Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Hindi

(A) दिया है: त्रिज्या $r = 8.4 \, cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$।
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 = \frac{1}{6} \times 22 \times 1.2 \times 8.4 = 36.96 \, cm^2$।
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 = 221.76 \, cm^2$।
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $221.76 - 36.96 = 184.8 \, cm^2$।

(B) माना वर्ग की भुजा $a$ है। वर्ग के विकर्ण की लंबाई $d = a\sqrt{2}$ होती है।
दिया गया है $d = 120\, m$,इसलिए $a\sqrt{2} = 120$,जिसका अर्थ है $a = \frac{120}{\sqrt{2}} = 60\sqrt{2}\, m$.
वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं। अतः,केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = \frac{120}{2} = 60\, m$ है।
प्रत्येक फूलों की क्यारी $r = 60\, m$ त्रिज्या और केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ वाले वृत्त का एक लघु वृत्तखंड है।
एक लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\theta$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{90}{360} \times 3.14 \times (60)^2 - \frac{1}{2} \times (60)^2 \times \sin(90^\circ)$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 3600 - \frac{1}{2} \times 3600 \times 1$.
$\text{Area} = 3.14 \times 900 - 1800 = 2826 - 1800 = 1026\, m^2$.
चूंकि ऐसी दो फूलों की क्यारियां हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times 1026 = 2052\, m^2$ है।

(C) सेक्टर का परिमाप $P = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{5400}{30} = 180 \, m$ द्वारा प्राप्त होता है।
सेक्टर का परिमाप $P = 2r + l$ है,जहाँ $r = 50 \, m$ और $l$ चाप की लंबाई है।
$180 = 2(50) + l \implies 180 = 100 + l \implies l = 80 \, m$.
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times l \times r = \frac{1}{2} \times 80 \times 50 = 2000 \, m^2$ है।
जुताई की लागत = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 2000 \times 15 = ₹ 30,000$ है।

(D) वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल $A_{circle} = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386\, cm^2$ है।
$a = 21\, cm$ भुजा वाला एक सम षट्भुज $6$ समबाहु त्रिभुजों से बना होता है।
सम षट्भुज का क्षेत्रफल $A_{hexagon} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (21)^2$ है।
$\sqrt{3} = 1.73$ और $a = 21$ रखने पर:
$A_{hexagon} = \frac{3 \times 1.73}{2} \times 441 = 1.5 \times 1.73 \times 441 = 2.595 \times 441 = 1144.395\, cm^2$ प्राप्त होता है।
शेष शीट का क्षेत्रफल $A_{remaining} = A_{circle} - A_{hexagon} = 1386 - 1144.395 = 241.605\, cm^2$ है।

(A) खेत एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए प्रत्येक आंतरिक कोण $60^{\circ}$ है।
गाय एक शीर्ष पर बंधी है,इसलिए वह जिस क्षेत्र में चर सकती है,वह $r = 5\, m$ त्रिज्या और $\theta = 60^{\circ}$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $A = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2$.
$A = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 25$.
$A = \frac{78.5}{6} \approx 13.0833\, m^2$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,क्षेत्रफल $13.08\, m^2$ है।

(B) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 17.5\, cm$।
मिनट की सुई $60$ मिनट में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
$15$ मिनट में,मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta = (360^{\circ} / 60) \times 15 = 90^{\circ}$ है।
मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $\theta = 90^{\circ}$ और त्रिज्या $r = 17.5\, cm$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= (\theta / 360^{\circ}) \times \pi r^2$।
क्षेत्रफल $= (90^{\circ} / 360^{\circ}) \times (22 / 7) \times 17.5 \times 17.5$।
क्षेत्रफल $= (1 / 4) \times (22 / 7) \times 17.5 \times 17.5$।
क्षेत्रफल $= (1 / 4) \times 22 \times 2.5 \times 17.5$।
क्षेत्रफल $= 0.25 \times 22 \times 43.75 = 240.625\, cm^2$।

(C) वृत्ताकार मैदान की बाहरी त्रिज्या $R = 56\,m$ है।
रास्ते की चौड़ाई $7\,m$ है,इसलिए आंतरिक त्रिज्या $r = 56 - 7 = 49\,m$ होगी।
छायांकित भाग एक वृत्ताकार वलय का त्रिज्यखंड है जिसका केंद्रीय कोण $\theta = 60^\circ$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
क्षेत्रफल $= \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (56^2 - 49^2)$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times (56 - 49)(56 + 49)$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 105$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times 22 \times 105 = 11 \times 35 = 385\,m^2$.
मरम्मत की दर ₹ $40/m^2$ है।
कुल लागत $= 385 \times 40 = ₹ 15400$.

