Textbook - Areas Related to Circles Questions in Hindi

(A) बाड़ की लंबाई ($m$ में) $= \frac{\text{कुल खर्च}}{\text{दर}} = \frac{5280}{24} = 220$.
अतः,खेत की परिधि $= 220\, m$.
माना खेत की त्रिज्या $r$ है। तब,$2\pi r = 220$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 220$.
$r = \frac{220 \times 7}{2 \times 22} = 35\, m$.
खेत का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850\, m^2$.
खेत के $1\, m^2$ को जोतने का खर्च $= Rs. 0.50$.
खेत को जोतने का कुल खर्च $= 3850 \times 0.50 = Rs. 1925$.

(B) प्रथम वृत्त की त्रिज्या $(r_1) = 19\, cm$ है।
द्वितीय वृत्त की त्रिज्या $(r_2) = 9\, cm$ है।
माना कि तीसरे वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
प्रथम वृत्त की परिधि $= 2\pi r_1 = 2\pi(19) = 38\pi$ है।
द्वितीय वृत्त की परिधि $= 2\pi r_2 = 2\pi(9) = 18\pi$ है।
तीसरे वृत्त की परिधि $= 2\pi r$ है।
प्रश्न के अनुसार,तीसरे वृत्त की परिधि दिए गए दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है:
$2\pi r = 38\pi + 18\pi$
$2\pi r = 56\pi$
दोनों पक्षों को $2\pi$ से विभाजित करने पर:
$r = \frac{56\pi}{2\pi} = 28\, cm$ है।
अतः,अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $28\, cm$ है।

(C) प्रथम वृत्त की त्रिज्या $(r_1) = 8 \, cm$ है।
द्वितीय वृत्त की त्रिज्या $(r_2) = 6 \, cm$ है।
माना कि तीसरे वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r_1^2 = \pi(8)^2 = 64\pi \, cm^2$ है।
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 = \pi(6)^2 = 36\pi \, cm^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:
$\pi r^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2$
$\pi r^2 = 64\pi + 36\pi$
$\pi r^2 = 100\pi$
$r^2 = 100$
$r = \sqrt{100} = 10 \, cm$ है।
चूँकि त्रिज्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए तीसरे वृत्त की त्रिज्या $10 \, cm$ है।

(N/A) Gold क्षेत्र की त्रिज्या $(r_1)$ (अर्थात,$1^{st}$ वृत्त) $= \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
यह दिया गया है कि प्रत्येक वृत्त पिछले वृत्त से $10.5\, cm$ अधिक चौड़ा है।
इसलिए,$2^{nd}$ वृत्त की त्रिज्या $(r_2) = 10.5 + 10.5 = 21\, cm$.
$3^{rd}$ वृत्त की त्रिज्या $(r_3) = 21 + 10.5 = 31.5\, cm$.
$4^{th}$ वृत्त की त्रिज्या $(r_4) = 31.5 + 10.5 = 42\, cm$.
$5^{th}$ वृत्त की त्रिज्या $(r_5) = 42 + 10.5 = 52.5\, cm$.
Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \pi r_1^2 = \frac{22}{7} \times (10.5)^2 = 346.5\, cm^2$.
Red क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \frac{22}{7} \times (21^2 - 10.5^2) = 1039.5\, cm^2$.
Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \pi r_3^2 - \pi r_2^2 = \frac{22}{7} \times (31.5^2 - 21^2) = 1732.5\, cm^2$.
Black क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \pi r_4^2 - \pi r_3^2 = \frac{22}{7} \times (42^2 - 31.5^2) = 2425.5\, cm^2$.
White क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \pi r_5^2 - \pi r_4^2 = \frac{22}{7} \times (52.5^2 - 42^2) = 3118.5\, cm^2$.
अतः,$Gold, Red, Blue, Black$ और $White$ क्षेत्रों के क्षेत्रफल क्रमशः $346.5\, cm^2, 1039.5\, cm^2, 1732.5\, cm^2, 2425.5\, cm^2$ और $3118.5\, cm^2$ हैं।

