int_0^pi frac{x , dx}{4 cos^2 x + 9 sin^2 x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$ है।गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_

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$\frac{\pi^2}{12}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$ है।गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + 9 \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = \pi \int_0^\pi \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 	an^2 x}$ प्राप्त होता है।गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर (जहाँ $f(2a-x) = f(x)$):$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 	an^2 x} \Rightarrow I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 	an^2 x}$ प्राप्त होता है।माना $t = 	an x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$ होगा। सीमाएँ $[0, \pi/2]$ से बदलकर $[0, \infty]$ हो जाएँगी।$I = \pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + 9t^2} = \frac{\pi}{9} \int_0^\infty \frac{dt}{(2/3)^2 + t^2}$ होगा।सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{3}{2} \left[ 	an^{-1}(\frac{3t}{2}) ight]_0^\infty = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{12}$ प्राप्त होता है।

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = $

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$\int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ है,तो:

$\int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3 x}$ का मान है

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} d x=$

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