(N/A) यहाँ,$PS = 12 \text{ cm}$ और $PQ = QR = RS$ है।
$\therefore PQ = QR = RS = \frac{12}{3} = 4 \text{ cm}$.
$\overline{PS}$,$\overline{QS}$ और $\overline{PQ}$ व्यास वाले अर्धवृत्तों की त्रिज्याएँ इस प्रकार हैं:
$r_1 = \frac{PS}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$,
$r_2 = \frac{QS}{2} = \frac{4+4}{2} = 4 \text{ cm}$,और
$r_3 = \frac{PQ}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$.
छायांकित क्षेत्र का परिमाप:
$= \text{तीनों अर्धवृत्ताकार चापों की लंबाइयों का योग}$
$= \pi r_1 + \pi r_2 + \pi r_3$
$= \pi(r_1 + r_2 + r_3)$
$= 3.14(6 + 4 + 2)$
$= 37.68 \text{ cm}$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$= \text{त्रिज्या } r_1 \text{ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल} + \text{त्रिज्या } r_3 \text{ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल} - \text{त्रिज्या } r_2 \text{ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल}$
$= \frac{1}{2} \pi r_1^2 + \frac{1}{2} \pi r_3^2 - \frac{1}{2} \pi r_2^2$
$= \frac{1}{2} \pi(r_1^2 + r_3^2 - r_2^2)$
$= \frac{1}{2} \times 3.14(6^2 + 2^2 - 4^2)$
$= \frac{1}{2} \times 3.14 \times (36 + 4 - 16)$
$= \frac{1}{2} \times 3.14 \times 24$
$= 37.68 \text{ cm}^2$.
अतः,छायांकित क्षेत्र का परिमाप $37.68 \text{ cm}$ और इसका क्षेत्रफल $37.68 \text{ cm}^2$ है।

(A) $1$. आयत $ABCD$ का विकर्ण वृत्त का व्यास है।
$2$. $\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,विकर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, cm$ है।
$3$. वृत्त का व्यास $10 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
$4$. वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \, cm^2$ है।
$5$. आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $AB \times BC = 8 \times 6 = 48 \, cm^2$ है।
$6$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल में से आयत का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है: $78.5 - 48 = 30.5 \, cm^2$।

(B) $1$. समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजा $a = 70 \, cm$ है।
$2$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{1.73}{4} \times 70^2 = 0.4325 \times 4900 = 2119.25 \, cm^2$.
$3$. $P$ और $R$ भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु हैं,इसलिए $AP = AR = \frac{70}{2} = 35 \, cm$। यह त्रिज्यखंड $APR$ की त्रिज्या $r$ है।
$4$. चूंकि $\triangle ABC$ समबाहु है,इसलिए $\angle A = 60^\circ$ होगा।
$5$. त्रिज्यखंड $APR$ का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = \frac{1}{6} \times 22 \times 5 \times 35 = \frac{3850}{6} \approx 641.67 \, cm^2$.
$6$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ के क्षेत्रफल में से त्रिज्यखंड $APR$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
$7$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= 2119.25 - 641.67 = 1477.58 \, cm^2$।

(C) $1$. आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 20 \times 14 = 280 \, cm^2$.
$2$. $BC = 14 \, cm$ व्यास वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल (त्रिज्या $r = 7 \, cm$): $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 77 \, cm^2$.
$3$. $A$ केंद्र और $AD = 14 \, cm$ त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (कोण $\theta = 90^{\circ}$): $\frac{90}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \, cm^2$.
$4$. शेष शीट का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल - (अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल) = $280 - (77 + 154) = 280 - 231 = 49 \, cm^2$.

(D) छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल चतुर्थांश $OAB$ के क्षेत्रफल में से त्रिभुज $ODA$ के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
दी गई त्रिज्या $r = 21 \text{ cm}$ है।
चतुर्थांश $OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = \frac{1}{4} \times 22 \times 3 \times 21 = \frac{1386}{4} = 346.5 \text{ cm}^2$.
त्रिभुज $ODA$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OD \times OA = \frac{1}{2} \times 10 \times 21 = 105 \text{ cm}^2$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्थांश $OAB$ का क्षेत्रफल - त्रिभुज $ODA$ का क्षेत्रफल = $346.5 - 105 = 241.5 \text{ cm}^2$.
नोट: दिए गए विकल्प गणना किए गए परिणाम से मेल नहीं खाते हैं। ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार,सही क्षेत्रफल $241.5 \text{ cm}^2$ है।

(A) वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $s = 14 \, cm$ है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= s^2 = 14^2 = 196 \, cm^2$ है।
वर्ग के प्रत्येक शीर्ष को $7 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का केंद्र माना गया है।
वर्ग के अंदर चार त्रिज्यखंड (sectors) हैं,जिनमें से प्रत्येक का केंद्रीय कोण $90^\circ$ है (क्योंकि यह एक वर्ग है)।
इन चार त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग $= 4 \times (\frac{90}{360} \times \pi r^2) = \pi r^2$ है।
$r = 7 \, cm$ रखने पर,चार त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (वर्ग का क्षेत्रफल) - (चार त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग)।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= 196 - 154 = 42 \, cm^2$ है।

(B) छायांकित क्षेत्र समान केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ वाले दो त्रिज्यखंडों के बीच का क्षेत्रफल है।
माना $R$ बाहरी त्रिज्यखंड की त्रिज्या $(OB = 21 \, \text{m})$ है और $r$ आंतरिक त्रिज्यखंड की त्रिज्या $(OD = 14 \, \text{m})$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (बाहरी त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल) - (आंतरिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल)
$= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times R^2 - \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times r^2$
$= \frac{1}{4} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (21^2 - 14^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (441 - 196)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 245$
$= \frac{1}{4} \times 22 \times 35$
$= \frac{770}{4} = 192.5 \, \text{m}^2$.

(C) दिया है: $AB = BC = 14 \text{ cm}$ और $\angle B = 90^{\circ}$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 14^2 + 14^2 = 196 + 196 = 392$।
$AC = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \text{ cm}$।
व्यास $AC$ वाले अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ cm}$ है।
व्यास $AC$ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 98 = 11 \times 14 = 154 \text{ cm}^2$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98 \text{ cm}^2$।
वृत्त के वृत्तखंड का क्षेत्रफल (जीवा $AC$ और चाप $APC$ द्वारा परिबद्ध) = त्रिज्यखंड $BAPC$ का क्षेत्रफल - $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल।
त्रिज्यखंड $BAPC$ का क्षेत्रफल = $\frac{90}{360} \times \pi \times (14)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196 = 154 \text{ cm}^2$।
वृत्तखंड $APC$ का क्षेत्रफल = $154 - 98 = 56 \text{ cm}^2$।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से वृत्तखंड $APC$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = $154 - 56 = 98 \text{ cm}^2$।

(D) $1$. वर्ग $ABCD$ की भुजा $a = 60\, m$ है।
$2$. वर्ग के विकर्ण $O$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। $O$ से किसी भी भुजा की दूरी भुजा की लंबाई की आधी है,अर्थात $h = 60/2 = 30\, m$।
$3$. वृत्तखंड बनाने वाले वृत्त की त्रिज्या $r$,$O$ से एक शीर्ष (जैसे $OA$) तक की दूरी है। $60\, m$ भुजा वाले वर्ग में,विकर्ण $60\sqrt{2}\, m$ होता है। अतः,$r = OA = (60\sqrt{2})/2 = 30\sqrt{2}\, m$।
$4$. केंद्र $O$ पर भुजा $AD$ द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है (क्योंकि वर्ग के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं)।
$5$. एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 - \triangle OAD$ का क्षेत्रफल।
$6$. $\triangle OAD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 60 \times 30 = 900\, m^2$।
$7$. वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= (\frac{90}{360} \times 3.14 \times (30\sqrt{2})^2) - 900 = (0.25 \times 3.14 \times 1800) - 900 = 1413 - 900 = 513\, m^2$।
$8$. चूंकि ऐसी दो फूलों की क्यारियां हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times 513 = 1026\, m^2$ है।

(A) वर्ग $ABCD$ की भुजा $a = 42 \ cm$ है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= a^2 = 42^2 = 1764 \ cm^2$ है।
वर्ग की भुजाओं पर चार अर्धवृत्त खींचे गए हैं,जिनका व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है,$d = 42 \ cm$। इसलिए,त्रिज्या $r = 21 \ cm$ है।
चारों अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $4 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772 \ cm^2$ है।
छायांकित क्षेत्रफल,चार अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल में से वर्ग का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है,क्योंकि अतिव्यापी (overlapping) भाग दो बार गिने जाते हैं।
छायांकित क्षेत्रफल $= 2772 - 1764 = 1008 \ cm^2$ है।

(B) दिया है: बड़े वृत्त की त्रिज्या $R = 7\, cm$ है।
छोटे वृत्त का व्यास $OD = R = 7\, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 3.5\, cm$ होगी।
छोटे छायांकित वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5\, cm^2$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49\, cm^2$।
अर्धवृत्त $ACB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 77\, cm^2$।
छायांकित वृत्तखंड का क्षेत्रफल (छोटे वृत्त को छोड़कर) = अर्धवृत्त $ACB$ का क्षेत्रफल - $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $77 - 49 = 28\, cm^2$।
कुल छायांकित क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + छायांकित वृत्तखंड का क्षेत्रफल = $38.5 + 28 = 66.5\, cm^2$।

(C) छायांकित क्षेत्र एक वलय (annulus) का त्रिज्यखंड है। $r$ त्रिज्या और $\theta$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,छायांकित क्षेत्र बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड (त्रिज्या $R = 28 \, cm$) और छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड (त्रिज्या $r = 21 \, cm$) के क्षेत्रफल का अंतर है,जहाँ दोनों का केंद्रीय कोण $\theta = 40^\circ$ है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 - \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi (R^2 - r^2)$
क्षेत्रफल = $\frac{40}{360} \times \frac{22}{7} \times (28^2 - 21^2)$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times (784 - 441)$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 343$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{9} \times 22 \times 49$
क्षेत्रफल = $\frac{1078}{9} \approx 119.777... \, cm^2$
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $119.78 \, cm^2$ प्राप्त होता है।

(D) वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $s = 35 \, cm$ है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= s^2 = 35^2 = 1225 \, cm^2$.
यहाँ भुजाओं $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ पर दो अर्धवृत्त खींचे गए हैं जिनका व्यास $d = 35 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{35}{2} = 17.5 \, cm$ होगी।
दो अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 17.5 \times 17.5 = 22 \times 2.5 \times 17.5 = 962.5 \, cm^2$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (वर्ग का क्षेत्रफल) - (दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल) = $1225 - 962.5 = 262.5 \, cm^2$.

(A) प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = 21\, cm$ है।
प्रत्येक वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 21 = 42\, cm$ है।
चूंकि वर्ग की प्रत्येक भुजा पर $3$ वृत्त हैं,इसलिए वर्ग की भुजा की लंबाई $S = 3 \times d = 3 \times 42 = 126\, cm$ है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल = $S^2 = 126^2 = 15876\, cm^2$ है।
एक वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386\, cm^2$ है।
$9$ वृत्तों का कुल क्षेत्रफल = $9 \times 1386 = 12474\, cm^2$ है।
बिना डिज़ाइन वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - $9$ वृत्तों का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $15876 - 12474 = 3402\, cm^2$।

(B) यह आकृति एक बड़े अर्धवृत्त जिसका व्यास $AB$ है और दो छोटे अर्धवृत्तों जिनके व्यास $OA$ और $OB$ हैं,से मिलकर बनी है।
दिया गया है कि $OA = 70\, cm$ और $OB = 70\, cm$,इसलिए बड़े अर्धवृत्त का व्यास $AB = OA + OB = 70 + 70 = 140\, cm$ है।
बड़े अर्धवृत्त की त्रिज्या $R = 140 / 2 = 70\, cm$ है।
प्रत्येक छोटे अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = 70 / 2 = 35\, cm$ है।
बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 11 \times 10 \times 70 = 7700\, cm^2$ है।
दो छोटे अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850\, cm^2$ है।
आकृति का कुल क्षेत्रफल बड़े अर्धवृत्त और दो छोटे अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल का योग है: $7700 + 3850 = 11550\, cm^2$।

(C) छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
चूंकि $\overline{AC}$ व्यास है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ होगा।
त्रिज्या $r = \frac{AC}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \, cm$.
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 17.5 = 481.25 \, cm^2$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 21 \times 28 = 294 \, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $= 481.25 - 294 = 187.25 \, cm^2$.

(D) बाहरी वृत्त की त्रिज्या $R = 90\, m$ है।
रास्ते की चौड़ाई $10\, m$ है,इसलिए आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r = 90 - 10 = 80\, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.
क्षेत्रफल $= 3.14 \times (90^2 - 80^2)$.
क्षेत्रफल $= 3.14 \times (8100 - 6400)$.
क्षेत्रफल $= 3.14 \times 1700$.
क्षेत्रफल $= 5338\, m^2$.

(N/A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 11.2 \, cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 11.2 \times 11.2 = 394.24 \, cm^2$।
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times 394.24 = \frac{1}{4} \times 394.24 = 98.56 \, cm^2$।
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-$ लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= 394.24 - 98.56 = 295.68 \, cm^2$।
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=$ लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $-$ $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= 98.56 - (\frac{1}{2} \times r^2 \times \sin 90^{\circ}) = 98.56 - (0.5 \times 11.2 \times 11.2 \times 1) = 98.56 - 62.72 = 35.84 \, cm^2$।

(B) मिनट की सुई की लंबाई $(r)$ $10.5 \, cm$ है。
$2.25 \, PM$ और $2.40 \, PM$ के बीच का समय अंतराल $15 \, \text{मिनट}$ है。
मिनट की सुई $60 \, \text{मिनट}$ में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है。
इसलिए,$15 \, \text{मिनट}$ में तय किया गया कोण $\theta = (15/60) \times 360^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा。
मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $r = 10.5 \, cm$ और कोण $\theta = 90^{\circ}$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है。
क्षेत्रफल $= (\theta / 360^{\circ}) \times \pi r^2 = (90^{\circ} / 360^{\circ}) \times (22/7) \times 10.5 \times 10.5$.
क्षेत्रफल $= (1/4) \times (22/7) \times 10.5 \times 10.5 = (1/4) \times 22 \times 1.5 \times 10.5$.
क्षेत्रफल $= 0.25 \times 22 \times 15.75 = 5.5 \times 15.75 = 86.625 \, cm^2$.

(C) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दीर्घ त्रिज्यखंड वृत्त का शेष भाग है।
अतः,दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (वृत्त का क्षेत्रफल) - (लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल)।
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\pi r^{2} - \frac{\pi r^{2} \theta}{360}$.

(D) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर बना कोण (डिग्री में) है।
हम जानते हैं कि चाप की लंबाई $l$ का सूत्र $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r$ होता है।
इससे,हम $\frac{\theta}{360^\circ}$ को $\frac{l}{2 \pi r}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $A = \left( \frac{l}{2 \pi r} \right) \times \pi r^2$.
व्यंजक को सरल करने पर: $A = \frac{l \times \pi r^2}{2 \pi r} = \frac{1}{2} r l$.

(A) त्रिज्या $(r)$ और चाप की लंबाई $(l)$ दिए होने पर त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल $(A)$ का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $20\, cm$
चाप की लंबाई $(l)$ = $10\, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} \times 10\, cm \times 20\, cm$
$A = 5\, cm \times 20\, cm$
$A = 100\, cm^2$.
अतः,त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $100\, cm^2$ है।

(B) माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि $r_1 : r_2 = 4 : 5$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $16 : 25$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $\theta$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ है।
मान लीजिए कि दो त्रिज्यखंडों के कोण $\theta_1 = 15^{\circ}$ और $\theta_2 = 90^{\circ}$ हैं।
दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\theta_1}{360^{\circ}} \times \pi r^2}{\frac{\theta_2}{360^{\circ}} \times \pi r^2} = \frac{\theta_1}{\theta_2}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{15^{\circ}}{90^{\circ}} = \frac{1}{6}$.
अतः,त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात $1: 6$ है।

(D) माना मूल वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
मूल वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $R = 2r$ हो जाती है।
नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2 = \pi (2r)^2 = 4 \pi r^2$ होगा।
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,$A_2 = 4 A_1$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल मूल वृत्त के क्षेत्रफल का $4$ गुना हो जाता है।

(A) माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{25}{36}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।
उनकी परिधियों का अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2}$ होगा।
अतः,उनकी परिधियों का अनुपात $5: 6$ है।

(B) वृत्त की त्रिज्या $r = 8.4 \, cm$ है।
चूँकि दो त्रिज्याएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए लघु त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (8.4)^2$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times 22 \times 1.2 \times 8.4$.
$\text{Area} = 5.5 \times 1.2 \times 8.4 = 55.44 \, cm^2$.

