General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(A) $(3^{1/8} + 5^{1/3})^{400}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{400}C_r (3^{1/8})^{400-r} (5^{1/3})^r$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $T_{r+1} = ^{400}C_r \cdot 3^{(50 - r/8)} \cdot 5^{r/3}$ મળે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
તેથી,$r$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ અને $r$ એ $3$ વડે પણ વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $\text{lcm}(8, 3) = 24$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 400$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 24, 48, \dots, 24k$ છે જ્યાં $24k \le 400$.
$24k \le 400$ ઉકેલતા $k \le 16.66$ મળે,તેથી $k$ ની કિંમત $0$ થી $16$ સુધી હોઈ શકે.
આવી કિંમતોની કુલ સંખ્યા $16 - 0 + 1 = 17$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $P(x) = \prod_{k=1}^{10} (x - k)^{k+1}$ છે.
બહુપદીની કુલ ઘાત $\sum_{k=1}^{10} (k+1) = 55 + 10 = 65$ છે.
ધારો કે $P(x) = a_{65}x^{65} + a_{64}x^{64} + \dots + a_0$.
અગ્ર સહગુણક $1$ હોવાથી,$a_{65} = 1$.
સહગુણક $a_{64}$ એ બીજોના સરવાળાના ઋણ મૂલ્ય જેટલો છે: $a_{64} = -\sum_{k=1}^{10} k(k+1)$.
$a_{64} = -\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k) = -[385 + 55] = -440$.

(C) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)$-મું પદ $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left( \frac{3}{2}x^2 \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3x} \right)^r = \binom{9}{r} (-1)^r \frac{3^{9-2r}}{2^{9-r}} x^{18-3r}$ છે.
$(1+x+2x^3) \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ માં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે,આપણે $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ ના વિસ્તરણમાં $x^0, x^{-1}$ અને $x^{-3}$ ના સહગુણકો શોધવા પડે.
$x^0$ માટે $r=6$,$x^{-1}$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી,અને $x^{-3}$ માટે $r=7$ મળે છે.
તેથી,$x$ થી સ્વતંત્ર પદનો સહગુણક $1 \cdot \binom{9}{6} (-1)^6 \frac{3^{-3}}{2^3} + 2 \cdot \binom{9}{7} (-1)^7 \frac{3^{-5}}{2^2} = \frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$ થાય.

(A) $\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{2 x^{2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)^{th}$ પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {^{10}C_r} \left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)^{10-r} \left(\frac{3}{2x^2}\right)^r$
$= {^{10}C_r} \frac{x^{(10-r)/2}}{3^{(10-r)/2}} \cdot \frac{3^r}{2^r x^{2r}}$
$= {^{10}C_r} \frac{3^{r - (10-r)/2}}{2^r} x^{(10-r)/2 - 2r}$
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0 \implies 10 - r - 4r = 0 \implies 5r = 10 \implies r = 2$
$r=2$ મૂકતા,સહગુણક:
સહગુણક $= {^{10}C_2} \cdot \frac{3^{2 - (10-2)/2}}{2^2} = {^{10}C_2} \cdot \frac{3^{2-4}}{4} = \frac{10 \times 9}{2} \cdot \frac{3^{-2}}{4} = 45 \cdot \frac{1}{9 \times 4} = \frac{45}{36} = \frac{5}{4}$

(D) ${\left( 7^{\frac{1}{7}} + 11^{\frac{1}{11}} \right)^{711}}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{711}C_r \cdot 7^{\frac{711-r}{7}} \cdot 11^{\frac{r}{11}}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$7$ અને $11$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$1$) $\frac{r}{11} = k_1 \Rightarrow r = 11k_1$,જ્યાં $k_1 \in \{0, 1, 2, \dots, 64\}$.
$2$) $\frac{711-r}{7} = k_2 \Rightarrow r \equiv 4 \pmod{7}$.
$r = 11k_1$ ને બીજી શરતમાં મૂકતા: $11k_1 \equiv 4 \pmod{7}$ $\Rightarrow 4k_1 \equiv 4 \pmod{7}$ $\Rightarrow k_1 \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,$k_1$ ની શક્ય કિંમતો $1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64$ છે.
આમ,કુલ $10$ સંમેય પદો મળે છે.

(C) પદાવલિ $(1 - x^4)^4 (1 + x)^5$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 - x^4)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (-x^4)^k = \binom{4}{0} - \binom{4}{1}x^4 + \binom{4}{2}x^8 - \dots$
અને $(1 + x)^5 = \sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} x^r = \binom{5}{0} + \binom{5}{1}x + \dots + \binom{5}{4}x^4 + \dots + \binom{5}{8}x^8$ (જ્યાં $\binom{5}{8}=0$).
ગુણાકારમાં $x^8$ નો સહગુણક મેળવવા માટે:
$(\binom{4}{0} - \binom{4}{1}x^4 + \binom{4}{2}x^8) (\binom{5}{0} + \binom{5}{1}x + \dots + \binom{5}{4}x^4 + \dots + \binom{5}{8}x^8)$
$x^8$ માં ફાળો આપતા પદો:
$1. \binom{4}{2}x^8 \times \binom{5}{0} = 6 \times 1 = 6$
$2. -\binom{4}{1}x^4 \times \binom{5}{4}x^4 = -4 \times 5 = -20$
$3. \binom{4}{0} \times \binom{5}{8}x^8 = 1 \times 0 = 0$
કુલ સહગુણક $= 6 - 20 = -14$.

