$c$ के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए रेखा $y=4x+c$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ को स्पर्श करती है।

रेखा $lx + my + n = 0$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को उन बिंदुओं पर काटती है जिनके उत्केंद्र कोणों का अंतर $\pi/2$ है,यदि:

यदि $(l, m)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र है,जिसके शीर्ष $\theta_1, \theta_2$ और $\theta_3$ उत्केंद्र कोण वाले बिंदुओं पर हैं,तो $\frac{2}{3}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\cos \left(\theta_2-\theta_3\right)+\cos \left(\theta_3-\theta_1\right)\right]=$

मान लीजिए $S=\left\{(x, y) \in N \times N : 9(x-3)^{2}+16(y-4)^{2} \leq 144\right\}$ और $T=\left\{(x, y) \in R \times R :(x-7)^{2}+(y-4)^{2} \leq 36\right\}$ है। तो $n(S \cap T)$ का मान $......$ है।

यदि $4x - 3y + k = 0$ दीर्घवृत्त $5x^{2} + 9y^{2} = 45$ को स्पर्श करती है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका नाभि $(6, 7)$,नियता $x + y + 2 = 0$ और उत्केंद्रता $e = 1/\sqrt{3}$ है: