Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि बछड़ा वर्गाकार मैदान के कोने $A$ पर बंधा है।
क्षेत्रफल में वृद्धि $90^{\circ}$ के केंद्रीय कोण और $R = 11.5 \,m$ $(6 \,m + 5.5 \,m)$ तथा $r = 6 \,m$ त्रिज्या वाले दो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर है।
क्षेत्रफल में आवश्यक वृद्धि $= R$ त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $- r$ त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times R^2 - \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times r^2$
$= \frac{1}{4} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5^2 - 6^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5 + 6) \times (11.5 - 6)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 5.5$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{11}{2}$
$= \frac{11 \times 5 \times 11}{8} = \frac{605}{8} = 75.625 \,m^2$.

(D) दिया गया है,वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल $= 22176 \, m^{2}$।
वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\pi r^{2} = 22176$।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,$\frac{22}{7} r^{2} = 22176$।
$r^{2} = \frac{22176 \times 7}{22} = 1008 \times 7 = 7056$।
$r = \sqrt{7056} = 84 \, m$।
वृत्ताकार मैदान की परिधि $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 84 = 44 \times 12 = 528 \, m$ है।
बाड़ लगाने का खर्च $= \text{परिधि} \times \text{दर}$।
खर्च $= 528 \times 50 = 26400 \, Rs.$

(A) दिया गया है,अगले पहिये का व्यास $d_{1} = 80 \,cm$ है।
पिछले पहिये का व्यास $d_{2} = 2 \,m = 200 \,cm$ है।
अगले पहिये की परिधि $C_{1} = \pi d_{1} = 80\pi \,cm$ है।
पिछले पहिये की परिधि $C_{2} = \pi d_{2} = 200\pi \,cm$ है।
अगले पहिये द्वारा $1400$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी $D = 1400 \times C_{1} = 1400 \times 80\pi \,cm$ है।
माना पिछले पहिये द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या $n$ है।
अतः,$n \times C_{2} = D$ होगा।
$n \times 200\pi = 1400 \times 80\pi$.
$n = \frac{1400 \times 80\pi}{200\pi} = 7 \times 80 = 560$.
इस प्रकार,पिछला पहिया $560$ चक्कर लगाएगा।

(A) दिया गया है,एक त्रिभुजाकार खेत जिसकी भुजाएँ $a = 15 \, m$,$b = 16 \, m$ और $c = 17 \, m$ हैं।
प्रत्येक जानवर को एक कोने पर $r = 7 \, m$ लंबी रस्सी से बांधा गया है। प्रत्येक जानवर अपने कोने पर एक त्रिज्यखंड (sector) के रूप में खेत को चरता है।
तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग:
क्षेत्रफलों का योग $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \pi r^2 = \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \pi r^2$
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए क्षेत्रफलों का योग $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 77 \, m^2$.
अब,हेरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{15 + 16 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, m$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-15)(24-16)(24-17)} = \sqrt{24 \times 9 \times 8 \times 7} = 24\sqrt{21} \, m^2$.
वह क्षेत्रफल जिसे नहीं चरा जा सकता,कुल क्षेत्रफल और चरे गए क्षेत्रफल का अंतर है:
न चरा गया क्षेत्रफल $= (24\sqrt{21} - 77) \, m^2$.

(N/A) दिया गया है कि,वृत्त की त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$ और त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $(\theta) = 60^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} = \frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}} = 3.14 \times 2 \times 12 = 75.36 \, cm^2$.
चूंकि दो त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बना त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका शीर्ष कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \, cm^2$.
वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $-$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $= (75.36 - 36\sqrt{3}) \, cm^2$.

(D) दिया गया है कि एक वृत्ताकार तालाब $2 \, m$ चौड़े रास्ते से घिरा है।
वृत्ताकार तालाब का व्यास $= 17.5 \, m$.
वृत्ताकार तालाब की त्रिज्या $(r_i) = \frac{17.5}{2} = 8.75 \, m$.
रास्ते की चौड़ाई $= 2 \, m$.
रास्ते सहित बाहरी वृत्त की त्रिज्या $(r_e) = 8.75 + 2 = 10.75 \, m$.
वृत्ताकार रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2) = \pi(r_e + r_i)(r_e - r_i)$.
क्षेत्रफल $= 3.14 \times (10.75 + 8.75) \times (10.75 - 8.75) = 3.14 \times 19.5 \times 2 = 122.46 \, m^2$.
रास्ता बनाने का खर्च $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 122.46 \times 25 = Rs. \, 3061.50$.