(A) દ્વિપદી પદાવલિ ${\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)^9}$ છે.
અહીં,$n = 9$ એકી સંખ્યા છે,તેથી બે મધ્યમ પદો મળે: $\left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}$ અને $\left( \frac{n+3}{2} \right)^{th}$ પદ.
આ $5^{th}$ અને $6^{th}$ પદ છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r (a)^{n-r} (b)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r=4$ માટે ($5^{th}$ પદ): $T_5 = {}^9C_4 (3x)^5 (-\frac{x^3}{6})^4 = \frac{189}{8} x^{17}$.
$r=5$ માટે ($6^{th}$ પદ): $T_6 = {}^9C_5 (3x)^4 (-\frac{x^3}{6})^5 = -\frac{21}{16} x^{19}$.
આમ,મધ્યમ પદો $-\frac{21}{16}x^{19}$ અને $\frac{189}{8}x^{17}$ છે.

(C) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં અંતથી $r^{th}$ પદ શોધવા માટે,આપણે પદોને ઉલટાવીને $(b + a)^n$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
અહીં,પદાવલિ $(-x^{-2} + 3x)^{10}$ છે.
શરૂઆતથી $r^{th}$ પદનું સૂત્ર $T_r = {^{n}C_{r-1}} (a)^{n-(r-1)} (b)^{r-1}$ છે.
અંતથી $5^{th}$ પદ $(r=5)$ માટે,$n=10$,$a = -x^{-2}$,અને $b = 3x$ લેતા:
$T_5 = {^{10}C_{4}} (-x^{-2})^6 (3x)^4$.
$T_5 = 210 \times (x^{-12}) \times (81x^4)$.
$T_5 = 17010 \times x^{-8} = \frac{17010}{x^8}$.

(A) આપણે $(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ ના વિસ્તરણમાં $t^{50}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^{25} {}^{25}C_k t^{2k}$ હોવાથી,તેમાં માત્ર $t$ ની બેકી ઘાત જ મળે છે.
તેથી,બીજા ભાગમાંથી આપણે માત્ર $t$ ની એવી બેકી ઘાત ધ્યાનમાં લઈશું જે $50$ કે તેથી ઓછી હોય.
આવી પદો $1$ અને $t^{40}$ છે.
$1$ માટે,$(1 + t^2)^{25}$ માં $t^{50}$ નો સહગુણક ${}^{25}C_{25} = 1$ છે.
$t^{40}$ માટે,$(1 + t^2)^{25}$ માં $t^{10}$ નો સહગુણક ${}^{25}C_5$ છે.
તેથી,$t^{50}$ નો કુલ સહગુણક $1 + {}^{25}C_5$ થાય.

(D) ધારો કે $P(x) = \left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}+\left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}$.
પદોનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$P(x) = \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8} + \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8}$.
$P(x) = \frac{1}{2^8} \left[ (\sqrt{5x^3+1} + \sqrt{5x^3-1})^8 + (\sqrt{5x^3+1} - \sqrt{5x^3-1})^8 \right]$.
$(a+b)^8 + (a-b)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} a^{8-k} b^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(x) = \frac{2}{2^8} \left[ \binom{8}{0} (5x^3+1)^4 + \binom{8}{2} (5x^3+1)^3(5x^3-1) + \binom{8}{4} (5x^3+1)^2(5x^3-1)^2 + \binom{8}{6} (5x^3+1)(5x^3-1)^3 + \binom{8}{8} (5x^3-1)^4 \right]$.
$x$ ની મહત્તમ ઘાત $x^{3 \times 4} = x^{12}$ છે,તેથી $n = 12$.
$x^{12}$ નો સહગુણક $\frac{2}{2^8} \times 5^4 \times \left[ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} \right]$ છે.
$\sum_{k \text{ even}} \binom{8}{k} = 2^{8-1} = 2^7$ હોવાથી,
$m = \frac{2}{2^8} \times 5^4 \times 2^7 = \frac{2^8}{2^8} \times 5^4 \times 2^3 = 8 \times 10^4$.
આમ,$(n, m) = (12, 8(10)^4)$.

(A) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
ધારો કે $u = x^{1/3}$ અને $v = x^{1/2}$.
પ્રથમ પદ $\frac{u^3 + 1}{u^2 - u + 1} = \frac{(u+1)(u^2 - u + 1)}{u^2 - u + 1} = u + 1 = x^{1/3} + 1$ થાય.
બીજું પદ $\frac{v^2 - 1}{v(v - 1)} = \frac{(v-1)(v+1)}{v(v-1)} = \frac{v+1}{v} = 1 + \frac{1}{v} = 1 + x^{-1/2}$ થાય.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$.
હવે,$(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ માં $x^{-5}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {^{10}C_r} (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {^{10}C_r} (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
ઘાતને $-5$ સાથે સરખાવતા: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = -5$.
$6$ વડે ગુણતા: $2(10-r) - 3r = -30 \implies 20 - 2r - 3r = -30 \implies 50 = 5r \implies r = 10$.
સહગુણક ${^{10}C_{10}} (-1)^{10} = 1 \times 1 = 1$ થાય.

(B) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{18}C_{r} (x^{1/3})^{18-r} (\frac{1}{2x^{1/3}})^r$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = ^{18}C_{r} \cdot \frac{1}{2^r} \cdot x^{6 - 2r/3}$ મળે છે.
$x^{-2}$ ના સહગુણક માટે,$6 - \frac{2r}{3} = -2$ લેતા,$\frac{2r}{3} = 8$,તેથી $r = 12$ મળે.
આમ,$m = ^{18}C_{12} \cdot \frac{1}{2^{12}}$.
$x^{-4}$ ના સહગુણક માટે,$6 - \frac{2r}{3} = -4$ લેતા,$\frac{2r}{3} = 10$,તેથી $r = 15$ મળે.
આમ,$n = ^{18}C_{15} \cdot \frac{1}{2^{15}}$.
હવે,$\frac{m}{n} = \frac{^{18}C_{12} \cdot 2^{-12}}{^{18}C_{15} \cdot 2^{-15}} = \frac{^{18}C_{12}}{^{18}C_{15}} \cdot 2^3 = 182$.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_{r+1}, T_{r+2},$ અને $T_{r+3}$ છે. તેમના સહગુણકો $^{n}C_{r}, ^{n}C_{r+1},$ અને $^{n}C_{r+2}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^{n}C_{r} : ^{n}C_{r+1} : ^{n}C_{r+2} = 1 : 7 : 42$ છે.
$\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_{r}} = \frac{7}{1}$ પરથી,$\frac{n-r}{r+1} = 7 \implies n = 8r+7$ મળે.
$\frac{^{n}C_{r+2}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{42}{7} = 6$ પરથી,$\frac{n-(r+1)}{r+2} = 6 \implies n = 7r+13$ મળે.
$n$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $8r+7 = 7r+13 \implies r = 6.$
આથી,પ્રથમ પદ $T_{r+1} = T_{6+1} = T_{7}$ એટલે કે $7^{th}$ પદ છે.

(C) $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^8$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^8C_r (2x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r = ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદાવલિ $\left( 1 - x^{-1} + 3x^5 \right) \sum_{r=0}^8 {^8C_r} 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} - x^{-1} \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} + 3x^5 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે:
$1$. પ્રથમ ભાગમાંથી,$16-3r = 0 \implies r = 16/3$ (પૂર્ણાંક નથી).
$2$. બીજા ભાગમાંથી,$16-3r-1 = 0 \implies 15-3r = 0 \implies r = 5$. સહગુણક $- ^8C_5 2^{8-5} (-1)^5 = -56 \cdot 8 \cdot (-1) = 448$ છે.
$3$. ત્રીજા ભાગમાંથી,$16-3r+5 = 0 \implies 21-3r = 0 \implies r = 7$. સહગુણક $3 \cdot ^8C_7 2^{8-7} (-1)^7 = 3 \cdot 8 \cdot 2 \cdot (-1) = -48$ છે.
આનો સરવાળો કરતા,અચળ પદ $448 - 48 = 400$ મળે છે.

(A) ધારો કે $(r+1)$ મું અને $(r+2)$ મું પદ સમાન સહગુણક ધરાવે છે.
${\left(2+\frac{x}{3}\right)^{55} = 2^{55}\left(1+\frac{x}{6}\right)^{55}}$
$(r+1)$ મું પદ $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \left(\frac{x}{6}\right)^r$ છે. $x^r$ નો સહગુણક $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r}$ છે.
$(r+2)$ મું પદ $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \left(\frac{x}{6}\right)^{r+1}$ છે. $x^{r+1}$ નો સહગુણક $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા:
${}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r} = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$
${}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6}$
$6 \cdot {}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1}$
$6 \cdot \frac{55!}{r!(55-r)!} = \frac{55!}{(r+1)!(54-r)!}$
$\frac{6}{55-r} = \frac{1}{r+1}$
$6(r+1) = 55-r$
$7r = 49$
$r = 7$
આમ,પદો $(r+1) = 8$ મું અને $(r+2) = 9$ મું છે.

(D) $(x^2 + \frac{2}{x})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{15}C_r (x^2)^{15-r} (2x^{-1})^r = ^{15}C_r \cdot 2^r \cdot x^{30-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ લેતા:
$30 - 3r = 0 \Rightarrow r = 10$.
તેથી,સ્વતંત્ર પદ $T_{11} = ^{15}C_{10} \cdot 2^{10}$ છે.
$x^{15}$ ના સહગુણક માટે,$x$ નો ઘાતાંક $15$ લેતા:
$30 - 3r = 15$ $\Rightarrow 3r = 15$ $\Rightarrow r = 5$.
તેથી,$x^{15}$ નો સહગુણક $^{15}C_5 \cdot 2^5$ છે.
માગેલ ગુણોત્તર $\frac{^{15}C_5 \cdot 2^5}{^{15}C_{10} \cdot 2^{10}}$ છે.
કારણ કે $^{15}C_5 = ^{15}C_{10}$,ગુણોત્તર $\frac{2^5}{2^{10}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ એટલે કે $1:32$ થાય છે.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$7^{th}$ પદ માટે,$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.
અહીં,$n = 9$,$a = \frac{3}{\sqrt[3]{84}}$,અને $b = \sqrt{3} \ln x$.
$T_7 = ^9C_6 \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^{9-6} (\sqrt{3} \ln x)^6 = 729$.
$^9C_6 = ^9C_3 = 84$.
$T_7 = 84 \times \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^3 \times (\sqrt{3})^6 \times (\ln x)^6 = 729$.
$T_7 = 84 \times \frac{27}{84} \times 27 \times (\ln x)^6 = 729$.
$729 \times (\ln x)^6 = 729$.
$(\ln x)^6 = 1$.
$x > 0$ હોવાથી,$\ln x = 1$ અથવા $\ln x = -1$.
તેથી,$x = e$ અથવા $x = \frac{1}{e}$.

(D) $(2^{1/2} + 3^{1/5})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
તેથી,$(10-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
વળી,$r/5$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 10$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $10$ છે.
$r = 0$ માટે,$T_1 = ^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 32$.
$r = 10$ માટે,$T_{11} = ^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 9$.
સંમેય પદોનો સરવાળો $32 + 9 = 41$ થાય.

(A) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = ^{2n}C_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^{3r}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{3r}$ છે અને $x^{r+2}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{r+2}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે,તેથી $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_a = ^{n}C_b \Rightarrow a = b$ અથવા $a + b = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$. જોકે,પ્રશ્નમાં $r > 1$ આપેલ છે,તેથી આ કિસ્સો અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow n = 2r + 1$.
આમ,$n = 2r + 1$.

(D) The given expression is a finite geometric series with first term $a = 1$, common ratio $r = -(y - 1)$, and $n = 18$ terms.
The sum is given by $f(y) = \frac{1 - (-(y - 1))^{18}}{1 - (-(y - 1))} = \frac{1 - (y - 1)^{18}}{y}$.
Thus, $f(y) = \frac{1}{y} - \frac{(y - 1)^{18}}{y}$.
Expanding $(y - 1)^{18}$ using the binomial theorem: $(y - 1)^{18} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^k (-1)^{18-k}$.
Therefore, $\frac{(y - 1)^{18}}{y} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$.
To find the coefficient of $y^2$, we set $k - 1 = 2$, which gives $k = 3$.
The term for $k = 3$ is ${^{18}C_3} y^2 (-1)^{18-3} = -{^{18}C_3} y^2$.
Since $f(y) = \frac{1}{y} - \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$, the coefficient of $y^2$ is $-(-{^{18}C_3}) = {^{18}C_3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ ${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}{\left( {1 - x} \right)^n}$ છે.
તેને ${\left( \frac{x-1}{x} \right)^n} {(1-x)^n} = {(-1)^n} {x^{-n}} {(1-x)^{2n}}$ તરીકે લખી શકાય.
${(1-x)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં $2n+1$ પદો છે.
મધ્યમ પદ ${\left( \frac{2n+1+1}{2} \right)}^{\text{th}} = {(n+1)}^{\text{th}}$ પદ છે.
${(1-x)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n}C_r {(-x)^r} = {}^{2n}C_r {(-1)^r} {x^r}$ છે.
$(n+1)^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=n$ લેતા,આપણને ${}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n}$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા: ${(-1)^n} {x^{-n}} \cdot {}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n} = {(-1)^{2n}} {}^{2n}C_n = {}^{2n}C_n$ (કારણ કે $2n$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી ${(-1)^{2n}} = 1$).

(B) આપેલ પદાવલિ $(1-t^6)^3 (1-t)^{-3}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1-t^6)^3$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18})$ મળે છે.
આપણે $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}) (1-t)^{-3}$ ના ગુણાકારમાં $t^4$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આપણને ફક્ત $t^4$ ના પદની જરૂર હોવાથી,આપણે પ્રથમ કૌંસમાંથી અચળ પદ $1$ લઈએ છીએ અને તેનો ગુણાકાર $(1-t)^{-3}$ ના વિસ્તરણમાં $t^4$ ના સહગુણક સાથે કરીએ છીએ.
$(1-t)^{-n}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{r=0}^{\infty} {^{n+r-1}C_r} t^r$ છે.
$n=3$ માટે,$t^4$ નો સહગુણક $^{3+4-1}C_4 = ^{6}C_4 = ^{6}C_2$ છે.
$^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

(A) $(1 + x^{\log_2 x})^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^5C_r (x^{\log_2 x})^r$ છે.
ત્રીજા પદ માટે,$r = 2$,તેથી $T_3 = ^5C_2 (x^{\log_2 x})^2$.
આપેલ છે કે $T_3 = 2560$,તેથી $10 (x^{\log_2 x})^2 = 2560$.
$(x^{\log_2 x})^2 = 256$.
બંને બાજુ આધાર $2$ પર લઘુગણક લેતા:
$2 \log_2 (x^{\log_2 x}) = \log_2 (256)$.
$2 (\log_2 x)(\log_2 x) = 8$.
$(\log_2 x)^2 = 4$.
$\log_2 x = \pm 2$.
જો $\log_2 x = 2$,તો $x = 2^2 = 4$.
જો $\log_2 x = -2$,તો $x = 2^{-2} = 1/4$.
આમ,$x$ ની એક શક્ય કિંમત $1/4$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^2 \left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ છે.
$\left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/2})^{10-r} (\lambda x^{-2})^r$ છે.
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2}$.
બહારના $x^2$ સાથે ગુણતા,કુલ પદાવલિનું સામાન્ય પદ ${}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2 + 2}$ મળે.
$x^2$ નો સહગુણક શોધવા માટે,ઘાતને $2$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{10-5r}{2} + 2 = 2$ $\Rightarrow 10-5r = 0$ $\Rightarrow r = 2$.
$r=2$ મૂકતા:
${}^{10}C_2 \lambda^2 = 720$.
${}^{10}C_2 = 45$ હોવાથી,$45 \lambda^2 = 720$.
$\lambda^2 = 16$.
$\lambda$ ધન હોવાથી,$\lambda = 4$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $n=8$ પદો છે,તેથી મધ્યમ પદ $\left(\frac{8}{2} + 1\right) = 5$ મું પદ છે.
સામાન્ય પદ $t_{r+1} = ^{8}C_{r} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{8-r} \left(\frac{3}{x}\right)^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$ મા પદ માટે,$r=4$:
$t_{5} = ^{8}C_{4} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{4} \left(\frac{3}{x}\right)^{4} = 5670$
$^{8}C_{4} = 70$.
$70 \times \frac{x^{12}}{3^{4}} \times \frac{3^{4}}{x^{4}} = 5670$
$70 \times x^{8} = 5670$
$x^{8} = 81$
$x^{8} = 81 \implies x^{4} = 9 \implies x^{2} = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$.
$x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$ છે.