(A) पहिए का व्यास $= 80\, cm$.
पहिए की त्रिज्या $(r) = 40\, cm$.
पहिए की परिधि $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 40 = \frac{1760}{7}\, cm$.
कार की चाल $= 66\, km/h = \frac{66 \times 100000\, cm}{60\, min} = 110000\, cm/min$.
$10\, \text{मिनट}$ में तय की गई दूरी $= 110000 \times 10 = 1100000\, cm$.
माना पहियों द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या $n$ है।
$n \times \text{परिधि} = \text{कुल दूरी}$.
$n \times \frac{1760}{7} = 1100000$.
$n = \frac{1100000 \times 7}{1760} = \frac{110000 \times 7}{176} = 4375$.
अतः,प्रत्येक पहिया $4375$ पूर्ण चक्कर लगाएगा।

(B) माना कि वृत्त की त्रिज्या $r$ $units$ है।
वृत्त की परिधि (परिमाप) का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,परिमाप और क्षेत्रफल के संख्यात्मक मान बराबर हैं,इसलिए $C = A$ रखने पर:
$2\pi r = \pi r^2$
दोनों पक्षों को $\pi r$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $r \neq 0$):
$2 = r$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ $units$ है।

(N/A) दी गई त्रिज्या $r = 4\, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4\, cm^{2}$
$= \frac{1}{12} \times 3.14 \times 16\, cm^{2} = \frac{50.24}{12}\, cm^{2} \approx 4.19\, cm^{2}$.
संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \pi r^{2} - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}$
$= (3.14 \times 4^{2}) - 4.19\, cm^{2}$
$= (3.14 \times 16) - 4.19\, cm^{2}$
$= 50.24 - 4.19 = 46.05\, cm^{2} \approx 46.1\, cm^{2}$.

(N/A) वृत्तखंड $AYB$ का क्षेत्रफल $= \text{त्रिज्यखंड } OAYB \text{ का क्षेत्रफल} - \triangle OAB \text{ का क्षेत्रफल}$ ......$(1)$
अब,त्रिज्यखंड $OAYB$ का क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \, cm^2 = 462 \, cm^2$ ......$(2)$
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,आकृति में दर्शाए अनुसार $OM \perp AB$ खींचिए।
ध्यान दें कि $OA = OB$ है। अतः,$RHS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle AMO \cong \triangle BMO$ है।
इसलिए,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $\angle AOM = \angle BOM = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
माना $OM = x \, cm$ है।
अतः,$\triangle OMA$ से,$\frac{OM}{OA} = \cos 60^{\circ}$ है।
$\frac{x}{21} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{21}{2}$ है।
अतः,$OM = \frac{21}{2} \, cm$ है।
साथ ही,$\frac{AM}{OA} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$AM = \frac{21\sqrt{3}}{2} \, cm$ है।
इसलिए,$AB = 2 \times AM = 2 \times \frac{21\sqrt{3}}{2} = 21\sqrt{3} \, cm$ है।
अतः,$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times OM = \frac{1}{2} \times 21\sqrt{3} \times \frac{21}{2} = \frac{441\sqrt{3}}{4} \, cm^2$ ......$(3)$
इसलिए,वृत्तखंड $AYB$ का क्षेत्रफल $= \left( 462 - \frac{441\sqrt{3}}{4} \right) cm^2$ [$(1), (2)$ और $(3)$ से]।
$= \frac{21}{4} (88 - 21\sqrt{3}) \, cm^2$.

(A) माना कि $OACB$ वृत्त के केंद्र $O$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाने वाला एक त्रिज्यखंड है।
$\theta$ कोण वाले त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है:
$\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 6 \, cm$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
$\pi = \frac{22}{7}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (6)^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \, cm^{2}$
अतः,त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{132}{7} \, cm^{2}$ है।

(N/A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
परिधि $= 2 \pi r = 22 \, cm$.
$r = \frac{22}{2 \pi} = \frac{11}{\pi} = \frac{11}{22/7} = \frac{11 \times 7}{22} = 3.5 \, cm$.
वृत्त का चतुर्थांश केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^{2}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5$.
क्षेत्रफल $= \frac{11 \times 3.5}{4} = \frac{38.5}{4} = 9.625 \, cm^{2}$.

(N/A) हम जानते हैं कि $1$ घंटे (अर्थात $60$ मिनट) में,मिनट की सुई $360^{\circ}$ घूमती है।
$5$ मिनट में,मिनट की सुई $= \frac{360^{\circ}}{60} \times 5 = 30^{\circ}$ घूमेगी।
अतः,$5$ मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $14 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त में $30^{\circ}$ के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$।
क्षेत्रफल $= \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{12} \times 22 \times 2 \times 14$।
क्षेत्रफल $= \frac{11 \times 14}{3} = \frac{154}{3} \, cm^{2}$।
अतः,$5$ मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $\frac{154}{3} \, cm^{2}$ है।

(N/A) माना $AB$ वृत्त की जीवा है जो वृत्त के केंद्र $O$ पर $90^{\circ}$ का कोण बनाती है。
दीर्घ त्रिज्यखंड $OADB$ का क्षेत्रफल $= \left(\frac{360^{\circ}-90^{\circ}}{360^{\circ}}\right) \times \pi r^{2} = \left(\frac{270^{\circ}}{360^{\circ}}\right) \times 3.14 \times 10^{2}$
$= \frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 = 235.5\, cm^{2}$
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5\, cm^{2}$
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\, cm^{2}$
लघु वृत्तखंड $ACB$ का क्षेत्रफल $= \text{लघु त्रिज्यखंड } OACB \text{ } \text{का क्षेत्रफल} - \triangle OAB \text{ } \text{का क्षेत्रफल} = 78.5 - 50 = 28.5\, cm^{2}$

(N/A) वृत्त की त्रिज्या $(r) = 21\, cm$.
केंद्र पर अंतरित कोण $(\theta) = 60^{\circ}$.
$(i)$ चाप की लंबाई $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
$= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$
$= \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \times 3 = 22\, cm$.
$(ii)$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$= \frac{1}{6} \times 22 \times 3 \times 21 = 231\, cm^{2}$.
$(iii)$ $\Delta OAB$ में,$OA = OB = 21\, cm$ और $\angle AOB = 60^{\circ}$.
चूंकि दो भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $\angle OAB = \angle OBA$.
$\Delta OAB$ में,$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$.
$2 \angle OAB + 60^{\circ} = 180^{\circ} \implies 2 \angle OAB = 120^{\circ} \implies \angle OAB = 60^{\circ}$.
अतः,$\Delta OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (21)^{2} = \frac{441\sqrt{3}}{4}\, cm^{2}$.
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल - $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल
$= (231 - \frac{441\sqrt{3}}{4})\, cm^{2}$.

(N/A) वृत्त की त्रिज्या $(r) = 15 \, cm$ है।
त्रिज्यखंड $OPRQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{1}{6} \times 3.14 \times (15)^{2}$
$= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 225 = 117.75 \, cm^{2}$ है।
$\triangle OPQ$ में,चूंकि $OP = OQ = 15 \, cm$ है,इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle OPQ = \angle OQP$।
चूंकि $\angle POQ = 60^{\circ}$ है,इसलिए अन्य दो कोणों का योग $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
अतः,$\angle OPQ = \angle OQP = 60^{\circ}$ है।
चूंकि सभी कोण $60^{\circ}$ हैं,इसलिए $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^{2}$
$= \frac{1.73}{4} \times (15)^{2} = \frac{1.73}{4} \times 225 = 97.3125 \, cm^{2}$ है।
लघु वृत्तखंड $PRQ$ का क्षेत्रफल $= \text{त्रिज्यखंड } OPRQ \text{ का क्षेत्रफल} - \triangle OPQ \text{ का क्षेत्रफल}$
$= 117.75 - 97.3125 = 20.4375 \, cm^{2}$ है।
दीर्घ वृत्तखंड $PSQ$ का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - \text{लघु वृत्तखंड } PRQ \text{ का क्षेत्रफल}$
$= \pi r^{2} - 20.4375$
$= 3.14 \times 225 - 20.4375 = 706.5 - 20.4375 = 686.0625 \, cm^{2}$ है।

(C) मान लीजिए कि हम जीवा $ST$ पर एक लंब $OV$ खींचते हैं। यह जीवा $ST$ को समद्विभाजित करेगा।
$SV = VT$
$\triangle OVS$ में,
$\frac{OV}{OS} = \cos 60^{\circ}$
$\frac{OV}{12} = \frac{1}{2}$
$OV = 6 \, cm$
$\frac{SV}{SO} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{SV}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$SV = 6\sqrt{3} \, cm$
$ST = 2SV = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \, cm$
$\triangle OST$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times ST \times OV$
$= \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6$
$= 36\sqrt{3} = 36 \times 1.73 = 62.28 \, cm^2$
त्रिज्यखंड $OSUT$ का क्षेत्रफल $= \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi(12)^2$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 144 = 150.72 \, cm^2$
वृत्तखंड $SUT$ का क्षेत्रफल $= \text{त्रिज्यखंड } OSUT \text{ का क्षेत्रफल} - \triangle OST \text{ का क्षेत्रफल}$
$= 150.72 - 62.28$
$= 88.44 \, cm^2$

(N/A) आकृति से यह देखा जा सकता है कि घोड़ा $5 \, m$ त्रिज्या वाले वृत्त के $90^{\circ}$ त्रिज्यखंड (sector) में घास चर सकता है।
घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले भाग का क्षेत्रफल $=$ $r = 5 \, m$ और कोण $\theta = 90^{\circ}$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 25$
$= 19.625 \, m^{2}$
जब रस्सी की लंबाई $10 \, m$ हो,तब घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले भाग का क्षेत्रफल $(r = 10 \, m)$:
क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (10)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100$
$= 78.5 \, m^{2}$
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि $= (78.5 - 19.625) \, m^{2}$
$= 58.875 \, m^{2}$

(N/A) आवश्यक तार की कुल लंबाई $5$ व्यासों की लंबाई और ब्रोच की परिधि का योग है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{35}{2} \, mm$.
ब्रोच की परिधि $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} = 110 \, mm$.
$5$ व्यासों की लंबाई $= 5 \times 35 = 175 \, mm$.
आवश्यक तार की कुल लंबाई $= 110 + 175 = 285 \, mm$.
चित्र से यह देखा जा सकता है कि वृत्त के $10$ त्रिज्यखंडों में से प्रत्येक वृत्त के केंद्र पर $\frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है।
अतः,प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{36^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{35}{2}\right) \times \left(\frac{35}{2}\right) = \frac{385}{4} \, mm^{2} = 96.25 \, mm^{2}$.

(N/A) एक छतरी में $8$ ताड़ हैं,जो वृत्ताकार क्षेत्र को $8$ समान त्रिज्यखंडों (sectors) में विभाजित करते हैं।
केंद्र पर प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा अंतरित कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 45 \, cm$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ है।
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (45)^{2}$
$\text{Area} = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 2025$
$\text{Area} = \frac{11}{4 \times 7} \times 2025 = \frac{11 \times 2025}{28}$
$\text{Area} = \frac{22275}{28} \, cm^{2} \approx 795.54 \, cm^{2}$.

(N/A) यह देखा जा सकता है कि वाइपर की प्रत्येक ब्लेड $25 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त में $115^{\circ}$ के त्रिज्यखंड (sector) का क्षेत्रफल साफ करती है।
$ heta$ कोण और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (25)^{2}$
$= \frac{23}{72} \times \frac{22}{7} \times 625$
$= \frac{23 \times 11 \times 625}{36 \times 7} = \frac{158125}{252} \, cm^{2}$.
चूंकि दो वाइपर हैं,इसलिए दोनों ब्लेड द्वारा साफ किया गया कुल क्षेत्रफल होगा:
कुल क्षेत्रफल $= 2 \times \left( \frac{158125}{252} \right)$
$= \frac{158125}{126} \, cm^{2} \approx 1254.96 \, cm^{2}$.

(D) लाइटहाउस $r = 16.5 \, km$ त्रिज्या और $\theta = 80^{\circ}$ के केंद्रीय कोण वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड (sector) पर प्रकाश फैलाता है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (16.5)^2$
$= \frac{2}{9} \times 3.14 \times 272.25$
$= \frac{2}{9} \times 854.865$
$= 189.97 \, km^2$
अतः,समुद्र का वह क्षेत्रफल जिस पर जहाजों को चेतावनी दी जाती है,$189.97 \, km^2$ है।

(A) ये डिज़ाइन वृत्त के वृत्तखंड हैं।
वृत्तखंड $APB$ पर विचार करें। जीवा $AB$ वृत्त में अंकित नियमित षट्भुज की एक भुजा है।
प्रत्येक जीवा केंद्र $O$ पर $\frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
$\triangle OAB$ में,$OA = OB = 28\, cm$ (त्रिज्याएँ)।
चूँकि $\angle AOB = 60^{\circ}$ और $OA = OB$,इसलिए $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{1.7}{4} \times 28 \times 28 = 1.7 \times 7 \times 28 = 333.2\, cm^2$.
त्रिज्यखंड $OAPB$ का क्षेत्रफल = $\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28 = \frac{1232}{3} \approx 410.67\, cm^2$.
एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड $OAPB$ का क्षेत्रफल - $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1232}{3} - 333.2 = 410.67 - 333.2 = 77.47\, cm^2$.
$6$ डिज़ाइनों का कुल क्षेत्रफल = $6 \times 77.47 = 464.82\, cm^2$.
डिज़ाइन बनाने की लागत = $464.82 \times 0.35 = Rs.\, 162.687 \approx Rs.\, 162.68$.

(B) वृत्त का क्षेत्रफल $\pi R^{2}$ होता है।
केंद्र पर $\theta$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
$\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi R^{2}$
यहाँ कोण $p$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{p}{360^{\circ}} \times \pi R^{2}$
दिए गए विकल्पों के साथ मिलान करने के लिए,हम अंश और हर को $2$ से गुणा कर सकते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{p \times 2}{360^{\circ} \times 2} \times \pi R^{2} = \frac{p}{720^{\circ}} \times 2 \pi R^{2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) वर्ग $ABCD$ की भुजा $a = 56 \, m$ है।
वर्गाकार लॉन $ABCD$ का क्षेत्रफल $= a^2 = 56 \times 56 = 3136 \, m^2$.
वर्ग के विकर्ण $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $O$ से भुजाओं की दूरी भुजा की लंबाई की आधी यानी $28 \, m$ है। फूलों की क्यारियां बनाने वाले वृत्ताकार त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r = OA = OB = OC = OD$ है। $\triangle OAB$ में,$OA^2 + OB^2 = AB^2$,इसलिए $2r^2 = 56^2$,जिससे $r^2 = \frac{56 \times 56}{2} = 1568$ प्राप्त होता है।
$90^\circ$ के केंद्रीय कोण वाले एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड (फूलों की क्यारी) का क्षेत्रफल $\frac{90}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 1568 = 1232 \, m^2$ है।
ऐसी दो फूलों की क्यारियां हैं,इसलिए उनका कुल क्षेत्रफल $2 \times 1232 = 2464 \, m^2$ है।
हालाँकि,फूलों की क्यारियां वृत्त के वृत्तखंड हैं। एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल - $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल)।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 56 \times 28 = 784 \, m^2$.
एक फूलों की क्यारी (वृत्तखंड) का क्षेत्रफल $= 1232 - 784 = 448 \, m^2$.
कुल क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल + $2 \times$ वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= 3136 + 2 \times 448 = 3136 + 896 = 4032 \, m^2$.

(D) वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 14 \times 14 \, cm^2 = 196 \, cm^2$.
चूँकि वर्ग में चार वृत्त हैं,प्रत्येक वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा का आधा है।
प्रत्येक वृत्त का व्यास $= \frac{14}{2} \, cm = 7 \, cm$.
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
एक वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = \frac{77}{2} \, cm^2 = 38.5 \, cm^2$.
चार वृत्तों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 38.5 \, cm^2 = 154 \, cm^2$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - चार वृत्तों का क्षेत्रफल।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= 196 \, cm^2 - 154 \, cm^2 = 42 \, cm^2$.

(A) मान लीजिए कि चार अछायांकित क्षेत्रों को $I, II, III$ और $IV$ के रूप में चिह्नित किया गया है (आकृति देखें)।
$I$ का क्षेत्रफल $+$ $III$ का क्षेत्रफल $= \text{वर्ग } ABCD \text{ का क्षेत्रफल} - 10 \, cm \text{ व्यास वाले दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल}$।
चूंकि वर्ग की भुजा $10 \, cm$ है,इसलिए प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
$I + III$ का क्षेत्रफल $= (10 \times 10) - 2 \times (\frac{1}{2} \times \pi \times 5^2) \, cm^2$
$= 100 - (3.14 \times 25) \, cm^2 = 100 - 78.5 = 21.5 \, cm^2$।
इसी प्रकार,$II + IV$ का क्षेत्रफल $= 21.5 \, cm^2$।
अब,छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल में से चार अछायांकित क्षेत्रों $(I, II, III, IV)$ के क्षेत्रफलों का योग घटाने पर प्राप्त होता है:
छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल $= \text{वर्ग } ABCD \text{ का क्षेत्रफल} - (I + II + III + IV \text{ का क्षेत्रफल})$
$= 100 - (21.5 + 21.5) \, cm^2 = 100 - 43 = 57 \, cm^2$।