(A) दिया है: $AB = 18 \, cm$,$DC = 32 \, cm$,ऊँचाई $(h) = 14 \, cm$ और प्रत्येक चाप की त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$ है।
चूँकि $AB \parallel DC$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ है।
$\theta$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$A$ और $D$ पर स्थित त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = $\frac{\angle A + \angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 77 \, cm^2$ है।
इसी प्रकार,$B$ और $C$ पर स्थित त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = $\frac{\angle B + \angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = 77 \, cm^2$ है।
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (AB + DC) \times h = \frac{1}{2} \times (18 + 32) \times 14 = \frac{1}{2} \times 50 \times 14 = 350 \, cm^2$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $-$ (चारों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग) = $350 - (77 + 77) = 350 - 154 = 196 \, cm^2$ है।

(B) दिया गया है कि तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि उनमें से प्रत्येक अन्य दो को स्पर्श करता है।
मान लीजिए कि तीनों वृत्तों के केंद्र $A, B$ और $C$ हैं। चूंकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5\, cm$ है,इसलिए किन्हीं भी दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी $2r = 2 \times 3.5 = 7\, cm$ है।
अतः,$AB = BC = CA = 7\, cm$। यह $7\, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ बनाता है।
समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (7)^{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \approx \frac{49 \times 1.732}{4} \approx 21.2176\, cm^{2}$।
तीनों वृत्तों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के अंदर स्थित तीन त्रिज्यखंडों (sectors) के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है। समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।
तीनों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल $= 3 \times \left( \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \right) = 3 \times \frac{1}{6} \times \pi \times (3.5)^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 11 \times 0.5 \times 3.5 = 19.25\, cm^{2}$।
इसलिए,वृत्तों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \triangle ABC$ का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल
$= 21.2176 - 19.25 = 1.9676\, cm^{2}$।
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अभीष्ट क्षेत्रफल $1.967\, cm^{2}$ है।

(C) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times l \times r$
जहाँ $l$ चाप की लंबाई है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 5\, cm$
चाप की लंबाई $(l) = 3.5\, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3.5 \times 5$
क्षेत्रफल $= \frac{17.5}{2} = 8.75\, cm^2$
अतः,त्रिज्यखंड का अभीष्ट क्षेत्रफल $8.75\, cm^2$ है।

(D) दिया गया है कि चार वृत्ताकार कार्डबोर्ड के टुकड़ों को कागज पर इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पर्श करता है。
मान लीजिए कि चारों वृत्तों के केंद्र $A, B, C$ और $D$ हैं। चूंकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $7 \, cm$ है, इसलिए किन्हीं भी दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी $7 + 7 = 14 \, cm$ है。
इस प्रकार, $AB = BC = CD = DA = 14 \, cm$। यह $14 \, cm$ भुजा वाला एक वर्ग $ABCD$ बनाता है。
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = (14)^2 = 196 \, cm^2$。
वर्ग के अंदर चार त्रिज्यखंड (sectors) हैं, जिनमें से प्रत्येक का केंद्रीय कोण $90^{\circ}$ और त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है。
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{4} \times 22 \times 7 = 38.5 \, cm^2$。
चारों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 38.5 = 154 \, cm^2$。
इन टुकड़ों के बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल = (वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल) - (चारों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल)
$= 196 - 154 = 42 \, cm^2$。
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $42 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया है, वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल $= 784 \, cm^{2}$.
चूंकि, वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^{2}$ होता है, इसलिए $(\text{भुजा})^{2} = 784$.
अतः, भुजा $= \sqrt{784} = 28 \, cm$.
चूंकि चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गई हैं कि प्रत्येक प्लेट अन्य दो प्लेटों और वर्ग की भुजाओं को स्पर्श करती है, इसलिए प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट का व्यास वर्ग की भुजा का आधा होगा।
प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट का व्यास $= 28 / 2 = 14 \, cm$.
प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या $(r) = 14 / 2 = 7 \, cm$.
एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times (7)^{2} = 22 \times 7 = 154 \, cm^{2}$.
चार वृत्ताकार प्लेटों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 154 = 616 \, cm^{2}$.
वृत्ताकार प्लेटों द्वारा न ढके गए वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल $= \text{वर्ग का क्षेत्रफल} - \text{चार वृत्ताकार प्लेटों का क्षेत्रफल}$.
$= 784 - 616 = 168 \, cm^{2}$.

