જો x + y = 1, તો sumlimits_{r = 0}^n {{r^2}{, | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(c) We have $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $

$ = \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$

Vedclass · Accepted Answer

$nx(nx + y)$

Vedclass · Answer

(c) We have $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $

$ = \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$

$ = \sum\limits_{r = 0}^n {r(r - 1){\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}} + \sum\limits_{r = 0}^n {{r^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $

$ = \sum\limits_{r = 2}^{n - 2} {r(r - 1)\frac{n}{r}.\frac{{n - 1}}{{r - 1}}{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^2}{x^{r - 2}}{y^{n - r}}} $ $ + \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {r\frac{n}{r}{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}x\,\,{x^{r - 1}}{y^{n - r}}} $

$ = n(n - 1){x^2}\sum\limits_{r = 2}^{n - 2} {{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^{r - 2}}{y^{(n - 2) - (r - 2)}}} $ $+ nx\sum\limits_{r = 2}^{n - 1} {{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{X^{r - 1}}{y^{(n - 1) - (r - 1)}}}$

$ = n(n - 1){x^2}{(x + y)^{n - 2}} + nx{(x + y)^{n - 1}}$

$ = n(n - 1){x^2} + nx,\,\,\,\,\,(\because x + y = 1)$

$ = nx(nx - x + 1) = nx(nx + y)\,,\,\,(\because x + y = 1)$

જો $x + y = 1$, તો $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ = . . .

Similar Questions

જો બધા ધન પૂર્ણાંક $r> 1, n > 2$ માટે $( 1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ની ઘાત $(3r)$ અને $(r + 2)$ ના સહગુણક સરખા હોય તો $n$ ની કિમત મેળવો.

સંખ્યા $111......1$ ($91$ વખત) એ . . .

જો $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . . . +C_mx^m$, જ્યાં $C_r ={}^m{C_r}$ અને $A = C_1C_3 + C_2C_4+ C_3C_5 + C_4C_6 + . . . . . .. + C_{m-2}C_m$, હોય તો નીચેનામાંથી ક્યુ ખોટું છે ?

જો $\sum_{ r =0}^5 \frac{{ }^{11} C _{2 r +1}}{2 r +2}=\frac{ m }{ n }, \operatorname{gcd}( m , n )=1$,હોય તો $m - n$ ની કિમંત મેળવો.

${(1 + x)^5}$ ના સહગુણકનો સરવાળો મેળવો.