(N/A) $1$. चूँकि $RQ$ वृत्त का व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। इसलिए,$\angle QPR = 90^{\circ}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज $\triangle QPR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$RQ^2 = PQ^2 + PR^2$
$RQ^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
$RQ = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
$3$. वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{RQ}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \, cm$ है।
$4$. अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (12.5)^2 = \frac{11}{7} \times 156.25 = \frac{1718.75}{7} \approx 245.536 \, cm^2$ है।
$5$. $\triangle QPR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84 \, cm^2$ है।
$6$. छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल - $\triangle QPR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1718.75}{7} - 84 = \frac{1718.75 - 588}{7} = \frac{1130.75}{7} \approx 161.54 \, cm^2$ है।

(N/A) छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
माना बड़े वृत्त की त्रिज्या $R = 14\, cm$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $r = 7\, cm$ है।
केंद्रीय कोण $\theta = 40^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड $OBD$ का क्षेत्रफल
$= \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi R^2 - \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{1}{9} \times \pi (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times (14^2 - 7^2)$
$= \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times (196 - 49)$
$= \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 147$
$= \frac{1}{9} \times 22 \times 21$
$= \frac{462}{9} = \frac{154}{3} \approx 51.33\, cm^2$.

(D) आकृति से यह देखा जा सकता है कि वर्ग की भुजा $14 \, cm$ है। अतः,प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास $14 \, cm$ है और प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या $(r)$ $7 \, cm$ है।
एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 77 \, cm^2$.
दो अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 77 = 154 \, cm^2$.
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = (14)^2 = 196 \, cm^2$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=$ वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $-$ दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= 196 \, cm^2 - 154 \, cm^2 = 42 \, cm^2$.

(N/A) छायांकित क्षेत्र में समबाहु त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल और बड़े वृत्त का क्षेत्रफल शामिल है,जिसमें से त्रिभुज के साथ अतिव्याप्त (overlap) होने वाले त्रिज्यखंड $OCDE$ के क्षेत्रफल को घटाया गया है।
$1$. समबाहु त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (12)^2 = 36\sqrt{3} \, cm^2$.
$2$. $r = 6 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 6^2 = \frac{792}{7} \, cm^2$.
$3$. समबाहु त्रिभुज का कोण $60^{\circ}$ है। त्रिज्यखंड $OCDE$ का क्षेत्रफल (जो अतिव्याप्त भाग है) $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36 = \frac{132}{7} \, cm^2$.
$4$. छायांकित क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $+$ वृत्त का क्षेत्रफल $-$ त्रिज्यखंड $OCDE$ का क्षेत्रफल।
$= 36\sqrt{3} + \frac{792}{7} - \frac{132}{7} = 36\sqrt{3} + \frac{660}{7} \, cm^2$.

(N/A) $1$. वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = (4\, cm)^2 = 16\, cm^2$.
$2$. $r = 1\, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के प्रत्येक चतुर्थांश का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (1)^2 = \frac{22}{28} = \frac{11}{14}\, cm^2$.
$3$. $4$ चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{11}{14} = \frac{22}{7}\, cm^2$.
$4$. $2\, cm$ व्यास वाले (त्रिज्या $r = 1\, cm$) केंद्रीय वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (1)^2 = \frac{22}{7}\, cm^2$.
$5$. शेष भाग का क्षेत्रफल $= \text{वर्ग का क्षेत्रफल} - (4 \text{ चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल} + \text{केंद्रीय वृत्त का क्षेत्रफल})$.
$6$. क्षेत्रफल $= 16 - (\frac{22}{7} + \frac{22}{7}) = 16 - \frac{44}{7} = \frac{112 - 44}{7} = \frac{68}{7}\, cm^2$.

