a समान त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को लंब | vedclass

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Question

(C) माना $S_1$ केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2 = 0$ के रूप में

Vedclass · Accepted Answer

$\left(a, \frac{5a}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $S_1$ केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $S_2$ केंद्र $(5, 6)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-5)^2 + (y-6)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2) - (x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2) = 0$$6x + 6y - 48 = 0 \Rightarrow x + y = 8$.चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.यहाँ $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = 13 - a^2$ और $g_2 = -5, f_2 = -6, c_2 = 61 - a^2$.$2(-2)(-5) + 2(-3)(-6) = (13 - a^2) + (61 - a^2)$$20 + 36 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 56 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 2a^2 = 18$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$.$a = 3$ को विकल्पों में रखने पर:$(C)$ $(3, 5) \Rightarrow 3 + 5 = 8$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

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