(C) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 14\, cm$।
$60$ मिनट में,मिनट की सुई एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
$1$ मिनट में,तय किया गया कोण $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ है।
$10$ मिनट में,तय किया गया कोण $( heta)$ $10 \times 6^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
तय किए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$।
$\text{Area} = \frac{1}{6} \times 22 \times 2 \times 14 = \frac{1}{3} \times 22 \times 28 = \frac{616}{6} \approx 102.67\, cm^2$।

(D) अर्धवृत्त में अंकित त्रिभुज के लिए,त्रिभुज का आधार अर्धवृत्त का व्यास होता है और ऊँचाई अर्धवृत्त की त्रिज्या होती है।
दिया गया है,व्यास $d = 30 \, cm$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
त्रिभुज का आधार $b = 30 \, cm$.
त्रिभुज की अधिकतम ऊँचाई अर्धवृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है,$h = 15 \, cm$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 30 \times 15 = 15 \times 15 = 225 \, cm^{2}$.

(A) दिया गया है,वृत्त का क्षेत्रफल $A = 3850 \, cm^2$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
अतः,$\pi r^2 = 3850$.
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$\frac{22}{7} \times r^2 = 3850$.
$r^2 = \frac{3850 \times 7}{22} = 175 \times 7 = 1225$.
$r = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\theta = 90^\circ$ (समकोण) है।
$L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 35$.
$L = \frac{1}{4} \times 2 \times 22 \times 5 = \frac{220}{4} = 55 \, cm$.

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 20\, cm$ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = 150\, cm^2$ है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ होता है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$150 = \frac{1}{2} \times l \times 20$
$150 = l \times 10$
$l = \frac{150}{10} = 15\, cm$।
अतः,चाप की लंबाई $15\, cm$ है।

(C) दिया गया है कि वृत्त की परिधि $C = 88 \, cm$ है।
सूत्र $C = 2 \pi r$ का उपयोग करने पर,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \, cm$।
वृत्त का व्यास $d = 2r = 28 \, cm$ है।
जब एक वर्ग वृत्त के भीतर स्थित होता है,तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
माना वर्ग की भुजा $a$ है। तब,विकर्ण $a \sqrt{2}$ होगा।
विकर्ण को व्यास के बराबर रखने पर: $a \sqrt{2} = 28$।
$a = \frac{28}{\sqrt{2}} = \frac{28 \times \sqrt{2}}{2} = 14 \sqrt{2} \, cm$।

(D) जब एक वर्ग किसी वृत्त के भीतर बना होता है,तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
दी गई त्रिज्या $r = 70 \, cm$ है।
वृत्त का व्यास $d = 2 \times r = 2 \times 70 = 140 \, cm$ है।
माना वर्ग की भुजा $a$ है।
वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।
अतः,$a\sqrt{2} = 140$.
$a = \frac{140}{\sqrt{2}} = 70\sqrt{2} \, cm$.
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = (70\sqrt{2})^2 = 4900 \times 2 = 9800 \, cm^2$ है।

(A) माना वृत्त की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है। प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
यदि त्रिज्या में $10 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई त्रिज्या $r' = r + 0.10r = 1.1r$ हो जाती है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi (1.1r)^2 = \pi (1.21r^2) = 1.21 \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $A_2 - A_1 = 1.21 \pi r^2 - \pi r^2 = 0.21 \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{0.21 \pi r^2}{\pi r^2} \times 100 \% = 21 \%$ है।

(B) अर्धवृत्त का व्यास $d = 50 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 25 \, cm$ है।
अर्धवृत्त में बने त्रिभुज के लिए,त्रिभुज का आधार अर्धवृत्त का व्यास होता है $(b = 50 \, cm)$।
त्रिभुज की ऊँचाई अर्धवृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है $(h = r = 25 \, cm)$ क्योंकि अधिकतम ऊँचाई तब प्राप्त होती है जब शीर्ष चाप के मध्य बिंदु पर स्थित हो।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $A = \frac{1}{2} \times 50 \times 25 = 25 \times 25 = 625 \, cm^{2}$।

(C) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 7\,cm$.
मिनट की सुई $60$ मिनट में एक पूरा चक्कर $(360^\circ)$ लगाती है।
$1$ मिनट में,तय किया गया कोण $\frac{360^\circ}{60} = 6^\circ$ है।
$20$ मिनट में,मिनट की सुई द्वारा तय किया गया कोण $\theta = 20 \times 6^\circ = 120^\circ$ है।
तय किए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times 22 \times 7 = \frac{154}{3}\,cm^2$.