(N/A) वृत्त की त्रिज्या $(r) = 32 \, cm$ है।
$AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है।
चूंकि $O$ समबाहु त्रिभुज का केंद्रक है,इसलिए $AO = \frac{2}{3} AD = 32 \, cm$ है।
अतः,$AD = 32 \times \frac{3}{2} = 48 \, cm$ है।
$\triangle ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$AB^2 = (48)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$
$AB^2 - \frac{AB^2}{4} = 2304$
$\frac{3 AB^2}{4} = 2304$
$AB^2 = \frac{2304 \times 4}{3} = 3072$
$AB = \sqrt{3072} = 32 \sqrt{3} \, cm$ है।
समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (32 \sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1024 \times 3 = 768 \sqrt{3} \, cm^2$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (32)^2 = \frac{22}{7} \times 1024 = \frac{22528}{7} \, cm^2$ है।
डिज़ाइन का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल $-$ $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल
$= \left(\frac{22528}{7} - 768 \sqrt{3}\right) \, cm^2$।

(D) $4$ त्रिज्यखंडों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल एक-दूसरे के बराबर है,और प्रत्येक $7 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का $90^{\circ}$ का त्रिज्यखंड है।
प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi(7)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= \frac{77}{2} \, cm^{2} = 38.5 \, cm^{2}$
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^{2} = (14)^{2} = 196 \, cm^{2}$
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $- 4 \times$ (प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल)
$= 196 - 4 \times \frac{77}{2}$
$= 196 - 154$
$= 42 \, cm^{2}$
अतः,छायांकित भाग का क्षेत्रफल $42 \, cm^{2}$ है।

(N/A) दिया है:
सीधे भागों की आंतरिक लंबाई $= 106 \, m$
आंतरिक चौड़ाई (समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी) $= 60 \, m$
आंतरिक त्रिज्या $(r) = \frac{60}{2} = 30 \, m$
ट्रैक की चौड़ाई $= 10 \, m$
बाहरी त्रिज्या $(R) = 30 + 10 = 40 \, m$
$(i)$ ट्रैक के आंतरिक किनारे के चारों ओर की दूरी $= AB + \text{चाप } BEC + CD + \text{चाप } DFA$
$= 106 + (\pi r) + 106 + (\pi r)$
$= 212 + 2 \pi r$
$= 212 + 2 \times \frac{22}{7} \times 30$
$= 212 + \frac{1320}{7} = \frac{1484 + 1320}{7} = \frac{2804}{7} \, m \approx 400.57 \, m$
$(ii)$ ट्रैक का क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{आयत } 106 \times 10 \text{ का क्षेत्रफल}) + 2 \times (\text{अर्धवृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल})$
$= 2 \times (106 \times 10) + 2 \times \left[ \frac{1}{2} \pi (R^2 - r^2) \right]$
$= 2120 + \pi (40^2 - 30^2)$
$= 2120 + \frac{22}{7} (1600 - 900)$
$= 2120 + \frac{22}{7} \times 700$
$= 2120 + 2200 = 4320 \, m^2$

(B) बड़े वृत्त की त्रिज्या $(r_1) = 7 \, cm$ है।
छोटे वृत्त की त्रिज्या $(r_2) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$ है।
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5 \, cm^2$ है।
बड़े वृत्त के अर्धवृत्त $ACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r_1^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 77 \, cm^2$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49 \, cm^2$ है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $+$ (अर्धवृत्त $ACB$ का क्षेत्रफल $-$ $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल)।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $= 38.5 + (77 - 49) = 38.5 + 28 = 66.5 \, cm^2$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 17320.5 \, cm^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 17320.5$
$\frac{1.73205}{4} a^2 = 17320.5$
$a^2 = 4 \times 10000 = 40000$
$a = 200 \, cm$.
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2} = \frac{200}{2} = 100 \, cm$ है।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times 3.14 \times (100)^2 = \frac{31400}{6} = \frac{15700}{3} \, cm^2$.
तीन त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल $= 3 \times \frac{15700}{3} = 15700 \, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $-$ तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
$= 17320.5 - 15700 = 1620.5 \, cm^2$.

(D) आकृति से यह देखा जा सकता है कि वर्ग की भुजा $3 \times (2 \times 7) = 42\, cm$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = (42)^2 = 1764\, cm^2$.
एक वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (7)^2 = 154\, cm^2$.
$9$ वृत्तों का क्षेत्रफल $= 9 \times 154 = 1386\, cm^2$.
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल $= \text{वर्ग का क्षेत्रफल} - 9 \text{ वृत्तों का क्षेत्रफल} = 1764 - 1386 = 378\, cm^2$.

