$(x - \frac{3}{x^2})^m$ ના વિસ્તરણમાં પ્રથમ ત્રણ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો $559$ છે,જ્યાં $x \neq 0$ અને $m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. $x^3$ ધરાવતું પદ શોધો. ($x^3$ માં)

$(1 + x)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં જો $(2r + 4)$ માં પદનો શૂન્યતર સહગુણક એ $(r - 2)$ માં પદના શૂન્યતર સહગુણક કરતા મોટો હોય,તો $r$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$(1+\frac{1}{x})^n$ નું $x$ ની વધતી જતી ઘાતમાં વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે. જો આ વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક સહગુણકોનો ગુણોત્તર $2:5:12$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1+3x-2x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ $(r=0, 1, 2, \ldots, 2n)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $128$ હોય,તો $\sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = $

જો $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો દરેક આવી ક્રમયુક્ત જોડી $(a, b)$ માટે:

$(1+x)^{n+5}$ ના ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $5: 10: 14$ છે. તો $n=$