(D) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 30 \, cm$ और क्षेत्रफल $A = 300 \, cm^2$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$300 = \frac{1}{2} \times l \times 30$
$300 = 15 \times l$
$l = \frac{300}{15}$
$l = 20 \, cm$.
अतः,चाप की लंबाई $20 \, cm$ है।

(A) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ केंद्र पर बना कोण है।
माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और केंद्र पर बने कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं।
दिया गया है: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{5}{2}$.
दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\theta_1}{360^\circ} \times \pi r_1^2}{\frac{\theta_2}{360^\circ} \times \pi r_2^2} = \left( \frac{\theta_1}{\theta_2} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{5}{2} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \left( \frac{5}{2} \right) \times \left( \frac{4}{9} \right) = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$.
अतः,त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात $10:9$ है।

(B) त्रिज्या $r$ और चाप की लंबाई $l$ दिए होने पर वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 50 \, cm$
चाप की लंबाई $l = 20 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} \times 20 \times 50$
$A = 10 \times 50$
$A = 500 \, cm^2$.
अतः,त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $500 \, cm^2$ है।

(C) वर्गाकार प्लॉट $ABCD$ की भुजा की लंबाई $l = 50 \, m$ है।
वर्गाकार प्लॉट $ABCD$ का क्षेत्रफल $= l^2 = 50 \times 50 = 2500 \, m^2$.
प्रत्येक शीर्ष पर बनी फूलों की क्यारियों के लिए,त्रिज्या $r = 10 \, m$ है और त्रिज्यखंड का कोण $\theta = 90^\circ$ है (क्योंकि यह एक वर्ग है)।
एक फूलों की क्यारी (त्रिज्यखंड) का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 3.14 \times 10^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5 \, m^2$.
$4$ फूलों की क्यारियों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 78.5 = 314 \, m^2$.
फूलों की क्यारियों को छोड़कर प्लॉट का क्षेत्रफल $=$ वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल $-$ फूलों की क्यारियों का कुल क्षेत्रफल।
$= 2500 - 314 = 2186 \, m^2$.
अतः,फूलों की क्यारियों को छोड़कर प्लॉट का क्षेत्रफल $2186 \, m^2$ है।

(D) छायांकित भाग वर्ग $ABCD$ के भीतर चाप $\widehat{APC}$ और $\widehat{AQC}$ द्वारा निर्मित दो सर्वांगसम वृत्तखंडों का योग है।
वृत्तखंड $\widehat{APC}$ का क्षेत्रफल (त्रिज्यखंड $BAPC$ के संदर्भ में):
क्षेत्रफल $= \text{त्रिज्यखंड } BAPC \text{ का क्षेत्रफल} - \Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल}$
$= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (21)^2 - \frac{1}{2} \times 21 \times 21$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 441 - 220.5$
$= 346.5 - 220.5 = 126 \ cm^2$.
चूंकि दोनों वृत्तखंड सर्वांगसम हैं,इसलिए कुल छायांकित क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= 2 \times 126 = 252 \ cm^2$.

(A) त्रिज्यखंड $OACB$ के लिए,त्रिज्या $r = 35 \text{ cm}$ और कोण का माप $\theta = 90^{\circ}$ है (क्योंकि $\overline{OA} \perp \overline{OB}$)।
त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{22}{7} \times \frac{35 \times 35 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}$
$= 962.5 \text{ cm}^2$
$\Delta ODA$ में,$\angle O = 90^{\circ}$ है।
$\Delta ODA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OD \times OA$
$= \frac{1}{2} \times 12 \times 35$
$= 210 \text{ cm}^2$
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल - $\Delta ODA$ का क्षेत्रफल
$= 962.5 - 210$
$= 752.5 \text{ cm}^2$
अतः,छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $752.5 \text{ cm}^2$ है।

(C) वृत्त की परिधि $2\pi r$ होती है,जो केंद्र पर $360^{\circ}$ का कोण बनाती है।
ऐकिक नियम का उपयोग करते हुए,केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले चाप की लंबाई $l$,कोण के अनुपात और कुल परिधि के गुणनफल के बराबर होती है।
$l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$
$l = \frac{\theta \times 2\pi r}{360^{\circ}}$
$l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$
अतः,सही सूत्र $l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$ है।