यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के अनंतस्पर्शी (asymptotes) के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित किसी बिंदु से उसकी अनंतस्पर्शी (asymptotes) रेखाओं पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

मान लीजिए $P(3,3)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर एक बिंदु है। यदि $P$ पर इसका अभिलंब $x$-अक्ष को $(9,0)$ पर काटता है और $e$ इसकी उत्केंद्रता है,तो क्रमित युग्म $(a^{2}, e^{2})$ किसके बराबर है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ की एक स्पर्श रेखा $x-$अक्ष को $P$ पर और $y-$अक्ष को $Q$ पर मिलती है। रेखाएँ $PR$ और $QR$ इस प्रकार खींची गई हैं कि $OPRQ$ एक आयत है (जहाँ $O$ मूलबिंदु है)। तब $R$ स्थित है

बिंदु $(3, 2)$ से अतिपरवलय $x^2 - 9y^2 = 9$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। स्पर्श रेखाओं और स्पर्श जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

यदि $x = 9$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 9$ की स्पर्श जीवा है,तो संगत स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण क्या है?