(B) दिया गया है कि कमरे का फर्श वृत्ताकार टाइलों से ढका हुआ है।
फर्श की लंबाई $(l) = 5 \, m$.
फर्श की चौड़ाई $(b) = 4 \, m$.
फर्श का क्षेत्रफल $= l \times b = 5 \times 4 = 20 \, m^2$.
प्रत्येक वृत्ताकार टाइल का व्यास $= 50 \, cm = 0.5 \, m$.
प्रत्येक वृत्ताकार टाइल की त्रिज्या $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m = \frac{1}{4} \, m$.
एक वृत्ताकार टाइल का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = 3.14 \times (0.25)^2 = 3.14 \times 0.0625 = 0.19625 \, m^2$.
चित्र से,लंबाई के अनुदिश टाइलों की संख्या $= \frac{5 \, m}{0.5 \, m} = 10$ टाइलें।
चौड़ाई के अनुदिश टाइलों की संख्या $= \frac{4 \, m}{0.5 \, m} = 8$ टाइलें।
टाइलों की कुल संख्या $= 10 \times 8 = 80$ टाइलें।
$80$ टाइलों द्वारा घेरा गया कुल क्षेत्रफल $= 80 \times 0.19625 = 15.7 \, m^2$.
फर्श का वह क्षेत्रफल जो टाइलों से ढका नहीं है $=$ फर्श का कुल क्षेत्रफल $-$ टाइलों का कुल क्षेत्रफल।
अनावृत क्षेत्रफल $= 20 - 15.7 = 4.3 \, m^2$.

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि,वृत्त का क्षेत्रफल $= 1256 \, cm^{2}$ है।
$\pi r^{2} = 1256$
$r^{2} = \frac{1256}{3.14} = 400$
$r = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
चूँकि एक समचतुर्भुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए वह समचतुर्भुज एक वर्ग होगा क्योंकि इसके विकर्ण वृत्त के व्यास हैं और वे एक-दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः,विकर्ण $d_{1}$ और $d_{2}$ वृत्त के व्यास के बराबर हैं।
$d_{1} = d_{2} = 2 \times r = 2 \times 20 = 40 \, cm$.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}$
$= \frac{1}{2} \times 40 \times 40$
$= 20 \times 40 = 800 \, cm^{2}$.
अतः,समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल $800 \, cm^{2}$ है।

(D) माना संकेंद्री वृत्तों के व्यास $k, 2k$ और $3k$ हैं।
अतः,संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ $\frac{k}{2}, k$ और $\frac{3k}{2}$ हैं।
आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल,$A_1 = \pi \left(\frac{k}{2}\right)^2 = \frac{\pi k^2}{4}$ है।
मध्य क्षेत्र का क्षेत्रफल,$A_2 = \pi(k)^2 - \frac{\pi k^2}{4} = \frac{3\pi k^2}{4}$ है।
बाहरी क्षेत्र का क्षेत्रफल,$A_3 = \pi \left(\frac{3k}{2}\right)^2 - \pi(k)^2 = \frac{9\pi k^2}{4} - \pi k^2 = \frac{5\pi k^2}{4}$ है।
क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात $A_1 : A_2 : A_3 = \frac{\pi k^2}{4} : \frac{3\pi k^2}{4} : \frac{5\pi k^2}{4} = 1 : 3 : 5$ है।

(A) हम जानते हैं कि,$60\, \text{min}$ में,मिनट की सुई $360^{\circ}$ घूमती है।
$1\, \text{min}$ में,मिनट की सुई $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ घूमती है।
इसलिए,सुबह $6:05$ से $6:40$ तक के समय अंतराल में,बीता हुआ समय $35\, \text{min}$ है।
$35\, \text{min}$ में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta = 6^{\circ} \times 35 = 210^{\circ}$ है।
दिया गया है कि मिनट की सुई की लंबाई $(r) = 5\, \text{cm}$ है।
मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल त्रिज्या $r = 5\, \text{cm}$ और कोण $\theta = 210^{\circ}$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{210^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (5)^2$.
क्षेत्रफल $= \frac{7}{12} \times \frac{22}{7} \times 25 = \frac{22 \times 25}{12} = \frac{11 \times 25}{6} = \frac{275}{6}$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर,$\frac{275}{6} = 45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$.
अतः,मिनट की सुई द्वारा तय किया गया आवश्यक क्षेत्रफल $45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$ है।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और केंद्रीय कोण $\theta = 200^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $770 = \frac{200}{360} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$770 = \frac{5}{9} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2} = \frac{770 \times 9 \times 7}{5 \times 22} = \frac{770 \times 63}{110} = 7 \times 63 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
अब,चाप की लंबाई $l$ का सूत्र है: $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
$l = \frac{200}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$.
$l = \frac{5}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{5 \times 2 \times 22}{3} = \frac{220}{3} \, cm$.
$l = 73 \frac{1}{3} \, cm$.

(N/A) माना कि दो त्रिज्यखंडों की त्रिज्याएँ $r_1 = 7 \, cm$ और $r_2 = 21 \, cm$ हैं,और उनके केंद्रीय कोण $\theta_1 = 120^{\circ}$ और $\theta_2 = 40^{\circ}$ हैं।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
प्रथम त्रिज्यखंड के लिए:
$A_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{22 \times 7}{3} = \frac{154}{3} \approx 51.33 \, cm^2$.
द्वितीय त्रिज्यखंड के लिए:
$A_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 441 = \frac{22 \times 63}{9} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
चाप की लंबाई $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
प्रथम त्रिज्यखंड के लिए:
$l_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{1}{3} \times 44 = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
द्वितीय त्रिज्यखंड के लिए:
$l_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = \frac{1}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{132}{9} = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
अवलोकन: दोनों त्रिज्यखंडों के चाप की लंबाई समान है,लेकिन उनके क्षेत्रफल समान नहीं हैं।

(N/A) बाहरी वर्ग की भुजा की माप $14 \, cm$ है।
वर्ग की प्रत्येक भुजा से आंतरिक आकृति की दूरी $3 \, cm$ है।
आंतरिक आकृति एक केंद्रीय वर्ग और उसकी भुजाओं से जुड़े चार अर्धवृत्तों से बनी है।
आंतरिक वर्ग की भुजा की लंबाई $14 - (3 + 3) = 8 \, cm$ है।
चूंकि इस $8 \, cm$ वर्ग की भुजाओं पर चार अर्धवृत्त जुड़े हुए हैं,इसलिए प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास $8 / 2 = 4 \, cm$ है,अतः त्रिज्या $r = 2 \, cm$ है।
बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल $= 14^2 = 196 \, cm^2$.
आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल $= 8^2 = 64 \, cm^2$.
चार अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2 = 2 \times \pi \times (2)^2 = 8 \pi \, cm^2$.
अछायांकित आंतरिक भाग का क्षेत्रफल $= \text{आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल} + \text{चार अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल} = 64 + 8 \pi \, cm^2$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= \text{बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल} - \text{अछायांकित आंतरिक भाग का क्षेत्रफल} = 196 - (64 + 8 \pi) = 132 - 8 \pi \, cm^2$.