(C) આપેલ વિસ્તરણ: $(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{50}x^{50}$.
$a_0$ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$a_0 = (0 + 10)^{50} + (0 - 10)^{50} = 10^{50} + 10^{50} = 2 \times 10^{50}$.
$a_2$ શોધવા માટે,$(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50}$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક મેળવીએ.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}$.
$(x + 10)^{50}$ માટે,$x^2$ વાળું પદ $\binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ છે.
$(x - 10)^{50}$ માટે,$x^2$ વાળું પદ $\binom{50}{2} x^2 (-10)^{48} = \binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ છે.
તેથી,$a_2 = \binom{50}{2} (10)^{48} + \binom{50}{2} (10)^{48} = 2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a_2}{a_0}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{a_2}{a_0} = \frac{2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}}{2 \times 10^{50}} = \frac{\binom{50}{2}}{10^2} = \frac{\frac{50 \times 49}{2}}{100} = \frac{1225}{100} = 12.25$.

(C) ધારો કે વિસ્તરણ $(a+b)^n$ છે,જ્યાં $a = 2^{1/3}$,$b = \frac{1}{2(3)^{1/3}}$,અને $n = 10$ છે.
શરૂઆતથી $r$ મું પદ $T_r = {}^{n}C_{r-1} a^{n-r+1} b^{r-1}$ છે.
શરૂઆતથી $5$ મું પદ $T_5 = {}^{10}C_4 (2^{1/3})^6 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^4 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^2 (3)^{4/3}}$ છે.
અંતથી $5$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(10-5+2) = 7$ મું પદ છે.
$T_7 = {}^{10}C_6 (2^{1/3})^4 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^6 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^{14/3} (3)^2}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T_7} = \frac{2^{14/3}}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^{4/3}} = 2^{8/3} \cdot 3^{2/3} = (144)^{1/3} = 4(36)^{1/3}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $4(36)^{1/3} : 1$ છે.

(D) $(7^{1/5} - 3^{1/10})^{60}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{60}C_{r} (7^{1/5})^{60-r} (-3^{1/10})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = ^{60}C_{r} (-1)^{r} (7)^{12 - r/5} (3)^{r/10}$ મળે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$7$ અને $3$ ના ઘાતાંકો પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આ માટે $r/5$ અને $r/10$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $10$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 60$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 10, 20, 30, 40, 50, 60$ છે.
આવી $7$ કિંમતો છે,તેથી $7$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $60 + 1 = 61$ છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $61 - 7 = 54$ છે.

(D) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
અહીં $n=6$,$a = x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)}$,અને $b = x^{\frac{1}{12}}$ છે.
ચોથું પદ $(T_4)$ માટે $r=3$ લેતા:
$T_4 = ^6C_3 \cdot (x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)})^3 \cdot (x^{\frac{1}{12}})^3 = 200$.
$20 \cdot x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x)} \cdot x^{\frac{1}{4}} = 200$.
$x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x) + \frac{1}{4}} = 10$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા,ધારો કે $t = \log_{10} x$:
$-\frac{3}{2}(1+t)t + \frac{1}{4} = 1$.
$-6t^2 - 6t - 3 = 0 \Rightarrow 2t^2 + 2t + 1 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(2)(1) = -4 < 0$ છે.
તેથી,$x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ છે.
અહીં $n=6$,$a = \frac{2}{x}$,અને $b = x^{\log_8 x}$ છે.
ચોથું પદ $T_4 = T_{3+1} = \binom{6}{3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 \left( x^{\log_8 x} \right)^3 = 20 \cdot \frac{8}{x^3} \cdot x^{3 \log_8 x} = 160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3}$.
આપેલ છે કે $T_4 = 20 \times 8^7$,તેથી $160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 20 \cdot 8^7$.
$8 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 8^7 \Rightarrow x^{3 \log_8 x - 3} = 8^6$.
બંને બાજુ $\log_8$ લેતા: $(3 \log_8 x - 3) \log_8 x = 6$.
ધારો કે $t = \log_8 x$. તેથી $(3t - 3)t = 6 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0$.
$(t-2)(t+1) = 0$,તેથી $t=2$ અથવા $t=-1$.
જો $t=2$,તો $x = 8^2 = 64$.
જો $t=-1$,તો $x = 8^{-1} = 1/8$.

(D) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો $^{n}C_{r-1}, ^{n}C_{r},$ અને $^{n}C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{2}{15}$ અને $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$.
સૂત્ર $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{r}{n-r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{2}{15}$ $\Rightarrow 15r = 2n - 2r + 2$ $\Rightarrow 2n - 17r = -2 \dots (1)$.
સૂત્ર $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{3}{14}$ $\Rightarrow 14r + 14 = 3n - 3r$ $\Rightarrow 3n - 17r = 14 \dots (2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $(3n - 17r) - (2n - 17r) = 14 - (-2) \Rightarrow n = 16$.
$(1)$ માં $n = 16$ મૂકતા: $2(16) - 17r = -2$ $\Rightarrow 32 + 2 = 17r$ $\Rightarrow 17r = 34$ $\Rightarrow r = 2$.
સહગુણકો $^{16}C_{1}, ^{16}C_{2}, ^{16}C_{3}$ છે.
$^{16}C_{1} = 16, ^{16}C_{2} = 120, ^{16}C_{3} = 560$.
સરેરાશ $= \frac{16 + 120 + 560}{3} = \frac{696}{3} = 232$.

(A) $(x^2 + x^{-3})^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-3})^r = ^nC_r x^{2n-5r}$ છે.
$x$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $1$ લઈએ:
$2n - 5r = 1 \Rightarrow 2n = 5r + 1$.
આપેલ છે કે સહગુણક $^nC_{23}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 23$ અથવા $n-r = 23$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 23$ હોય,તો $2n = 5(23) + 1 = 116 \Rightarrow n = 58$.
કિસ્સો $2$: જો $n-r = 23$ હોય,તો $r = n-23$. આ કિંમત $2n = 5r + 1$ માં મૂકતા:
$2n = 5(n-23) + 1$ $\Rightarrow 2n = 5n - 115 + 1$ $\Rightarrow 3n = 114$ $\Rightarrow n = 38$.
$n$ ની બે શક્ય કિંમતો ($58$ અને $38$) માંથી,સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $38$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+x)(1-x)^{10}(1+x+x^2)^9$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)(1+x+x^2) = (1-x^3)$.
પદાવલિને આ રીતે લખો: $(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3) \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} (-1)^k x^{3k}$
આપણને $x^{18}$ નો સહગુણક જોઈએ છે. આ ત્યારે મળે જ્યારે $3k = 18$,એટલે કે $k=6$.
$k=6$ ને અનુરૂપ પદ $\binom{9}{6} (-1)^6 x^{18} = 84 x^{18}$ છે.
આમ,સહગુણક $84$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\left( \frac{1}{60} - \frac{x^8}{81} \right) \left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ છે.
$\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^6C_r} (2x^2)^{6-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r = {^6C_r} 2^{6-r} (-3)^r x^{12-4r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે:
$1$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ માં $12-4r = 0 \Rightarrow r = 3$ લેતા,પદ ${^6C_3} 2^3 (-3)^3 = 20 \times 8 \times (-27) = -4320$ મળે.
તેને $\frac{1}{60}$ સાથે ગુણતા,$\frac{1}{60} \times (-4320) = -72$ મળે.
$2$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ માં $12-4r = -8 \Rightarrow r = 5$ લેતા,પદ ${^6C_5} 2^1 (-3)^5 = 6 \times 2 \times (-243) = -2916$ મળે.
તેને $-\frac{1}{81}$ સાથે ગુણતા,$-\frac{1}{81} \times (-2916) = 36$ મળે.
કુલ સરવાળો $-72 + 36 = -36$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1+x)^{10}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$,અને $n = 11$ પદો છે.
સરવાળો $S = a \frac{1-r^{n}}{1-r} = (1+x)^{10} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{11}}{1-\frac{x}{1+x}} = (1+x)^{11}-x^{11}$.
આપણે $(1+x)^{11}-x^{11}$ માં $x^{7}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1+x)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $^{11}C_{r} x^{r}$ છે.
$r = 7$ માટે,સહગુણક $^{11}C_{7} = \frac{11!}{7!4!} = 330$ થાય.

(D) $^{n}C_{r}$ ની મહત્તમ કિંમત $^{n}C_{n/2}$ થાય જો $n$ બેકી હોય,અને $^{n}C_{(n-1)/2}$ અથવા $^{n}C_{(n+1)/2}$ થાય જો $n$ એકી હોય.
$a = ^{19}C_{p}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $^{19}C_{9} = ^{19}C_{10} = a$ છે.
$b = ^{20}C_{q}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $^{20}C_{10} = b$ છે.
$c = ^{21}C_{r}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $^{21}C_{10} = ^{21}C_{11} = c$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b = ^{20}C_{10} = \frac{20}{10} \times ^{19}C_{9} = 2a$.
તેથી $c = ^{21}C_{10} = \frac{21}{11} \times ^{20}C_{10} = \frac{21}{11}b = \frac{21}{11}(2a) = \frac{42a}{11}$.
આમ,$a : b : c = a : 2a : \frac{42a}{11} = 1 : 2 : \frac{42}{11} = 11 : 22 : 42$.
આથી $\frac{a}{11} = \frac{b}{22} = \frac{c}{42}$ મળે છે.

