(x+1)^{n} ના વિસ્તરણમાં (r-1)^{th},r^{th} અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $(x+1)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $(k+1)^{th}$ પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.$(r-1)^{th}$ પદ $T_{r-1} = {^nC_{r-2}} x^{n-r+

Vedclass · Accepted Answer

$n=7, r=3$

Vedclass · Answer

(A) $(x+1)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $(k+1)^{th}$ પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.$(r-1)^{th}$ પદ $T_{r-1} = {^nC_{r-2}} x^{n-r+2}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^nC_{r-2}}$ છે.$r^{th}$ પદ $T_r = {^nC_{r-1}} x^{n-r+1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^nC_{r-1}}$ છે.$(r+1)^{th}$ પદ $T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક ${^nC_r}$ છે.સહગુણકોનો ગુણોત્તર $1:3:5$ આપેલ છે,તેથી:$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{3}{5}$.$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{3}$ પરથી,$3r-3 = n-r+2$,એટલે કે $n-4r+5=0$ (સમીકરણ $1$).$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{5}$ પરથી,$5r = 3n-3r+3$,એટલે કે $3n-8r+3=0$ (સમીકરણ $2$).સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા $2n-8r+10=0$ મળે. સમીકરણ $2$ માંથી આ બાદ કરતા $n-7=0$ મળે,તેથી $n=7$.$n=7$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $7-4r+5=0$ $\Rightarrow 4r=12$ $\Rightarrow r=3$.આમ,$n=7$ અને $r=3$.

$(x+1)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $(r-1)^{th}$,$r^{th}$ અને $(r+1)^{th}$ પદોના સહગુણકો $1:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં છે. $n$ અને $r$ શોધો.

Similar Questions

$(5^{1/2} + 7^{1/6})^{642}$ ના વિસ્તરણમાં પૂર્ણાંક પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

$\left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1}-\frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં '$x$' થી સ્વતંત્ર પદ,જ્યાં $x \neq 0, 1$,તે $.....$ ની બરાબર છે.

$(x+3y)^{13}$ ના વિસ્તરણમાં,જ્યારે $x=\frac{1}{2}$ અને $y=\frac{1}{3}$ હોય ત્યારે સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ કયું છે?

ધારો કે $a_n$ એ $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ દર્શાવે છે. તો $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module