(A) माना वृत्ताकार पहिये द्वारा किए गए चक्करों की संख्या $n$ है और त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है,वृत्ताकार पहिये का क्षेत्रफल $= 1.54 \, m^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\pi r^2 = 1.54$ है।
$\frac{22}{7} \times r^2 = 1.54 \Rightarrow r^2 = \frac{1.54 \times 7}{22} = 0.07 \times 7 = 0.49$ है।
अतः,$r = \sqrt{0.49} = 0.7 \, m$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि के बराबर होती है।
परिधि $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 2 \times 22 \times 0.1 = 4.4 \, m$ है।
कुल तय की गई दूरी $176 \, m$ है।
चक्करों की संख्या $n = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{176}{4.4} = \frac{1760}{44} = 40$ है।
इसलिए,पहिया $40$ चक्कर लगाता है।

(D) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
$OA = OB = r \, cm$.
दिया गया है कि जीवा की लंबाई $AB = 5 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
$\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = OA^2 + OB^2 \implies 5^2 = r^2 + r^2 \implies 2r^2 = 25 \implies r^2 = 12.5$.
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times r^2 \times 1 = \frac{12.5}{2} = 6.25 \, cm^2$.
त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 12.5 = \frac{12.5 \pi}{4} = 3.125 \pi \, cm^2$.
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - $\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $(3.125 \pi - 6.25) \, cm^2$.
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = 12.5 \pi \, cm^2$.
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = $12.5 \pi - (3.125 \pi - 6.25) = (9.375 \pi + 6.25) \, cm^2$.
क्षेत्रफलों का अंतर = $(9.375 \pi + 6.25) - (3.125 \pi - 6.25) = 6.25 \pi + 12.5 = (6.25 \pi + 12.5) \, cm^2$ या $(\frac{25 \pi}{4} + \frac{25}{2}) \, cm^2$.

(C) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $(r) = 21 \, cm$ और लघु त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $(\theta) = 120^{\circ}$ है।
सबसे पहले,वृत्त का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें:
क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
इसके बाद,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 1386 = \frac{1}{3} \times 1386 = 462 \, cm^2$.
अब,दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का कुल क्षेत्रफल} - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = 1386 - 462 = 924 \, cm^2$.
अंत में,दीर्घ त्रिज्यखंड और लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात करें:
अंतर $= 924 - 462 = 462 \, cm^2$.

(N/A) यहाँ,वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r = 77\, m$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ है।
मान रखने पर,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 77 = 2 \times 22 \times 11 = 484\, m$ प्राप्त होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{22}{7} \times 77 \times 77 = 22 \times 11 \times 77 = 18634\, m^2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्ताकार मैदान की परिधि $484\, m$ है और क्षेत्रफल $18634\, m^2$ है।

(A) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = \pi d$ होता है,जहाँ $C$ परिधि है और $d$ व्यास है।
यहाँ $C = 251.2 \, cm$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $251.2 = 3.14 \times d$.
व्यास $d$ ज्ञात करने के लिए,परिधि को $\pi$ से विभाजित करने पर: $d = \frac{251.2}{3.14}$.
$d = 80 \, cm$.
अतः,वृत्त का व्यास $80 \, cm$ है।

(B) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$A = 5544 \, cm^{2}$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$5544 = \frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2} = 5544 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 252 \times 7$
$r^{2} = 1764$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{1764} = 42$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $42 \, cm$ है।

(C) माना वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r_{1}$ है और रास्ते सहित वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r_{2}$ है।
दिया है,मैदान की परिधि $= 2 \pi r_{1} = 220\, m$.
दिया है,रास्ते सहित मैदान की परिधि $= 2 \pi r_{2} = 264\, m$.
रास्ते की चौड़ाई $w = r_{2} - r_{1}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों परिधियों को घटाने पर:
$2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 264 - 220$
$2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$2 \times \frac{22}{7} \times w = 44$
$w = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$w = \frac{44 \times 7}{44}$
$w = 7\, m$.
अतः,रास्ते की चौड़ाई $7\, m$ है।

(D) $1$ चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि के बराबर होती है।
परिधि $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132 \, cm$.
$1$ मिनट में तय की गई दूरी $= 800 \times 132 \, cm = 105600 \, cm$.
$1$ घंटे ($60$ मिनट) में तय की गई दूरी $= 105600 \times 60 \, cm = 6336000 \, cm$.
सेंटीमीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देंगे (मीटर प्राप्त करने के लिए) और फिर $1000$ से भाग देंगे (किलोमीटर प्राप्त करने के लिए)।
गति $= \frac{6336000}{100 \times 1000} \, km/h = 63.36 \, km/h$.
अतः,कार की गति $63.36 \, km/h$ है।

(A) बाहरी वृत्त की त्रिज्या $r_{1} = 23 \, cm$ है और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r_{2} = 16 \, cm$ है।
वृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \pi r_{1}^{2} - \pi r_{2}^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \pi (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \pi (r_{1} + r_{2})(r_{1} - r_{2})$
$\pi = \frac{22}{7}$ मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times (23 + 16) \times (23 - 16)$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 39 \times 7$
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 39 = 858 \, cm^{2}$

(A) दिया गया व्यास $d = 42 \, cm$ है।
त्रिज्या $r = d / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$ है।
वृत्त की परिधि $= 2 \pi r = 2 \times (22 / 7) \times 21 = 2 \times 22 \times 3 = 132 \, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = (22 / 7) \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$ है।
अतः,वृत्त की परिधि $132 \, cm$ और क्षेत्रफल $1386 \, cm^2$ है।

(A) दिया है: वृत्त की त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$ और $\pi = 3.14$।
वृत्त की परिधि $= 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 12 = 75.36 \, cm$।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = 3.14 \times (12)^2 = 3.14 \times 144 = 452.16 \, cm^2$।
अतः,वृत्त की परिधि $75.36 \, cm$ है और क्षेत्रफल $452.16 \, cm^2$ है।

(D) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है,जहाँ $C$ परिधि है और $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $C = 176 \, cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$176 = \frac{44}{7} \times r$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28 \, cm$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $28 \, cm$ है।

(A) वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $A = 346.5 \, cm^2$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$346.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{346.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{2425.5}{22}$
$r^2 = 110.25$
$r = \sqrt{110.25}$
$r = 10.5 \, cm$.

(B) दिया गया है कि वृत्ताकार मैदान की परिधि $C = 352\, m$ है।
हम जानते हैं कि परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 352$
$r = \frac{352 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{352 \times 7}{44} = 8 \times 7 = 56\, m$।
अब,वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$A = \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
$A = 22 \times 8 \times 56$
$A = 176 \times 56 = 9856\, m^2$।

(C) दिया गया है,वृत्त का क्षेत्रफल $A = 75.46\, cm^{2}$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\pi = 3.14$ लेने पर,$75.46 = 3.14 \times r^{2}$ प्राप्त होता है।
$r^{2} = \frac{75.46}{3.14} = 24.0318... \approx 24.01$।
वर्गमूल लेने पर,$r = \sqrt{24.01} = 4.9\, cm$ प्राप्त होता है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$C = 2 \times 3.14 \times 4.9 = 6.28 \times 4.9 = 30.772\, cm$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,परिधि $30.8\, cm$ है।

(D) माना वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r = 35 \, m$ है।
रास्ते की चौड़ाई $w = 3.5 \, m$ है।
बाहरी वृत्त (मैदान + रास्ता) की त्रिज्या $R = r + w = 35 + 3.5 = 38.5 \, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्ताकार मैदान के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times (38.5 - 35) \times (38.5 + 35)$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 73.5$.
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 0.5 \times 73.5 = 11 \times 73.5 = 808.5 \, m^2$.

(A) बाहरी वृत्त की त्रिज्या $(R)$ $= 56 \, m$ है।
रास्ते की चौड़ाई $= 7 \, m$ है।
आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $(r)$ $= R - \text{चौड़ाई} = 56 \, m - 7 \, m = 49 \, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times (56 - 49) \times (56 + 49)$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 7 \times 105$.
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 105 = 2310 \, m^2$.

(N/A) $1$. बाड़ लगाने का खर्च: वृत्ताकार मैदान की सीमा उसका परिधि है,जो $C = 2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
$r = 63 \, m$ और $\pi = 22/7$ का उपयोग करने पर,$C = 2 \times (22/7) \times 63 = 2 \times 22 \times 9 = 396 \, m$।
बाड़ लगाने का खर्च $396 \, m \times ₹ 50/m = ₹ 19,800$ है।
$2$. समतल करने का खर्च: वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$A = (22/7) \times 63 \times 63 = 22 \times 9 \times 63 = 12,474 \, m^2$।
समतल करने का खर्च $12,474 \, m^2 \times ₹ 40/m^2 = ₹ 4,98,960$ है।

(C) $1$. वृत्ताकार मैदान की परिधि: $\text{परिधि} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{प्रति मीटर दर}} = \frac{26,400}{60} = 440 \ m$.
$2$. माना मैदान की त्रिज्या $r$ है। परिधि का सूत्र $2\pi r = 440$ है।
$3$. $\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$, जिससे $r = \frac{440 \times 7}{44} = 70 \ m$ प्राप्त होता है।
$4$. मैदान का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 22 \times 10 \times 70 = 15,400 \ m^2$ है।
$5$. $₹ 50/m^2$ की दर से मैदान को समतल करने की लागत $15,400 \times 50 = ₹ 7,70,000$ होगी।

दिया है: वृत्त की त्रिज्या $r = 6 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times \frac{60}{360}$
$= \frac{22}{7} \times 36 \times \frac{1}{6}$
$= \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \, cm^2 \approx 18.86 \, cm^2$.
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का कुल क्षेत्रफल} - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}$
$= \pi r^2 - \frac{132}{7}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 - \frac{132}{7}$
$= \frac{792}{7} - \frac{132}{7} = \frac{660}{7} \, cm^2 \approx 94.29 \, cm^2$.
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{132}{7} \, cm^2$ और दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{660}{7} \, cm^2$ है।

(A) लघु त्रिज्यखंड के कोण का माप $\theta = 90^{\circ}$ है (क्योंकि $OA \perp OB$ है)।
लघु त्रिज्यखंड का परिमाप = लघु चाप की लंबाई $+ 2 \times$ (त्रिज्या)।
$75 = \frac{\pi r \theta}{180} + 2r$
$75 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 90}{180} + 2r$
$75 = r \left( \frac{11}{7} + 2 \right)$
$75 = \frac{25}{7} r$
$r = \frac{75 \times 7}{25} = 21 \, cm$.
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360} = \frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 90}{360} = 346.5 \, cm^2$.
$\Delta OAB$ में,$m\angle O = 90^{\circ}$,इसलिए $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 220.5 \, cm^2$.
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $- \Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= 346.5 - 220.5 = 126 \, cm^2$.

(A) $60$ मिनट ($1$ घंटा) के दौरान,मिनट की सुई एक पूर्ण चक्कर लगाती है,अर्थात यह $360^{\circ}$ का कोण बनाती है।
सुबह $10.10$ से $10.30$ बजे तक की समयावधि $20$ मिनट है।
अतः,$20$ मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta$:
$\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$।
त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ मिनट की सुई की लंबाई है,जो $14 \, cm$ है।
तय किए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 196 \times \frac{1}{3}$
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 28 \times \frac{1}{3} = \frac{616}{3} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 205 \frac{1}{3} \, cm^2$।

(C) वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $R = 35 \, m$ है। इसके अंदर $w = 3.5 \, m$ चौड़ी सड़क है। अतः आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r = R - w = 35 - 3.5 = 31.5 \, m$ होगी।
मरम्मत किए जाने वाले भाग का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का अंतर है,जहाँ केंद्र पर कोण $\theta = 72^{\circ}$ है।
मरम्मत किए जाने वाले भाग का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{72}{360} \times \frac{22}{7} \times (35^2 - 31.5^2)$
$= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times (35 - 31.5)(35 + 31.5)$
$= \frac{22}{35} \times 3.5 \times 66.5$
$= \frac{22}{35} \times \frac{7}{2} \times 66.5$
$= 11 \times 0.2 \times 66.5 = 2.2 \times 66.5 = 146.3 \, m^{2}$.
मरम्मत की कुल लागत $= 146.3 \, m^{2} \times ₹ 80 / m^{2} = ₹ 11,704$.