(N/A) $(i)$ चूंकि $OACB$ एक चतुर्थांश है,यह केंद्र $O$ पर $90^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है।
चतुर्थांश $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \left( \frac{7}{2} \right)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} = \frac{11 \times 7}{8} = \frac{77}{8} \, cm^{2} = 9.625 \, cm^{2}$.
$(ii)$ $\triangle BOD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OB \times OD$
$= \frac{1}{2} \times 3.5 \times 2 = 3.5 \, cm^{2} = \frac{7}{2} \, cm^{2}$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ चतुर्थांश $OACB$ का क्षेत्रफल $- \triangle BOD$ का क्षेत्रफल
$= \frac{77}{8} - \frac{7}{2} = \frac{77 - 28}{8} = \frac{49}{8} \, cm^{2} = 6.125 \, cm^{2}$.

(B) $\triangle OAB$ में,चूँकि $OABC$ एक वर्ग है,$\angle OAB = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB^2 = OA^2 + AB^2$।
चूँकि $OA = AB = 20 \, cm$ है,इसलिए $OB^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800$ प्राप्त होता है।
अतः,चतुर्थांश की त्रिज्या $(r) = OB = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, cm$ है।
चतुर्थांश $OPBQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (20\sqrt{2})^2$।
$= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 800 = 3.14 \times 200 = 628 \, cm^2$।
वर्ग $OABC$ का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = 20^2 = 400 \, cm^2$।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्थांश $OPBQ$ का क्षेत्रफल - वर्ग $OABC$ का क्षेत्रफल।
$= 628 \, cm^2 - 400 \, cm^2 = 228 \, cm^2$।

(N/A) छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल बड़े त्रिज्यखंड $OAB$ और छोटे त्रिज्यखंड $OCD$ के क्षेत्रफल का अंतर है।
त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi R^2 = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 441 = \frac{1}{12} \times 22 \times 63 = \frac{1386}{12} = 115.5\, cm^2$.
त्रिज्यखंड $OCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{1}{12} \times 22 \times 7 = \frac{154}{12} = \frac{77}{6}\, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल $-$ त्रिज्यखंड $OCD$ का क्षेत्रफल $= 115.5 - \frac{77}{6} = \frac{693 - 77}{6} = \frac{616}{6} = \frac{308}{3}\, cm^2$.

(D) चूँकि $ABC$ वृत्त का एक चतुर्थांश है,इसलिए $\angle BAC = 90^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BC^2 = AC^2 + AB^2 = (14)^2 + (14)^2 = 196 + 196 = 392$।
$BC = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \, cm$।
$BC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त की त्रिज्या $(r_1) = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \, cm$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98 \, cm^2$।
चतुर्थांश $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \, cm^2$।
वृत्तखंड $BC$ का क्षेत्रफल (जीवा $BC$ और चाप $BC$ के बीच का क्षेत्र) = चतुर्थांश $ABC$ का क्षेत्रफल - $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 154 - 98 = 56 \, cm^2$।
$BC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \pi \times r_1^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 98 = 154 \, cm^2$।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = $BC$ पर अर्धवृत्त का क्षेत्रफल - वृत्तखंड $BC$ का क्षेत्रफल $= 154 - 56 = 98 \, cm^2$।

(N/A) डिज़ाइन किया गया क्षेत्रफल दो त्रिज्यखंडों $BAEC$ और $DAFC$ के बीच का उभयनिष्ठ क्षेत्र है।
त्रिज्यखंड $BAEC$ का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (8)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 64$
$= \frac{22 \times 16}{7} = \frac{352}{7} \, cm^{2}$
$\triangle BAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BA \times BC$
$= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \, cm^{2}$
डिज़ाइन किए गए भाग का क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{वृत्तखंड } AEC \text{ का क्षेत्रफल})$
$= 2 \times (\text{त्रिज्यखंड } BAEC \text{ का क्षेत्रफल} - \triangle BAC \text{ का क्षेत्रफल})$
$= 2 \times \left(\frac{352}{7} - 32\right) = 2 \left(\frac{352 - 224}{7}\right)$
$= \frac{2 \times 128}{7} = \frac{256}{7} \, cm^{2}$