(D) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{16}C_{r} \left(\frac{x}{\cos \theta}\right)^{16-r} \left(\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{r}$ છે.
સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = ^{16}C_{r} x^{16-2r} \frac{1}{(\cos \theta)^{16-r} (\sin \theta)^{r}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$16-2r = 0$ લેતા,$r = 8$ મળે છે.
આમ,સ્વતંત્ર પદ $T_{9} = ^{16}C_{8} \frac{2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$ છે.
ધારો કે $f(\theta) = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$\sin 2\theta$ વધતું વિધેય છે,તેથી $f(\theta)$ ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin 2\theta$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$ પર. તેથી,$\ell_{1} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{8}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{8}]$ માટે,$f(\theta)$ ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin 2\theta$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{8}$ પર. તેથી,$\ell_{2} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{12}$.
ગુણોત્તર $\frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{12}}{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}} = 2^{4} = 16$.

(A) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)$ મું પદ $T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r} y^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$17$ મા પદ માટે,$r+1 = 17$,એટલે કે $r = 16$.
તેથી,$T_{17} = T_{16+1} = {^{50}C_{16}} (2)^{34} a^{16}$.
તે જ રીતે,$18$ મા પદ માટે,$r = 17$.
તેથી,$T_{18} = T_{17+1} = {^{50}C_{17}} (2)^{33} a^{17}$.
આપેલ છે કે $T_{17} = T_{18}$,તેથી:
${^{50}C_{16}} 2^{34} a^{16} = {^{50}C_{17}} 2^{33} a^{17}$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$a = \frac{{^{50}C_{16}}}{{^{50}C_{17}}} \times 2 = \frac{17}{34} \times 2 = 1$.

કારણ કે $2n$ યુગ્મ છે,તેથી $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $(\frac{2n}{2} + 1)$ મું પદ,એટલે કે $(n+1)$ મું પદ છે.
$(n+1)$ મું પદ નીચે મુજબ મળે છે:
$T_{n+1} = {}^{2n}C_n (1)^{2n-n} (x)^n = {}^{2n}C_n x^n = \frac{(2n)!}{n!n!} x^n$
$= \frac{2n(2n-1)(2n-2) \cdots 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)]}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot 2^n [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n]}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot n!}{n!n!} 2^n x^n$
$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} 2^n x^n$

(A) $(x+2y)^{9}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{9}C_{r} x^{9-r} (2y)^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = {}^{9}C_{r} 2^{r} x^{9-r} y^{r}$ થાય છે.
$x^{6} y^{3}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $y$ (અથવા $x$) ના ઘાતાંકની સરખામણી $x^{6} y^{3}$ સાથે કરીએ છીએ,જે આપણને $r = 3$ આપે છે.
સહગુણકના પદમાં $r = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
સહગુણક $= {}^{9}C_{3} \times 2^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 84 \times 8 = 672$.

(N/A) આપેલ છે કે બીજું પદ $T_2 = 240$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T_2 = ^nC_1 x^{n-1} a = 240$ ..........$(1)$
તે જ રીતે,$T_3 = ^nC_2 x^{n-2} a^2 = 720$ ..........$(2)$
અને $T_4 = ^nC_3 x^{n-3} a^3 = 1080$ ..........$(3)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{^nC_2 x^{n-2} a^2}{^nC_1 x^{n-1} a} = \frac{720}{240} \implies \frac{n-1}{2} \cdot \frac{a}{x} = 3 \implies \frac{a}{x} = \frac{6}{n-1}$ ..........$(4)$
$(3)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{^nC_3 x^{n-3} a^3}{^nC_2 x^{n-2} a^2} = \frac{1080}{720} \implies \frac{n-2}{3} \cdot \frac{a}{x} = \frac{3}{2} \implies \frac{a}{x} = \frac{9}{2(n-2)}$ ..........$(5)$
$(4)$ અને $(5)$ ને સરખાવતા:
$\frac{6}{n-1} = \frac{9}{2(n-2)} \implies 12(n-2) = 9(n-1) \implies 12n - 24 = 9n - 9 \implies 3n = 15 \implies n = 5$.
$n=5$ ને $(4)$ માં મૂકતા:
$\frac{a}{x} = \frac{6}{5-1} = \frac{3}{2} \implies a = \frac{3x}{2}$.
$n=5$ અને $a = \frac{3x}{2}$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$5x^4 \cdot (\frac{3x}{2}) = 240 \implies x^5 = 32 \implies x = 2$.
તેથી $a = 3$.
આમ,$x=2, a=3, n=5$.

(A) ધારો કે $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક પદો $(r-1)$ મું,$r$ મું અને $(r+1)$ મું પદ છે.
આ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે $^{n}C_{r-2}$,$^{n}C_{r-1}$ અને $^{n}C_{r}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $1:7:42$ મુજબ:
$\frac{^{n}C_{r-2}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{1}{7} \implies \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{7} \implies n - 8r = -9$ ...........$(1)$
$\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} \implies \frac{r}{n-r+1} = \frac{1}{6} \implies n - 7r = -1$ ...........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$r = 8$
$r=8$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$n - 7(8) = -1 \implies n = 55$

(A) $(a+b)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ એ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+3)^{8}$ ના વિસ્તરણ માટે,આપણી પાસે $n=8$,$a=x$,અને $b=3$ છે.
તેથી,$T_{r+1} = {}^{8}C_{r} x^{8-r} 3^{r}$.
$x^{5}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $5$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$8-r = 5 \implies r = 3$.
સામાન્ય પદના સમીકરણમાં $r=3$ મૂકતા:
સહગુણક $= {}^{8}C_{3} \times 3^{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times 27 = 56 \times 27 = 1512$.