(D) मान लीजिए कि गाय को वर्गाकार खेत $ABCD$ के शीर्ष $A$ पर $3 \, m$ लंबी रस्सी से बांधा गया है।
चूंकि वर्ग के प्रत्येक शीर्ष पर कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए गाय जिस क्षेत्र में चर सकती है वह $r = 3 \, m$ त्रिज्या और $\theta = 90^{\circ}$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times (3)^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times 9 \times 1}{4}$
$= \frac{28.26}{4}$
$= 7.065 \, m^2$
अतः,खेत के उस क्षेत्र का क्षेत्रफल जिसमें गाय चर सकती है,$7.065 \, m^2$ है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 6.3 \ cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 150^{\circ}$.
चाप की लंबाई $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{150}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 2 \times 22 \times 0.9 = 16.5 \ cm$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{150}{360} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 22 \times 0.9 \times 6.3 = 51.975 \ cm^2$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 42 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
चाप की लंबाई $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = \frac{1}{3} \times 2 \times 22 \times 6 = 88 \, cm$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = \frac{1}{3} \times 22 \times 6 \times 42 = 22 \times 2 \times 42 = 1848 \, cm^2$.

(A) दिया है: त्रिज्या $r = 28 \ cm$,चाप की लंबाई $l = 22 \ cm$।
$1$. केंद्र पर अंतरित कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए:
चाप की लंबाई का सूत्र $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है।
$22 = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 28$.
$22 = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 176$.
$\theta = \frac{22 \times 360^{\circ}}{176} = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$।
$2$. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए:
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ है।
$A = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$.
$A = \frac{1}{8} \times 22 \times 4 \times 28 = 11 \times 28 = 308 \ cm^2$।

(D) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।
चूंकि दो त्रिज्याएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
दिया गया है,$\text{Area} = 38.5 \, cm^2$ और $\pi = \frac{22}{7}$।
मान रखने पर: $38.5 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times r^2$।
$38.5 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times r^2$।
$38.5 = \frac{11}{14} \times r^2$।
$r^2 = \frac{38.5 \times 14}{11}$।
$r^2 = 3.5 \times 14 = 49$।
$r = \sqrt{49} = 7 \, cm$।

(A) दिया है: त्रिज्या $r = 14 \,cm$,कोण $\theta = 90^\circ$।
$1$. चाप की लंबाई = $\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{1}{4} \times 88 = 22 \,cm$।
$2$. लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{4} \times 22 \times 28 = 154 \,cm^2$।
$3$. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल = $154 - \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^\circ) = 154 - \frac{1}{2} \times 14 \times 14 \times 1 = 154 - 98 = 56 \,cm^2$।

(N/A) दिया है: त्रिज्या $r = 21 \, cm$,चाप की लंबाई $l = 33 \, cm$.
$1$. केंद्र पर अंतरित कोण $(\theta)$: चाप की लंबाई का सूत्र $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ है। मान रखने पर: $33 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$. $\theta$ के लिए हल करने पर: $33 = \theta \times \frac{132}{360} \implies \theta = 90^\circ$.
$2$. लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: $A_{sector} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = \frac{1}{4} \times 22 \times 3 \times 21 = 346.5 \, cm^2$.
$3$. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल: $A_{segment} = A_{sector} - A_{triangle} = 346.5 - \frac{1}{2} r^2 \sin(90^\circ) = 346.5 - \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 346.5 - 220.5 = 126 \, cm^2$.

(A) दी गई त्रिज्या $r = 56 \, cm$ है। चूंकि दो त्रिज्याएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 56 \times 56 = \frac{1}{4} \times 22 \times 8 \times 56 = 2464 \, cm^2$.
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का कुल क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\pi r^2 - 2464 = \frac{22}{7} \times 56 \times 56 - 2464 = 9856 - 2464 = 7392 \, cm^2$.
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल = $2464 - \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^\circ) = 2464 - \frac{1}{2} \times 56 \times 56 \times 1 = 2464 - 1568 = 896 \, cm^2$.

(A) दिया है: त्रिज्या $r = 42 \ cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$.
$1$. लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = \frac{1}{6} \times 22 \times 6 \times 42 = 22 \times 42 = 924 \ cm^2$.
$2$. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} r^2 \sin(\theta) = \frac{1}{2} \times 42 \times 42 \times \sin(60^{\circ}) = 882 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 441 \times 1.73 = 762.93 \ cm^2$.
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = $924 - 762.93 = 161.07 \ cm^2$.