frac{n}{2} + 1)$-મું પદ છે,જ્યાં $r = \frac{n}{2}$ છે.
$r = \frac{n}{2}$ મૂકતા,આપણને $T_{\frac{n}{2}+1} = {}^nC_{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યમ પદ $924 x^6$ છે,તેથી $\frac{n}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n = 12$.
સહગુણક તપાસતા: ${}^{12}C_6 = 924$.
આમ,$n = 12$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) $(x^2 - x^{-2})^{16}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (x^2)^{16-r} (-x^{-2})^r$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-2r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-4r}$
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાત $0$ હોવો જોઈએ:
$32 - 4r = 0 \implies 4r = 32 \implies r = 8$
$r = 8$ મૂકતા:
$T_{8+1} = ^{16}C_{8} (-1)^8 x^{32-4(8)} = ^{16}C_{8} (1) (1) = ^{16}C_{8}$

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n=14$,$a=x$,$b=\frac{1}{\sqrt{x}}$,અને આપણે $11$ મું પદ શોધવાનું છે,તેથી $r+1=11$,જેનો અર્થ છે $r=10$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^{14-10} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^{1/2}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^5}\right)$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} \cdot \frac{1}{x}$
${}^{14}C_{10} = {}^{14}C_{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,$T_{11} = \frac{1001}{x}$.

(D) $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $13^{th}$ પદ સામાન્ય પદના સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = 12$ માટે,આપણી પાસે છે:
$T_{13} = {}^{n}C_{12} (x^{2})^{n-12} (\frac{2}{x})^{12}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} x^{2n-24} \cdot \frac{2^{12}}{x^{12}}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} \cdot 2^{12} \cdot x^{2n-36}$
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$2n - 36 = 0$ $\Rightarrow 2n = 36$ $\Rightarrow n = 18$.
$n = 18$ ના ભાજકો $1, 2, 3, 6, 9, 18$ છે.
ભાજકોનો સરવાળો $1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{15}$ છે.
$x^{r}$ નો સહગુણક $^{15}C_{r}$ છે અને $x^{r+3}$ નો સહગુણક $^{15}C_{r+3}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સહગુણકો સમાન છે:
$^{15}C_{r} = ^{15}C_{r+3}$
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
અહીં,$r \neq r+3$,તેથી $r + (r+3) = 15$ લેતા.
$2r + 3 = 15$
$2r = 12$
$r = 6$

(D) વિસ્તરણ $(x+a)^{n}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ છે.
આપેલ વિસ્તરણ $\left(3x - \frac{1}{2x}\right)^{8}$ માટે,$n = 8$ છે.
નવમું પદ $(T_{9})$ શોધવા માટે,$r+1 = 9$ લેતા,$r = 8$ મળે.
સૂત્રમાં $n = 8$,$r = 8$,$x = 3x$,અને $a = -\frac{1}{2x}$ મૂકતા:
$T_{9} = {}^{8}C_{8} (3x)^{8-8} \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot (3x)^{0} \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{(-1)^{8}}{2^{8} x^{8}}$
$T_{9} = \frac{1}{256x^{8}}$