(B) $(a+x)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ નીચે મુજબ છે: $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} x^{r}$.
$(a-2b)^{12}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ છે:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} (a)^{12-r} (-2b)^{r} = {}^{12}C_{r} (-2)^{r} a^{12-r} b^{r}$.
$a^{5} b^{7}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$b$ ના ઘાતાંકની સરખામણી કરતા:
$r = 7$.
સહગુણકના પદમાં $r = 7$ મૂકતા:
સહગુણક $= {}^{12}C_{7} (-2)^{7}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
${}^{12}C_{7} = \frac{12!}{7!5!} = 792$.
$(-2)^{7} = -128$.
સહગુણક $= 792 \times (-128) = -101376$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^{n}$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નું સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ છે.
$(x^{2}-y)^{6}$ ના વિસ્તરણ માટે,$a = x^{2}$,$b = -y$,અને $n = 6$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} (x^{2})^{6-r} (-y)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} x^{12-2r} (-1)^{r} y^{r}$
$T_{r+1} = (-1)^{r} {}^{6}C_{r} x^{12-2r} y^{r}$

$(a+b)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નું સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ છે.
$(x^{2}-yx)^{12}$ ના વિસ્તરણ માટે,$a = x^{2}$,$b = -yx$,અને $n = 12$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} (x^{2})^{12-r} (-yx)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} (x^{24-2r}) (-1)^{r} y^{r} x^{r}$
$T_{r+1} = (-1)^{r} {}^{12}C_{r} x^{24-2r+r} y^{r}$
$T_{r+1} = (-1)^{r} {}^{12}C_{r} x^{24-r} y^{r}$

(A) $(a+b)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $(r+1)^{\text{th}}$ પદ,$T_{r+1}$,$T_{r+1} = {^nC_r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x-2y)^{12}$ ના વિસ્તરણ માટે,આપણી પાસે $n=12$,$a=x$,અને $b=-2y$ છે.
$4^{\text{th}}$ પદ માટે $r+1=4$,તેથી $r=3$.
$T_4 = T_{3+1} = {^{12}C_3} (x)^{12-3} (-2y)^3$
$T_4 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \times x^9 \times (-8)y^3$
$T_4 = 220 \times x^9 \times (-8)y^3 = -1760x^9y^3$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n$ માં $(r+1)^{\text{th}}$ પદ $T_{r+1} = {^nC_r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણ માટે,$n=18$,$a=9x$,અને $b=-\frac{1}{3\sqrt{x}}$ છે.
$13^{\text{th}}$ પદ શોધવા માટે,$r+1 = 13$ લેતા,$r=12$ મળે છે.
$T_{13} = {^{18}C_{12}} (9x)^{18-12} \left(-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{12}$
$T_{13} = {^{18}C_{12}} (9x)^6 \left(\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{12}$
$T_{13} = \frac{18!}{12!6!} \cdot (3^2)^6 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{3^{12} \cdot (x^{1/2})^{12}}$
$T_{13} = 18564 \cdot 3^{12} \cdot x^6 \cdot \frac{1}{3^{12} \cdot x^6} = 18564$.

(A) $(a+b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં,જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો બે મધ્યમ પદો મળે છે,જે $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ મું પદ અને $\left(\frac{n+1}{2}+1\right)$ મું પદ છે.
$\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}$ ના વિસ્તરણ માટે,$n=7$,તેથી મધ્યમ પદો $\left(\frac{7+1}{2}\right) = 4$ થું પદ અને $\left(\frac{7+1}{2}+1\right) = 5$ મું પદ છે.
$T_{4} = T_{3+1} = {}^{7}C_{3} (3)^{7-3} \left(-\frac{x^{3}}{6}\right)^{3} = 35 \times 81 \times \left(-\frac{x^{9}}{216}\right) = -\frac{105}{8} x^{9}$.
$T_{5} = T_{4+1} = {}^{7}C_{4} (3)^{7-4} \left(-\frac{x^{3}}{6}\right)^{4} = 35 \times 27 \times \frac{x^{12}}{1296} = \frac{35}{48} x^{12}$.
આમ,મધ્યમ પદો $-\frac{105}{8} x^{9}$ અને $\frac{35}{48} x^{12}$ છે.

(A) $(a+b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં,જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો મધ્યમ પદ $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ મું પદ થાય.
અહીં,$n=10$,તેથી મધ્યમ પદ $\left(\frac{10}{2}+1\right) = 6$ મું પદ છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6$ માં પદ માટે,$r=5$:
$T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{x}{3}\right)^{10-5} (9y)^{5}$
$T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{x}{3}\right)^{5} (9^{5} y^{5})$
$T_{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{x^{5}}{3^{5}} \times (3^{2})^{5} y^{5}$
$T_{6} = 252 \times \frac{x^{5}}{3^{5}} \times 3^{10} y^{5}$
$T_{6} = 252 \times 3^{5} \times x^{5} y^{5}$
$T_{6} = 252 \times 243 \times x^{5} y^{5} = 61236 x^{5} y^{5}$.